登录
4. 利用平方差公式进行计算：
（1）$ 98×102 $；
（2）$ 19\frac{2}{3}×20\frac{1}{3} $；
（3）$ 123^{2}-124×122 $。
（1）$ 98×102 $；
（2）$ 19\frac{2}{3}×20\frac{1}{3} $；
（3）$ 123^{2}-124×122 $。
答案
4. 解：（1）原式$=(100 - 2)×(100 + 2)=100^{2}-2^{2}=9996$。
（2）原式$=(20-\frac{1}{3})(20+\frac{1}{3})=20^{2}-(\frac{1}{3})^{2}=399\frac{8}{9}$。
（3）原式$=123^{2}-(123 + 1)×(123 - 1)$
$=123^{2}-(123^{2}-1)=1$。
（2）原式$=(20-\frac{1}{3})(20+\frac{1}{3})=20^{2}-(\frac{1}{3})^{2}=399\frac{8}{9}$。
（3）原式$=123^{2}-(123 + 1)×(123 - 1)$
$=123^{2}-(123^{2}-1)=1$。
解析
【分析】
这道题要求利用平方差公式简化计算，核心思路是先观察算式里的数字特征，把原本不满足平方差公式形式的算式，变形为「两个数的和 × 这两个数的差」的结构，再套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$快速计算，避免大数硬算的繁琐和出错。
第（1）题中98=100-2，102=100+2，刚好凑成100与2的和差相乘的形式；
第（2）题的两个带分数，$19\frac{2}{3}=20-\frac{1}{3}$，$20\frac{1}{3}=20+\frac{1}{3}$，凑成20和$\frac{1}{3}$的和差相乘；
第（3）题先把后面的124×122变形，124=123+1，122=123-1，套用平方差后可以和前面的$123^2$抵消，直接得到结果。
【解析】
（1）对两个因数变形后套用平方差公式：
原式$=(100 - 2)×(100 + 2)$
$=100^{2}-2^{2}$
$=10000-4$
$=9996$
（2）对两个带分数变形后套用平方差公式：
原式$=(20-\frac{1}{3})(20+\frac{1}{3})$
$=20^{2}-(\frac{1}{3})^{2}$
$=400-\frac{1}{9}$
$=399\frac{8}{9}$
（3）先将乘积项变形为和差形式，再套用平方差公式化简：
原式$=123^{2}-(123 + 1)×(123 - 1)$
$=123^{2}-(123^{2}-1)$
$=123^2-123^2+1$
$=1$
【答案】
（1）9996；（2）$399\frac{8}{9}$；（3）1
【知识点】
平方差公式，整式简便运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，重点考察学生对公式特征的识别能力，不需要硬算大数乘法，通过凑出相同项、相反项的结构大幅降低计算量，帮助学生理解乘法公式在简化运算中的作用，其中第三题需要先对乘积项变形再套用公式，是非常典型的常考变形类型。
【难度系数】
0.8
这道题要求利用平方差公式简化计算，核心思路是先观察算式里的数字特征，把原本不满足平方差公式形式的算式，变形为「两个数的和 × 这两个数的差」的结构，再套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$快速计算，避免大数硬算的繁琐和出错。
第（1）题中98=100-2，102=100+2，刚好凑成100与2的和差相乘的形式；
第（2）题的两个带分数，$19\frac{2}{3}=20-\frac{1}{3}$，$20\frac{1}{3}=20+\frac{1}{3}$，凑成20和$\frac{1}{3}$的和差相乘；
第（3）题先把后面的124×122变形，124=123+1，122=123-1，套用平方差后可以和前面的$123^2$抵消，直接得到结果。
【解析】
（1）对两个因数变形后套用平方差公式：
原式$=(100 - 2)×(100 + 2)$
$=100^{2}-2^{2}$
$=10000-4$
$=9996$
（2）对两个带分数变形后套用平方差公式：
原式$=(20-\frac{1}{3})(20+\frac{1}{3})$
$=20^{2}-(\frac{1}{3})^{2}$
$=400-\frac{1}{9}$
$=399\frac{8}{9}$
（3）先将乘积项变形为和差形式，再套用平方差公式化简：
原式$=123^{2}-(123 + 1)×(123 - 1)$
$=123^{2}-(123^{2}-1)$
$=123^2-123^2+1$
$=1$
【答案】
（1）9996；（2）$399\frac{8}{9}$；（3）1
【知识点】
平方差公式，整式简便运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，重点考察学生对公式特征的识别能力，不需要硬算大数乘法，通过凑出相同项、相反项的结构大幅降低计算量，帮助学生理解乘法公式在简化运算中的作用，其中第三题需要先对乘积项变形再套用公式，是非常典型的常考变形类型。
【难度系数】
0.8
5. 学校要举行校庆活动，现计划搭建舞台。有一边长为 $ b $ 的正方形花坛，学生团队联合会献计献策提出两个方案：
方案一：如图（1），绕花坛搭建外围是正方形的“回”字形舞台（阴影部分），面积为 $ S_{1} $；
方案二：如图（2），在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），面积为 $ S_{2} $。
（1）请分别计算出 $ S_{1} $ 与 $ S_{2} $ 的面积；
（2）比较 $ S_{1} $ 与 $ S_{2} $ 的大小。
方案一：如图（1），绕花坛搭建外围是正方形的“回”字形舞台（阴影部分），面积为 $ S_{1} $；
方案二：如图（2），在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），面积为 $ S_{2} $。
（1）请分别计算出 $ S_{1} $ 与 $ S_{2} $ 的面积；
（2）比较 $ S_{1} $ 与 $ S_{2} $ 的大小。
答案
5. 解：（1）由图可知$S_{1}=a^{2}-b^{2}$，
$S_{2}=(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+b)(a - b)-b^{2}=a^{2}-2b^{2}$。
（2）因为$S_{1}-S_{2}=a^{2}-b^{2}-(a^{2}-2b^{2})=b^{2}＞0$，
所以$S_{1}＞S_{2}$。
$S_{2}=(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+b)(a - b)-b^{2}=a^{2}-2b^{2}$。
（2）因为$S_{1}-S_{2}=a^{2}-b^{2}-(a^{2}-2b^{2})=b^{2}＞0$，
所以$S_{1}＞S_{2}$。
解析
【分析】
首先思考第一问求阴影部分面积，对于这类带空白的阴影图形，优先用“整体面积减去空白面积”的思路计算：方案一的外围是边长为a的正方形，空白是边长为b的正方形，直接代入正方形面积公式相减即可得到S₁。方案二的“凹”字形阴影，梳理图形各边长度后，通过整体面积减去空白部分面积再化简，就能得到S₂。第二问比较两个代数式的大小，使用常用的作差法：计算两个式子的差，根据差的正负性判断二者的大小关系，由于b是长度，b²必然为正，很容易推导得出结果。
【解析】
（1）计算$S_1$：
图（1）中外围大正方形边长为$a$，面积为$a^2$，中间空白花坛是边长为$b$的正方形，面积为$b^2$，因此阴影部分面积：
$S_1 = a^2 - b^2$
计算$S_2$：
图（2）中图形总长度为$\frac{a}{2}+b+\frac{a}{2}=a$，通过整体减空白的方法推导可得：
$S_2=(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+b)(a - b)-b^{2}=a(a-b)+b(a-b)-b^2=a^2-ab+ab-b^2-b^2=a^2-2b^2$
（2）比较$S_1$和$S_2$的大小：
用作差法计算两式的差：
$S_{1}-S_{2}=a^{2}-b^{2}-(a^{2}-2b^{2})=b^{2}$
因为$b$是花坛的边长，$b＞0$，因此$b^2＞0$，即$S_1 - S_2＞0$，可得$S_1＞S_2$。
【答案】
（1）$S_1=a^2 - b^2$，$S_2=a^2 - 2b^2$；（2）$S_1＞S_2$
【知识点】
正方形面积计算，作差法比较大小，整式加减运算
【点评】
本题结合校庆搭建舞台的实际场景，考察不规则图形面积计算和整式大小比较，核心是引导学生掌握“整体减空白”的割补思路求解阴影面积，同时巩固作差法比较代数式大小的常用技巧，需要学生准确识别图形边长的对应关系，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
首先思考第一问求阴影部分面积，对于这类带空白的阴影图形，优先用“整体面积减去空白面积”的思路计算：方案一的外围是边长为a的正方形，空白是边长为b的正方形，直接代入正方形面积公式相减即可得到S₁。方案二的“凹”字形阴影，梳理图形各边长度后，通过整体面积减去空白部分面积再化简，就能得到S₂。第二问比较两个代数式的大小，使用常用的作差法：计算两个式子的差，根据差的正负性判断二者的大小关系，由于b是长度，b²必然为正，很容易推导得出结果。
【解析】
（1）计算$S_1$：
图（1）中外围大正方形边长为$a$，面积为$a^2$，中间空白花坛是边长为$b$的正方形，面积为$b^2$，因此阴影部分面积：
$S_1 = a^2 - b^2$
计算$S_2$：
图（2）中图形总长度为$\frac{a}{2}+b+\frac{a}{2}=a$，通过整体减空白的方法推导可得：
$S_2=(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+b)(a - b)-b^{2}=a(a-b)+b(a-b)-b^2=a^2-ab+ab-b^2-b^2=a^2-2b^2$
（2）比较$S_1$和$S_2$的大小：
用作差法计算两式的差：
$S_{1}-S_{2}=a^{2}-b^{2}-(a^{2}-2b^{2})=b^{2}$
因为$b$是花坛的边长，$b＞0$，因此$b^2＞0$，即$S_1 - S_2＞0$，可得$S_1＞S_2$。
【答案】
（1）$S_1=a^2 - b^2$，$S_2=a^2 - 2b^2$；（2）$S_1＞S_2$
【知识点】
正方形面积计算，作差法比较大小，整式加减运算
【点评】
本题结合校庆搭建舞台的实际场景，考察不规则图形面积计算和整式大小比较，核心是引导学生掌握“整体减空白”的割补思路求解阴影面积，同时巩固作差法比较代数式大小的常用技巧，需要学生准确识别图形边长的对应关系，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
6. 珍珍用 2 张 $ A $ 型卡片、2 张 $ B $ 型卡片和 1 张 $ C $ 型卡片拼成了如图所示的大长方形。其中 $ A $ 型卡片是边长为 $ a $ 的正方形，$ B $ 型卡片是长方形，$ C $ 型卡片是边长为 $ b $ 的正方形。
（1）请用含 $ a $，$ b $ 的代数式分别表示出 $ B $ 型卡片的长和宽。
（2）请用含 $ a $，$ b $ 的代数式表示出拼成的这个大长方形的面积，进行化简；并求当 $ a = 5 $，$ b = 3 $ 时该大长方形的面积。
（1）请用含 $ a $，$ b $ 的代数式分别表示出 $ B $ 型卡片的长和宽。
（2）请用含 $ a $，$ b $ 的代数式表示出拼成的这个大长方形的面积，进行化简；并求当 $ a = 5 $，$ b = 3 $ 时该大长方形的面积。
答案
6. 解：（1）长：$a + b$，宽：$a - b$。
（2）大长方形的面积为$(a + a + b)(a + a - b)=4a^{2}-b^{2}$。
当$a = 5$，$b = 3$时，大长方形的面积为$4×5^{2}-3^{2}=91$。
（2）大长方形的面积为$(a + a + b)(a + a - b)=4a^{2}-b^{2}$。
当$a = 5$，$b = 3$时，大长方形的面积为$4×5^{2}-3^{2}=91$。
解析
【分析】
这道题我们可以分两步思考：第一问推导B型卡片的长宽，首先已知A型卡片是边长为a的正方形、C型卡片是边长为b的正方形，观察图形的拼接关系，横向的边长拼接可以直接得到B型卡片的长，纵向的边长差可以得到B型卡片的宽；第二问求大长方形面积，先通过拼接关系得到大长方形整体的长和宽，用长乘宽列出面积代数式，再利用整式乘法公式化简，最后代入给定的数值计算即可。
【解析】
（1）结合图形的边长对应关系：
已知A型卡片边长为a，C型卡片边长为b，从横向拼接的等量关系可得B型卡片的长为$a+b$；从纵向的边长差可得B型卡片的宽为$a-b$。
（2）先确定大长方形的整体长宽：
大长方形的长 = $a + (a+b) = 2a + b$，
大长方形的宽 = $a + (a-b) = 2a - b$，
因此大长方形的面积：
$S=(2a+b)(2a-b)=(2a)^2 - b^2=4a^2 - b^2$。
将$a=5$，$b=3$代入化简后的面积表达式：
$S=4×5^2 - 3^2=4×25 -9=100-9=91$。
【答案】
（1）B型卡片的长为$a+b$，宽为$a-b$；（2）大长方形面积化简后为$4a^2 - b^2$，当$a=5$，$b=3$时大长方形的面积为91。
【知识点】
整式乘法，平方差公式，图形边长拼接
【点评】
本题是几何图形与代数运算结合的基础应用题，重点考察学生通过观察图形拼接关系提取边长等量关系的能力，同时巩固了平方差公式的化简应用，整体逻辑清晰，只要能准确对应图形的边长关系就可以顺利求解。
【难度系数】
0.6
这道题我们可以分两步思考：第一问推导B型卡片的长宽，首先已知A型卡片是边长为a的正方形、C型卡片是边长为b的正方形，观察图形的拼接关系，横向的边长拼接可以直接得到B型卡片的长，纵向的边长差可以得到B型卡片的宽；第二问求大长方形面积，先通过拼接关系得到大长方形整体的长和宽，用长乘宽列出面积代数式，再利用整式乘法公式化简，最后代入给定的数值计算即可。
【解析】
（1）结合图形的边长对应关系：
已知A型卡片边长为a，C型卡片边长为b，从横向拼接的等量关系可得B型卡片的长为$a+b$；从纵向的边长差可得B型卡片的宽为$a-b$。
（2）先确定大长方形的整体长宽：
大长方形的长 = $a + (a+b) = 2a + b$，
大长方形的宽 = $a + (a-b) = 2a - b$，
因此大长方形的面积：
$S=(2a+b)(2a-b)=(2a)^2 - b^2=4a^2 - b^2$。
将$a=5$，$b=3$代入化简后的面积表达式：
$S=4×5^2 - 3^2=4×25 -9=100-9=91$。
【答案】
（1）B型卡片的长为$a+b$，宽为$a-b$；（2）大长方形面积化简后为$4a^2 - b^2$，当$a=5$，$b=3$时大长方形的面积为91。
【知识点】
整式乘法，平方差公式，图形边长拼接
【点评】
本题是几何图形与代数运算结合的基础应用题，重点考察学生通过观察图形拼接关系提取边长等量关系的能力，同时巩固了平方差公式的化简应用，整体逻辑清晰，只要能准确对应图形的边长关系就可以顺利求解。
【难度系数】
0.6
