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18. 某书店为筹备“银杏阅读节”，从出版商处购进了甲、乙两种畅销书. 已知乙种书的单价比甲种书贵 40 元，用 4 800 元购进甲种书的数量恰好是用 3 000 元购进乙种书数量的 2 倍.
(1)求甲、乙两种书的单价.
(2)阅读节期间，出版商对图书价格进行调整，甲种书在原售价基础上上涨 20%，乙种书按原售价的七五折出售. 若该书店计划再次购进这两种书共 80 本，且总花费不超过 15 000 元，同时要求乙种书的数量不低于甲种书数量的$\frac{1}{3}$，则该书店此次最多购进甲种书多少本？
(1)求甲、乙两种书的单价.
(2)阅读节期间，出版商对图书价格进行调整，甲种书在原售价基础上上涨 20%，乙种书按原售价的七五折出售. 若该书店计划再次购进这两种书共 80 本，且总花费不超过 15 000 元，同时要求乙种书的数量不低于甲种书数量的$\frac{1}{3}$，则该书店此次最多购进甲种书多少本？
答案
18.解:(1)设甲种书的单价为$x$元,则乙种书的单价为$(x+40)$元,
根据题意,得$\frac{4\ 800}{x}=2×\frac{3\ 000}{x+40}$,
解得$x=160$,
经检验,$x=160$是所列方程的根,且符合题意,
$\therefore x+40=200$.
答:甲种书的单价为160元,乙种书的单价为200元.
(2)图书价格调整后,甲种书的单价为$160×(1+20\%)=192$(元),乙种书的单价为$200×0.75=150$(元).
设该书店此次购进甲种书$m$本,
根据题意,得$\begin{cases}192m+150(80-m)≤15\ 000,\\80-m≥\frac{1}{3}m.\end{cases}$
解得$m≤60$.
答:书店此次最多购进甲种书60本.
根据题意,得$\frac{4\ 800}{x}=2×\frac{3\ 000}{x+40}$,
解得$x=160$,
经检验,$x=160$是所列方程的根,且符合题意,
$\therefore x+40=200$.
答:甲种书的单价为160元,乙种书的单价为200元.
(2)图书价格调整后,甲种书的单价为$160×(1+20\%)=192$(元),乙种书的单价为$200×0.75=150$(元).
设该书店此次购进甲种书$m$本,
根据题意,得$\begin{cases}192m+150(80-m)≤15\ 000,\\80-m≥\frac{1}{3}m.\end{cases}$
解得$m≤60$.
答:书店此次最多购进甲种书60本.
解析
【分析】
(1) 第一问属于分式方程应用问题，解题时先设甲种书单价为未知数，根据乙和甲的单价关系表示出乙的单价，再结合“4800元购进甲的数量是3000元购进乙数量的2倍”这一等量关系，利用“数量=总价÷单价”列方程求解，注意分式方程需要检验根是否符合题意。
(2) 第二问属于不等式组的最值应用问题，先根据调价规则算出调整后甲乙两种书的单价，再设购进甲种书的数量为未知数，结合“总花费不超过15000元”“乙种书数量不低于甲种书的$\frac{1}{3}$”两个不等关系列不等式组，求解后取符合要求的最大整数即可。
【解析】
(1) 设甲种书的单价为$x$元，则乙种书的单价为$(x+40)$元，
根据题意列方程：$\frac{4\ 800}{x}=2×\frac{3\ 000}{x+40}$
去分母得：$4800(x+40)=6000x$
解得：$x=160$
经检验，$x=160$是所列方程的根，且符合实际题意，
$\therefore$ 乙种书单价为$x+40=160+40=200$元。
(2) 调价后甲种书单价：$160×(1+20\%)=192$（元）
调价后乙种书单价：$200×0.75=150$（元）
设该书店此次购进甲种书$m$本，则购进乙种书$(80-m)$本，
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}192m+150(80-m)≤15\ 000\\80-m≥\frac{1}{3}m\end{cases}$
解第一个不等式得：$m≤\frac{500}{7}\approx71.4$
解第二个不等式得：$m≤60$
取公共解集得$m≤60$，即$m$的最大正整数值为60。
【答案】
(1) 甲种书单价为160元，乙种书单价为200元；
(2) 该书店此次最多购进甲种书60本。
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 一元一次不等式组的实际应用
3. 最值问题求解
【点评】
本题是典型的实际应用综合题，既考查了分式方程列解及验根的基础要求，也考查了提取题干等量、不等关系，结合实际需求求最值的能力，解题时要注意未知数的取值要符合现实场景的要求。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问属于分式方程应用问题，解题时先设甲种书单价为未知数，根据乙和甲的单价关系表示出乙的单价，再结合“4800元购进甲的数量是3000元购进乙数量的2倍”这一等量关系，利用“数量=总价÷单价”列方程求解，注意分式方程需要检验根是否符合题意。
(2) 第二问属于不等式组的最值应用问题，先根据调价规则算出调整后甲乙两种书的单价，再设购进甲种书的数量为未知数，结合“总花费不超过15000元”“乙种书数量不低于甲种书的$\frac{1}{3}$”两个不等关系列不等式组，求解后取符合要求的最大整数即可。
【解析】
(1) 设甲种书的单价为$x$元，则乙种书的单价为$(x+40)$元，
根据题意列方程：$\frac{4\ 800}{x}=2×\frac{3\ 000}{x+40}$
去分母得：$4800(x+40)=6000x$
解得：$x=160$
经检验，$x=160$是所列方程的根，且符合实际题意，
$\therefore$ 乙种书单价为$x+40=160+40=200$元。
(2) 调价后甲种书单价：$160×(1+20\%)=192$（元）
调价后乙种书单价：$200×0.75=150$（元）
设该书店此次购进甲种书$m$本，则购进乙种书$(80-m)$本，
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}192m+150(80-m)≤15\ 000\\80-m≥\frac{1}{3}m\end{cases}$
解第一个不等式得：$m≤\frac{500}{7}\approx71.4$
解第二个不等式得：$m≤60$
取公共解集得$m≤60$，即$m$的最大正整数值为60。
【答案】
(1) 甲种书单价为160元，乙种书单价为200元；
(2) 该书店此次最多购进甲种书60本。
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 一元一次不等式组的实际应用
3. 最值问题求解
【点评】
本题是典型的实际应用综合题，既考查了分式方程列解及验根的基础要求，也考查了提取题干等量、不等关系，结合实际需求求最值的能力，解题时要注意未知数的取值要符合现实场景的要求。
【难度系数】
0.7
19.综合与实践:探究奶茶甜度.
【阅读材料】奶茶甜度的计算方法:奶茶甜度$=\frac{\mathrm{溶解在奶茶中糖的质量}}{\mathrm{奶茶的质量}}×100\%$.(注:所加入的糖均能完全溶解)
【问题背景】某奶茶店一杯$a\ \mathrm{g}$的奶茶含糖量为$b\ \mathrm{g}$,称甜度为全糖;含糖量为$0.7b\ \mathrm{g}$,称甜度为七分糖;含糖量为$0.5b\ \mathrm{g}$,称甜度为五分糖;含糖量为$0.3b\ \mathrm{g}$,称甜度为三分糖.请结合奶茶甜度的计算方法,解决以下问题:
(1)当$a=500,b=50$时,往一杯$a\ \mathrm{g}$的七分糖奶茶中再加入多少克糖才能跟全糖奶茶的甜度一样?
(2)一天,小明到这家奶茶店点了一杯$a\ \mathrm{g}$的五分糖奶茶,由于店员疏忽,做成了一杯$a\ \mathrm{g}$的三分糖奶茶,店员往这杯奶茶中又加入了$0.2b\ \mathrm{g}$糖,则店员最后做出来的奶茶与五分糖奶茶哪个甜度更大?
【阅读材料】奶茶甜度的计算方法:奶茶甜度$=\frac{\mathrm{溶解在奶茶中糖的质量}}{\mathrm{奶茶的质量}}×100\%$.(注:所加入的糖均能完全溶解)
【问题背景】某奶茶店一杯$a\ \mathrm{g}$的奶茶含糖量为$b\ \mathrm{g}$,称甜度为全糖;含糖量为$0.7b\ \mathrm{g}$,称甜度为七分糖;含糖量为$0.5b\ \mathrm{g}$,称甜度为五分糖;含糖量为$0.3b\ \mathrm{g}$,称甜度为三分糖.请结合奶茶甜度的计算方法,解决以下问题:
(1)当$a=500,b=50$时,往一杯$a\ \mathrm{g}$的七分糖奶茶中再加入多少克糖才能跟全糖奶茶的甜度一样?
(2)一天,小明到这家奶茶店点了一杯$a\ \mathrm{g}$的五分糖奶茶,由于店员疏忽,做成了一杯$a\ \mathrm{g}$的三分糖奶茶,店员往这杯奶茶中又加入了$0.2b\ \mathrm{g}$糖,则店员最后做出来的奶茶与五分糖奶茶哪个甜度更大?
答案
19.解:(1)当$a=500,b=50$时,七分糖奶茶的含糖量为$0.7b=0.7×50=35(\mathrm{g})$,
全糖奶茶的甜度为$\frac{b}{a}×100\%=\frac{50}{500}×100\%=10\%$.
设往七分糖奶茶中再加入$x$ g糖能跟全糖奶茶的甜度一样,此时七分糖奶茶加入糖后含糖量为$(35+x)$ g,奶茶总质量为$(500+x)$ g,其甜度为$\frac{35+x}{500+x}×100\%$,
根据甜度相等,得$\frac{35+x}{500+x}×100\%=10\%$,
解得$x=\frac{50}{3}$,
经检验,$x=\frac{50}{3}$是原分式方程的根,且符合题意.
答:再加入$\frac{50}{3}$ g糖才能跟全糖奶茶的甜度一样.
(2)五分糖奶茶的甜度为$\frac{0.5b}{a}×100\%$.
三分糖奶茶的含糖量为$0.3b$ g,加入$0.2b$ g糖后,含糖量变为$0.3b+0.2b=0.5b(\mathrm{g})$,奶茶总质量为$(a+0.2b)$ g,此时甜度为$\frac{0.5b}{a+0.2b}×100\%$.
$\because \frac{a}{0.5b}＜\frac{a+0.2b}{0.5b}$,$\therefore \frac{0.5b}{a}＞\frac{0.5b}{a+0.2b}$,
$\therefore$五分糖奶茶甜度更大.
全糖奶茶的甜度为$\frac{b}{a}×100\%=\frac{50}{500}×100\%=10\%$.
设往七分糖奶茶中再加入$x$ g糖能跟全糖奶茶的甜度一样,此时七分糖奶茶加入糖后含糖量为$(35+x)$ g,奶茶总质量为$(500+x)$ g,其甜度为$\frac{35+x}{500+x}×100\%$,
根据甜度相等,得$\frac{35+x}{500+x}×100\%=10\%$,
解得$x=\frac{50}{3}$,
经检验,$x=\frac{50}{3}$是原分式方程的根,且符合题意.
答:再加入$\frac{50}{3}$ g糖才能跟全糖奶茶的甜度一样.
(2)五分糖奶茶的甜度为$\frac{0.5b}{a}×100\%$.
三分糖奶茶的含糖量为$0.3b$ g,加入$0.2b$ g糖后,含糖量变为$0.3b+0.2b=0.5b(\mathrm{g})$,奶茶总质量为$(a+0.2b)$ g,此时甜度为$\frac{0.5b}{a+0.2b}×100\%$.
$\because \frac{a}{0.5b}＜\frac{a+0.2b}{0.5b}$,$\therefore \frac{0.5b}{a}＞\frac{0.5b}{a+0.2b}$,
$\therefore$五分糖奶茶甜度更大.
解析
【分析】
（1）求解第一问时，首先根据题目给出的甜度定义，先算出a=500、b=50时七分糖奶茶的初始含糖量、全糖奶茶的甜度；再设加入x克糖，需注意加入糖后不仅含糖量增加x克，奶茶总质量也会增加x克，再根据“调整后甜度=全糖甜度”的等量关系列分式方程，求解后要检验根是否符合实际意义。
（2）求解第二问时，先分别写出五分糖奶茶的甜度表达式，再计算店员调整后奶茶的含糖量和总质量，写出对应的甜度表达式；两个甜度的分子相同，只需比较分母大小，根据“正分数分子相同时，分母越大，分数值越小”的性质即可判断甜度大小。
【解析】
(1)当$a=500,b=50$时，七分糖奶茶的初始含糖量为$0.7b=0.7×50=35(\mathrm{g})$，
全糖奶茶的甜度为$\frac{b}{a}×100\%=\frac{50}{500}×100\%=10\%$。
设往七分糖奶茶中再加入$x$ g糖能跟全糖奶茶的甜度一样，此时奶茶的含糖量为$(35+x)$ g，奶茶总质量为$(500+x)$ g，
根据甜度相等列方程：
$\frac{35+x}{500+x}×100\%=10\%$
化简得$\frac{35+x}{500+x}=0.1$
去分母得$35+x=0.1(500+x)$
解得$x=\frac{50}{3}$
经检验，$x=\frac{50}{3}$是原分式方程的根，且符合题意。
(2)五分糖奶茶的甜度为$\frac{0.5b}{a}×100\%$。
三分糖奶茶初始含糖量为$0.3b$ g，加入$0.2b$ g糖后，含糖量变为$0.3b+0.2b=0.5b(\mathrm{g})$，奶茶总质量为$(a+0.2b)$ g，此时甜度为$\frac{0.5b}{a+0.2b}×100\%$。
$\because a ＜ a+0.2b$，且$0.5b＞0$，$\therefore \frac{0.5b}{a}＞\frac{0.5b}{a+0.2b}$，即五分糖奶茶甜度更大。
【答案】
(1)再加入$\frac{50}{3}\ \mathrm{g}$糖才能跟全糖奶茶的甜度一样；
(2)五分糖奶茶甜度更大。
【知识点】
分式方程的应用，分式大小比较，列代数式
【点评】
本题结合生活实际命题，趣味性较强，解题的关键是注意加入糖后奶茶总质量会同步增加，避免遗漏总质量的变化导致列式错误，同时要掌握分式方程的检验步骤和分式大小比较的基本方法。
【难度系数】
0.7
（1）求解第一问时，首先根据题目给出的甜度定义，先算出a=500、b=50时七分糖奶茶的初始含糖量、全糖奶茶的甜度；再设加入x克糖，需注意加入糖后不仅含糖量增加x克，奶茶总质量也会增加x克，再根据“调整后甜度=全糖甜度”的等量关系列分式方程，求解后要检验根是否符合实际意义。
（2）求解第二问时，先分别写出五分糖奶茶的甜度表达式，再计算店员调整后奶茶的含糖量和总质量，写出对应的甜度表达式；两个甜度的分子相同，只需比较分母大小，根据“正分数分子相同时，分母越大，分数值越小”的性质即可判断甜度大小。
【解析】
(1)当$a=500,b=50$时，七分糖奶茶的初始含糖量为$0.7b=0.7×50=35(\mathrm{g})$，
全糖奶茶的甜度为$\frac{b}{a}×100\%=\frac{50}{500}×100\%=10\%$。
设往七分糖奶茶中再加入$x$ g糖能跟全糖奶茶的甜度一样，此时奶茶的含糖量为$(35+x)$ g，奶茶总质量为$(500+x)$ g，
根据甜度相等列方程：
$\frac{35+x}{500+x}×100\%=10\%$
化简得$\frac{35+x}{500+x}=0.1$
去分母得$35+x=0.1(500+x)$
解得$x=\frac{50}{3}$
经检验，$x=\frac{50}{3}$是原分式方程的根，且符合题意。
(2)五分糖奶茶的甜度为$\frac{0.5b}{a}×100\%$。
三分糖奶茶初始含糖量为$0.3b$ g，加入$0.2b$ g糖后，含糖量变为$0.3b+0.2b=0.5b(\mathrm{g})$，奶茶总质量为$(a+0.2b)$ g，此时甜度为$\frac{0.5b}{a+0.2b}×100\%$。
$\because a ＜ a+0.2b$，且$0.5b＞0$，$\therefore \frac{0.5b}{a}＞\frac{0.5b}{a+0.2b}$，即五分糖奶茶甜度更大。
【答案】
(1)再加入$\frac{50}{3}\ \mathrm{g}$糖才能跟全糖奶茶的甜度一样；
(2)五分糖奶茶甜度更大。
【知识点】
分式方程的应用，分式大小比较，列代数式
【点评】
本题结合生活实际命题，趣味性较强，解题的关键是注意加入糖后奶茶总质量会同步增加，避免遗漏总质量的变化导致列式错误，同时要掌握分式方程的检验步骤和分式大小比较的基本方法。
【难度系数】
0.7
