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2. 设记号 $*$ 表示求 $a,b$ 算术平均数的运算，即 $a * b=\dfrac{a+b}{2}$，则下列等式中对于任意实数 $a,b,c$ 都成立的是（
①$a+(b * c)=(a+b) *(a+c)$；
②$a *(b+c)=(a+b) * c$；
③$a *(b+c)=(a * b)+(a * c)$；
④$(a * b)+c=\dfrac{a}{2}+(b * 2c).$
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②④
B
）①$a+(b * c)=(a+b) *(a+c)$；
②$a *(b+c)=(a+b) * c$；
③$a *(b+c)=(a * b)+(a * c)$；
④$(a * b)+c=\dfrac{a}{2}+(b * 2c).$
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②④
答案
B
解析
【分析】首先明确新运算“*”的定义：对于任意实数$a,b$，$a*b=\dfrac{a+b}{2}$。要判断等式是否成立，需将每个等式中的“*”替换为对应的运算规则，分别计算等式左右两边的结果，比较是否相等即可得出结论。
【解析】已知新运算定义为：$a*b=\dfrac{a+b}{2}$，逐一验证各等式：
1. 验证①：
左边：$a+(b*c)=a+\dfrac{b+c}{2}$
右边：$(a+b)*(a+c)=\dfrac{(a+b)+(a+c)}{2}=\dfrac{2a+b+c}{2}=a+\dfrac{b+c}{2}$
左边=右边，故①成立。
2. 验证②：
左边：$a*(b+c)=\dfrac{a+(b+c)}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}$
右边：$(a+b)*c=\dfrac{(a+b)+c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}$
左边=右边，故②成立。
3. 验证③：
左边：$a*(b+c)=\dfrac{a+b+c}{2}$
右边：$(a*b)+(a*c)=\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+c}{2}=\dfrac{2a+b+c}{2}$
左边≠右边，故③不成立。
4. 验证④：
左边：$(a*b)+c=\dfrac{a+b}{2}+c=\dfrac{a+b+2c}{2}$
右边：$\dfrac{a}{2}+(b*2c)=\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+2c}{2}=\dfrac{a+b+2c}{2}$
左边=右边，故④成立。
综上，成立的等式为①②④，对应选项B。
【答案】B
【知识点】新定义运算、代数式化简
【点评】本题为新定义运算的基础题，核心是准确理解新运算规则，将陌生运算转化为常规代数式运算，通过代数计算验证等式是否成立，考查学生的代数运算能力，难度较低。
【难度系数】0.5
【解析】已知新运算定义为：$a*b=\dfrac{a+b}{2}$，逐一验证各等式：
1. 验证①：
左边：$a+(b*c)=a+\dfrac{b+c}{2}$
右边：$(a+b)*(a+c)=\dfrac{(a+b)+(a+c)}{2}=\dfrac{2a+b+c}{2}=a+\dfrac{b+c}{2}$
左边=右边，故①成立。
2. 验证②：
左边：$a*(b+c)=\dfrac{a+(b+c)}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}$
右边：$(a+b)*c=\dfrac{(a+b)+c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}$
左边=右边，故②成立。
3. 验证③：
左边：$a*(b+c)=\dfrac{a+b+c}{2}$
右边：$(a*b)+(a*c)=\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+c}{2}=\dfrac{2a+b+c}{2}$
左边≠右边，故③不成立。
4. 验证④：
左边：$(a*b)+c=\dfrac{a+b}{2}+c=\dfrac{a+b+2c}{2}$
右边：$\dfrac{a}{2}+(b*2c)=\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+2c}{2}=\dfrac{a+b+2c}{2}$
左边=右边，故④成立。
综上，成立的等式为①②④，对应选项B。
【答案】B
【知识点】新定义运算、代数式化简
【点评】本题为新定义运算的基础题，核心是准确理解新运算规则，将陌生运算转化为常规代数式运算，通过代数计算验证等式是否成立，考查学生的代数运算能力，难度较低。
【难度系数】0.5
3. 在黑板上从 1 开始，写出一组连续的正整数，然后擦去一个数，其余数的平均值为
$35\dfrac{7}{17}$，擦去的数是 （
A.5
B.6
C.7
D.8
$35\dfrac{7}{17}$，擦去的数是 （
C
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
C 提示:设一共有$n$个数.因为擦去一个数,其余数的平均值为$35\frac{7}{17}$,所以$n-1$是17的倍数,即可能是17,34,51,68,85等.显然只有当$n-1=68$时所得平均数与35相差无几,所以$n=69$,则这组数的和为$1+2+\dots+69=\frac{69 × (69+1)}{2}=2415$,且擦去一个数后其他数的和是$68 × 35\frac{7}{17}=2408$.因为$2415-2408=7$,所以擦去的数是7.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确：擦去一个数后剩余数的平均值为分数，其分母为17，说明剩余数的总个数（n-1）必须是17的倍数（因为剩余数的和为整数，需满足分母整除总和）；其次，从1开始的连续正整数的平均值接近35，可推理出总个数n约为69，进而确定剩余数个数为68（17的4倍），最后通过总和差计算擦去的数。
【解析】
解：设共有n个从1开始的连续正整数，擦去的数为x（1≤x≤n，x为正整数），则剩余(n-1)个数的和为$\frac{n(n+1)}{2} - x$，根据题意：
$\frac{\frac{n(n+1)}{2} - x}{n-1} = 35\frac{7}{17} = \frac{602}{17}$
1. 确定n的范围：剩余数的和为整数，故(n-1)必为17的倍数；又连续数1~n的平均值为$\frac{n+1}{2}$，擦去数后平均值接近35，因此$\frac{n+1}{2}≈35$，得n≈69，此时n-1=68，恰好是17的4倍，符合条件，即n=69。
2. 计算总和：1~69的总和为$\frac{69×(69+1)}{2}=2415$。
3. 计算擦去数后剩余数的和：$68×\frac{602}{17}=2408$。
4. 求擦去的数：$x=2415-2408=7$。
【答案】
C
【知识点】
平均数应用，连续整数求和
【点评】
本题关键在于利用平均值的分母特征确定剩余数的个数，结合平均数近似值推理总个数，最终通过总和差得到擦去的数，考查逻辑推理与计算能力，是一道综合性的平均数应用题。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，首先需明确：擦去一个数后剩余数的平均值为分数，其分母为17，说明剩余数的总个数（n-1）必须是17的倍数（因为剩余数的和为整数，需满足分母整除总和）；其次，从1开始的连续正整数的平均值接近35，可推理出总个数n约为69，进而确定剩余数个数为68（17的4倍），最后通过总和差计算擦去的数。
【解析】
解：设共有n个从1开始的连续正整数，擦去的数为x（1≤x≤n，x为正整数），则剩余(n-1)个数的和为$\frac{n(n+1)}{2} - x$，根据题意：
$\frac{\frac{n(n+1)}{2} - x}{n-1} = 35\frac{7}{17} = \frac{602}{17}$
1. 确定n的范围：剩余数的和为整数，故(n-1)必为17的倍数；又连续数1~n的平均值为$\frac{n+1}{2}$，擦去数后平均值接近35，因此$\frac{n+1}{2}≈35$，得n≈69，此时n-1=68，恰好是17的4倍，符合条件，即n=69。
2. 计算总和：1~69的总和为$\frac{69×(69+1)}{2}=2415$。
3. 计算擦去数后剩余数的和：$68×\frac{602}{17}=2408$。
4. 求擦去的数：$x=2415-2408=7$。
【答案】
C
【知识点】
平均数应用，连续整数求和
【点评】
本题关键在于利用平均值的分母特征确定剩余数的个数，结合平均数近似值推理总个数，最终通过总和差得到擦去的数，考查逻辑推理与计算能力，是一道综合性的平均数应用题。
【难度系数】
0.4
4. 将体温高出 $37\ °\mathrm{C}$ 的部分记作正数. 小亮一周内的体温测量结果分别为 $+0.1,-0.3,$ $-0.5,+0.1,+0.2,-0.6,-0.4,$ 那么他一周内所测量体温的平均值为
36.8
$°\mathrm{C}.$答案
36.8
解析
【分析】
要计算一周内体温的平均值，需先明确题目规则：正负数表示体温与37℃的偏差，实际体温=37℃+偏差值。因此先计算7个偏差值的总和，再求出平均偏差，最后将平均偏差与37℃相加，即可得到平均体温。
【解析】
1. 计算7个偏差值的总和：
$\begin{aligned}&(+0.1)+(-0.3)+(-0.5)+(+0.1)+(+0.2)+(-0.6)+(-0.4)\\=&0.1 - 0.3 - 0.5 + 0.1 + 0.2 - 0.6 - 0.4\\=&-1.4\end{aligned}$
2. 计算平均偏差：总偏差÷天数，即$-1.4÷7=-0.2$
3. 计算平均体温：$37 + (-0.2)=36.8(℃)$
【答案】
36.8
【知识点】
正负数的意义、平均数的计算
【点评】
本题结合实际体温测量场景，考查正负数的应用与平均数的计算，核心是理解偏差值的含义，步骤清晰，属于基础应用题，难度较低。
【难度系数】
0.8
要计算一周内体温的平均值，需先明确题目规则：正负数表示体温与37℃的偏差，实际体温=37℃+偏差值。因此先计算7个偏差值的总和，再求出平均偏差，最后将平均偏差与37℃相加，即可得到平均体温。
【解析】
1. 计算7个偏差值的总和：
$\begin{aligned}&(+0.1)+(-0.3)+(-0.5)+(+0.1)+(+0.2)+(-0.6)+(-0.4)\\=&0.1 - 0.3 - 0.5 + 0.1 + 0.2 - 0.6 - 0.4\\=&-1.4\end{aligned}$
2. 计算平均偏差：总偏差÷天数，即$-1.4÷7=-0.2$
3. 计算平均体温：$37 + (-0.2)=36.8(℃)$
【答案】
36.8
【知识点】
正负数的意义、平均数的计算
【点评】
本题结合实际体温测量场景，考查正负数的应用与平均数的计算，核心是理解偏差值的含义，步骤清晰，属于基础应用题，难度较低。
【难度系数】
0.8
5. 对于三个数 $a,b,c$，用 $M\{a,b,c\}$ 表示这三个数的平均数，用 $\min\{a,b,c\}$ 表示这三个数中最小的数. 例如：$M\{-1,2,3\} = \dfrac{-1+2+3}{3}=\dfrac{4}{3}$，$\min\{-1,2,3\}=-1$. 如果$M\{3,2x+1,x-1\}=\min\{3,-x+7,2x+5\}$，那么 $x=$
2或-4
.答案
2或-4 提示:由题意可知,$M\{3,2x+1,x-1\}=\frac{1}{3}(3+2x+1+x-1)=x+1=\min\{3,-x+7,2x+5\}$.①若$x+1=3$,解得$x=2$,符合题意;②若$x+1=-x+7$,解得$x=3$,此时$-x+7$不是最小的数,不符合题意;③若$x+1=2x+5$,解得$x=-4$,符合题意.
解析
【分析】
首先明确题目中的新定义：$M\{a,b,c\}$是三个数的平均数，计算方式为三个数的和除以3；$\min\{a,b,c\}$是三个数中最小的数。第一步先化简左边的$M$表达式，得到其简化结果；再根据等式$M=\min$，分三种情况讨论：假设$\min$分别等于等式右边三个数中的每一个，求出对应$x$后，验证该数是否确实是三个数中的最小值，排除不符合的解，最终得到正确的$x$值。
【解析】
1. 计算$M\{3,2x+1,x-1\}$：
根据平均数定义，$M\{3,2x+1,x-1\} = \frac{3 + (2x+1) + (x-1)}{3} = \frac{3x+3}{3} = x+1$，因此原等式转化为：$x+1 = \min\{3,-x+7,2x+5\}$。
2. 分三种情况讨论：
① 假设$\min\{3,-x+7,2x+5\}=3$，则$x+1=3$，解得$x=2$。此时三个数为$3,5,9$，最小数为3，符合条件，故$x=2$是解；
② 假设$\min\{3,-x+7,2x+5\}=-x+7$，则$x+1=-x+7$，解得$x=3$。此时三个数为$3,4,11$，最小数为3，不是$-x+7=4$，不符合条件，舍去；
③ 假设$\min\{3,-x+7,2x+5\}=2x+5$，则$x+1=2x+5$，解得$x=-4$。此时三个数为$3,11,-3$，最小数为$-3$，符合条件，故$x=-4$是解。
综上，$x$的解为2或-4。
【答案】
2或-4
【知识点】
平均数计算、新定义运算、分类讨论思想
【点评】
本题是新定义运算的典型题目，核心是准确理解$M$和$\min$的定义，通过分类讨论将等式转化为不同情况求解，关键在于求出$x$后必须验证该数是否确实是三个数中的最小值，避免出现增根，考查学生的逻辑分析和分类讨论能力。
【难度系数】
0.5
首先明确题目中的新定义：$M\{a,b,c\}$是三个数的平均数，计算方式为三个数的和除以3；$\min\{a,b,c\}$是三个数中最小的数。第一步先化简左边的$M$表达式，得到其简化结果；再根据等式$M=\min$，分三种情况讨论：假设$\min$分别等于等式右边三个数中的每一个，求出对应$x$后，验证该数是否确实是三个数中的最小值，排除不符合的解，最终得到正确的$x$值。
【解析】
1. 计算$M\{3,2x+1,x-1\}$：
根据平均数定义，$M\{3,2x+1,x-1\} = \frac{3 + (2x+1) + (x-1)}{3} = \frac{3x+3}{3} = x+1$，因此原等式转化为：$x+1 = \min\{3,-x+7,2x+5\}$。
2. 分三种情况讨论：
① 假设$\min\{3,-x+7,2x+5\}=3$，则$x+1=3$，解得$x=2$。此时三个数为$3,5,9$，最小数为3，符合条件，故$x=2$是解；
② 假设$\min\{3,-x+7,2x+5\}=-x+7$，则$x+1=-x+7$，解得$x=3$。此时三个数为$3,4,11$，最小数为3，不是$-x+7=4$，不符合条件，舍去；
③ 假设$\min\{3,-x+7,2x+5\}=2x+5$，则$x+1=2x+5$，解得$x=-4$。此时三个数为$3,11,-3$，最小数为$-3$，符合条件，故$x=-4$是解。
综上，$x$的解为2或-4。
【答案】
2或-4
【知识点】
平均数计算、新定义运算、分类讨论思想
【点评】
本题是新定义运算的典型题目，核心是准确理解$M$和$\min$的定义，通过分类讨论将等式转化为不同情况求解，关键在于求出$x$后必须验证该数是否确实是三个数中的最小值，避免出现增根，考查学生的逻辑分析和分类讨论能力。
【难度系数】
0.5
6. 小宇观看奥运会跳水比赛,对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣,查阅资料后,小宇了解到跳水比赛的计分规则为:
a. 每次试跳的动作,按照其完成难度的不同,对应不同的难度系数 $H$;
b. 每次试跳都有7名裁判进行打分(0~10分,分数为0.5的整数倍),在7个得分中去掉2个最高分和2个最低分,剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分 $P$;
c. 运动员该次试跳的得分 $A=$ 难度系数$H×$完成分$P×3$.
在比赛中,甲运动员最后一次试跳后的打分表如下:
请根据以上信息,回答下列问题:
(1) 甲运动员这次试跳的完成分 $P_{\mathrm{甲}}=$,得分 $A_{\mathrm{甲}}=$(直接写出答案).
(2) 如果按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分,得到的完成分为 $P'_{\mathrm{甲}}$,那么与(1)中所得的 $P_{\mathrm{甲}}$ 比较,判断$P'_{\mathrm{甲}}\_\_\_\_\_\_P_{\mathrm{甲}}$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).
(3) 在最后一次试跳之前,乙运动员的总分比甲运动员低13.2分,乙最后一次试跳的难度系数为3.6,若乙想要在总分上反超甲,则这一跳乙的完成分 $P_{\mathrm{乙}}$ 至少要超过多少分?
a. 每次试跳的动作,按照其完成难度的不同,对应不同的难度系数 $H$;
b. 每次试跳都有7名裁判进行打分(0~10分,分数为0.5的整数倍),在7个得分中去掉2个最高分和2个最低分,剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分 $P$;
c. 运动员该次试跳的得分 $A=$ 难度系数$H×$完成分$P×3$.
在比赛中,甲运动员最后一次试跳后的打分表如下:
请根据以上信息,回答下列问题:
(1) 甲运动员这次试跳的完成分 $P_{\mathrm{甲}}=$,得分 $A_{\mathrm{甲}}=$(直接写出答案).
(2) 如果按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分,得到的完成分为 $P'_{\mathrm{甲}}$,那么与(1)中所得的 $P_{\mathrm{甲}}$ 比较,判断$P'_{\mathrm{甲}}\_\_\_\_\_\_P_{\mathrm{甲}}$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).
(3) 在最后一次试跳之前,乙运动员的总分比甲运动员低13.2分,乙最后一次试跳的难度系数为3.6,若乙想要在总分上反超甲,则这一跳乙的完成分 $P_{\mathrm{乙}}$ 至少要超过多少分?
答案
(1) 8.0 84 提示:7个裁判得分中去掉2个最高分和2个最低分,剩下3个得分为7.5,8.0,8.5,其平均数为8.0,所以完成分$P_甲=8.0$,所以得分$A_甲=H · P × 3=3.5 × 8.0 × 3=84$.
(2) $＜$ 提示:$P'_甲=\frac{4.0+7.0+7.5+8.0+8.5+8.5+9.0}{7}=7.5＜8.0$,所以$P'_甲＜P_甲$.
(3) 由题意,得$3.6 × P_乙 × 3＞84+13.2$,解得$P_乙＞9$,因此$P_乙$至少要超过9.0分.
(2) $＜$ 提示:$P'_甲=\frac{4.0+7.0+7.5+8.0+8.5+8.5+9.0}{7}=7.5＜8.0$,所以$P'_甲＜P_甲$.
(3) 由题意,得$3.6 × P_乙 × 3＞84+13.2$,解得$P_乙＞9$,因此$P_乙$至少要超过9.0分.
解析
【分析】
本题围绕跳水比赛计分规则设置问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先按规则对7个打分排序，去掉2个最高分和2个最低分，计算剩余3个得分的平均值得完成分，再用“难度系数×完成分×3”计算该次试跳得分。
2. 第(2)问：计算全部7个打分的平均分，与第(1)问的完成分比较大小。
3. 第(3)问：根据“乙总分反超甲”的条件，列出关于乙完成分的不等式，求解得到乙完成分的最小值。
【解析】
(1) 7名裁判打分排序为：4.0，7.0，7.5，8.0，8.5，8.5，9.0。去掉2个最低分（4.0、7.0）和2个最高分（8.5、9.0），剩余3个得分是7.5、8.0、8.5，完成分$P_甲=\frac{7.5+8.0+8.5}{3}=8.0$；得分$A_甲=3.5×8.0×3=84$。
(2) 全部7个打分的平均分$P'_甲=\frac{4.0+7.0+7.5+8.0+8.5+8.5+9.0}{7}=7.5$，因为$7.5＜8.0$，所以$P'_甲＜P_甲$。
(3) 设乙的完成分为$P_乙$，根据题意，乙的得分需大于甲的最后得分加13.2分，即$3.6×P_乙×3＞84+13.2$，化简得$10.8P_乙＞97.2$，解得$P_乙＞9$，所以乙的完成分至少要超过9.0分。
【答案】
(1) 8.0，84；(2) ＜；(3) 9.0分
【知识点】
平均数计算、不等式应用、统计规则应用
【点评】
本题结合实际比赛规则，考查平均数计算与不等式的应用，需准确理解规则，步骤清晰，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.6
本题围绕跳水比赛计分规则设置问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先按规则对7个打分排序，去掉2个最高分和2个最低分，计算剩余3个得分的平均值得完成分，再用“难度系数×完成分×3”计算该次试跳得分。
2. 第(2)问：计算全部7个打分的平均分，与第(1)问的完成分比较大小。
3. 第(3)问：根据“乙总分反超甲”的条件，列出关于乙完成分的不等式，求解得到乙完成分的最小值。
【解析】
(1) 7名裁判打分排序为：4.0，7.0，7.5，8.0，8.5，8.5，9.0。去掉2个最低分（4.0、7.0）和2个最高分（8.5、9.0），剩余3个得分是7.5、8.0、8.5，完成分$P_甲=\frac{7.5+8.0+8.5}{3}=8.0$；得分$A_甲=3.5×8.0×3=84$。
(2) 全部7个打分的平均分$P'_甲=\frac{4.0+7.0+7.5+8.0+8.5+8.5+9.0}{7}=7.5$，因为$7.5＜8.0$，所以$P'_甲＜P_甲$。
(3) 设乙的完成分为$P_乙$，根据题意，乙的得分需大于甲的最后得分加13.2分，即$3.6×P_乙×3＞84+13.2$，化简得$10.8P_乙＞97.2$，解得$P_乙＞9$，所以乙的完成分至少要超过9.0分。
【答案】
(1) 8.0，84；(2) ＜；(3) 9.0分
【知识点】
平均数计算、不等式应用、统计规则应用
【点评】
本题结合实际比赛规则，考查平均数计算与不等式的应用，需准确理解规则，步骤清晰，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.6
