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1.下列方程中:①$x+y=1$,②$2x-\frac{2}{y}=1$,③$x^2+2x=-1$,④$3xy=1$,⑤$x-\frac{1}{3}y=2$,是二元一次方程的是（
A.①⑤
B.①②
C.①④
D.①②④
A
）A.①⑤
B.①②
C.①④
D.①②④
答案
1.A
解析
【分析】
要判断哪些是二元一次方程，首先要明确二元一次方程的三个判定条件：1.方程中含有2个不同的未知数；2.含未知数的项的次数都为1；3.方程是整式方程（分母不含未知数）。接下来对照这三个条件，逐一分析每个方程，排除不符合条件的选项，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。我们逐个判断：
①$x+y=1$：含有x、y两个未知数，x和y的次数都是1，属于整式方程，符合二元一次方程的定义；
②$2x-\frac{2}{y}=1$：分母中含有未知数y，属于分式方程，不符合整式方程的要求，不是二元一次方程；
③$x^2+2x=-1$：只含有x一个未知数，且x的最高次数为2，不符合二元一次方程的要求；
④$3xy=1$：含有xy这一项，xy的次数是1+1=2，不是1，不符合要求；
⑤$x-\frac{1}{3}y=2$：含有x、y两个未知数，含未知数的项的次数都是1，属于整式方程，符合二元一次方程的定义。
综上，符合条件的是①⑤，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义，整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念类考题，解题的核心是紧扣二元一次方程的三个判定要点，尤其要注意“分母不含未知数”“含未知数的项的次数为1”这两个易错点，避免误选含分式、高次项的方程。
【难度系数】
0.8
要判断哪些是二元一次方程，首先要明确二元一次方程的三个判定条件：1.方程中含有2个不同的未知数；2.含未知数的项的次数都为1；3.方程是整式方程（分母不含未知数）。接下来对照这三个条件，逐一分析每个方程，排除不符合条件的选项，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。我们逐个判断：
①$x+y=1$：含有x、y两个未知数，x和y的次数都是1，属于整式方程，符合二元一次方程的定义；
②$2x-\frac{2}{y}=1$：分母中含有未知数y，属于分式方程，不符合整式方程的要求，不是二元一次方程；
③$x^2+2x=-1$：只含有x一个未知数，且x的最高次数为2，不符合二元一次方程的要求；
④$3xy=1$：含有xy这一项，xy的次数是1+1=2，不是1，不符合要求；
⑤$x-\frac{1}{3}y=2$：含有x、y两个未知数，含未知数的项的次数都是1，属于整式方程，符合二元一次方程的定义。
综上，符合条件的是①⑤，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义，整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念类考题，解题的核心是紧扣二元一次方程的三个判定要点，尤其要注意“分母不含未知数”“含未知数的项的次数为1”这两个易错点，避免误选含分式、高次项的方程。
【难度系数】
0.8
2.下列是二元一次方程组的是（
A.$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + y = 4, \\ x - y = 1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 4x + 3y = 6, \\ 2z + y = 4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 4, \\ x - y^2 = 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x + 5y = 25, \\ x + 10y = 25 \end{cases}$
D
）A.$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + y = 4, \\ x - y = 1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 4x + 3y = 6, \\ 2z + y = 4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 4, \\ x - y^2 = 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x + 5y = 25, \\ x + 10y = 25 \end{cases}$
答案
2.D
解析
【分析】
解决这道题首先要明确二元一次方程组的三个判定条件：1. 方程组中一共只含有2个不同的未知数；2. 所有方程都是整式方程（分母不含未知数）；3. 每个方程里含未知数的项的次数都是1次。解题时对照这三个条件逐一排查选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对照二元一次方程组的三个判定条件逐个分析选项：
1. 分析选项A：第一个方程分母含未知数x，属于分式方程，不符合“所有方程都是整式方程”的要求，不是二元一次方程组；
2. 分析选项B：方程组中出现x、y、z共3个未知数，不符合“只含2个未知数”的要求，不是二元一次方程组；
3. 分析选项C：第二个方程中y的次数是2，不符合“含未知数的项的次数都是1”的要求，不是二元一次方程组；
4. 分析选项D：方程组只含x、y两个未知数，两个方程都是整式方程，且含未知数的项的次数都是1，满足二元一次方程组的全部判定条件。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的判定；整式方程的概念；方程次数的判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考察对二元一次方程组定义的理解，解题时只要牢记三个判定要点逐一排查即可，易错点是容易忽略分母含未知数的方程为分式方程、或者误判未知数的次数。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确二元一次方程组的三个判定条件：1. 方程组中一共只含有2个不同的未知数；2. 所有方程都是整式方程（分母不含未知数）；3. 每个方程里含未知数的项的次数都是1次。解题时对照这三个条件逐一排查选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对照二元一次方程组的三个判定条件逐个分析选项：
1. 分析选项A：第一个方程分母含未知数x，属于分式方程，不符合“所有方程都是整式方程”的要求，不是二元一次方程组；
2. 分析选项B：方程组中出现x、y、z共3个未知数，不符合“只含2个未知数”的要求，不是二元一次方程组；
3. 分析选项C：第二个方程中y的次数是2，不符合“含未知数的项的次数都是1”的要求，不是二元一次方程组；
4. 分析选项D：方程组只含x、y两个未知数，两个方程都是整式方程，且含未知数的项的次数都是1，满足二元一次方程组的全部判定条件。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的判定；整式方程的概念；方程次数的判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考察对二元一次方程组定义的理解，解题时只要牢记三个判定要点逐一排查即可，易错点是容易忽略分母含未知数的方程为分式方程、或者误判未知数的次数。
【难度系数】
0.8
3.已知$\begin{cases}x=m+1, \\ y=5\end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程$3x - my =15$的一个解，则$m$的值为（ ）
A.－4
B.－6
C.4
D.6
A.－4
B.－6
C.4
D.6
答案
3.B
解析
【分析】
首先明确二元一次方程的解的含义：能使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值就是方程的解。因此我们可以将已知的x、y的表达式代入原二元一次方程，此时原方程就转化为只含有未知数m的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求解，即可得到m的值。
【解析】
解：
∵$\begin{cases}x=m+1, \\ y=5\end{cases}$是二元一次方程$3x - my =15$的一个解
∴将x、y代入方程可得：
$3(m+1) - 5m = 15$
去括号，得：
$3m + 3 - 5m = 15$
合并同类项，得：
$-2m + 3 = 15$
移项，得：
$-2m = 15 - 3$
计算得：
$-2m = 12$
系数化为1，得：
$m = -6$
因此选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用方程的解的性质将二元一次方程转化为熟悉的一元一次方程求解，计算时要注意去括号、移项的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
首先明确二元一次方程的解的含义：能使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值就是方程的解。因此我们可以将已知的x、y的表达式代入原二元一次方程，此时原方程就转化为只含有未知数m的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求解，即可得到m的值。
【解析】
解：
∵$\begin{cases}x=m+1, \\ y=5\end{cases}$是二元一次方程$3x - my =15$的一个解
∴将x、y代入方程可得：
$3(m+1) - 5m = 15$
去括号，得：
$3m + 3 - 5m = 15$
合并同类项，得：
$-2m + 3 = 15$
移项，得：
$-2m = 15 - 3$
计算得：
$-2m = 12$
系数化为1，得：
$m = -6$
因此选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用方程的解的性质将二元一次方程转化为熟悉的一元一次方程求解，计算时要注意去括号、移项的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
4.下面4组数值中,是二元一次方程$2x+y=10$的解的是（
A.$\begin{cases} x=4, \\ y=3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=1, \\ y=9 \end{cases}$
C.点$M(-1,12)$的坐标
D.点$N(0,8)$的坐标
C
）A.$\begin{cases} x=4, \\ y=3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=1, \\ y=9 \end{cases}$
C.点$M(-1,12)$的坐标
D.点$N(0,8)$的坐标
答案
4.C
解析
【分析】
要判断一组数值是否为二元一次方程的解，核心方法是代入检验法：将x、y的值代入方程左边计算，若结果等于方程右边的数值，则该组数值是方程的解。注意点坐标的形式中，横坐标对应x的取值，纵坐标对应y的取值，只需依次将四个选项的x、y值代入方程验证即可。
【解析】
根据二元一次方程解的定义，将各选项的x、y值代入$2x+y$计算，判断结果是否等于10：
选项A：把$\begin{cases} x=4, \\ y=3 \end{cases}$代入得，$2×4+3=11≠10$，不是方程的解；
选项B：把$\begin{cases} x=1, \\ y=9 \end{cases}$代入得，$2×1+9=11≠10$，不是方程的解；
选项C：点$M(-1,12)$对应$x=-1,y=12$，代入得$2×(-1)+12=10$，等于方程右边，是方程的解；
选项D：点$N(0,8)$对应$x=0,y=8$，代入得$2×0+8=8≠10$，不是方程的解。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解，点坐标的含义
【点评】
本题属于基础题，主要考查二元一次方程解的判定方法，只要掌握代入检验的思路，明确点坐标横、纵坐标与x、y的对应关系，同时注意计算准确性，就能轻松作答。
【难度系数】
0.7
要判断一组数值是否为二元一次方程的解，核心方法是代入检验法：将x、y的值代入方程左边计算，若结果等于方程右边的数值，则该组数值是方程的解。注意点坐标的形式中，横坐标对应x的取值，纵坐标对应y的取值，只需依次将四个选项的x、y值代入方程验证即可。
【解析】
根据二元一次方程解的定义，将各选项的x、y值代入$2x+y$计算，判断结果是否等于10：
选项A：把$\begin{cases} x=4, \\ y=3 \end{cases}$代入得，$2×4+3=11≠10$，不是方程的解；
选项B：把$\begin{cases} x=1, \\ y=9 \end{cases}$代入得，$2×1+9=11≠10$，不是方程的解；
选项C：点$M(-1,12)$对应$x=-1,y=12$，代入得$2×(-1)+12=10$，等于方程右边，是方程的解；
选项D：点$N(0,8)$对应$x=0,y=8$，代入得$2×0+8=8≠10$，不是方程的解。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解，点坐标的含义
【点评】
本题属于基础题，主要考查二元一次方程解的判定方法，只要掌握代入检验的思路，明确点坐标横、纵坐标与x、y的对应关系，同时注意计算准确性，就能轻松作答。
【难度系数】
0.7
5.用加减消元法解二元一次方程组$\begin{cases}4x+3y=2,①\\2x-5y=7②\end{cases}$时，下列方法中消元正确的是 （ ）
A.①×5+②
B.①+②×3
C.①-②×2
D.①+②)×2
A.①×5+②
B.①+②×3
C.①-②×2
D.①+②)×2
答案
5.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确加减消元法的核心思路：消去一个未知数，需要先通过给方程乘适当的数，让待消去的未知数的系数绝对值相等，同号系数用减法、异号系数用加法就能完成消元。本题中我们可以先观察未知数的系数，x的系数分别为4和2，若消去x，只需给②乘2，就能让两个方程的x系数都为4，再用①减去②×2即可消去x，接下来逐个核对选项就能得到正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项的消元效果：
A. ①×5得$20x+15y=10$，再加②式$2x-5y=7$，最终得到$22x+10y=17$，仍含有两个未知数，没有实现消元，错误；
B. ②×3得$6x-15y=21$，再加①式$4x+3y=2$，最终得到$10x-12y=23$，仍含有两个未知数，没有实现消元，错误；
C. ②×2得$4x-10y=14$，用①减去该式可得：$(4x+3y)-(4x-10y)=2-14$，化简得$13y=-12$，成功消去未知数x，符合消元要求，正确；
D. 先算①+②得$6x-2y=9$，再乘2得$12x-4y=18$，仍含有两个未知数，没有实现消元，错误。
【答案】
C
【知识点】
1.加减消元法 2.二元一次方程组求解
【点评】
本题考查加减消元法的基础应用，熟练掌握消元规则，明确要消去的未知数的系数变化要求就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确加减消元法的核心思路：消去一个未知数，需要先通过给方程乘适当的数，让待消去的未知数的系数绝对值相等，同号系数用减法、异号系数用加法就能完成消元。本题中我们可以先观察未知数的系数，x的系数分别为4和2，若消去x，只需给②乘2，就能让两个方程的x系数都为4，再用①减去②×2即可消去x，接下来逐个核对选项就能得到正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项的消元效果：
A. ①×5得$20x+15y=10$，再加②式$2x-5y=7$，最终得到$22x+10y=17$，仍含有两个未知数，没有实现消元，错误；
B. ②×3得$6x-15y=21$，再加①式$4x+3y=2$，最终得到$10x-12y=23$，仍含有两个未知数，没有实现消元，错误；
C. ②×2得$4x-10y=14$，用①减去该式可得：$(4x+3y)-(4x-10y)=2-14$，化简得$13y=-12$，成功消去未知数x，符合消元要求，正确；
D. 先算①+②得$6x-2y=9$，再乘2得$12x-4y=18$，仍含有两个未知数，没有实现消元，错误。
【答案】
C
【知识点】
1.加减消元法 2.二元一次方程组求解
【点评】
本题考查加减消元法的基础应用，熟练掌握消元规则，明确要消去的未知数的系数变化要求就能快速解题。
【难度系数】
0.8
6.在平面直角坐标系中,将点A(1,4)先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,则平移后所得点的坐标是（
A.(3,1)
B.(3,3)
C.(-1,1)
D.(-1,3)
B
）A.(3,1)
B.(3,3)
C.(-1,1)
D.(-1,3)
答案
6.B
解析
【分析】
首先回忆平面直角坐标系中点平移的坐标变化规则：横坐标遵循“右加左减”，即向右平移几个单位，横坐标就加几，向左平移则减几；纵坐标遵循“上加下减”，即向上平移几个单位纵坐标加几，向下平移则减几。解题时先计算向右平移后的横坐标，再计算向下平移后的纵坐标，即可得到平移后的点坐标，对应选项选出答案即可。
【解析】
1. 处理横坐标的平移变化：点A(1,4)向右平移2个单位长度，根据“右加”规则，新的横坐标为$1+2=3$，此时点的坐标变为$(3,4)$。
2. 处理纵坐标的平移变化：再将点$(3,4)$向下平移1个单位长度，根据“下减”规则，新的纵坐标为$4-1=3$。
因此平移后所得点的坐标是$(3,3)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
点的平移坐标变化规律
【点评】
本题属于基础题，主要考查点平移时的坐标变化规则，熟练掌握“右加左减，上加下减”的规律即可快速求解，是坐标平移类的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
首先回忆平面直角坐标系中点平移的坐标变化规则：横坐标遵循“右加左减”，即向右平移几个单位，横坐标就加几，向左平移则减几；纵坐标遵循“上加下减”，即向上平移几个单位纵坐标加几，向下平移则减几。解题时先计算向右平移后的横坐标，再计算向下平移后的纵坐标，即可得到平移后的点坐标，对应选项选出答案即可。
【解析】
1. 处理横坐标的平移变化：点A(1,4)向右平移2个单位长度，根据“右加”规则，新的横坐标为$1+2=3$，此时点的坐标变为$(3,4)$。
2. 处理纵坐标的平移变化：再将点$(3,4)$向下平移1个单位长度，根据“下减”规则，新的纵坐标为$4-1=3$。
因此平移后所得点的坐标是$(3,3)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
点的平移坐标变化规律
【点评】
本题属于基础题，主要考查点平移时的坐标变化规则，熟练掌握“右加左减，上加下减”的规律即可快速求解，是坐标平移类的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
7.若x轴上的点P到y轴的距离是3，则点P的坐标为 （
A.(3,0)
B.(3,0)或(-3,0)
C.(0,3)
D.(0,3)或(0,-3)
B
）A.(3,0)
B.(3,0)或(-3,0)
C.(0,3)
D.(0,3)或(0,-3)
答案
7.B
解析
【分析】
解决这道题我们可以分两步思考：第一步先根据点P在x轴上的位置，确定它的纵坐标特征，x轴上所有点的纵坐标都是0，据此可以先排除纵坐标不为0的错误选项；第二步再根据点到y轴的距离的定义，点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，已知距离是3，说明横坐标的绝对值为3，因此横坐标有3和-3两种可能，结合两步推导就能得出正确答案。
【解析】
解：
∵点P在x轴上，
∴点P的纵坐标为0，可排除纵坐标不为0的C、D选项；
又
∵点P到y轴的距离是3，
∴点P的横坐标的绝对值为3，即横坐标为3或-3，
∴点P的坐标为(3,0)或(-3,0)。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；点到坐标轴的距离
【点评】
本题属于基础常考题，解题时要注意点到坐标轴的距离对应的是坐标的绝对值，不要遗漏正负两种情况，同时要区分清楚x轴和y轴上点的坐标特点，避免混淆横纵坐标的取值要求。
【难度系数】
0.8
解决这道题我们可以分两步思考：第一步先根据点P在x轴上的位置，确定它的纵坐标特征，x轴上所有点的纵坐标都是0，据此可以先排除纵坐标不为0的错误选项；第二步再根据点到y轴的距离的定义，点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，已知距离是3，说明横坐标的绝对值为3，因此横坐标有3和-3两种可能，结合两步推导就能得出正确答案。
【解析】
解：
∵点P在x轴上，
∴点P的纵坐标为0，可排除纵坐标不为0的C、D选项；
又
∵点P到y轴的距离是3，
∴点P的横坐标的绝对值为3，即横坐标为3或-3，
∴点P的坐标为(3,0)或(-3,0)。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；点到坐标轴的距离
【点评】
本题属于基础常考题，解题时要注意点到坐标轴的距离对应的是坐标的绝对值，不要遗漏正负两种情况，同时要区分清楚x轴和y轴上点的坐标特点，避免混淆横纵坐标的取值要求。
【难度系数】
0.8
8.数学文化 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为
（
A.$\begin{cases}5x + 2y = 10, \\2x + 5y = 8\end{cases}$
B.$\begin{cases}5x + 2y = 8, \\2x + 5y = 10\end{cases}$
C.$\begin{cases}5x - 2y = 10, \\2x + 5y = 8\end{cases}$
D.$\begin{cases}5x + 2y = 10, \\2x - 5y = 8\end{cases}$
（
A
）A.$\begin{cases}5x + 2y = 10, \\2x + 5y = 8\end{cases}$
B.$\begin{cases}5x + 2y = 8, \\2x + 5y = 10\end{cases}$
C.$\begin{cases}5x - 2y = 10, \\2x + 5y = 8\end{cases}$
D.$\begin{cases}5x + 2y = 10, \\2x - 5y = 8\end{cases}$
答案
8.A
解析
【分析】
解这道题的核心是找准题目中的两个等量关系，题目已经明确设每头牛值金x两，每只羊值金y两。第一步先对应第一个已知条件：5头牛和2只羊的总价值等于10两，总价值为牛的总价值加羊的总价值，据此列出第一个方程；第二步对应第二个已知条件：2头牛和5只羊的总价值等于8两，同理列出第二个方程，联立两个方程后和选项比对即可得出答案。
【解析】
已知每头牛值金x两，每只羊值金y两：
1. 根据“5头牛、2只羊，共值金10两”，5头牛总价值为5x两，2只羊总价值为2y两，可列方程：$5x + 2y = 10$；
2. 根据“2头牛、5只羊，共值金8两”，2头牛总价值为2x两，5只羊总价值为5y两，可列方程：$2x + 5y = 8$；
联立两个方程可得方程组$\begin{cases}5x + 2y = 10 \\2x + 5y = 8\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组应用、等量关系识别
【点评】
本题以古代数学著作《九章算术》的经典问题为载体，考查根据实际问题列二元一次方程组，解题关键是准确读懂题意，梳理清楚数量关系，找到两个独立的等量关系即可作答，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解这道题的核心是找准题目中的两个等量关系，题目已经明确设每头牛值金x两，每只羊值金y两。第一步先对应第一个已知条件：5头牛和2只羊的总价值等于10两，总价值为牛的总价值加羊的总价值，据此列出第一个方程；第二步对应第二个已知条件：2头牛和5只羊的总价值等于8两，同理列出第二个方程，联立两个方程后和选项比对即可得出答案。
【解析】
已知每头牛值金x两，每只羊值金y两：
1. 根据“5头牛、2只羊，共值金10两”，5头牛总价值为5x两，2只羊总价值为2y两，可列方程：$5x + 2y = 10$；
2. 根据“2头牛、5只羊，共值金8两”，2头牛总价值为2x两，5只羊总价值为5y两，可列方程：$2x + 5y = 8$；
联立两个方程可得方程组$\begin{cases}5x + 2y = 10 \\2x + 5y = 8\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组应用、等量关系识别
【点评】
本题以古代数学著作《九章算术》的经典问题为载体，考查根据实际问题列二元一次方程组，解题关键是准确读懂题意，梳理清楚数量关系，找到两个独立的等量关系即可作答，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
