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8. 用不等式表示下列关系：
（1）a 的一半与 b 的 2 倍的和是非正数：$\frac{1}{2}a + 2b ≤ 0$。
（2）南宁市某天的空气污染指数（API）y 不超过 50：$y ≤ 50$。
（3）一列火车共有 n 节车厢，每节车厢有 108 个座位，某天，这列火车上有 m 个人，其中有一些人没有座位：$m ＞ 108n$。
（4）小丽种了一棵高为 75 cm 的小树，假设小树平均每周长高 3 cm，x 周后这棵小树的高度至少为 100 cm：$75 + 3x ≥ 100$。
（1）a 的一半与 b 的 2 倍的和是非正数：$\frac{1}{2}a + 2b ≤ 0$。
（2）南宁市某天的空气污染指数（API）y 不超过 50：$y ≤ 50$。
（3）一列火车共有 n 节车厢，每节车厢有 108 个座位，某天，这列火车上有 m 个人，其中有一些人没有座位：$m ＞ 108n$。
（4）小丽种了一棵高为 75 cm 的小树，假设小树平均每周长高 3 cm，x 周后这棵小树的高度至少为 100 cm：$75 + 3x ≥ 100$。
答案
8.（1）$\frac{1}{2}a+2b≤0$ （2）$y≤50$ （3）$108n＜m$ （4）$75+3x≥100$
解析
【分析】
解决这类用不等式表示数量关系的问题，可按三步思考：第一步先提取题目中的所有数量，理清数量之间的运算关系；第二步抓住描述不等关系的关键词，匹配对应的不等符号：“非正数”对应≤0，“不超过”对应≤，“有人无座位”对应总人数＞总座位数，“至少”对应≥；第三步把运算后的数量代入对应不等号，即可得到正确不等式。
【解析】
（1）先分别写出数量：a的一半是$\frac{1}{2}a$，b的2倍是$2b$，两者求和为$\frac{1}{2}a+2b$；“非正数”指小于等于0的数，因此列不等式为$\frac{1}{2}a + 2b ≤ 0$。
（2）“不超过50”的含义是小于等于50，因此空气污染指数y满足$y ≤ 50$。
（3）先计算火车总座位数：每节108个座位，共n节，总座位数为$108n$；“有一些人没有座位”说明乘车人数m比总座位数多，因此列不等式为$108n ＜ m$。
（4）x周后小树的总高度=原有高度+x周生长的高度，即$75+3x$；“至少为100cm”指高度大于等于100cm，因此列不等式为$75 + 3x ≥ 100$。
【答案】
（1）$\frac{1}{2}a+2b≤0$ （2）$y≤50$ （3）$108n＜m$ （4）$75+3x≥100$
【知识点】
列不等式，不等号的意义，不等式的实际应用
【点评】
本题是不等式的入门基础题，核心考查文字不等关系到数学符号的转化能力，解题的关键是准确记忆各类限定词对应的不等符号，同时理清数量的运算逻辑，这类题型是后续学习解不等式、不等式应用题的基础。
【难度系数】
0.8
解决这类用不等式表示数量关系的问题，可按三步思考：第一步先提取题目中的所有数量，理清数量之间的运算关系；第二步抓住描述不等关系的关键词，匹配对应的不等符号：“非正数”对应≤0，“不超过”对应≤，“有人无座位”对应总人数＞总座位数，“至少”对应≥；第三步把运算后的数量代入对应不等号，即可得到正确不等式。
【解析】
（1）先分别写出数量：a的一半是$\frac{1}{2}a$，b的2倍是$2b$，两者求和为$\frac{1}{2}a+2b$；“非正数”指小于等于0的数，因此列不等式为$\frac{1}{2}a + 2b ≤ 0$。
（2）“不超过50”的含义是小于等于50，因此空气污染指数y满足$y ≤ 50$。
（3）先计算火车总座位数：每节108个座位，共n节，总座位数为$108n$；“有一些人没有座位”说明乘车人数m比总座位数多，因此列不等式为$108n ＜ m$。
（4）x周后小树的总高度=原有高度+x周生长的高度，即$75+3x$；“至少为100cm”指高度大于等于100cm，因此列不等式为$75 + 3x ≥ 100$。
【答案】
（1）$\frac{1}{2}a+2b≤0$ （2）$y≤50$ （3）$108n＜m$ （4）$75+3x≥100$
【知识点】
列不等式，不等号的意义，不等式的实际应用
【点评】
本题是不等式的入门基础题，核心考查文字不等关系到数学符号的转化能力，解题的关键是准确记忆各类限定词对应的不等符号，同时理清数量的运算逻辑，这类题型是后续学习解不等式、不等式应用题的基础。
【难度系数】
0.8
9. 用适当的符号表示“两数的平方和不小于这两数积的2倍”，下列表示正确的是（
A.$a^2 + b^2 ＞ 2ab$
B.$a^2 + b^2 ≥ 2ab$
C.$a^2 + b^2 ≤ 2ab$
D.$(a + b)^2 ≥ 2ab$
B
）。A.$a^2 + b^2 ＞ 2ab$
B.$a^2 + b^2 ≥ 2ab$
C.$a^2 + b^2 ≤ 2ab$
D.$(a + b)^2 ≥ 2ab$
答案
9.B
解析
【分析】
解题时要逐步把文字描述转化为数学式子：第一步先设两个数为a、b，再明确各个关键词对应的数学含义：①“两数的平方和”指两个数分别平方之后再相加；②“不小于”的意思是“大于或者等于”，对应的不等号是“≥”；③“两数积的2倍”就是两个数相乘后再乘2。最后把这些部分组合成不等式，和选项对比就能选出正确答案。
【解析】
设两个数分别为a、b：
1. 表示“两数的平方和”：两个数分别平方后相加，得$a^2 + b^2$；
2. 理解“不小于”的含义：不小于即大于或等于，对应不等号为$≥$；
3. 表示“两数积的2倍”：两数相乘再乘2，得$2ab$；
4. 组合得到不等式：$a^2 + b^2 ≥ 2ab$，对应选项B。
错误选项说明：A选项只有大于关系，漏了相等的情况；C选项是“不大于”的表述，不符合题意；D选项左边是两数和的平方，不是平方和，概念错误。
【答案】
B
【知识点】
列不等式，不等号含义，代数式表示
【点评】
本题考查文字语言转化为数学不等式的能力，解题的关键是准确把握“不小于”这类不等关系的表述，同时要区分清楚“平方和”与“和的平方”的差异，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
解题时要逐步把文字描述转化为数学式子：第一步先设两个数为a、b，再明确各个关键词对应的数学含义：①“两数的平方和”指两个数分别平方之后再相加；②“不小于”的意思是“大于或者等于”，对应的不等号是“≥”；③“两数积的2倍”就是两个数相乘后再乘2。最后把这些部分组合成不等式，和选项对比就能选出正确答案。
【解析】
设两个数分别为a、b：
1. 表示“两数的平方和”：两个数分别平方后相加，得$a^2 + b^2$；
2. 理解“不小于”的含义：不小于即大于或等于，对应不等号为$≥$；
3. 表示“两数积的2倍”：两数相乘再乘2，得$2ab$；
4. 组合得到不等式：$a^2 + b^2 ≥ 2ab$，对应选项B。
错误选项说明：A选项只有大于关系，漏了相等的情况；C选项是“不大于”的表述，不符合题意；D选项左边是两数和的平方，不是平方和，概念错误。
【答案】
B
【知识点】
列不等式，不等号含义，代数式表示
【点评】
本题考查文字语言转化为数学不等式的能力，解题的关键是准确把握“不小于”这类不等关系的表述，同时要区分清楚“平方和”与“和的平方”的差异，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
10. 某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A、B两种菌苗，已知A种菌苗生长温度$a\ ℃$的范围是$20≤ a≤28$，B种菌苗生长温度$b\ ℃$的范围是$19≤ b≤25$，那么温箱里的温度$x\ ℃$应该设定的范围是
$20≤ x≤25$
。答案
10.$20≤ x≤25$
解析
【分析】
要确定温箱的温度范围，首先明确温箱温度需要同时满足A、B两种菌苗的生长要求，也就是温度x既要落在A菌苗的适宜温度区间内，也要落在B菌苗的适宜温度区间内，因此只需要找到两个温度区间的公共部分即可。找公共部分时，两个区间的下限取数值更大的，上限取数值更小的，就能得到同时满足两种菌苗生长的温度范围。
【解析】
解：由题意可知，温箱温度x需要同时符合A、B两种菌苗的生长温度要求，因此可列不等式组：
$\begin{cases}20≤ x≤28 \\19≤ x≤25 \end{cases}$
求解集的公共部分：
下限部分：20＞19，取更大的20作为公共下限；
上限部分：25＜28，取更小的25作为公共上限；
因此x的取值范围为$20≤ x≤25$。
【答案】
$20≤ x≤25$
【知识点】
不等式组的解集、公共解集判定
【点评】
本题是不等式组的实际应用类题目，解题关键是理解温度需要同时满足两类菌苗的生长条件，准确求出两个温度范围的公共解集即可，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
要确定温箱的温度范围，首先明确温箱温度需要同时满足A、B两种菌苗的生长要求，也就是温度x既要落在A菌苗的适宜温度区间内，也要落在B菌苗的适宜温度区间内，因此只需要找到两个温度区间的公共部分即可。找公共部分时，两个区间的下限取数值更大的，上限取数值更小的，就能得到同时满足两种菌苗生长的温度范围。
【解析】
解：由题意可知，温箱温度x需要同时符合A、B两种菌苗的生长温度要求，因此可列不等式组：
$\begin{cases}20≤ x≤28 \\19≤ x≤25 \end{cases}$
求解集的公共部分：
下限部分：20＞19，取更大的20作为公共下限；
上限部分：25＜28，取更小的25作为公共上限；
因此x的取值范围为$20≤ x≤25$。
【答案】
$20≤ x≤25$
【知识点】
不等式组的解集、公共解集判定
【点评】
本题是不等式组的实际应用类题目，解题关键是理解温度需要同时满足两类菌苗的生长条件，准确求出两个温度范围的公共解集即可，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
11. 图3为一件衣服的洗涤说明标志，请根据其信息写出一个关于温度x（℃）的不等式：
图3
$x≤30$（或$x≤110$）
。图3答案
11.$x≤30$（或$x≤110$）
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要从洗涤说明中提取和温度相关的信息，再结合不等关系的知识列不等式。首先明确“最高温度”的含义：温度可以等于该数值，也可以低于该数值，不能高于该数值，对应的不等符号为“≤”。观察洗涤说明可找到两个温度限制：最高洗涤温度30℃、熨斗底板最高温度110℃，任选一个限制结合不等符号即可列出符合要求的不等式。
【解析】
第一步：提取图中的温度相关限制信息：
信息1：最高洗涤温度为30℃，即洗涤温度不能超过30℃；
信息2：熨斗底板最高温度为110℃，即熨斗底板温度不能超过110℃。
第二步：对应不等关系列不等式：
若x表示洗涤温度，可得不等式$ x ≤ 30 $；
若x表示熨斗底板温度，可得不等式$ x ≤ 110 $。
两个不等式均符合要求，写出任意一个即可。
【答案】
$ x ≤ 30 $（或$ x ≤ 110 $）
【知识点】
列不等式；实际问题的不等关系
【点评】
本题结合生活中常见的衣物洗涤标识考查不等式的应用，解题核心是准确理解“最高”这类限定词对应的不等关系，属于基础题型，体现了数学知识在生活中的实际应用。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要从洗涤说明中提取和温度相关的信息，再结合不等关系的知识列不等式。首先明确“最高温度”的含义：温度可以等于该数值，也可以低于该数值，不能高于该数值，对应的不等符号为“≤”。观察洗涤说明可找到两个温度限制：最高洗涤温度30℃、熨斗底板最高温度110℃，任选一个限制结合不等符号即可列出符合要求的不等式。
【解析】
第一步：提取图中的温度相关限制信息：
信息1：最高洗涤温度为30℃，即洗涤温度不能超过30℃；
信息2：熨斗底板最高温度为110℃，即熨斗底板温度不能超过110℃。
第二步：对应不等关系列不等式：
若x表示洗涤温度，可得不等式$ x ≤ 30 $；
若x表示熨斗底板温度，可得不等式$ x ≤ 110 $。
两个不等式均符合要求，写出任意一个即可。
【答案】
$ x ≤ 30 $（或$ x ≤ 110 $）
【知识点】
列不等式；实际问题的不等关系
【点评】
本题结合生活中常见的衣物洗涤标识考查不等式的应用，解题核心是准确理解“最高”这类限定词对应的不等关系，属于基础题型，体现了数学知识在生活中的实际应用。
【难度系数】
0.9
12. 某种兰花种子的发芽率与浸泡时间有关：浸泡时间不足4 h，发芽率约为40%；浸泡时间4到8 h，发芽率会逐渐上升到65%；浸泡时间8到12 h，发芽率会逐渐上升到90%。农科院记录了同一批次该种兰花种子的发芽情况，结果如下表：
据此推测，这批兰花种子的浸泡时间是
据此推测，这批兰花种子的浸泡时间是
8到12 h
（填“不足4 h”“4到8 h”或“8到12 h”）。答案
12.8到12 h
解析
【分析】
解题核心思路是利用“大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在概率附近”的规律求解：首先从表格中找到稳定后的发芽率数值，再将该数值和题目给出的三个浸泡时间对应的发芽率范围对比，即可得到结论。第一步先观察发芽率数据，随着种子数量增多，发芽率会逐渐趋于稳定，取稳定后的数值作为这批种子的实际发芽率；第二步把得到的发芽率和不同浸泡时间的发芽率范围匹配，找到符合的区间。
【解析】
观察表格中的发芽率数据，随着试验种子数量不断增加，发芽率逐渐稳定在0.864，即这批种子的发芽率约为86.4%。
对比不同浸泡时间对应的发芽率范围：
1. 浸泡不足4 h：发芽率约为40%，与86.4%不符；
2. 浸泡4到8 h：发芽率最高为65%，低于86.4%，不符合；
3. 浸泡8到12 h：发芽率逐渐上升到90%，86.4%在65%~90%的范围内，符合该区间的发芽率特征。
因此可以确定这批兰花种子的浸泡时间为8到12 h。
【答案】
8到12 h
【知识点】
用频率估计概率；统计表数据分析
【点评】
本题结合农业试验的实际场景，考查统计相关知识的应用，需要学生具备从表格中提取有效信息、结合已知条件分析判断的能力，体现了数学在实际生产生活中的应用价值。
【难度系数】
0.9
解题核心思路是利用“大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在概率附近”的规律求解：首先从表格中找到稳定后的发芽率数值，再将该数值和题目给出的三个浸泡时间对应的发芽率范围对比，即可得到结论。第一步先观察发芽率数据，随着种子数量增多，发芽率会逐渐趋于稳定，取稳定后的数值作为这批种子的实际发芽率；第二步把得到的发芽率和不同浸泡时间的发芽率范围匹配，找到符合的区间。
【解析】
观察表格中的发芽率数据，随着试验种子数量不断增加，发芽率逐渐稳定在0.864，即这批种子的发芽率约为86.4%。
对比不同浸泡时间对应的发芽率范围：
1. 浸泡不足4 h：发芽率约为40%，与86.4%不符；
2. 浸泡4到8 h：发芽率最高为65%，低于86.4%，不符合；
3. 浸泡8到12 h：发芽率逐渐上升到90%，86.4%在65%~90%的范围内，符合该区间的发芽率特征。
因此可以确定这批兰花种子的浸泡时间为8到12 h。
【答案】
8到12 h
【知识点】
用频率估计概率；统计表数据分析
【点评】
本题结合农业试验的实际场景，考查统计相关知识的应用，需要学生具备从表格中提取有效信息、结合已知条件分析判断的能力，体现了数学在实际生产生活中的应用价值。
【难度系数】
0.9
