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11. 如图 1，边长为 $ a $ 的大正方形内有一个边长为 $ b $ 的小正方形。
(1)用含字母的代数式表示图 1 中阴影部分的面积为
(2)将图 1 的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图 2 所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为
（3）比较图 1 和图 2 的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式
（4）结合（3）的公式，计算：
① $ (x - 2)(x + 2)(x^{2}+4) $；
② $ (1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^{2}})×(1+\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}} $。
(1)用含字母的代数式表示图 1 中阴影部分的面积为
$a^{2}-b^{2}$
；(2)将图 1 的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图 2 所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为
$(a + b)(a - b)$
；(多项式乘积的形式)（3）比较图 1 和图 2 的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式
$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$
；（4）结合（3）的公式，计算：
① $ (x - 2)(x + 2)(x^{2}+4) $；
② $ (1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^{2}})×(1+\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}} $。
答案
11. 解：（1）$a^{2}-b^{2}$ （2）$(a + b)(a - b)$
（3）$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$
（4）①$(x - 2)(x + 2)(x^{2}+4)=(x^{2}-4)(x^{2}+4)=x^{4}-16$。
②原式$=2×(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^{2}})×(1+\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}$
$=2×(1-\frac{1}{2^{2}})×(1+\frac{1}{2^{2}})×(1+\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}$
$=2×(1-\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}$
$=2×(1-\frac{1}{2^{8}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}$
$=2×(1-\frac{1}{2^{16}})+\frac{1}{2^{15}}=2-\frac{1}{2^{15}}+\frac{1}{2^{15}}=2$。
（3）$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$
（4）①$(x - 2)(x + 2)(x^{2}+4)=(x^{2}-4)(x^{2}+4)=x^{4}-16$。
②原式$=2×(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^{2}})×(1+\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}$
$=2×(1-\frac{1}{2^{2}})×(1+\frac{1}{2^{2}})×(1+\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}$
$=2×(1-\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}$
$=2×(1-\frac{1}{2^{8}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}$
$=2×(1-\frac{1}{2^{16}})+\frac{1}{2^{15}}=2-\frac{1}{2^{15}}+\frac{1}{2^{15}}=2$。
解析
【分析】
我们可以按小问顺序逐步梳理思路：
1. 第(1)问：图1阴影部分是大正方形挖去空白小正方形得到的，直接用大正方形面积减去空白小正方形面积即可得到阴影面积。
2. 第(2)问：观察拼接后的图2长方形，它的长为a+b，宽为a-b，根据长方形面积=长×宽，直接写出乘积形式的面积表达式。
3. 第(3)问：图1和图2的阴影是同一图形剪开拼接得到的，面积完全相等，把前两问的面积表达式用等号连接，就能推导出对应的整式乘法公式。
4. 第(4)问①：连续两次使用平方差公式，先计算前两个因式的乘积，再将结果和第三个因式继续用平方差公式计算即可。
5. 第(4)问②：观察算式特征，发现所有相乘的因式都是“1加2的幂次倒数”的形式，缺少可配对使用平方差的(1-1/2)，我们可以给原式凑出这个因式，乘2再乘(1-1/2)等价于乘1，不会改变原式的值，之后连续多次使用平方差公式，最后剩余的项可以相互抵消，直接得到结果。
【解析】
解：
(1) 边长为a的大正方形面积为$a^2$，边长为b的空白小正方形面积为$b^2$，因此阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$a^2 - b^2$。
(2) 拼接后的长方形长为$a+b$，宽为$a-b$，根据长方形面积公式，面积为$(a+b)(a-b)$。
(3) 两个图形的阴影部分面积相等，因此可得整式乘法公式：$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。
(4) ① 连续应用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(x - 2)(x + 2)(x^{2}+4)&=(x^2 - 4)(x^2 + 4)\\&=x^4 - 16\end{aligned}$
② 凑出平方差配对项计算：
$\begin{aligned}原式&=2×(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^{2}})×(1+\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}\\&=2×(1-\frac{1}{2^{2}})×(1+\frac{1}{2^{2}})×(1+\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}\\&=2×(1-\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}\\&=2×(1-\frac{1}{2^{8}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}\\&=2×(1-\frac{1}{2^{16}})+\frac{1}{2^{15}}\\&=2-\frac{1}{2^{15}}+\frac{1}{2^{15}}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^{2}-b^{2}$；(2) $(a + b)(a - b)$；(3) $(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$；(4) ① $x^4-16$；② $2$
【知识点】
平方差公式，数形结合求面积，整式乘法运算
【点评】
本题通过几何图形拼接的方式推导平方差公式，体现了数形结合的核心数学思想，既考察了公式的推导逻辑，又考察了公式的灵活运用能力，其中第4问的第②小问需要学生掌握“凑平方差配对”的运算技巧，对学生的公式迁移应用能力有一定的拔高要求。
【难度系数】
0.6
我们可以按小问顺序逐步梳理思路：
1. 第(1)问：图1阴影部分是大正方形挖去空白小正方形得到的，直接用大正方形面积减去空白小正方形面积即可得到阴影面积。
2. 第(2)问：观察拼接后的图2长方形，它的长为a+b，宽为a-b，根据长方形面积=长×宽，直接写出乘积形式的面积表达式。
3. 第(3)问：图1和图2的阴影是同一图形剪开拼接得到的，面积完全相等，把前两问的面积表达式用等号连接，就能推导出对应的整式乘法公式。
4. 第(4)问①：连续两次使用平方差公式，先计算前两个因式的乘积，再将结果和第三个因式继续用平方差公式计算即可。
5. 第(4)问②：观察算式特征，发现所有相乘的因式都是“1加2的幂次倒数”的形式，缺少可配对使用平方差的(1-1/2)，我们可以给原式凑出这个因式，乘2再乘(1-1/2)等价于乘1，不会改变原式的值，之后连续多次使用平方差公式，最后剩余的项可以相互抵消，直接得到结果。
【解析】
解：
(1) 边长为a的大正方形面积为$a^2$，边长为b的空白小正方形面积为$b^2$，因此阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$a^2 - b^2$。
(2) 拼接后的长方形长为$a+b$，宽为$a-b$，根据长方形面积公式，面积为$(a+b)(a-b)$。
(3) 两个图形的阴影部分面积相等，因此可得整式乘法公式：$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。
(4) ① 连续应用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(x - 2)(x + 2)(x^{2}+4)&=(x^2 - 4)(x^2 + 4)\\&=x^4 - 16\end{aligned}$
② 凑出平方差配对项计算：
$\begin{aligned}原式&=2×(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^{2}})×(1+\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}\\&=2×(1-\frac{1}{2^{2}})×(1+\frac{1}{2^{2}})×(1+\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}\\&=2×(1-\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}\\&=2×(1-\frac{1}{2^{8}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}\\&=2×(1-\frac{1}{2^{16}})+\frac{1}{2^{15}}\\&=2-\frac{1}{2^{15}}+\frac{1}{2^{15}}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^{2}-b^{2}$；(2) $(a + b)(a - b)$；(3) $(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$；(4) ① $x^4-16$；② $2$
【知识点】
平方差公式，数形结合求面积，整式乘法运算
【点评】
本题通过几何图形拼接的方式推导平方差公式，体现了数形结合的核心数学思想，既考察了公式的推导逻辑，又考察了公式的灵活运用能力，其中第4问的第②小问需要学生掌握“凑平方差配对”的运算技巧，对学生的公式迁移应用能力有一定的拔高要求。
【难度系数】
0.6
