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13. 如图，书架长 84 cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本语文书的厚度是每本数学书厚度的 1.5 倍，且厚度和为 48 cm 的数学书比厚度和为 36 cm 的语文书多 30 本.
(1)求书架上每本数学书和每本语文书的厚度；
(2)若书架上已摆放 20 本语文书，则最多还可以摆放多少本数学书？
第 13 题图
(1)求书架上每本数学书和每本语文书的厚度；
(2)若书架上已摆放 20 本语文书，则最多还可以摆放多少本数学书？
第 13 题图
答案
13.解:(1)设每本数学书的厚度为$x$ cm,则每本语文书的厚度为$1.5x$ cm,
根据题意,得$\frac{48}{x}-30=\frac{36}{1.5x}$,
解得$x=0.8$,
经检验,$x=0.8$是原分式方程的根,且符合题意,
$\therefore 1.5x=1.5×0.8=1.2$.
答:每本数学书的厚度为0.8 cm,每本语文书的厚度为1.2 cm.
(2)设还可以摆放$y$本数学书,
根据题意,得$0.8y+20×1.2≤84$,
解得$y≤75$.
答:最多还可以摆放75本数学书.
根据题意,得$\frac{48}{x}-30=\frac{36}{1.5x}$,
解得$x=0.8$,
经检验,$x=0.8$是原分式方程的根,且符合题意,
$\therefore 1.5x=1.5×0.8=1.2$.
答:每本数学书的厚度为0.8 cm,每本语文书的厚度为1.2 cm.
(2)设还可以摆放$y$本数学书,
根据题意,得$0.8y+20×1.2≤84$,
解得$y≤75$.
答:最多还可以摆放75本数学书.
解析
【分析】
（1）第一问属于分式方程应用问题，首先根据语文书和数学书厚度的倍数关系设未知数，再找到核心等量关系：厚度和为48cm的数学书数量减去30本等于厚度和为36cm的语文书数量，结合“书本数量=总厚度÷单本厚度”列方程求解，注意分式方程解完需要检验是否符合方程要求和实际意义。
（2）第二问属于一元一次不等式应用问题，核心不等关系为已摆放的语文书总厚度加后续摆放的数学书总厚度不超过书架总长度，据此列不等式求解，最终取符合实际的最大整数解即可。
【解析】
(1) 设每本数学书的厚度为$x$ cm，则每本语文书的厚度为$1.5x$ cm，
根据题意列方程：$\frac{48}{x}-30=\frac{36}{1.5x}$，
化简方程得$\frac{48}{x}-\frac{24}{x}=30$，即$\frac{24}{x}=30$，解得$x=0.8$，
经检验，$x=0.8$是原分式方程的根，且符合实际意义，
$\therefore$ 语文书厚度为$1.5x=1.5×0.8=1.2$（cm）。
(2) 设还可以摆放$y$本数学书，
根据总厚度不超过书架长度列不等式：$0.8y+20×1.2≤84$，
计算得$0.8y≤60$，解得$y≤75$，
$y$为书本数量，取正整数，因此$y$的最大值为75。
【答案】
(1) 每本数学书厚度为0.8 cm，每本语文书厚度为1.2 cm；
(2) 最多还可以摆放75本数学书。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活实际考查方程与不等式的应用，解题的核心是准确提炼题干中的等量、不等关系，求解时注意分式方程要检验根的合理性，不等式的解要符合实际场景的取值要求。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于分式方程应用问题，首先根据语文书和数学书厚度的倍数关系设未知数，再找到核心等量关系：厚度和为48cm的数学书数量减去30本等于厚度和为36cm的语文书数量，结合“书本数量=总厚度÷单本厚度”列方程求解，注意分式方程解完需要检验是否符合方程要求和实际意义。
（2）第二问属于一元一次不等式应用问题，核心不等关系为已摆放的语文书总厚度加后续摆放的数学书总厚度不超过书架总长度，据此列不等式求解，最终取符合实际的最大整数解即可。
【解析】
(1) 设每本数学书的厚度为$x$ cm，则每本语文书的厚度为$1.5x$ cm，
根据题意列方程：$\frac{48}{x}-30=\frac{36}{1.5x}$，
化简方程得$\frac{48}{x}-\frac{24}{x}=30$，即$\frac{24}{x}=30$，解得$x=0.8$，
经检验，$x=0.8$是原分式方程的根，且符合实际意义，
$\therefore$ 语文书厚度为$1.5x=1.5×0.8=1.2$（cm）。
(2) 设还可以摆放$y$本数学书，
根据总厚度不超过书架长度列不等式：$0.8y+20×1.2≤84$，
计算得$0.8y≤60$，解得$y≤75$，
$y$为书本数量，取正整数，因此$y$的最大值为75。
【答案】
(1) 每本数学书厚度为0.8 cm，每本语文书厚度为1.2 cm；
(2) 最多还可以摆放75本数学书。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活实际考查方程与不等式的应用，解题的核心是准确提炼题干中的等量、不等关系，求解时注意分式方程要检验根的合理性，不等式的解要符合实际场景的取值要求。
【难度系数】
0.7
14. 已知$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 3$，则$\frac{2ab}{a - b + 7ab}$的值等于（
A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{5}$
B
）A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{5}$
答案
14.B
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题核心是建立已知条件和待求分式之间的联系。首先观察已知条件$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=3$，通分后可得到$a-b$与$ab$的数量关系；而待求分式$\frac{2ab}{a - b + 7ab}$的分子、分母中均含有$a-b$和$ab$，因此可以将$a-b$用含$ab$的式子替换，整体代入待求分式后约分即可得到结果，不需要单独求出$a$、$b$的具体数值。
【解析】
方法一：先对已知条件变形
已知$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=3$，对左边通分（公分母为$ab$，且$ab≠0$）得：
$\frac{b - a}{ab}=3$
等式两边同乘$ab$得：$b - a=3ab$，即$a - b=-3ab$。
将$a - b=-3ab$代入待求分式：
$\frac{2ab}{a - b + 7ab}=\frac{2ab}{-3ab + 7ab}=\frac{2ab}{4ab}$
因为$ab≠0$，分子分母同时约去$ab$得：$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
方法二：对待求分式变形
由题意得$ab≠0$，将待求分式的分子、分母同时除以$ab$：
$\frac{2ab÷ ab}{(a - b + 7ab)÷ ab}=\frac{2}{\frac{a}{ab}-\frac{b}{ab}+\frac{7ab}{ab}}=\frac{2}{\frac{1}{b}-\frac{1}{a}+7}$
整理分母得：$\frac{2}{-(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})+7}$
将$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=3$代入得：$\frac{2}{-3 + 7}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质，分式化简求值，整体代入思想
【点评】
本题是分式运算的典型基础题，解题的关键是灵活运用分式的性质对已知或待求式进行变形，利用整体代入的思想简化计算，避免了求解$a$、$b$具体值的繁琐过程。
【难度系数】
0.75
本题是分式化简求值类题目，解题核心是建立已知条件和待求分式之间的联系。首先观察已知条件$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=3$，通分后可得到$a-b$与$ab$的数量关系；而待求分式$\frac{2ab}{a - b + 7ab}$的分子、分母中均含有$a-b$和$ab$，因此可以将$a-b$用含$ab$的式子替换，整体代入待求分式后约分即可得到结果，不需要单独求出$a$、$b$的具体数值。
【解析】
方法一：先对已知条件变形
已知$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=3$，对左边通分（公分母为$ab$，且$ab≠0$）得：
$\frac{b - a}{ab}=3$
等式两边同乘$ab$得：$b - a=3ab$，即$a - b=-3ab$。
将$a - b=-3ab$代入待求分式：
$\frac{2ab}{a - b + 7ab}=\frac{2ab}{-3ab + 7ab}=\frac{2ab}{4ab}$
因为$ab≠0$，分子分母同时约去$ab$得：$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
方法二：对待求分式变形
由题意得$ab≠0$，将待求分式的分子、分母同时除以$ab$：
$\frac{2ab÷ ab}{(a - b + 7ab)÷ ab}=\frac{2}{\frac{a}{ab}-\frac{b}{ab}+\frac{7ab}{ab}}=\frac{2}{\frac{1}{b}-\frac{1}{a}+7}$
整理分母得：$\frac{2}{-(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})+7}$
将$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=3$代入得：$\frac{2}{-3 + 7}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质，分式化简求值，整体代入思想
【点评】
本题是分式运算的典型基础题，解题的关键是灵活运用分式的性质对已知或待求式进行变形，利用整体代入的思想简化计算，避免了求解$a$、$b$具体值的繁琐过程。
【难度系数】
0.75
15.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中有一道题大意为把一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，则需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，则需要的时间比规定的时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，根据题意列方程为$\frac{900}{x+1}=\frac{900}{2(x-3)}$，其中$x$表示
（
A.快马的速度
B.慢马的速度
C.规定的时间
D.快马需要的时间
（
C
）A.快马的速度
B.慢马的速度
C.规定的时间
D.快马需要的时间
答案
15.C
解析
【分析】
要确定方程中x表示的量，我们可以结合行程问题的基本数量关系“速度=路程÷时间”，先分析方程左右两边式子的含义，再对应题干给出的条件反推x的意义，也可以将选项逐一代入验证是否符合题意。首先观察方程：左边$\frac{900}{x+1}$和右边$\frac{900}{2(x-3)}$都是“路程÷某时间”的形式，代表速度，且题目明确快马速度是慢马的2倍，据此对应快慢马的时间条件即可推导x的含义。
【解析】
根据行程问题公式：$\mathrm{速度}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{时间}}$，我们来拆解方程：
1. 方程右边$\frac{900}{2(x-3)}=\frac{1}{2}×\frac{900}{x-3}$，$\frac{900}{x-3}$是快马的速度，因此右边整体表示慢马的速度（因为快马速度是慢马的2倍，所以慢马速度=快马速度÷2）。
2. 方程左边$\frac{900}{x+1}$也代表慢马的速度，因此$x+1$就是慢马走完全程需要的时间。
3. 题干提到“慢马送需要的时间比规定时间多1天”，即$\mathrm{慢马时间}=\mathrm{规定时间}+1$，对比$x+1$可知，$x$就是规定时间。
再验证：快马时间比规定时间少3天，即快马时间为$x-3$，和方程右边的$(x-3)$对应，完全符合题意，因此$x$表示规定时间。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的实际应用；行程问题数量关系
【点评】
本题依托我国古代数学著作的背景，考查对实际问题中分式方程未知数意义的理解，解题核心是熟练掌握行程问题的基本数量关系，结合题干给出的时间、速度的关系反推未知数含义，也可通过代入选项逐一排除的方法解题，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
要确定方程中x表示的量，我们可以结合行程问题的基本数量关系“速度=路程÷时间”，先分析方程左右两边式子的含义，再对应题干给出的条件反推x的意义，也可以将选项逐一代入验证是否符合题意。首先观察方程：左边$\frac{900}{x+1}$和右边$\frac{900}{2(x-3)}$都是“路程÷某时间”的形式，代表速度，且题目明确快马速度是慢马的2倍，据此对应快慢马的时间条件即可推导x的含义。
【解析】
根据行程问题公式：$\mathrm{速度}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{时间}}$，我们来拆解方程：
1. 方程右边$\frac{900}{2(x-3)}=\frac{1}{2}×\frac{900}{x-3}$，$\frac{900}{x-3}$是快马的速度，因此右边整体表示慢马的速度（因为快马速度是慢马的2倍，所以慢马速度=快马速度÷2）。
2. 方程左边$\frac{900}{x+1}$也代表慢马的速度，因此$x+1$就是慢马走完全程需要的时间。
3. 题干提到“慢马送需要的时间比规定时间多1天”，即$\mathrm{慢马时间}=\mathrm{规定时间}+1$，对比$x+1$可知，$x$就是规定时间。
再验证：快马时间比规定时间少3天，即快马时间为$x-3$，和方程右边的$(x-3)$对应，完全符合题意，因此$x$表示规定时间。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的实际应用；行程问题数量关系
【点评】
本题依托我国古代数学著作的背景，考查对实际问题中分式方程未知数意义的理解，解题核心是熟练掌握行程问题的基本数量关系，结合题干给出的时间、速度的关系反推未知数含义，也可通过代入选项逐一排除的方法解题，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
16.题目:已知关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{mx - 3}{x - 2} + 1 = \frac{1}{2 - x} $ 无解,求 $ m $ 的值.对于这道题目的答案,
甲答:$ m = -1 $,乙答:$ m = 1 $.下列结论正确的是 （
A.只有甲的答案对
B.只有乙的答案对
C.甲、乙的答案合在一起才完整
D.甲、乙的答案合在一起也不完整
甲答:$ m = -1 $,乙答:$ m = 1 $.下列结论正确的是 （
C
）A.只有甲的答案对
B.只有乙的答案对
C.甲、乙的答案合在一起才完整
D.甲、乙的答案合在一起也不完整
答案
16.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确分式方程无解包含两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即让原分式分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，再分两种情况讨论求出m的取值，最后判断甲乙的答案是否完整。
【解析】
首先对原分式方程去分母，两边同时乘以最简公分母$x-2$，注意右边的$\frac{1}{2-x}$乘以$x-2$后等于$-1$，可得：
$mx - 3 + (x - 2) = -1$
整理合并同类项：
$(m + 1)x = 4$
分两种情况讨论方程无解的情况：
1. 当整式方程本身无解时：
若一次项系数为0，即$m + 1 = 0$，此时方程变为$0× x = 4$，等式不成立，整式方程无解，对应的分式方程也无解，解得$m = -1$；
2. 当整式方程的解是原分式方程的增根时：
原分式方程的分母为$x-2$，因此增根为$x = 2$，将$x=2$代入整式方程$(m + 1)x = 4$，得：
$2(m + 1) = 4$
解得$m = 1$。
综上，$m$的值为$1$或$-1$，因此甲、乙的答案合在一起才完整。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程无解的判定
2. 分式方程的增根
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题的易错点是容易只考虑增根导致的无解，遗漏整式方程本身无解的情况，解题时需要分类讨论，全面分析所有可能的情形。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确分式方程无解包含两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即让原分式分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，再分两种情况讨论求出m的取值，最后判断甲乙的答案是否完整。
【解析】
首先对原分式方程去分母，两边同时乘以最简公分母$x-2$，注意右边的$\frac{1}{2-x}$乘以$x-2$后等于$-1$，可得：
$mx - 3 + (x - 2) = -1$
整理合并同类项：
$(m + 1)x = 4$
分两种情况讨论方程无解的情况：
1. 当整式方程本身无解时：
若一次项系数为0，即$m + 1 = 0$，此时方程变为$0× x = 4$，等式不成立，整式方程无解，对应的分式方程也无解，解得$m = -1$；
2. 当整式方程的解是原分式方程的增根时：
原分式方程的分母为$x-2$，因此增根为$x = 2$，将$x=2$代入整式方程$(m + 1)x = 4$，得：
$2(m + 1) = 4$
解得$m = 1$。
综上，$m$的值为$1$或$-1$，因此甲、乙的答案合在一起才完整。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程无解的判定
2. 分式方程的增根
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题的易错点是容易只考虑增根导致的无解，遗漏整式方程本身无解的情况，解题时需要分类讨论，全面分析所有可能的情形。
【难度系数】
0.6
17.若无论 $ x $ 取任何实数，分式 $\frac{1}{x^2 - 2x + m}$ 总有意义，则 $ m $ 的取值范围是________.
答案
17.$m＞1$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确分式总有意义的核心条件：分母不为0。题目要求无论x取任意实数，分式都有意义，即分母$x^2-2x+m$的值恒不等于0。我们可以通过配方法将分母的二次三项式变形，结合平方的非负性推导m的取值范围。
【解析】
解：若分式$\frac{1}{x^2 - 2x + m}$总有意义，则分母$x^2 - 2x + m ≠ 0$对任意实数x恒成立。
对分母进行配方：
$x^2 - 2x + m = x^2 - 2x + 1 + m - 1 = (x-1)^2 + (m-1)$
∵ 任意实数的平方是非负数，即$(x-1)^2 ≥ 0$
要使$(x-1)^2 + (m-1)$恒不为0，需保证该式恒大于0，因此只需$m-1 ＞ 0$
解不等式得：$m ＞ 1$
【答案】
$m＞1$
【知识点】
分式有意义的条件；配方法的应用；平方的非负性
【点评】
本题是分式章节的典型题型，解题关键是将“分式总有意义”转化为“分母恒不为0”，再通过配方法结合非负数的性质求解参数，难度不大，需要熟练掌握完全平方公式的变形技巧。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确分式总有意义的核心条件：分母不为0。题目要求无论x取任意实数，分式都有意义，即分母$x^2-2x+m$的值恒不等于0。我们可以通过配方法将分母的二次三项式变形，结合平方的非负性推导m的取值范围。
【解析】
解：若分式$\frac{1}{x^2 - 2x + m}$总有意义，则分母$x^2 - 2x + m ≠ 0$对任意实数x恒成立。
对分母进行配方：
$x^2 - 2x + m = x^2 - 2x + 1 + m - 1 = (x-1)^2 + (m-1)$
∵ 任意实数的平方是非负数，即$(x-1)^2 ≥ 0$
要使$(x-1)^2 + (m-1)$恒不为0，需保证该式恒大于0，因此只需$m-1 ＞ 0$
解不等式得：$m ＞ 1$
【答案】
$m＞1$
【知识点】
分式有意义的条件；配方法的应用；平方的非负性
【点评】
本题是分式章节的典型题型，解题关键是将“分式总有意义”转化为“分母恒不为0”，再通过配方法结合非负数的性质求解参数，难度不大，需要熟练掌握完全平方公式的变形技巧。
【难度系数】
0.7
