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2. 如下左图,四边形ABCD是菱形,∠DAB=50°,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,则∠DHO=
25
度.答案
2. 25
解析
【分析】
解题时先从已知的菱形性质入手，首先菱形的四条边相等、对角线互相垂直且平分、对角线平分内角；其次DH⊥AB可得△DHB是直角三角形，结合O是BD中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到OH=OB，进而得到等腰三角形的等角关系；最后通过已知的∠DAB度数，逐步推导相关角度，最终求出∠DHO的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，OB=OD，AC平分∠DAB。
已知∠DAB=50°，在等腰△ABD中，AB=AD，
∴∠ABD = $\frac{180° - ∠DAB}{2} = \frac{180° - 50°}{2} = 65°$。
∵DH⊥AB，
∴∠DHB=90°，△DHB为直角三角形。
又
∵O为BD中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得OH=OB=$\frac{1}{2}$BD，
∴∠OHB=∠OBH=∠ABD=65°，
∴∠DHO=∠DHB - ∠OHB = 90° - 65° = 25°。
【答案】
25
【知识点】
菱形的性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是将菱形的性质和直角三角形、等腰三角形的性质结合起来推导角度，解题的突破口是发现OH是直角△DHB的斜边中线，进而得到等角关系。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的菱形性质入手，首先菱形的四条边相等、对角线互相垂直且平分、对角线平分内角；其次DH⊥AB可得△DHB是直角三角形，结合O是BD中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到OH=OB，进而得到等腰三角形的等角关系；最后通过已知的∠DAB度数，逐步推导相关角度，最终求出∠DHO的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，OB=OD，AC平分∠DAB。
已知∠DAB=50°，在等腰△ABD中，AB=AD，
∴∠ABD = $\frac{180° - ∠DAB}{2} = \frac{180° - 50°}{2} = 65°$。
∵DH⊥AB，
∴∠DHB=90°，△DHB为直角三角形。
又
∵O为BD中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得OH=OB=$\frac{1}{2}$BD，
∴∠OHB=∠OBH=∠ABD=65°，
∴∠DHO=∠DHB - ∠OHB = 90° - 65° = 25°。
【答案】
25
【知识点】
菱形的性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是将菱形的性质和直角三角形、等腰三角形的性质结合起来推导角度，解题的突破口是发现OH是直角△DHB的斜边中线，进而得到等角关系。
【难度系数】
0.7
3. 将两张矩形纸片如上右图所示摆放,使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上,若$∠ 1=26°$,则$∠ 2$的度数为$\underline{\hspace{5cm}}$度.
答案
3. 64
解析
【分析】
解题时先回忆矩形的核心性质：矩形对边互相平行，四个内角均为90°。要求∠2的度数，需先找到∠1、∠2和矩形直角的数量关系。根据矩形对边平行的性质，两条平行边被公共截线所截时同旁内角互补，而同旁内角恰好由∠1、矩形的直角、∠2三部分组成，由此可推出∠1+∠2=90°，代入已知∠1的度数即可计算出∠2。
【解析】
解：
∵矩形的对边互相平行，且内角为直角，
∴两条平行的边被公共边所截，同旁内角互补，可得：
$∠ 1 + 90° + ∠ 2 = 180°$
整理得$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$
已知$∠ 1=26°$，代入得：
$∠ 2 = 90° - 26° = 64°$
【答案】
64
【知识点】
矩形的性质、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题属于基础几何题，重点考察矩形和平行线性质的结合应用，解题的关键是准确找到各角之间的和差关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆矩形的核心性质：矩形对边互相平行，四个内角均为90°。要求∠2的度数，需先找到∠1、∠2和矩形直角的数量关系。根据矩形对边平行的性质，两条平行边被公共截线所截时同旁内角互补，而同旁内角恰好由∠1、矩形的直角、∠2三部分组成，由此可推出∠1+∠2=90°，代入已知∠1的度数即可计算出∠2。
【解析】
解：
∵矩形的对边互相平行，且内角为直角，
∴两条平行的边被公共边所截，同旁内角互补，可得：
$∠ 1 + 90° + ∠ 2 = 180°$
整理得$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$
已知$∠ 1=26°$，代入得：
$∠ 2 = 90° - 26° = 64°$
【答案】
64
【知识点】
矩形的性质、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题属于基础几何题，重点考察矩形和平行线性质的结合应用，解题的关键是准确找到各角之间的和差关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 如图，$∠ MON = ∠ PMO$，$OP = x - 3$，$OM = 4$，$ON = 3$，$MN = 5$，$MP = 11 - x$. 求证：四边形$OPMN$是平行四边形.
1. 如图，$∠ MON = ∠ PMO$，$OP = x - 3$，$OM = 4$，$ON = 3$，$MN = 5$，$MP = 11 - x$. 求证：四边形$OPMN$是平行四边形.
答案
1. 证明:在$△ MON$中,$OM=4,ON=3,MN=5$,
$\therefore OM^2+ON^2=4^2+3^2=25,MN^2=5^2=25.$
$\therefore OM^2+ON^2=MN^2.$
$\therefore △ MON$是直角三角形.
$\therefore ∠ MON= ∠ PMO=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ POM$中,$OP=x-3,OM=4,MP=11-x$,
由勾股定理可得 $OM^2+MP^2=OP^2$,
即 $4^2+(11-x)^2=(x-3)^2.$
解得 $x=8.$
$\therefore OP=x-3=8-3=5,$
$MP=11-x=11-8=3.$
$\therefore OP=MN,MP=ON.$
$\therefore$ 四边形$OPMN$是平行四边形.
$\therefore OM^2+ON^2=4^2+3^2=25,MN^2=5^2=25.$
$\therefore OM^2+ON^2=MN^2.$
$\therefore △ MON$是直角三角形.
$\therefore ∠ MON= ∠ PMO=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ POM$中,$OP=x-3,OM=4,MP=11-x$,
由勾股定理可得 $OM^2+MP^2=OP^2$,
即 $4^2+(11-x)^2=(x-3)^2.$
解得 $x=8.$
$\therefore OP=x-3=8-3=5,$
$MP=11-x=11-8=3.$
$\therefore OP=MN,MP=ON.$
$\therefore$ 四边形$OPMN$是平行四边形.
解析
【分析】
要证明四边形OPMN是平行四边形，可通过“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理推导。首先观察△MON的三边长符合勾股数特征，可先用勾股定理的逆定理判断△MON为直角三角形，得到∠MON=90°，结合已知∠MON=∠PMO，可得∠PMO=90°，即△POM也是直角三角形，再利用勾股定理列方程求解x的值，进而得到OP、MP的长度，验证两组对边是否相等即可完成证明。
【解析】
证明：在$△ MON$中，$OM=4$，$ON=3$，$MN=5$，
$\therefore OM^2+ON^2=4^2+3^2=25$，$MN^2=5^2=25$，
$\therefore OM^2+ON^2=MN^2$，
$\therefore △ MON$是直角三角形，$∠ MON=90°$。
$\because ∠ MON= ∠ PMO$，
$\therefore ∠ PMO=90°$，即$△ POM$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ POM$中，$OP=x-3$，$OM=4$，$MP=11-x$，
由勾股定理可得 $OM^2+MP^2=OP^2$，
即 $4^2+(11-x)^2=(x-3)^2$，
解得 $x=8$。
$\therefore OP=x-3=8-3=5$，$MP=11-x=11-8=3$，
$\therefore OP=MN$，$MP=ON$，
$\therefore$ 四边形$OPMN$是平行四边形。
【答案】
四边形$OPMN$是平行四边形，证明过程如上。
【知识点】
勾股定理及逆定理、平行四边形的判定、一元一次方程的解法
【点评】
本题是几何与代数结合的典型基础题，将勾股定理相关知识和平行四边形判定相结合，需要学生从已知边长特征找到解题突破口，既考查了基础定理的应用能力，也考查了数形结合的思维。
【难度系数】
0.65
要证明四边形OPMN是平行四边形，可通过“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理推导。首先观察△MON的三边长符合勾股数特征，可先用勾股定理的逆定理判断△MON为直角三角形，得到∠MON=90°，结合已知∠MON=∠PMO，可得∠PMO=90°，即△POM也是直角三角形，再利用勾股定理列方程求解x的值，进而得到OP、MP的长度，验证两组对边是否相等即可完成证明。
【解析】
证明：在$△ MON$中，$OM=4$，$ON=3$，$MN=5$，
$\therefore OM^2+ON^2=4^2+3^2=25$，$MN^2=5^2=25$，
$\therefore OM^2+ON^2=MN^2$，
$\therefore △ MON$是直角三角形，$∠ MON=90°$。
$\because ∠ MON= ∠ PMO$，
$\therefore ∠ PMO=90°$，即$△ POM$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ POM$中，$OP=x-3$，$OM=4$，$MP=11-x$，
由勾股定理可得 $OM^2+MP^2=OP^2$，
即 $4^2+(11-x)^2=(x-3)^2$，
解得 $x=8$。
$\therefore OP=x-3=8-3=5$，$MP=11-x=11-8=3$，
$\therefore OP=MN$，$MP=ON$，
$\therefore$ 四边形$OPMN$是平行四边形。
【答案】
四边形$OPMN$是平行四边形，证明过程如上。
【知识点】
勾股定理及逆定理、平行四边形的判定、一元一次方程的解法
【点评】
本题是几何与代数结合的典型基础题，将勾股定理相关知识和平行四边形判定相结合，需要学生从已知边长特征找到解题突破口，既考查了基础定理的应用能力，也考查了数形结合的思维。
【难度系数】
0.65
2. 如图甲，$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，点$D$是线段$AC$的中点，连接$BD$并延长至点$E$，使$BE=2BD$。连接$AE$，$CE$。
（1）求证：四边形$ABCE$是平行四边形。
（2）如图乙，将三角板直角顶点$M$放在$AE$边上，两条直角边分别过点$B$和点$C$，若$∠ MEC=∠ EMC$，$BM$交$AC$于点$N$，求证：$△ ABN≌△ MCN$。
（1）求证：四边形$ABCE$是平行四边形。
（2）如图乙，将三角板直角顶点$M$放在$AE$边上，两条直角边分别过点$B$和点$C$，若$∠ MEC=∠ EMC$，$BM$交$AC$于点$N$，求证：$△ ABN≌△ MCN$。
答案
2. 证明:(1)$\because$ 点$D$是线段$AC$的中点,$BE=2BD$,
$\therefore AD=CD,DE=BD.$
$\therefore$ 四边形$ABCE$是平行四边形.
(2)$\because$ 四边形$ABCE$是平行四边形,$\therefore CE=AB.$
$\because ∠ MEC= ∠ EMC,\therefore CE=CM.\therefore MC=AB.$
易知$∠ CMN=90°$,且$∠ BAN=90°.$
在$△ ABN$和$△ MCN$中,
$\begin{cases}∠ BAN= ∠ CMN,\\∠ ANB= ∠ MNC,\\AB=MC.\end{cases}$
$\therefore △ ABN ≌ △ MCN(\mathrm{AAS}).$
$\therefore AD=CD,DE=BD.$
$\therefore$ 四边形$ABCE$是平行四边形.
(2)$\because$ 四边形$ABCE$是平行四边形,$\therefore CE=AB.$
$\because ∠ MEC= ∠ EMC,\therefore CE=CM.\therefore MC=AB.$
易知$∠ CMN=90°$,且$∠ BAN=90°.$
在$△ ABN$和$△ MCN$中,
$\begin{cases}∠ BAN= ∠ CMN,\\∠ ANB= ∠ MNC,\\AB=MC.\end{cases}$
$\therefore △ ABN ≌ △ MCN(\mathrm{AAS}).$
解析
【分析】
（1）要证明四边形ABCE是平行四边形，可选用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定方法。首先由D是AC中点可得$AD=CD$，再结合$BE=2BD$可推出$DE=BD$，即四边形的两条对角线AC、BE互相平分，符合平行四边形的判定条件，即可完成证明。
（2）要证明$△ABN≌△MCN$，需先推导全等所需的边角条件。首先由平行四边形的性质可得$CE=AB$，再结合已知$∠MEC=∠EMC$，根据等角对等边得$CE=CM$，等量代换得到$AB=MC$；接下来找角的相等关系：已知$∠BAC=90°$即$∠BAN=90°$，三角板直角顶点在M，因此$∠CMN=90°$，可得$∠BAN=∠CMN$；再结合对顶角$∠ANB=∠MNC$，满足AAS全等判定的条件，即可证明两个三角形全等。
【解析】
（1）证明：
∵ 点D是线段AC的中点，$BE=2BD$，
∴ $AD=CD$，$DE=BD$，
∴ 四边形ABCE的对角线互相平分，
∴ 四边形ABCE是平行四边形。
（2）证明：
∵ 四边形ABCE是平行四边形，
∴ $CE=AB$，
∵ $∠MEC=∠EMC$，
∴ $CE=CM$，
∴ $MC=AB$，
由题意得$∠CMN=90°$，且$∠BAN=∠BAC=90°$，
在$△ABN$和$△MCN$中：
$\begin{cases}∠BAN=∠CMN \\∠ANB=∠MNC \\AB=MC\end{cases}$
∴ $△ABN≌△MCN(\mathrm{AAS})$
【答案】
（1）四边形ABCE是平行四边形；
（2）$△ABN≌△MCN$。
【知识点】
平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，围绕平行四边形、等腰三角形、全等三角形的核心知识点展开考查，解题时可以从求证目标反向推导所需条件，再结合已知条件正向推导，衔接各知识点即可完成证明，有助于巩固几何基础判定和性质的应用。
【难度系数】
0.7
（1）要证明四边形ABCE是平行四边形，可选用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定方法。首先由D是AC中点可得$AD=CD$，再结合$BE=2BD$可推出$DE=BD$，即四边形的两条对角线AC、BE互相平分，符合平行四边形的判定条件，即可完成证明。
（2）要证明$△ABN≌△MCN$，需先推导全等所需的边角条件。首先由平行四边形的性质可得$CE=AB$，再结合已知$∠MEC=∠EMC$，根据等角对等边得$CE=CM$，等量代换得到$AB=MC$；接下来找角的相等关系：已知$∠BAC=90°$即$∠BAN=90°$，三角板直角顶点在M，因此$∠CMN=90°$，可得$∠BAN=∠CMN$；再结合对顶角$∠ANB=∠MNC$，满足AAS全等判定的条件，即可证明两个三角形全等。
【解析】
（1）证明：
∵ 点D是线段AC的中点，$BE=2BD$，
∴ $AD=CD$，$DE=BD$，
∴ 四边形ABCE的对角线互相平分，
∴ 四边形ABCE是平行四边形。
（2）证明：
∵ 四边形ABCE是平行四边形，
∴ $CE=AB$，
∵ $∠MEC=∠EMC$，
∴ $CE=CM$，
∴ $MC=AB$，
由题意得$∠CMN=90°$，且$∠BAN=∠BAC=90°$，
在$△ABN$和$△MCN$中：
$\begin{cases}∠BAN=∠CMN \\∠ANB=∠MNC \\AB=MC\end{cases}$
∴ $△ABN≌△MCN(\mathrm{AAS})$
【答案】
（1）四边形ABCE是平行四边形；
（2）$△ABN≌△MCN$。
【知识点】
平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，围绕平行四边形、等腰三角形、全等三角形的核心知识点展开考查，解题时可以从求证目标反向推导所需条件，再结合已知条件正向推导，衔接各知识点即可完成证明，有助于巩固几何基础判定和性质的应用。
【难度系数】
0.7
