登录
7. 已知 $ |x - y - 6|+(x + y + 8)^{2}=0 $，那么 $ x^{2}-y^{2}= $(
A.48
B.$ -48 $
C.14
D.$ -14 $
B
)。A.48
B.$ -48 $
C.14
D.$ -14 $
答案
7. B
解析
因为$|x - y - 6| ≥ 0$，$(x + y + 8)^{2} ≥ 0$，且$|x - y - 6| + (x + y + 8)^{2} = 0$，所以$\begin{cases}x - y - 6 = 0 \\ x + y + 8 = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}x - y = 6 \\ x + y = -8\end{cases}$。
$x^{2} - y^{2} = (x - y)(x + y) = 6×(-8) = -48$
B
$x^{2} - y^{2} = (x - y)(x + y) = 6×(-8) = -48$
B
8. 阅读例题的解答过程，并解答下列各题。
例：用简便方法计算 $ 195×205 $。
例：用简便方法计算 $ 195×205 $。
答案
8. （1）平方差公式 （2）9999
（3）原式$=2025^{2}-(2025 - 1)×(2025 + 1)=2025^{2}-(2025^{2}-1)=1$。
（3）原式$=2025^{2}-(2025 - 1)×(2025 + 1)=2025^{2}-(2025^{2}-1)=1$。
解析
【分析】
首先我们先梳理例题的计算逻辑：例题里的195和205都接近整百数200，刚好可以分别写成200-5和200+5，符合“两个数的和乘两个数的差”的结构，直接套用对应公式就能把多位数乘法转化为两个平方数相减，大幅简化运算。解题时第一步先识别例题用到的运算公式，后续遇到两个乘数相差2、且接近同一个基准数的乘法，都可以拆成「基准数-差值」×「基准数+差值」的形式套用公式计算；第三问的含大数平方的算式，也可以把乘积项拆成和平方项同基准的和差形式，直接抵消高次项得到结果。
【解析】
（1）例题的运算过程为$195×205=(200-5)×(200+5)=200^2-5^2$，依据的是平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$。
（2）以典型的$99×101$为例套用公式计算：
$99×101=(100-1)×(100+1)=100^2-1^2=10000-1=9999$。
（3）对第三问的算式变形计算：
原式$=2025^{2}-(2025 - 1)×(2025 + 1)$
$=2025^{2}-(2025^{2}-1)$
$=2025^2-2025^2+1$
$=1$
【答案】
（1）平方差公式 （2）9999
（3）原式$=2025^{2}-(2025 - 1)×(2025 + 1)=2025^{2}-(2025^{2}-1)=1$
【知识点】
平方差公式，整式简便运算
【点评】
本题属于阅读套用类基础题型，核心考察平方差公式的灵活应用，引导学生跳出硬算复杂大数乘法的惯性思路，通过观察乘数特征构造平方差的标准形式降低运算量，能帮助学生加深对乘法公式结构的理解，避免死记硬背公式。
【难度系数】
0.7
首先我们先梳理例题的计算逻辑：例题里的195和205都接近整百数200，刚好可以分别写成200-5和200+5，符合“两个数的和乘两个数的差”的结构，直接套用对应公式就能把多位数乘法转化为两个平方数相减，大幅简化运算。解题时第一步先识别例题用到的运算公式，后续遇到两个乘数相差2、且接近同一个基准数的乘法，都可以拆成「基准数-差值」×「基准数+差值」的形式套用公式计算；第三问的含大数平方的算式，也可以把乘积项拆成和平方项同基准的和差形式，直接抵消高次项得到结果。
【解析】
（1）例题的运算过程为$195×205=(200-5)×(200+5)=200^2-5^2$，依据的是平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$。
（2）以典型的$99×101$为例套用公式计算：
$99×101=(100-1)×(100+1)=100^2-1^2=10000-1=9999$。
（3）对第三问的算式变形计算：
原式$=2025^{2}-(2025 - 1)×(2025 + 1)$
$=2025^{2}-(2025^{2}-1)$
$=2025^2-2025^2+1$
$=1$
【答案】
（1）平方差公式 （2）9999
（3）原式$=2025^{2}-(2025 - 1)×(2025 + 1)=2025^{2}-(2025^{2}-1)=1$
【知识点】
平方差公式，整式简便运算
【点评】
本题属于阅读套用类基础题型，核心考察平方差公式的灵活应用，引导学生跳出硬算复杂大数乘法的惯性思路，通过观察乘数特征构造平方差的标准形式降低运算量，能帮助学生加深对乘法公式结构的理解，避免死记硬背公式。
【难度系数】
0.7
9. 用平方差公式进行计算：
（1）$ (1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×···×(1-\frac{1}{2026^{2}}) $；
（2）$ 100^{2}-99^{2}+98^{2}-97^{2}+96^{2}-95^{2}+···+2^{2}-1^{2} $。
（1）$ (1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×···×(1-\frac{1}{2026^{2}}) $；
（2）$ 100^{2}-99^{2}+98^{2}-97^{2}+96^{2}-95^{2}+···+2^{2}-1^{2} $。
答案
9. 解：（1）原式$=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})×···×(1-\frac{1}{2026})×(1+\frac{1}{2026})$
$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{2025}{2026}×\frac{2027}{2026}$
$=\frac{2027}{4052}$。
（2）原式$=(100 + 99)×(100 - 99)+(98 + 97)×(98 - 97)+(96 + 95)×(96 - 95)+···+(2 + 1)×(2 - 1)$
$=100 + 99 + 98 + 97 + 96 + 95+···+2 + 1$
$=5050$。
$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{2025}{2026}×\frac{2027}{2026}$
$=\frac{2027}{4052}$。
（2）原式$=(100 + 99)×(100 - 99)+(98 + 97)×(98 - 97)+(96 + 95)×(96 - 95)+···+(2 + 1)×(2 - 1)$
$=100 + 99 + 98 + 97 + 96 + 95+···+2 + 1$
$=5050$。
解析
【分析】
这道题要求利用平方差公式计算，首先回忆平方差公式：$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，解题核心思路是先观察两个小题的式子结构，找到符合平方差形式的部分，套用公式后再利用规律简化计算：
1. 第（1）小题中每一个因式都是$1-\frac{1}{n^2}$的形式，刚好可以写成$1^2 - (\frac{1}{n})^2$，完全符合平方差公式的结构，先把每一项都拆成$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$的形式，整理后会发现中间的分数全部可以交叉约分，最后只剩下首尾两项相乘，就能快速得到结果，不需要逐个计算乘积。
2. 第（2）小题是相邻两个数的平方做差，两两分组后每一组都是$a^2 - b^2$且$a-b=1$，套用平方差公式展开后，每一组的结果就等于$a+b$，整个式子就转化为从1到100的连续整数求和，用等差数列求和公式就能快速算出结果，避免逐个计算平方再做差的大量运算。
【解析】
（1）对每一项$1-\frac{1}{k^2}$套用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，可得$1-\frac{1}{k^2}=(1-\frac{1}{k})(1+\frac{1}{k})$，代入原式：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×···×(1-\frac{1}{2026^2})\\&=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})×···×(1-\frac{1}{2026})×(1+\frac{1}{2026})\\&=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{2025}{2026}×\frac{2027}{2026}\end{aligned}$
观察可得中间所有分数的分子和相邻分数的分母完全相等，全部约分抵消，最终剩余：
$原式=\frac{1}{2}×\frac{2027}{2026}=\frac{2027}{4052}$
（2）将原式从左到右两两分组，每组形式为$(m^2-(m-1)^2)$，对每组套用平方差公式：
$\begin{aligned}原式&=(100^2-99^2)+(98^2-97^2)+···+(2^2-1^2)\\&=(100 + 99)×(100 - 99)+(98 + 97)×(98 - 97)+···+(2 + 1)×(2 - 1)\end{aligned}$
由于每组中$m-(m-1)=1$，因此所有项简化为：
$原式=100+99+98+97+···+2+1$
根据等差数列求和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，其中项数$n=100$，首项$a_1=1$，末项$a_n=100$，代入得：
$原式=\frac{100×(1+100)}{2}=5050$
【答案】
（1）$\frac{2027}{4052}$；（2）$5050$
【知识点】
平方差公式，有理数巧算，等差数列求和
【点评】
本题是平方差公式的典型拓展应用题，没有直接给出常规的平方差计算形式，需要学生主动观察式子的结构特征，灵活对原式做变形后套用公式，结合连乘约分、分组求和的技巧大幅降低运算量，既巩固了平方差公式的应用，也能锻炼学生的代数变形能力和规律观察能力，是整式乘法板块的经典巧算题型。
【难度系数】
0.6
这道题要求利用平方差公式计算，首先回忆平方差公式：$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，解题核心思路是先观察两个小题的式子结构，找到符合平方差形式的部分，套用公式后再利用规律简化计算：
1. 第（1）小题中每一个因式都是$1-\frac{1}{n^2}$的形式，刚好可以写成$1^2 - (\frac{1}{n})^2$，完全符合平方差公式的结构，先把每一项都拆成$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$的形式，整理后会发现中间的分数全部可以交叉约分，最后只剩下首尾两项相乘，就能快速得到结果，不需要逐个计算乘积。
2. 第（2）小题是相邻两个数的平方做差，两两分组后每一组都是$a^2 - b^2$且$a-b=1$，套用平方差公式展开后，每一组的结果就等于$a+b$，整个式子就转化为从1到100的连续整数求和，用等差数列求和公式就能快速算出结果，避免逐个计算平方再做差的大量运算。
【解析】
（1）对每一项$1-\frac{1}{k^2}$套用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，可得$1-\frac{1}{k^2}=(1-\frac{1}{k})(1+\frac{1}{k})$，代入原式：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×···×(1-\frac{1}{2026^2})\\&=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})×···×(1-\frac{1}{2026})×(1+\frac{1}{2026})\\&=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{2025}{2026}×\frac{2027}{2026}\end{aligned}$
观察可得中间所有分数的分子和相邻分数的分母完全相等，全部约分抵消，最终剩余：
$原式=\frac{1}{2}×\frac{2027}{2026}=\frac{2027}{4052}$
（2）将原式从左到右两两分组，每组形式为$(m^2-(m-1)^2)$，对每组套用平方差公式：
$\begin{aligned}原式&=(100^2-99^2)+(98^2-97^2)+···+(2^2-1^2)\\&=(100 + 99)×(100 - 99)+(98 + 97)×(98 - 97)+···+(2 + 1)×(2 - 1)\end{aligned}$
由于每组中$m-(m-1)=1$，因此所有项简化为：
$原式=100+99+98+97+···+2+1$
根据等差数列求和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，其中项数$n=100$，首项$a_1=1$，末项$a_n=100$，代入得：
$原式=\frac{100×(1+100)}{2}=5050$
【答案】
（1）$\frac{2027}{4052}$；（2）$5050$
【知识点】
平方差公式，有理数巧算，等差数列求和
【点评】
本题是平方差公式的典型拓展应用题，没有直接给出常规的平方差计算形式，需要学生主动观察式子的结构特征，灵活对原式做变形后套用公式，结合连乘约分、分组求和的技巧大幅降低运算量，既巩固了平方差公式的应用，也能锻炼学生的代数变形能力和规律观察能力，是整式乘法板块的经典巧算题型。
【难度系数】
0.6
10. 填空：
① $ (x - 1)(x + 1) = $
② $ (x - 1)(x^{2}+x + 1) = $
③ $ (x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1) = $
……
请根据你发现的规律完成下列各题：
(1)根据规律可得：$ (x - 1)(x^{n - 1}+x^{n - 2}+···+x + 1) = $
(2)计算：$ (5 - 1)×(5^{50}+5^{49}+5^{48}+···+5^{2}+5 + 1) $；
(3)① 计算：$ 2^{2026}+2^{2025}+2^{2024}+···+2 + 1 $；
② 计算：$ (-2)^{2026}+(-2)^{2025}+(-2)^{2024}+···+(-2)+1 $。
① $ (x - 1)(x + 1) = $
$x^{2}-1$
；② $ (x - 1)(x^{2}+x + 1) = $
$x^{3}-1$
；③ $ (x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1) = $
$x^{4}-1$
；……
请根据你发现的规律完成下列各题：
(1)根据规律可得：$ (x - 1)(x^{n - 1}+x^{n - 2}+···+x + 1) = $
$x^{n}-1$
；(其中 $ n $ 为正整数)(2)计算：$ (5 - 1)×(5^{50}+5^{49}+5^{48}+···+5^{2}+5 + 1) $；
(3)① 计算：$ 2^{2026}+2^{2025}+2^{2024}+···+2 + 1 $；
② 计算：$ (-2)^{2026}+(-2)^{2025}+(-2)^{2024}+···+(-2)+1 $。
答案
10. 解：①$x^{2}-1$ ②$x^{3}-1$ ③$x^{4}-1$
（1）$x^{n}-1$
（2）$(5 - 1)×(5^{50}+5^{49}+5^{48}+···+5^{2}+5 + 1)$
$=5^{51}-1$。
（3）①由$(x - 1)(x^{n - 1}+x^{n - 2}+···+x + 1)=x^{n}-1$可得：
$2^{2026}+2^{2025}+2^{2024}+···+2 + 1$
$=(2 - 1)(2^{2026}+2^{2025}+2^{2024}+···+2 + 1)$
$=2^{2027}-1$。
②由$(x - 1)(x^{n - 1}+x^{n - 2}+···+x + 1)=x^{n}-1$可得：
$(-2)^{2026}+(-2)^{2025}+(-2)^{2024}+···+(-2)+1$
$=\frac{1}{(-2)-1}×(-2 - 1)[(-2)^{2026}+(-2)^{2025}+(-2)^{2024}+···+(-2)+1]$
$=\frac{1}{(-2)-1}×[(-2)^{2027}-1]$
$=\frac{2^{2027}+1}{3}$。
（1）$x^{n}-1$
（2）$(5 - 1)×(5^{50}+5^{49}+5^{48}+···+5^{2}+5 + 1)$
$=5^{51}-1$。
（3）①由$(x - 1)(x^{n - 1}+x^{n - 2}+···+x + 1)=x^{n}-1$可得：
$2^{2026}+2^{2025}+2^{2024}+···+2 + 1$
$=(2 - 1)(2^{2026}+2^{2025}+2^{2024}+···+2 + 1)$
$=2^{2027}-1$。
②由$(x - 1)(x^{n - 1}+x^{n - 2}+···+x + 1)=x^{n}-1$可得：
$(-2)^{2026}+(-2)^{2025}+(-2)^{2024}+···+(-2)+1$
$=\frac{1}{(-2)-1}×(-2 - 1)[(-2)^{2026}+(-2)^{2025}+(-2)^{2024}+···+(-2)+1]$
$=\frac{1}{(-2)-1}×[(-2)^{2027}-1]$
$=\frac{2^{2027}+1}{3}$。
解析
【分析】
我们先从最基础的三个整式乘法计算入手，分别展开三个乘积式，观察结果的共同特征：可以发现左边都是$(x-1)$乘以一系列降次排列的$x$的非负整数次幂的和，右边的结果都是$x$的最高次幂加1之后的次方减1。接下来归纳出通用规律，得到第(1)问的结论。后续计算类题目直接套用总结的规律即可：第(2)问完全符合规律形式，直接代入对应数值就能得到结果；第(3)问的①，原式是从$2^0$到$2^{2026}$的和，我们乘上数值为1的$(2-1)$，原式值不变，刚好匹配恒等式形式；第(3)问的②，原式是从$(-2)^0$到$(-2)^{2026}$的和，我们给原式整体乘$(-2-1)$再除以$(-2-1)$，保证原式数值不变，凑出恒等式所需的因子后化简即可得到结果。
【解析】
先计算前三个基础整式乘法：
① 由平方差公式直接得：$(x-1)(x+1)=x^2-1$；
② 展开多项式乘积：$(x-1)(x^2+x+1)=x^3+x^2+x -x^2 -x -1=x^3-1$；
③ 展开多项式乘积：$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4+x^3+x^2+x -x^3 -x^2 -x -1=x^4-1$；
(1) 观察上述三个式子的规律：$(x-1)$乘以从$x^0$到$x^{k}$的和，结果为$x^{k+1}-1$，因此可得$(x - 1)(x^{n - 1}+x^{n - 2}+···+x + 1) = x^n -1$；
(2) 对比规律，此处$x=5$，最高次项为$5^{50}$，代入规律直接得：
$(5 - 1)×(5^{50}+5^{49}+5^{48}+···+5^{2}+5 + 1)=5^{51}-1$；
(3) ① 对原式补乘数值为1的$(2-1)$，匹配恒等式形式：
$2^{2026}+2^{2025}+2^{2024}+···+2 + 1$
$=(2 - 1)(2^{2026}+2^{2025}+2^{2024}+···+2 + 1)$
$=2^{2027}-1$；
② 对原式补乘$(-2-1)$再除以$(-2-1)$，保证原式值不变，匹配恒等式形式：
$(-2)^{2026}+(-2)^{2025}+(-2)^{2024}+···+(-2)+1$
$=\frac{1}{(-2)-1}×(-2 - 1)[(-2)^{2026}+(-2)^{2025}+(-2)^{2024}+···+(-2)+1]$
$=\frac{1}{-3}×[(-2)^{2027}-1]$
$=\frac{1}{-3}×(-2^{2027}-1)$
$=\frac{2^{2027}+1}{3}$。
【答案】
①$x^{2}-1$；②$x^{3}-1$；③$x^{4}-1$；(1)$x^{n}-1$；(2)$5^{51}-1$；(3)①$2^{2027}-1$；②$\frac{2^{2027}+1}{3}$
【知识点】
平方差公式，多项式乘法，规律探究
【点评】
本题属于整式乘法的规律探究题，采用从特殊到一般的数学思想，先通过低次的整式运算引导学生自主推导高次代数恒等式，再反向利用恒等式简化高次幂求和运算，避免复杂的直接计算。其中第(3)问的第②小问需要学生主动构造恒等式所需的$(x-1)$因子，是本题的易错点，能很好锻炼学生的归纳推理和灵活运用公式的能力。
【难度系数】
0.6
我们先从最基础的三个整式乘法计算入手，分别展开三个乘积式，观察结果的共同特征：可以发现左边都是$(x-1)$乘以一系列降次排列的$x$的非负整数次幂的和，右边的结果都是$x$的最高次幂加1之后的次方减1。接下来归纳出通用规律，得到第(1)问的结论。后续计算类题目直接套用总结的规律即可：第(2)问完全符合规律形式，直接代入对应数值就能得到结果；第(3)问的①，原式是从$2^0$到$2^{2026}$的和，我们乘上数值为1的$(2-1)$，原式值不变，刚好匹配恒等式形式；第(3)问的②，原式是从$(-2)^0$到$(-2)^{2026}$的和，我们给原式整体乘$(-2-1)$再除以$(-2-1)$，保证原式数值不变，凑出恒等式所需的因子后化简即可得到结果。
【解析】
先计算前三个基础整式乘法：
① 由平方差公式直接得：$(x-1)(x+1)=x^2-1$；
② 展开多项式乘积：$(x-1)(x^2+x+1)=x^3+x^2+x -x^2 -x -1=x^3-1$；
③ 展开多项式乘积：$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4+x^3+x^2+x -x^3 -x^2 -x -1=x^4-1$；
(1) 观察上述三个式子的规律：$(x-1)$乘以从$x^0$到$x^{k}$的和，结果为$x^{k+1}-1$，因此可得$(x - 1)(x^{n - 1}+x^{n - 2}+···+x + 1) = x^n -1$；
(2) 对比规律，此处$x=5$，最高次项为$5^{50}$，代入规律直接得：
$(5 - 1)×(5^{50}+5^{49}+5^{48}+···+5^{2}+5 + 1)=5^{51}-1$；
(3) ① 对原式补乘数值为1的$(2-1)$，匹配恒等式形式：
$2^{2026}+2^{2025}+2^{2024}+···+2 + 1$
$=(2 - 1)(2^{2026}+2^{2025}+2^{2024}+···+2 + 1)$
$=2^{2027}-1$；
② 对原式补乘$(-2-1)$再除以$(-2-1)$，保证原式值不变，匹配恒等式形式：
$(-2)^{2026}+(-2)^{2025}+(-2)^{2024}+···+(-2)+1$
$=\frac{1}{(-2)-1}×(-2 - 1)[(-2)^{2026}+(-2)^{2025}+(-2)^{2024}+···+(-2)+1]$
$=\frac{1}{-3}×[(-2)^{2027}-1]$
$=\frac{1}{-3}×(-2^{2027}-1)$
$=\frac{2^{2027}+1}{3}$。
【答案】
①$x^{2}-1$；②$x^{3}-1$；③$x^{4}-1$；(1)$x^{n}-1$；(2)$5^{51}-1$；(3)①$2^{2027}-1$；②$\frac{2^{2027}+1}{3}$
【知识点】
平方差公式，多项式乘法，规律探究
【点评】
本题属于整式乘法的规律探究题，采用从特殊到一般的数学思想，先通过低次的整式运算引导学生自主推导高次代数恒等式，再反向利用恒等式简化高次幂求和运算，避免复杂的直接计算。其中第(3)问的第②小问需要学生主动构造恒等式所需的$(x-1)$因子，是本题的易错点，能很好锻炼学生的归纳推理和灵活运用公式的能力。
【难度系数】
0.6
