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20.
项目式学习——家庭购车计划分析单
项目背景 近年来,新能源汽车受到越来越多消费者的关注.小明家计划购置一辆新车,看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车.经过家庭会议,全家人分析如下:纯电动汽车的保险费用高,但用电便宜,行驶费用低;燃油车的保险费用较低,但油费、保养费高
项目问题 购买纯电动汽车还是燃油车
项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程,感受数学思维对现实生活的指导意义
数据收集1（行驶费用） 两车在相同路段且行驶里程相同时,通过查阅相关资料,获得以下数据:
数据收集2（其他费用） 设小明一家年平均行驶里程为$ x \ \mathrm{km} $.
项目任务:
(1)求A车(纯电动汽车)、B车(燃油车)的每千米行驶费用.
(2)若小明家仅用新车短途代步,每月行驶$ 200 \ \mathrm{km} $,按1年计算,A,B车的总费用相差多少元?
(3)综合考虑行驶费用和其他费用,设年平均行驶里程为$ x \ \mathrm{km} $,请你帮小明家确定购车方案.
项目式学习——家庭购车计划分析单
项目背景 近年来,新能源汽车受到越来越多消费者的关注.小明家计划购置一辆新车,看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车.经过家庭会议,全家人分析如下:纯电动汽车的保险费用高,但用电便宜,行驶费用低;燃油车的保险费用较低,但油费、保养费高
项目问题 购买纯电动汽车还是燃油车
项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程,感受数学思维对现实生活的指导意义
数据收集1（行驶费用） 两车在相同路段且行驶里程相同时,通过查阅相关资料,获得以下数据:
数据收集2（其他费用） 设小明一家年平均行驶里程为$ x \ \mathrm{km} $.
项目任务:
(1)求A车(纯电动汽车)、B车(燃油车)的每千米行驶费用.
(2)若小明家仅用新车短途代步,每月行驶$ 200 \ \mathrm{km} $,按1年计算,A,B车的总费用相差多少元?
(3)综合考虑行驶费用和其他费用,设年平均行驶里程为$ x \ \mathrm{km} $,请你帮小明家确定购车方案.
答案
20.解:(1)已知A车(纯电动汽车)每千米行驶费用为$a$元,B车(燃油车)每千米行驶费用为$(a+0.45)$元,
根据题意,得$\frac{10}{a}=\frac{25}{a+0.45}$,解得$a=0.3$,
经检验,$a=0.3$是原分式方程的解,且符合题意,
则燃油车每千米行驶费用为$a+0.45=0.3+0.45=0.75$(元).
答:A车(纯电动汽车)每千米行驶费用为0.3元,B车(燃油车)每千米行驶费用为0.75元.
(2)$\because$每月行驶$200\ \mathrm{km}$,$\therefore$年行驶里程为$200×12=2\ 400(\mathrm{km})$.
A车总费用:$0.3×2\ 400+6\ 500+1\ 000=720+6\ 500+1\ 000=8\ 220$(元).
B车总费用:$0.75×2\ 400+3\ 000+0.05×2\ 400=1\ 800+3\ 000+120=4\ 920$(元).
总费用差值:$8\ 220-4\ 920=3\ 300$(元).
答:A,B车的总费用相差3 300元.
(3)设A车(纯电动汽车)花费$y_\mathrm{A}$,B车(燃油车)花费$y_\mathrm{B}$,由题意,得
$y_\mathrm{A}=0.3x+6\ 500+1\ 000=0.3x+7\ 500$;
$y_\mathrm{B}=0.75x+3\ 000+0.05x=0.8x+3\ 000$.
当$y_\mathrm{A}=y_\mathrm{B}$时,$0.3x+7\ 500=0.8x+3\ 000$,解得$x=9\ 000$;
当$y_\mathrm{A}＞y_\mathrm{B}$时,$0.3x+7\ 500＞0.8x+3\ 000$,解得$x＜9\ 000$;
当$y_\mathrm{A}＜y_\mathrm{B}$时,$0.3x+7\ 500＜0.8x+3\ 000$,解得$x＞9\ 000$.
$\therefore$当年平均行驶里程小于$9\ 000\ \mathrm{km}$时,选B车(燃油车);
当年平均行驶里程恰好为$9\ 000\ \mathrm{km}$时,两者均可;
当年平均行驶里程大于$9\ 000\ \mathrm{km}$时,选A车(纯电动汽车).
根据题意,得$\frac{10}{a}=\frac{25}{a+0.45}$,解得$a=0.3$,
经检验,$a=0.3$是原分式方程的解,且符合题意,
则燃油车每千米行驶费用为$a+0.45=0.3+0.45=0.75$(元).
答:A车(纯电动汽车)每千米行驶费用为0.3元,B车(燃油车)每千米行驶费用为0.75元.
(2)$\because$每月行驶$200\ \mathrm{km}$,$\therefore$年行驶里程为$200×12=2\ 400(\mathrm{km})$.
A车总费用:$0.3×2\ 400+6\ 500+1\ 000=720+6\ 500+1\ 000=8\ 220$(元).
B车总费用:$0.75×2\ 400+3\ 000+0.05×2\ 400=1\ 800+3\ 000+120=4\ 920$(元).
总费用差值:$8\ 220-4\ 920=3\ 300$(元).
答:A,B车的总费用相差3 300元.
(3)设A车(纯电动汽车)花费$y_\mathrm{A}$,B车(燃油车)花费$y_\mathrm{B}$,由题意,得
$y_\mathrm{A}=0.3x+6\ 500+1\ 000=0.3x+7\ 500$;
$y_\mathrm{B}=0.75x+3\ 000+0.05x=0.8x+3\ 000$.
当$y_\mathrm{A}=y_\mathrm{B}$时,$0.3x+7\ 500=0.8x+3\ 000$,解得$x=9\ 000$;
当$y_\mathrm{A}＞y_\mathrm{B}$时,$0.3x+7\ 500＞0.8x+3\ 000$,解得$x＜9\ 000$;
当$y_\mathrm{A}＜y_\mathrm{B}$时,$0.3x+7\ 500＜0.8x+3\ 000$,解得$x＞9\ 000$.
$\therefore$当年平均行驶里程小于$9\ 000\ \mathrm{km}$时,选B车(燃油车);
当年平均行驶里程恰好为$9\ 000\ \mathrm{km}$时,两者均可;
当年平均行驶里程大于$9\ 000\ \mathrm{km}$时,选A车(纯电动汽车).
解析
【分析】
(1) 第一问的核心是抓住“两车行驶里程相同”的条件，行驶里程=总行驶费用÷每千米行驶费用，据此可列分式方程求解a的值，求解后需检验根是否符合分式方程要求及实际意义，再计算B车的每千米行驶费用。
(2) 第二问先计算年总行驶里程，再分别按照“年总费用=年行驶费用+年保险费用+其他年费用”的公式计算A、B两车的年总费用，求差即可得到费用差值。
(3) 第三问先分别列出A、B两车年总费用关于年行驶里程x的函数表达式，再分三种情况（两车费用相等、A车费用更高、B车费用更高）分别解方程和不等式，即可得到不同行驶里程对应的最优购车方案。
【解析】
(1) 已知A车每千米行驶费用为$a$元，B车每千米行驶费用为$(a+0.45)$元，根据两车行驶里程相等列方程：
$\frac{10}{a}=\frac{25}{a+0.45}$
交叉相乘得$10(a+0.45)=25a$，解得$a=0.3$。
经检验，$a=0.3$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则B车每千米行驶费用为$a+0.45=0.3+0.45=0.75$（元）。
(2) 年行驶里程为$200×12=2400(\mathrm{km})$。
A车总费用：$0.3×2400+6500+1000=8220$（元）；
B车总费用：$0.75×2400+3000+0.05×2400=4920$（元）；
总费用差值：$8220-4920=3300$（元）。
(3) 设A车年总费用为$y_\mathrm{A}$元，B车年总费用为$y_\mathrm{B}$元，由题意得：
$y_\mathrm{A}=0.3x+6500+1000=0.3x+7500$，
$y_\mathrm{B}=0.75x+3000+0.05x=0.8x+3000$。
当$y_\mathrm{A}=y_\mathrm{B}$时，$0.3x+7500=0.8x+3000$，解得$x=9000$；
当$y_\mathrm{A}＞y_\mathrm{B}$时，$0.3x+7500＞0.8x+3000$，解得$x＜9000$；
当$y_\mathrm{A}＜y_\mathrm{B}$时，$0.3x+7500＜0.8x+3000$，解得$x＞9000$。
【答案】
(1) A车(纯电动汽车)每千米行驶费用为0.3元，B车(燃油车)每千米行驶费用为0.75元；
(2) A、B车的总费用相差3300元；
(3) 当年平均行驶里程小于$9000\ \mathrm{km}$时，选B款燃油车；当年平均行驶里程恰好为$9000\ \mathrm{km}$时，两款车均可；当年平均行驶里程大于$9000\ \mathrm{km}$时，选A款纯电动汽车。
【知识点】
分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合家庭购车的生活实际场景，考查数学知识的实际应用能力，需要学生准确梳理不同车型的费用构成，通过列方程、函数和不等式分类讨论得到最优方案，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问的核心是抓住“两车行驶里程相同”的条件，行驶里程=总行驶费用÷每千米行驶费用，据此可列分式方程求解a的值，求解后需检验根是否符合分式方程要求及实际意义，再计算B车的每千米行驶费用。
(2) 第二问先计算年总行驶里程，再分别按照“年总费用=年行驶费用+年保险费用+其他年费用”的公式计算A、B两车的年总费用，求差即可得到费用差值。
(3) 第三问先分别列出A、B两车年总费用关于年行驶里程x的函数表达式，再分三种情况（两车费用相等、A车费用更高、B车费用更高）分别解方程和不等式，即可得到不同行驶里程对应的最优购车方案。
【解析】
(1) 已知A车每千米行驶费用为$a$元，B车每千米行驶费用为$(a+0.45)$元，根据两车行驶里程相等列方程：
$\frac{10}{a}=\frac{25}{a+0.45}$
交叉相乘得$10(a+0.45)=25a$，解得$a=0.3$。
经检验，$a=0.3$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则B车每千米行驶费用为$a+0.45=0.3+0.45=0.75$（元）。
(2) 年行驶里程为$200×12=2400(\mathrm{km})$。
A车总费用：$0.3×2400+6500+1000=8220$（元）；
B车总费用：$0.75×2400+3000+0.05×2400=4920$（元）；
总费用差值：$8220-4920=3300$（元）。
(3) 设A车年总费用为$y_\mathrm{A}$元，B车年总费用为$y_\mathrm{B}$元，由题意得：
$y_\mathrm{A}=0.3x+6500+1000=0.3x+7500$，
$y_\mathrm{B}=0.75x+3000+0.05x=0.8x+3000$。
当$y_\mathrm{A}=y_\mathrm{B}$时，$0.3x+7500=0.8x+3000$，解得$x=9000$；
当$y_\mathrm{A}＞y_\mathrm{B}$时，$0.3x+7500＞0.8x+3000$，解得$x＜9000$；
当$y_\mathrm{A}＜y_\mathrm{B}$时，$0.3x+7500＜0.8x+3000$，解得$x＞9000$。
【答案】
(1) A车(纯电动汽车)每千米行驶费用为0.3元，B车(燃油车)每千米行驶费用为0.75元；
(2) A、B车的总费用相差3300元；
(3) 当年平均行驶里程小于$9000\ \mathrm{km}$时，选B款燃油车；当年平均行驶里程恰好为$9000\ \mathrm{km}$时，两款车均可；当年平均行驶里程大于$9000\ \mathrm{km}$时，选A款纯电动汽车。
【知识点】
分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合家庭购车的生活实际场景，考查数学知识的实际应用能力，需要学生准确梳理不同车型的费用构成，通过列方程、函数和不等式分类讨论得到最优方案，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
