12. 如图所示,在$△ ABC$中,$D,E$分别为$AB,AC$的中点,$DF ⊥ BC$,垂足为$F$,点$G$在$DE$的延长线上,$DG=FC$.
(1)求证:四边形$DFCG$是矩形;
(2)若$∠ B=45°$,$DF=3$,$DG=5$,求$BC$和$AC$的长.

12.(1)证明:$\because D,E$ 分别为 $AB,AC$ 的中点,$\therefore DE$ 是$△ ABC$ 的中位线. $\therefore DE// BC$.
$\because DG=FC$,$\therefore$ 四边形 $DFCG$ 是平行四边形.
又 $DF⊥ BC$,$\therefore ∠ DFC=90°$. $\therefore$ 四边形 $DFCG$ 是矩形.
(2)解:$\because DF⊥ BC$,$\therefore ∠ DFB=90°$.
$\because ∠ B=45°$,$\therefore △ BDF$ 是等腰直角三角形. $\therefore BF=DF=3$.
$\because DG=FC=5$,$\therefore BC=BF+FC=3+5=8$.
由(1),可知 $DE$ 是$△ ABC$ 的中位线,四边形 $DFCG$ 是矩形,
$\therefore DE=\dfrac{1}{2}BC=4$,$CG=DF=3$,$∠ G=90°$. $\therefore EG=DG-DE=5-4=1$.
$\therefore CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.
$\because E$ 为 $AC$ 的中点,$\therefore AC=2CE=2\sqrt{10}$.

【分析】
（1）要证明四边形DFCG是矩形，可优先选用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”的判定方法：首先根据D、E是AB、AC的中点，判断DE是△ABC的中位线，得到DG//BC，结合已知DG=FC，可先证得四边形DFCG是平行四边形，再结合DF⊥BC的条件，即可判定其为矩形。
（2）求BC的长度时，可将BC拆分为BF和FC两段：FC和DG相等，可直接得到长度为5；由DF⊥BC、∠B=45°可知△BDF是等腰直角三角形，得BF=DF=3，两段相加即可得BC长。求AC的长度时，利用E是AC中点，只需求出CE长度再乘2即可：先由中位线定理得DE的长度，进而求出EG的长度，结合矩形的性质得CG=DF=3、∠G=90°，用勾股定理算出CE长度，即可求得AC长。
【解析】
(1) 证明：
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，即DG//FC。
又
∵DG=FC，
∴四边形DFCG是平行四边形。
∵DF⊥BC，
∴∠DFC=90°，
∴平行四边形DFCG是矩形。
(2) 解：
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=90°，
又
∵∠B=45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF=DF=3。
∵四边形DFCG是矩形，
∴FC=DG=5，
∴BC=BF+FC=3+5=8。
由(1)可知DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=4，CG=DF=3，∠G=90°，
∴EG=DG-DE=5-4=1。
在Rt△CEG中，由勾股定理得：
CE=$\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
∵E为AC的中点，
∴AC=2CE=2$\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 四边形DFCG是矩形，证明成立；
(2) $BC=8$，$AC=2\sqrt{10}$
【知识点】
三角形中位线定理；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，结合了三角形中位线、特殊四边形的判定性质以及勾股定理的应用，解题的核心是熟练掌握各类几何性质定理，先推导平行关系和线段等量关系，再逐步求解目标线段长度，是几何部分的常见考法。
【难度系数】
0.7

13.新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障.某校兴趣小组成员收集了我国2018—2024年发明专利申请授权数，整理数据如下表(单位:万个，精确到0.1):
| 年份$x$ | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 | 2024 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 发明专利申请授权数$y/$万个 | 43.2 | 45.3 | 53.0 | 69.6 | 79.8 | 92.1 | 104.5 |
(1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率(精确到1%).
(2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点(如图所示).从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近.他们选择了两个点$A(2019,45.3)$，$B(2024,104.5)$作一条直线来近似地表示$y$的值随年份$x$不断增长的变化趋势.设直线$AB$上点的坐标满足函数解析式$y=kx+b$，试求出$k$的值，并写出$k$的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数.

13.解:(1)$(69.6-53.0)÷53.0×100\%\approx31\%$，
$\therefore 2020$ 到 2021 年我国发明专利申请授权数的增长率约为 $31\%$.
(2)由题意,可得$\begin{cases}2\ 019k+b=45.3,\\2\ 024k+b=104.5.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=11.84,\\b=-23\ 859.66.\end{cases}$
$\therefore y=11.84x-23\ 859.66$.
其中 $k$ 的实际意义为 2018—2024 年我国发明专利申请授权数年均增长约 11.84 万个.
当 $x=2\ 025$ 时,$y=11.84×2\ 025-23\ 859.66=116.34$，
$\therefore$ 预测我国 2025 年发明专利申请授权数约为 116.34 万个.

【分析】
(1) 求2020到2021年的增长率，首先明确增长率计算公式：$\mathrm{增长率}=\frac{\mathrm{现期数值}-\mathrm{基期数值}}{\mathrm{基期数值}}×100\%$，其中2020年授权数是基期数值，2021年授权数是现期数值，找到对应数据代入计算即可。
(2) 已知直线解析式为一次函数$y=kx+b$，且过$A$、$B$两点，可使用待定系数法，将两点坐标分别代入解析式得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$k$、$b$的值；$k$是一次函数的斜率，实际意义为每年发明专利申请授权数的平均增长量；预测2025年授权数只需将$x=2025$代入求得的解析式计算$y$值即可。
【解析】
(1) 由表格得2020年发明专利申请授权数为53.0万个，2021年为69.6万个，代入增长率公式：
$\frac{69.6-53.0}{53.0}×100\%\approx31\%$
(2) 将$A(2019,45.3)$、$B(2024,104.5)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}2019k+b=45.3\\2024k+b=104.5\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$b$，得$5k=59.2$，解得$k=11.84$。
将$k=11.84$代入$2019k+b=45.3$，解得$b=-23859.66$，即函数解析式为$y=11.84x-23859.66$。
$k$的实际意义：2018—2024年我国发明专利申请授权数年均增长约11.84万个。
将$x=2025$代入解析式：
$y=11.84×2025-23859.66=116.34$
【答案】
(1) 2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为31%；
(2) $k=11.84$，实际意义为2018—2024年我国发明专利申请授权数年均增长约11.84万个，预测我国2025年发明专利申请授权数约为116.34万个。
【知识点】
增长率计算、待定系数法求一次函数解析式、一次函数实际应用
【点评】
本题结合我国科技发展的真实数据命题，将数学知识与实际生活紧密结合，既考查了基础的增长率计算能力，又考查了一次函数相关知识的应用，要求学生熟练掌握待定系数法求解析式的方法，能结合实际理解函数参数的含义，并会用函数解析式做预测，能很好地锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7