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一、选择题
1. [2023·洛阳三模]如下左图,已知四边形ABCD是平行四边形,有下列三个结论:
①当$AB=BC$时,它是菱形;②当$AC⊥BD$时,它是矩形;③当$∠ABC=90°$时,它是正方形. 其中结论正确的有 （
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
1. [2023·洛阳三模]如下左图,已知四边形ABCD是平行四边形,有下列三个结论:
①当$AB=BC$时,它是菱形;②当$AC⊥BD$时,它是矩形;③当$∠ABC=90°$时,它是正方形. 其中结论正确的有 （
B
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
1.B
解析
【分析】
我们需要以平行四边形为基础，结合特殊平行四边形的判定规则，逐个验证三个结论是否正确：首先回忆菱形、矩形、正方形的判定条件，再对应每个结论给出的条件判断最终图形类型，即可确定结论的正误。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，逐一分析三个结论：
1. 分析结论①：根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形。当$AB=BC$时，平行四边形ABCD有一组邻边相等，因此它是菱形，故①正确。
2. 分析结论②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而矩形的判定条件为“有一个内角是直角的平行四边形是矩形”或“对角线相等的平行四边形是矩形”。因此当$AC⊥BD$时，该图形是菱形，不是矩形，故②错误。
3. 分析结论③：有一个内角为$90°$的平行四边形是矩形，正方形需要同时满足“是矩形”和“是菱形”两个条件，仅$∠ ABC=90°$只能判定它是矩形，无法判定是正方形，故③错误。
综上，正确的结论只有1个。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题的关键是准确区分平行四边形基础上菱形、矩形、正方形的判定条件，避免混淆不同特殊图形的判定规则。
【难度系数】
0.8
我们需要以平行四边形为基础，结合特殊平行四边形的判定规则，逐个验证三个结论是否正确：首先回忆菱形、矩形、正方形的判定条件，再对应每个结论给出的条件判断最终图形类型，即可确定结论的正误。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，逐一分析三个结论：
1. 分析结论①：根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形。当$AB=BC$时，平行四边形ABCD有一组邻边相等，因此它是菱形，故①正确。
2. 分析结论②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而矩形的判定条件为“有一个内角是直角的平行四边形是矩形”或“对角线相等的平行四边形是矩形”。因此当$AC⊥BD$时，该图形是菱形，不是矩形，故②错误。
3. 分析结论③：有一个内角为$90°$的平行四边形是矩形，正方形需要同时满足“是矩形”和“是菱形”两个条件，仅$∠ ABC=90°$只能判定它是矩形，无法判定是正方形，故③错误。
综上，正确的结论只有1个。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题的关键是准确区分平行四边形基础上菱形、矩形、正方形的判定条件，避免混淆不同特殊图形的判定规则。
【难度系数】
0.8
2. 如上中图,在菱形$ABCD$中,$AB=5$,$∠ BCD=120°$,则对角线$AC$等于 (
A.$20$
B.$15$
C.$10$
D.$5$
D
)A.$20$
B.$15$
C.$10$
D.$5$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先回忆菱形的核心性质：①菱形四条边长度相等；②菱形的对角线平分一组对角。首先由菱形边的性质可得AB=BC，再结合对角线AC平分∠BCD，可推出△ABC中∠ACB的度数，最后根据等边三角形的判定即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，AC平分∠BCD
∴∠ACB = $\frac{1}{2}$∠BCD = $\frac{1}{2}$×120°=60°
又
∵AB=BC
∴△ABC是有一个内角为60°的等腰三角形，即△ABC是等边三角形
∴AC=AB=5
故选：D
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是灵活运用菱形的性质推导出三角形的形状，进而求出线段长度，考查对基础几何性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆菱形的核心性质：①菱形四条边长度相等；②菱形的对角线平分一组对角。首先由菱形边的性质可得AB=BC，再结合对角线AC平分∠BCD，可推出△ABC中∠ACB的度数，最后根据等边三角形的判定即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，AC平分∠BCD
∴∠ACB = $\frac{1}{2}$∠BCD = $\frac{1}{2}$×120°=60°
又
∵AB=BC
∴△ABC是有一个内角为60°的等腰三角形，即△ABC是等边三角形
∴AC=AB=5
故选：D
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是灵活运用菱形的性质推导出三角形的形状，进而求出线段长度，考查对基础几何性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
3. 如上右图,菱形$ABCD$的对角线$AC,BD$相交于点$O$,过点$D$作$DH ⊥ AB$于点$H$,连接$OH$,若$OA=3$,$OH=2$,则菱形$ABCD$的面积为 (
A.$12$
B.$18$
C.$6$
D.$24$
A
)A.$12$
B.$18$
C.$6$
D.$24$
答案
3.A
解析
【分析】
要计算菱形ABCD的面积，可利用菱形面积等于对角线乘积一半的公式求解，因此需要先求出两条对角线AC、BD的长度。①根据菱形对角线互相垂直平分的性质，已知OA=3，可直接求出AC的长度；②已知DH⊥AB，可得△BHD为直角三角形，结合O是BD中点的性质，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可由OH的长度求出BD的长度，最后代入面积公式即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD（菱形对角线互相垂直平分）
∴ AC=2OA=2×3=6，O为BD的中点
∵ DH⊥AB
∴ ∠BHD=90°，△BHD是直角三角形
∵ 在Rt△BHD中，O是斜边BD的中点
∴ OH=½BD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴ BD=2OH=2×2=4
∴ 菱形ABCD的面积=½×AC×BD=½×6×4=12
故选A。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质；直角三角形斜边中线的性质；菱形面积计算
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是熟练掌握菱形和直角三角形的相关性质，通过中间量OH求出对角线BD的长度，进而代入公式计算面积，是菱形章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
要计算菱形ABCD的面积，可利用菱形面积等于对角线乘积一半的公式求解，因此需要先求出两条对角线AC、BD的长度。①根据菱形对角线互相垂直平分的性质，已知OA=3，可直接求出AC的长度；②已知DH⊥AB，可得△BHD为直角三角形，结合O是BD中点的性质，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可由OH的长度求出BD的长度，最后代入面积公式即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD（菱形对角线互相垂直平分）
∴ AC=2OA=2×3=6，O为BD的中点
∵ DH⊥AB
∴ ∠BHD=90°，△BHD是直角三角形
∵ 在Rt△BHD中，O是斜边BD的中点
∴ OH=½BD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴ BD=2OH=2×2=4
∴ 菱形ABCD的面积=½×AC×BD=½×6×4=12
故选A。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质；直角三角形斜边中线的性质；菱形面积计算
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是熟练掌握菱形和直角三角形的相关性质，通过中间量OH求出对角线BD的长度，进而代入公式计算面积，是菱形章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
4. 在四边形ABCD中,对角线AC,BD互相平分,若添加一个条件使四边形ABCD是菱形,则这个条件可以是
(
A.$∠ ABC=90°$
B.$AC ⊥ BD$
C.$AB=CD$
D.$∠ A=∠ C$
(
B
)A.$∠ ABC=90°$
B.$AC ⊥ BD$
C.$AB=CD$
D.$∠ A=∠ C$
答案
4.B
解析
【分析】
首先根据已知条件“对角线AC、BD互相平分”，可先判定四边形ABCD是平行四边形，因为对角线互相平分的四边形是平行四边形。接下来回忆平行四边形判定为菱形的相关定理：一是一组邻边相等的平行四边形是菱形，二是对角线互相垂直的平行四边形是菱形，最后逐一分析各选项是否符合上述判定要求即可。
【解析】
第一步：确定四边形的基础形状
∵对角线AC、BD互相平分
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
第二步：逐一分析选项
选项A：若∠ABC=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，不符合要求；
选项B：若AC⊥BD，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定平行四边形ABCD是菱形，符合要求；
选项C：平行四边形对边本来就相等，AB=CD是平行四边形的固有性质，添加该条件无法判定为菱形，不符合要求；
选项D：平行四边形对角本来就相等，∠A=∠C是平行四边形的固有性质，添加该条件无法判定为菱形，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定和性质的应用，解题关键是先根据已知条件确定四边形的基础类型，再结合目标图形的判定条件筛选选项，需要注意区分菱形和矩形的判定规则，不要混淆两类特殊平行四边形的判定条件。
【难度系数】
0.8
首先根据已知条件“对角线AC、BD互相平分”，可先判定四边形ABCD是平行四边形，因为对角线互相平分的四边形是平行四边形。接下来回忆平行四边形判定为菱形的相关定理：一是一组邻边相等的平行四边形是菱形，二是对角线互相垂直的平行四边形是菱形，最后逐一分析各选项是否符合上述判定要求即可。
【解析】
第一步：确定四边形的基础形状
∵对角线AC、BD互相平分
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
第二步：逐一分析选项
选项A：若∠ABC=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，不符合要求；
选项B：若AC⊥BD，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定平行四边形ABCD是菱形，符合要求；
选项C：平行四边形对边本来就相等，AB=CD是平行四边形的固有性质，添加该条件无法判定为菱形，不符合要求；
选项D：平行四边形对角本来就相等，∠A=∠C是平行四边形的固有性质，添加该条件无法判定为菱形，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定和性质的应用，解题关键是先根据已知条件确定四边形的基础类型，再结合目标图形的判定条件筛选选项，需要注意区分菱形和矩形的判定规则，不要混淆两类特殊平行四边形的判定条件。
【难度系数】
0.8
5. [2025·河南]如图,在菱形ABCD中,∠B=45°,AB=6,点E在边BC上,连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B落在BC延长线上的点F处,则CF的长为 (
A.2
B.$6 - 3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$6\sqrt{2} - 6$
D
)A.2
B.$6 - 3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$6\sqrt{2} - 6$
答案
5.D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由菱形的性质可直接得到BC的长度，要求CF的长度，可转化为求BF的长度，再用BF减去BC即可。接下来结合折叠的性质分析：折叠后点B与点F重合，因此折痕AE垂直平分线段BF，可得BE=EF，即BF=2BE，此时问题转化为求BE的长度。观察△ABE，AE⊥BF可得∠AEB=90°，结合已知∠B=45°，可知△ABE是等腰直角三角形，已知斜边AB的长度，用勾股定理即可求出BE的长度，逐步推导就能得到CF的长。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AB=6，
∴BC=AB=6。
由折叠的性质可得：AB=AF=6，AE垂直平分BF，
∴BE=EF，∠AEB=90°。
在Rt△ABE中，∠B=45°，
∴∠BAE=∠B=45°，即AE=BE。
根据勾股定理：$AE^2 + BE^2 = AB^2$，
代入$AE=BE$，$AB=6$得：$2BE^2 = 6^2 = 36$，
解得$BE = 3\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根）。
∴$BF = 2BE = 6\sqrt{2}$，
∴$CF = BF - BC = 6\sqrt{2} - 6$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，将菱形、折叠的性质与等腰直角三角形、勾股定理的应用相结合，解题的核心是通过折叠的性质找到线段间的数量关系，将未知线段转化为可求的线段，是几何部分的常考典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先由菱形的性质可直接得到BC的长度，要求CF的长度，可转化为求BF的长度，再用BF减去BC即可。接下来结合折叠的性质分析：折叠后点B与点F重合，因此折痕AE垂直平分线段BF，可得BE=EF，即BF=2BE，此时问题转化为求BE的长度。观察△ABE，AE⊥BF可得∠AEB=90°，结合已知∠B=45°，可知△ABE是等腰直角三角形，已知斜边AB的长度，用勾股定理即可求出BE的长度，逐步推导就能得到CF的长。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AB=6，
∴BC=AB=6。
由折叠的性质可得：AB=AF=6，AE垂直平分BF，
∴BE=EF，∠AEB=90°。
在Rt△ABE中，∠B=45°，
∴∠BAE=∠B=45°，即AE=BE。
根据勾股定理：$AE^2 + BE^2 = AB^2$，
代入$AE=BE$，$AB=6$得：$2BE^2 = 6^2 = 36$，
解得$BE = 3\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根）。
∴$BF = 2BE = 6\sqrt{2}$，
∴$CF = BF - BC = 6\sqrt{2} - 6$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，将菱形、折叠的性质与等腰直角三角形、勾股定理的应用相结合，解题的核心是通过折叠的性质找到线段间的数量关系，将未知线段转化为可求的线段，是几何部分的常考典型题型。
【难度系数】
0.7
1. 矩形相邻两边的长分别是12 cm,5 cm,则矩形的对角线长是
13
cm.答案
1.13
解析
【分析】
拿到这道题首先回忆矩形的基本性质，矩形的四个内角均为直角，因此矩形的一组邻边和对角线恰好构成直角三角形，其中两条邻边是直角三角形的直角边，对角线是直角三角形的斜边。已知两条直角边的长度，要求斜边长度，直接运用勾股定理计算即可。
【解析】
解：
∵矩形的四个内角都是直角，
∴矩形的相邻两边与对角线构成直角三角形，且对角线为该直角三角形的斜边。
已知两条直角边的长度分别为12cm、5cm，根据勾股定理可得：
对角线长 = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13（cm）。
【答案】
13
【知识点】
矩形的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础题型，主要考察矩形性质与勾股定理的结合运用，掌握相关基础性质和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先回忆矩形的基本性质，矩形的四个内角均为直角，因此矩形的一组邻边和对角线恰好构成直角三角形，其中两条邻边是直角三角形的直角边，对角线是直角三角形的斜边。已知两条直角边的长度，要求斜边长度，直接运用勾股定理计算即可。
【解析】
解：
∵矩形的四个内角都是直角，
∴矩形的相邻两边与对角线构成直角三角形，且对角线为该直角三角形的斜边。
已知两条直角边的长度分别为12cm、5cm，根据勾股定理可得：
对角线长 = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13（cm）。
【答案】
13
【知识点】
矩形的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础题型，主要考察矩形性质与勾股定理的结合运用，掌握相关基础性质和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 已知菱形的周长为40 cm,有一内角为$60°$,则较短的对角线长为
10 cm
.答案
2.10 cm
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的基本性质：菱形的四条边长度相等，因此可以先根据周长求出单条边的长度。接下来分析内角为60°的情况：菱形相邻的两条边长度相等，若它们的夹角为60°，那么这两条边和连接两端点的较短对角线会构成等边三角形，等边三角形三边相等，由此就能直接得到较短对角线的长度。
【解析】
第一步：求菱形的边长
因为菱形的四条边相等，周长为40cm，所以菱形的边长 = 周长÷4 = $40÷4=10\mathrm{cm}$。
第二步：推导较短对角线的长度
菱形的两条邻边长度相等，均为10cm，它们的夹角为60°，因此这两条邻边和较短的对角线组成的三角形是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
根据等边三角形三边相等的性质，可得较短对角线的长度等于菱形的边长，即10cm。
【答案】
10 cm
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是利用菱形边的性质结合等边三角形的判定快速推导线段长度，熟练掌握特殊四边形和特殊三角形的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆菱形的基本性质：菱形的四条边长度相等，因此可以先根据周长求出单条边的长度。接下来分析内角为60°的情况：菱形相邻的两条边长度相等，若它们的夹角为60°，那么这两条边和连接两端点的较短对角线会构成等边三角形，等边三角形三边相等，由此就能直接得到较短对角线的长度。
【解析】
第一步：求菱形的边长
因为菱形的四条边相等，周长为40cm，所以菱形的边长 = 周长÷4 = $40÷4=10\mathrm{cm}$。
第二步：推导较短对角线的长度
菱形的两条邻边长度相等，均为10cm，它们的夹角为60°，因此这两条邻边和较短的对角线组成的三角形是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
根据等边三角形三边相等的性质，可得较短对角线的长度等于菱形的边长，即10cm。
【答案】
10 cm
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是利用菱形边的性质结合等边三角形的判定快速推导线段长度，熟练掌握特殊四边形和特殊三角形的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 如图所示,在$□ ABCD$中,$∠ A=110°,BE$平分$∠ ABC$交$AD$于点$E$,则$∠ BED$的度数为________.
答案
3.145°
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形的性质得到对边平行，结合平行线同旁内角互补的性质，先求出∠ABC的度数；再根据角平分线的定义求出∠EBC的度数；最后再次利用平行线同旁内角互补的性质，即可求出∠BED的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠A + ∠ABC = 180°，
∵∠A=110°，
∴∠ABC=180°-110°=70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×70°=35°，
又
∵AD//BC，
∴∠EBC + ∠BED = 180°，
∴∠BED=180°-35°=145°。
【答案】
145°
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，解题的关键是熟练掌握平行四边形对边平行的性质，结合角平分线、平行线的性质逐步推导角度，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先利用平行四边形的性质得到对边平行，结合平行线同旁内角互补的性质，先求出∠ABC的度数；再根据角平分线的定义求出∠EBC的度数；最后再次利用平行线同旁内角互补的性质，即可求出∠BED的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠A + ∠ABC = 180°，
∵∠A=110°，
∴∠ABC=180°-110°=70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×70°=35°，
又
∵AD//BC，
∴∠EBC + ∠BED = 180°，
∴∠BED=180°-35°=145°。
【答案】
145°
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，解题的关键是熟练掌握平行四边形对边平行的性质，结合角平分线、平行线的性质逐步推导角度，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
