三、解答题
1. 在平行四边形 $ABCD$ 中,点 $O$ 是边 $AD$ 的中点,连接 $CO$ 并延长交 $BA$ 的延长线于点 $E$,连接 $ED,AC$.
(1)如图甲,求证:四边形 $AEDC$ 是平行四边形.
(2)如图乙,若四边形 $AEDC$ 是矩形,请探究$∠ COD$与$∠ B$的数量关系,写出你的探究结论,并加以证明.

1. (1)证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB//CD.
∴ ∠BEC=∠DCE.
∵ 点O是边AD的中点,
∴ AO=DO.
又
∵ ∠AOE=∠DOC,
∴ △AEO≌△DCO(AAS).
∴ AE=CD.
∴ 四边形AEDC是平行四边形 .
(2)解:∠COD=180°−2∠B.
证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ ∠B=∠ODC.
∵ 四边形AEDC是矩形,
∴ AO=EO=CO=DO.
∴ ∠ODC=∠OCD.
∵ ∠ODC+∠OCD+∠COD=180°,
∴ ∠COD=180°−2∠ODC=180°−2∠B.

【分析】
(1) 要证明四边形AEDC是平行四边形，首先利用平行四边形ABCD的性质得到AE//CD，再通过证明△AEO与△DCO全等得到AE=CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可完成证明。
(2) 探究角的数量关系时，先利用平行四边形对角相等的性质得到∠B=∠ODC，再结合矩形对角线相等且互相平分的性质得到OC=OD，推出△OCD为等腰三角形，即∠ODC=∠OCD，最后结合三角形内角和定理即可推导出∠COD与∠B的关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠BEC=∠DCE。
∵ 点O是边AD的中点，
∴ AO=DO。
又
∵ ∠AOE=∠DOC，
∴ △AEO≌△DCO（AAS），
∴ AE=CD。
又
∵ AE//CD，
∴ 四边形AEDC是平行四边形。
(2) 结论：∠COD=180°−2∠B，证明如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠B=∠ODC。
∵ 四边形AEDC是矩形，
∴ AO=EO=CO=DO，
∴ ∠ODC=∠OCD。
在△COD中，根据三角形内角和为180°可得：
∠ODC+∠OCD+∠COD=180°，
∴ ∠COD=180°−2∠ODC=180°−2∠B。
【答案】
(1) 四边形AEDC是平行四边形，证明成立；
(2) ∠COD=180°−2∠B
【知识点】
平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，矩形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，围绕特殊四边形的性质、判定展开，既考查了全等三角形的证明方法，也要求能灵活运用等腰三角形性质、三角形内角和定理推导角的数量关系，解题时需结合已知条件合理选择对应定理推导。
【难度系数】
0.7

2. [2024·河南]如图,在$Rt△ ABC$中,CD是斜边AB上的中线,$BE// DC$交AC的延长线于点E.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作$∠ ECM$,使$∠ ECM=∠ A$,且射线CM交BE于点F(保留作图痕迹,不写作法).
(2)证明(1)中得到的四边形CDBF是菱形.

2. (1)解:作图如图所示.
(2)证明:由(1),得∠ECF=∠A,
∴ CF//AB.
又
∵ BE//DC,
∴ 四边形CDBF是平行四边形.
∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,
∴ CD=BD.
∴ ▱CDBF是菱形.

【分析】
(1) 第一问为尺规作图题，要求作∠ECM=∠A，直接使用“作一个角等于已知角”的基本尺规作图方法，以点C为顶点、CE为角的一边，作出与∠A相等的角即可，注意保留作图痕迹。
(2) 第二问证明四边形是菱形，遵循常规判定思路：先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等。首先根据所作的等角，利用同位角相等推导CF//AB，结合已知的BE//DC，可证得两组对边分别平行，四边形为平行四边形；再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到CD=BD，即可证得平行四边形为菱形。
【解析】
(1) 依据作一个角等于已知角的步骤操作：先以点A为圆心适当长度为半径画弧交∠A两边，再以点C为圆心相同长度为半径画弧交CE，接着量取∠A上弧截得的线段长，在CE上方的弧上截取等长弧，过C和交点作射线CM交BE于F，∠ECM即为所求，保留作图痕迹。
(2) 证明：
由(1)作图可得∠ECF=∠A，根据同位角相等，两直线平行，得CF//AB。
已知BE//DC，即BF//CD，因此四边形CDBF两组对边分别平行，是平行四边形。
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边中线性质，可得CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，即平行四边形CDBF有一组邻边相等，故其为菱形。
【答案】
(1) 作图如图所示.
(2) 证明:由(1),得∠ECF=∠A,
∴ CF//AB.
又
∵ BE//DC,
∴ 四边形CDBF是平行四边形.
∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,
∴ CD=BD.
∴ ▱CDBF是菱形.
【知识点】
尺规作等角；直角三角形斜边中线性质；菱形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，既考查了基本尺规作图的操作能力，也考查了平行四边形、菱形的判定以及直角三角形的性质，解题时牢记相关定理，按照“先证平行四边形，再证邻边相等”的思路推导即可。
【难度系数】
0.7

四、趣味题
在不能重复的情况下,你能一笔把下面的图形画出来吗?

【分析】
要判断图形能否一笔画出，首先回忆一笔画的判定规则：首先图形必须是连通的，其次统计图中“奇点”的数量（奇点是指从该点出发的线段条数为奇数的点），当奇点个数为0或2时，图形可以一笔画出。若奇点个数为2，只需从其中一个奇点出发，另一个奇点结束，即可完成不重复的一笔绘制。首先观察本题图形是连通的，数奇点可得只有左下角、右下角2个奇点，因此可以一笔画，按路径从一个奇点出发依次走不重复的线段即可。
【解析】
1. 先判断图形性质：本题图形为连通图，统计各点连接的线段数，仅左下角、右下角两个点连接的线段数为3（奇数），属于奇点，奇点总数为2，符合一笔画的条件。
2. 绘制路径：从左下角奇点出发，按照图中标注的箭头顺序依次绘制，全程不重复经过同一条线段，即可完成一笔画。
【答案】

【知识点】
一笔画规则，奇点判定
【点评】
本题属于趣味几何问题，核心考查一笔画的判定和实际绘制，掌握奇点的计数方法和一笔画的判定条件就能快速解决这类问题，绘制路径时注意不要重复经过同一条线段即可。
【难度系数】
0.7