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7. 小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是20 m，方差是$s_{1}^{2}$. 若第10次投掷标枪的落点恰好在20 m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是$s_{2}^{2}$，则$s_{1}^{2}$
＞
（选填“＞”“＜”或“=”）$s_{2}^{2}$.答案
7.＞
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的定义：方差是各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，用来衡量一组数据的波动大小。已知前9次成绩的平均数是20m，第10次成绩为20m，恰好等于平均数，因此新增数据不会增加差的平方和的总和，仅会让数据总个数从9增加到10，通过比较两个方差的计算式即可得出大小关系。
【解析】
设前9次成绩与平均数20m的差的平方和为$M$，根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2$：
前9次的方差$s_1^2=\frac{M}{9}$；
第10次成绩为20m，与平均数的差为$20-20=0$，因此10次成绩的差的平方和仍为$M$，总数据个数变为10，可得10次的方差$s_2^2=\frac{M}{10}$。
因为分子相同的正分数，分母越大分数值越小，所以$\frac{M}{9}＞\frac{M}{10}$，即$s_1^2＞s_2^2$。
【答案】
＞
【知识点】
方差的计算、方差的意义
【点评】
本题核心考查对方差本质的理解，当加入的新数据等于原数据的平均数时，新数据集的波动程度会降低，方差随之减小，掌握方差反映数据波动大小的性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆方差的定义：方差是各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，用来衡量一组数据的波动大小。已知前9次成绩的平均数是20m，第10次成绩为20m，恰好等于平均数，因此新增数据不会增加差的平方和的总和，仅会让数据总个数从9增加到10，通过比较两个方差的计算式即可得出大小关系。
【解析】
设前9次成绩与平均数20m的差的平方和为$M$，根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2$：
前9次的方差$s_1^2=\frac{M}{9}$；
第10次成绩为20m，与平均数的差为$20-20=0$，因此10次成绩的差的平方和仍为$M$，总数据个数变为10，可得10次的方差$s_2^2=\frac{M}{10}$。
因为分子相同的正分数，分母越大分数值越小，所以$\frac{M}{9}＞\frac{M}{10}$，即$s_1^2＞s_2^2$。
【答案】
＞
【知识点】
方差的计算、方差的意义
【点评】
本题核心考查对方差本质的理解，当加入的新数据等于原数据的平均数时，新数据集的波动程度会降低，方差随之减小，掌握方差反映数据波动大小的性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
8.按照如图所示的运算程序计算函数$y$的值，若输入$x$的值是5，则输出$y$的值是3；若输出$y$的值是$-3$，则输入$x$的值是________.
答案
8.-7
解析
【分析】
首先根据已知的输入输出结果求出参数b的值，确定分段函数的具体解析式。再针对输出y=-3的情况，按照分段函数的两个取值范围分别代入对应解析式求解，最后验证求出的x是否符合对应范围，舍去不符合的结果就能得到正确答案。
【解析】
1. 求参数b的值
已知输入x=5时输出y=3，由于5≥0，对应解析式为$y=x-2b$，代入得：
$3=5-2b$
解得$2b=5-3=2$，即$b=1$。
由此确定分段函数解析式：
当$x≥0$时，$y=x-2$；
当$x＜0$时，$y=x+4$。
2. 已知$y=-3$求输入x的值，分两种情况讨论：
① 若$x≥0$，代入$y=x-2=-3$，解得$x=-1$。
由于$-1＜0$，不满足$x≥0$的条件，舍去该结果。
② 若$x＜0$，代入$y=x+4=-3$，解得$x=-7$。
由于$-7＜0$，满足$x＜0$的条件，符合要求。
【答案】
-7
【知识点】
分段函数求值，解一元一次方程，分类讨论
【点评】
本题结合流程图考查分段函数的应用，解题关键是先求出未知参数确定函数解析式，再分类讨论代入求解，注意解完后要验证结果是否符合对应分段的取值范围，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
首先根据已知的输入输出结果求出参数b的值，确定分段函数的具体解析式。再针对输出y=-3的情况，按照分段函数的两个取值范围分别代入对应解析式求解，最后验证求出的x是否符合对应范围，舍去不符合的结果就能得到正确答案。
【解析】
1. 求参数b的值
已知输入x=5时输出y=3，由于5≥0，对应解析式为$y=x-2b$，代入得：
$3=5-2b$
解得$2b=5-3=2$，即$b=1$。
由此确定分段函数解析式：
当$x≥0$时，$y=x-2$；
当$x＜0$时，$y=x+4$。
2. 已知$y=-3$求输入x的值，分两种情况讨论：
① 若$x≥0$，代入$y=x-2=-3$，解得$x=-1$。
由于$-1＜0$，不满足$x≥0$的条件，舍去该结果。
② 若$x＜0$，代入$y=x+4=-3$，解得$x=-7$。
由于$-7＜0$，满足$x＜0$的条件，符合要求。
【答案】
-7
【知识点】
分段函数求值，解一元一次方程，分类讨论
【点评】
本题结合流程图考查分段函数的应用，解题关键是先求出未知参数确定函数解析式，再分类讨论代入求解，注意解完后要验证结果是否符合对应分段的取值范围，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
9.我国古代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”.它由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图所示，直角三角形的两条直角边长分别为$a,b$，斜边长为$c$，若$b-a=4,c=20$，则每个直角三角形的面积为________.
答案
9.96
解析
【分析】
要求每个直角三角形的面积，已知直角三角形两条直角边为a、b，面积为$\frac{1}{2}ab$，因此只需算出$ab$的值即可。首先根据勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$，结合题目给出的$c=20$可先求出$a^2+b^2$的值；再将$b-a=4$两边平方，利用完全平方公式展开，把$a^2+b^2$的值整体代入就能求出$ab$的值，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
解：根据勾股定理，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2 + b^2 = c^2$
已知$c=20$，代入得：$a^2 + b^2 = 20^2 = 400$
又已知$b - a = 4$，将等式两边同时平方，根据完全平方公式得：
$(b - a)^2 = 4^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = 16$
将$a^2 + b^2 = 400$代入上式：
$400 - 2ab = 16$
移项计算得：$2ab = 400 - 16 = 384$，即$ab = 192$
每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 192 = 96$
【答案】
96
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，直角三角形面积计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查对勾股定理和完全平方公式的综合运用能力，解题时不需要单独求解a、b的具体数值，通过整体代入的方法计算$ab$的值即可，体现了代数公式变形应用的便捷性。
【难度系数】
0.7
要求每个直角三角形的面积，已知直角三角形两条直角边为a、b，面积为$\frac{1}{2}ab$，因此只需算出$ab$的值即可。首先根据勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$，结合题目给出的$c=20$可先求出$a^2+b^2$的值；再将$b-a=4$两边平方，利用完全平方公式展开，把$a^2+b^2$的值整体代入就能求出$ab$的值，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
解：根据勾股定理，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2 + b^2 = c^2$
已知$c=20$，代入得：$a^2 + b^2 = 20^2 = 400$
又已知$b - a = 4$，将等式两边同时平方，根据完全平方公式得：
$(b - a)^2 = 4^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = 16$
将$a^2 + b^2 = 400$代入上式：
$400 - 2ab = 16$
移项计算得：$2ab = 400 - 16 = 384$，即$ab = 192$
每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 192 = 96$
【答案】
96
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，直角三角形面积计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查对勾股定理和完全平方公式的综合运用能力，解题时不需要单独求解a、b的具体数值，通过整体代入的方法计算$ab$的值即可，体现了代数公式变形应用的便捷性。
【难度系数】
0.7
10.如图所示,在菱形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,交BD于点F,BE=CE.若AB=
$4\sqrt{3}$,则$AF=$
$4\sqrt{3}$,则$AF=$
4
.答案
10.4
解析
【分析】
解题时先从已知条件和图形性质入手：①首先回忆菱形的基本性质：四条边相等，对角线平分一组内角；②由AE⊥BC且BE=CE，可知AE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AB=AC，结合菱形AB=BC，可推出△ABC是等边三角形，得到∠ABC=60°；③在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE的长度；④根据菱形对角线平分内角，可得∠EBF=30°，在Rt△BEF中利用勾股定理和直角三角形30°角的性质求出EF的长度；⑤最后用AE的长度减去EF的长度即可得到AF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=$4\sqrt{3}$，BD平分∠ABC。
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AE是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形，∠ABC=60°。
∴$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{48-12}=6$。
∵BD平分∠ABC，
∴$∠ EBF=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，
在Rt△BEF中，设EF=x，则BF=2x（直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半），
由勾股定理得：$BE^2+EF^2=BF^2$，
即$(2\sqrt{3})^2+x^2=(2x)^2$，
解得x=2（长度为正，舍去负根），即EF=2，
∴AF=AE-EF=6-2=4。
【答案】
4
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题为菱形性质的综合应用题，需要结合垂直平分线、等边三角形、直角三角形的相关性质求解，注重考查几何基础性质的综合运用能力，解题的关键是推出△ABC为等边三角形。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件和图形性质入手：①首先回忆菱形的基本性质：四条边相等，对角线平分一组内角；②由AE⊥BC且BE=CE，可知AE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AB=AC，结合菱形AB=BC，可推出△ABC是等边三角形，得到∠ABC=60°；③在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE的长度；④根据菱形对角线平分内角，可得∠EBF=30°，在Rt△BEF中利用勾股定理和直角三角形30°角的性质求出EF的长度；⑤最后用AE的长度减去EF的长度即可得到AF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=$4\sqrt{3}$，BD平分∠ABC。
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AE是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形，∠ABC=60°。
∴$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{48-12}=6$。
∵BD平分∠ABC，
∴$∠ EBF=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，
在Rt△BEF中，设EF=x，则BF=2x（直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半），
由勾股定理得：$BE^2+EF^2=BF^2$，
即$(2\sqrt{3})^2+x^2=(2x)^2$，
解得x=2（长度为正，舍去负根），即EF=2，
∴AF=AE-EF=6-2=4。
【答案】
4
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题为菱形性质的综合应用题，需要结合垂直平分线、等边三角形、直角三角形的相关性质求解，注重考查几何基础性质的综合运用能力，解题的关键是推出△ABC为等边三角形。
【难度系数】
0.6
11.某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩(单位:分)如下：
甲组 91 96 70 89 60 70 100 80 92 98
乙组 92 93 70 88 82 75 96 80 92 95
(1)求甲组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值；
(2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图；
(3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法.
甲组 91 96 70 89 60 70 100 80 92 98
乙组 92 93 70 88 82 75 96 80 92 95
(1)求甲组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值；
(2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图；
(3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法.
答案
11.解:(1)把甲组的成绩按从小到大的顺序排列为 60,70,70,80,89,91,92,96,98,100，最小值是 60，下四分位数是 70，中位数是$\dfrac{89+91}{2}=90$，上四分位数是 96，最大值是 100。
(2)甲组的箱线图如图所示：
(3)根据箱线图和四分位数，可知甲组数据跨度大更分散，乙组数据更集中。
解析
【分析】
(1) 求解甲组各统计量时，首先要将甲组数据从小到大排序，最小值、最大值可直接从排序后的数据首尾得到；中位数是排序后中间位置的数，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数；下四分位数即第25百分位数，上四分位数即第75百分位数，先计算对应位置，再取对应数据即可。
(2) 绘制箱线图需要先确定五个关键值：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，在成绩轴对应位置标出这五个值，再依次画出箱体和上下须线即可。
(3) 分析两组成绩时，可对比两组箱线图的整体跨度、箱体宽窄判断数据离散程度：跨度越大、箱体越宽说明数据越分散，反之则数据越集中。
【解析】
(1) 将甲组的10个成绩按从小到大的顺序排列为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100。
最小值为排序后第一个数，即60；
下四分位数位置：$10×25\%=2.5$，向上取整为第3个数，即70；
中位数位置：$10×50\%=5$，取第5个和第6个数的平均数，即$\dfrac{89+91}{2}=90$；
上四分位数位置：$10×75\%=7.5$，向上取整为第8个数，即96；
最大值为排序后最后一个数，即100。
(2) 按照箱线图绘制规则，将甲组的五个关键值对应标注在成绩轴上，绘制得到甲组箱线图：
(3) 对比两组箱线图可知，甲组成绩的最小值更低、最大值更高，整体数据跨度更大，说明甲组成绩更分散；乙组成绩整体跨度更小，数据相对更集中。
【答案】
(1) 最小值为60，下四分位数为70，中位数为90，上四分位数为96，最大值为100；
(2)
(3) 甲组数据跨度大更分散，乙组数据更集中。
【知识点】
中位数计算，四分位数，箱线图
【点评】
本题结合实际竞赛场景，考查统计特征数的计算与箱线图的应用，要求掌握百分位数的计算方法，能通过箱线图直观分析数据的分布特点，属于统计部分的基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
(1) 求解甲组各统计量时，首先要将甲组数据从小到大排序，最小值、最大值可直接从排序后的数据首尾得到；中位数是排序后中间位置的数，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数；下四分位数即第25百分位数，上四分位数即第75百分位数，先计算对应位置，再取对应数据即可。
(2) 绘制箱线图需要先确定五个关键值：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，在成绩轴对应位置标出这五个值，再依次画出箱体和上下须线即可。
(3) 分析两组成绩时，可对比两组箱线图的整体跨度、箱体宽窄判断数据离散程度：跨度越大、箱体越宽说明数据越分散，反之则数据越集中。
【解析】
(1) 将甲组的10个成绩按从小到大的顺序排列为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100。
最小值为排序后第一个数，即60；
下四分位数位置：$10×25\%=2.5$，向上取整为第3个数，即70；
中位数位置：$10×50\%=5$，取第5个和第6个数的平均数，即$\dfrac{89+91}{2}=90$；
上四分位数位置：$10×75\%=7.5$，向上取整为第8个数，即96；
最大值为排序后最后一个数，即100。
(2) 按照箱线图绘制规则，将甲组的五个关键值对应标注在成绩轴上，绘制得到甲组箱线图：
(3) 对比两组箱线图可知，甲组成绩的最小值更低、最大值更高，整体数据跨度更大，说明甲组成绩更分散；乙组成绩整体跨度更小，数据相对更集中。
【答案】
(1) 最小值为60，下四分位数为70，中位数为90，上四分位数为96，最大值为100；
(2)
(3) 甲组数据跨度大更分散，乙组数据更集中。
【知识点】
中位数计算，四分位数，箱线图
【点评】
本题结合实际竞赛场景，考查统计特征数的计算与箱线图的应用，要求掌握百分位数的计算方法，能通过箱线图直观分析数据的分布特点，属于统计部分的基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
