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1. 如果一组数据$5,-2,0,6,4,x$的平均数为6,那么$x$的值为（
A.3
B.4
C.23
D.6
C
）A.3
B.4
C.23
D.6
答案
C
解析
【分析】要计算x的值，需利用平均数的核心公式：平均数 = 数据总和 ÷ 数据个数。先确定数据的总个数，再根据已知平均数求出数据总和，最后用总和减去已知数的和，即可算出x的值。
【解析】这组数据共有6个，根据平均数公式：数据总和 = 平均数 × 数据个数，可得总和为6×6=36。已知数据的和为5 + (-2) + 0 + 6 + 4 =13，因此x=36 -13=23。
【答案】C
【知识点】平均数的计算
【点评】本题考查平均数公式的基础应用，属于简单题型，只要牢记平均数的计算方法就能顺利解答。
【难度系数】0.7
【解析】这组数据共有6个，根据平均数公式：数据总和 = 平均数 × 数据个数，可得总和为6×6=36。已知数据的和为5 + (-2) + 0 + 6 + 4 =13，因此x=36 -13=23。
【答案】C
【知识点】平均数的计算
【点评】本题考查平均数公式的基础应用，属于简单题型，只要牢记平均数的计算方法就能顺利解答。
【难度系数】0.7
2. 若数据 $a_{1},a_{2},a_{3}$ 的平均数是 2, 则数据$2a_{1},2a_{2},2a_{3}$ 的平均数是（
A.2
B.3
C.4
D.6
C
）A.2
B.3
C.4
D.6
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，需利用平均数的定义逐步推导：首先根据已知的原数据平均数求出原数据的总和，再计算新数据的总和，最后用新数据总和除以数据个数得到新数据的平均数。具体步骤为：1. 由原数据平均数2，算出$a_1+a_2+a_3=2×3=6$；2. 新数据是原数据各数乘2，总和为$2×(a_1+a_2+a_3)=12$；3. 新数据平均数为$12÷3=4$，对应选项C。
【解析】
根据平均数公式：平均数 = 数据总和 ÷ 数据个数。
已知数据$a_1,a_2,a_3$的平均数为2，因此它们的总和为：$a_1+a_2+a_3 = 2×3 = 6$。
对于数据$2a_1,2a_2,2a_3$，其总和为：$2a_1 + 2a_2 + 2a_3 = 2(a_1+a_2+a_3) = 2×6 = 12$。
则这组新数据的平均数为：$12÷3 = 4$。
【答案】
C
【知识点】
平均数的计算
【点评】
本题考查平均数的基本性质，属于基础题，只要掌握平均数的定义，通过简单计算即可得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，需利用平均数的定义逐步推导：首先根据已知的原数据平均数求出原数据的总和，再计算新数据的总和，最后用新数据总和除以数据个数得到新数据的平均数。具体步骤为：1. 由原数据平均数2，算出$a_1+a_2+a_3=2×3=6$；2. 新数据是原数据各数乘2，总和为$2×(a_1+a_2+a_3)=12$；3. 新数据平均数为$12÷3=4$，对应选项C。
【解析】
根据平均数公式：平均数 = 数据总和 ÷ 数据个数。
已知数据$a_1,a_2,a_3$的平均数为2，因此它们的总和为：$a_1+a_2+a_3 = 2×3 = 6$。
对于数据$2a_1,2a_2,2a_3$，其总和为：$2a_1 + 2a_2 + 2a_3 = 2(a_1+a_2+a_3) = 2×6 = 12$。
则这组新数据的平均数为：$12÷3 = 4$。
【答案】
C
【知识点】
平均数的计算
【点评】
本题考查平均数的基本性质，属于基础题，只要掌握平均数的定义，通过简单计算即可得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.9
3. E,F,G 三个人围成一个三角形做游戏,游戏的规则是:每个人心里都想好一个实数,并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人,然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来. 若报出来的数如图所示,则 E 心里想的数是 （
A.$-1$
B.$2$
C.$5$
D.$11$
D
）A.$-1$
B.$2$
C.$5$
D.$11$
答案
D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们先设三个人心里想的数为未知数，根据“每个人报的数是相邻两人所想数的平均数”的规则列出方程组，再通过整体代入法求解E心里想的数。
【解析】
设E心里想的数为$a$，F心里想的数为$b$，G心里想的数为$c$。根据题意，每个人报出的数是相邻两人所想数的平均数，因此可列出方程组：
$\begin{cases}\frac{b + c}{2} = 2 \\\frac{a + c}{2} = 5 \\\frac{a + b}{2} = 8\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}b + c = 4 \quad ① \\a + c = 10 \quad ② \\a + b = 16 \quad ③\end{cases}$
将①+②+③，可得：$2(a + b + c) = 4 + 10 + 16 = 30$，即$a + b + c = 15$ ④。
用④减去①，得$a = 15 - 4 = 11$，即E心里想的数是11。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组应用，平均数概念
【点评】
本题结合平均数定义建立方程组，通过整体代入简化计算，考查学生的方程思想和运算能力，属于基础代数应用题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，我们先设三个人心里想的数为未知数，根据“每个人报的数是相邻两人所想数的平均数”的规则列出方程组，再通过整体代入法求解E心里想的数。
【解析】
设E心里想的数为$a$，F心里想的数为$b$，G心里想的数为$c$。根据题意，每个人报出的数是相邻两人所想数的平均数，因此可列出方程组：
$\begin{cases}\frac{b + c}{2} = 2 \\\frac{a + c}{2} = 5 \\\frac{a + b}{2} = 8\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}b + c = 4 \quad ① \\a + c = 10 \quad ② \\a + b = 16 \quad ③\end{cases}$
将①+②+③，可得：$2(a + b + c) = 4 + 10 + 16 = 30$，即$a + b + c = 15$ ④。
用④减去①，得$a = 15 - 4 = 11$，即E心里想的数是11。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组应用，平均数概念
【点评】
本题结合平均数定义建立方程组，通过整体代入简化计算，考查学生的方程思想和运算能力，属于基础代数应用题。
【难度系数】
0.5
4. 小明将自己家1月份至6月份的用水量绘制成了如图所示的折线图,那么小明家这6个月的月平均用水量是
10
t.答案
10
解析
【分析】要计算6个月的月平均用水量，需先从折线统计图中准确提取1-6月每个月的用水量，再求出这6个用水量的总和，最后用总和除以月份数6，就能得到月平均用水量。
【解析】从折线图中读取各月用水量：1月8t，2月12t，3月10t，4月15t，5月6t，6月9t。
计算总用水量：$8 + 12 + 10 + 15 + 6 + 9 = 60$（t）
月平均用水量 = 总用水量÷月份数，即$60÷6 = 10$（t）
【答案】10
【知识点】折线统计图、平均数
【点评】本题考查从折线统计图获取数据并计算平均数，属于基础统计题，核心是准确读取数据，再进行简单的四则运算即可。
【难度系数】0.8
【解析】从折线图中读取各月用水量：1月8t，2月12t，3月10t，4月15t，5月6t，6月9t。
计算总用水量：$8 + 12 + 10 + 15 + 6 + 9 = 60$（t）
月平均用水量 = 总用水量÷月份数，即$60÷6 = 10$（t）
【答案】10
【知识点】折线统计图、平均数
【点评】本题考查从折线统计图获取数据并计算平均数，属于基础统计题，核心是准确读取数据，再进行简单的四则运算即可。
【难度系数】0.8
5. 在跳绳比赛中,小明前两轮平均成绩是118 次/min,那么在第三轮比赛中小明每分钟至少要跳
124
次,才能让这三次的平均成绩不低于 120 次/min.答案
124
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确“三次平均成绩不低于120次/min”的要求，即三次总成绩至少为120×3次。先根据前两轮的平均成绩算出前两轮的总成绩，再用三次的最低总成绩减去前两轮的总成绩，即可得到第三轮需要跳的最少次数。
【解析】
设第三轮小明每分钟跳$ x $次。
根据“三次平均成绩不低于120次/min”，可得三次总成绩满足：
$ 120 × 3 ≤ \mathrm{前两轮总成绩} + x $
前两轮平均成绩为118次/min，因此前两轮总成绩为$ 118 × 2 = 236 $次。
代入不等式得：
$ 360 ≤ 236 + x $
解得：$ x ≥ 360 - 236 = 124 $
所以第三轮比赛中小明每分钟至少要跳124次。
【答案】
124
【知识点】
平均数的计算、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际比赛场景，考查平均数的应用和一元一次不等式的简单运用，解题思路清晰，步骤明确，属于基础应用题，主要检验学生对平均数概念的理解和不等式的基本运用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需先明确“三次平均成绩不低于120次/min”的要求，即三次总成绩至少为120×3次。先根据前两轮的平均成绩算出前两轮的总成绩，再用三次的最低总成绩减去前两轮的总成绩，即可得到第三轮需要跳的最少次数。
【解析】
设第三轮小明每分钟跳$ x $次。
根据“三次平均成绩不低于120次/min”，可得三次总成绩满足：
$ 120 × 3 ≤ \mathrm{前两轮总成绩} + x $
前两轮平均成绩为118次/min，因此前两轮总成绩为$ 118 × 2 = 236 $次。
代入不等式得：
$ 360 ≤ 236 + x $
解得：$ x ≥ 360 - 236 = 124 $
所以第三轮比赛中小明每分钟至少要跳124次。
【答案】
124
【知识点】
平均数的计算、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际比赛场景，考查平均数的应用和一元一次不等式的简单运用，解题思路清晰，步骤明确，属于基础应用题，主要检验学生对平均数概念的理解和不等式的基本运用能力。
【难度系数】
0.7
6. 某市为推进绿色社区建设,对全市150个社区的“雨水收集利用率”进行考核. 根据要求,雨水收集利用率达到75%及以上即为合格.环保部门随机抽查了10个社区,其利用率数据如下(单位:%):
68,77,72,85,80,65,78,88,70,82.
请根据以上信息,回答下列问题:
(1) 计算这组数据的平均数为
(2) 估计全市150个社区中,利用率合格的有多少个?
(3) 若将这10个社区作为试点,对不合格的社区进行改造(合格的社区无需改造),改造后全部达标,且改造后的平均利用率提升至80%.那么,试点中改造社区的利用率平均至少提升了
68,77,72,85,80,65,78,88,70,82.
请根据以上信息,回答下列问题:
(1) 计算这组数据的平均数为
76.5%
.(2) 估计全市150个社区中,利用率合格的有多少个?
(3) 若将这10个社区作为试点,对不合格的社区进行改造(合格的社区无需改造),改造后全部达标,且改造后的平均利用率提升至80%.那么,试点中改造社区的利用率平均至少提升了
8.75
个百分点.答案
(1) 76.5% 提示:因为$\frac{1}{10} × (68+77+72+85+80+65+78+88+70+82)=76.5$,所以这组数据的平均数为76.5%.
(2) 由题可知,抽查的10个社区中,雨水收集利用率达到75%及以上的社区共6个,所以用样本估计总体,得$150 × \frac{6}{10}=90$(个).
答:估计全市150个社区中,利用率合格的大约有90个.
(3) 8.75 提示:由题意可知,共有4个社区进行了改造,$(80\%-76.5\%) × 10 ÷ 4=8.75\%$,所以试点中改造社区的利用率平均至少提升了8.75个百分点.
(2) 由题可知,抽查的10个社区中,雨水收集利用率达到75%及以上的社区共6个,所以用样本估计总体,得$150 × \frac{6}{10}=90$(个).
答:估计全市150个社区中,利用率合格的大约有90个.
(3) 8.75 提示:由题意可知,共有4个社区进行了改造,$(80\%-76.5\%) × 10 ÷ 4=8.75\%$,所以试点中改造社区的利用率平均至少提升了8.75个百分点.
解析
【分析】
本题考查统计相关知识，解题思路如下：
1. 计算平均数：将10个社区的利用率数据求和，再除以数据个数10，得到平均数；
2. 估计总体合格数：先确定抽查的10个社区中合格（≥75%）的数量，再用该数量占样本的比例乘以总体150，估计全市合格社区数；
3. 计算改造社区的平均提升百分点：先算出改造后10个社区的总利用率，减去原来的总利用率，得到改造后需提升的总百分点，再除以改造的社区数量，得到平均提升值。
【解析】
(1) 这组数据的平均数为：
$\frac{1}{10}×(68+77+72+85+80+65+78+88+70+82)=\frac{765}{10}=76.5$，即平均数为76.5%；
(2) 抽查的10个社区中，利用率达到75%及以上的有77、85、80、78、88、82，共6个，样本中合格的比例为$\frac{6}{10}$，估计全市150个社区中合格的数量为：$150×\frac{6}{10}=90$（个）；
(3) 改造后10个社区的总利用率为$80\%×10=800$，原来10个社区的总利用率为765，改造后需提升的总百分点为$800-765=35$；不合格的社区有$10-6=4$个，因此改造社区的利用率平均至少提升：$35÷4=8.75$（个百分点）。
【答案】
(1) 76.5%；(2) 90个；(3) 8.75
【知识点】
平均数、用样本估计总体、数据的分析
【点评】
本题围绕统计基础应用展开，涵盖平均数计算、样本估计总体及数据改造的变化分析，题型常规，注重统计基本方法的掌握，适合巩固统计知识。
【难度系数】
0.7
本题考查统计相关知识，解题思路如下：
1. 计算平均数：将10个社区的利用率数据求和，再除以数据个数10，得到平均数；
2. 估计总体合格数：先确定抽查的10个社区中合格（≥75%）的数量，再用该数量占样本的比例乘以总体150，估计全市合格社区数；
3. 计算改造社区的平均提升百分点：先算出改造后10个社区的总利用率，减去原来的总利用率，得到改造后需提升的总百分点，再除以改造的社区数量，得到平均提升值。
【解析】
(1) 这组数据的平均数为：
$\frac{1}{10}×(68+77+72+85+80+65+78+88+70+82)=\frac{765}{10}=76.5$，即平均数为76.5%；
(2) 抽查的10个社区中，利用率达到75%及以上的有77、85、80、78、88、82，共6个，样本中合格的比例为$\frac{6}{10}$，估计全市150个社区中合格的数量为：$150×\frac{6}{10}=90$（个）；
(3) 改造后10个社区的总利用率为$80\%×10=800$，原来10个社区的总利用率为765，改造后需提升的总百分点为$800-765=35$；不合格的社区有$10-6=4$个，因此改造社区的利用率平均至少提升：$35÷4=8.75$（个百分点）。
【答案】
(1) 76.5%；(2) 90个；(3) 8.75
【知识点】
平均数、用样本估计总体、数据的分析
【点评】
本题围绕统计基础应用展开，涵盖平均数计算、样本估计总体及数据改造的变化分析，题型常规，注重统计基本方法的掌握，适合巩固统计知识。
【难度系数】
0.7
1. 如果设两组数据 $a_1,a_2,a_3,\dots,a_n$ 和 $b_1,b_2$，$b_3,\dots,b_n$ 的平均数分别为 $\overline{a}$ 和 $\overline{b}$，那么新的一组数据 $a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3,\dots,a_n+$ $b_n$ 的平均数是（
A.$\dfrac{1}{2}(\overline{a}+\overline{b})$
B.$\overline{a}+\overline{b}$
C.$\dfrac{1}{n}(\overline{a}+\overline{b})$
D.以上都不对
B
）A.$\dfrac{1}{2}(\overline{a}+\overline{b})$
B.$\overline{a}+\overline{b}$
C.$\dfrac{1}{n}(\overline{a}+\overline{b})$
D.以上都不对
答案
B
解析
【分析】要解决这个问题，需利用平均数的定义：一组数据的平均数等于这组数据所有数据的和除以数据的个数。我们先分别表示出两组原数据的和，再计算新数据的总和，最后求出新数据的平均数，即可得出结果。
【解析】根据平均数的定义，已知数据$a_1,a_2,\dots,a_n$的平均数$\overline{a}=\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}$，因此$a_1+a_2+\dots+a_n = n\overline{a}$；同理，数据$b_1,b_2,\dots,b_n$的平均数$\overline{b}=\frac{b_1+b_2+\dots+b_n}{n}$，故$b_1+b_2+\dots+b_n = n\overline{b}$。
新数据$a_1+b_1,a_2+b_2,\dots,a_n+b_n$的总和为：
$(a_1+b_1)+(a_2+b_2)+\dots+(a_n+b_n)=(a_1+a_2+\dots+a_n)+(b_1+b_2+\dots+b_n)=n\overline{a}+n\overline{b}$
则新数据的平均数为：$\frac{n\overline{a}+n\overline{b}}{n}=\overline{a}+\overline{b}$，所以答案选B。
【答案】B
【知识点】平均数的计算
【点评】本题是平均数的基础应用题，核心考查对平均数定义的理解与运用，只要掌握“两组数据和的平均数等于两组数据平均数的和”这一结论，就能快速解题，属于基础题。
【难度系数】0.8
【解析】根据平均数的定义，已知数据$a_1,a_2,\dots,a_n$的平均数$\overline{a}=\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}$，因此$a_1+a_2+\dots+a_n = n\overline{a}$；同理，数据$b_1,b_2,\dots,b_n$的平均数$\overline{b}=\frac{b_1+b_2+\dots+b_n}{n}$，故$b_1+b_2+\dots+b_n = n\overline{b}$。
新数据$a_1+b_1,a_2+b_2,\dots,a_n+b_n$的总和为：
$(a_1+b_1)+(a_2+b_2)+\dots+(a_n+b_n)=(a_1+a_2+\dots+a_n)+(b_1+b_2+\dots+b_n)=n\overline{a}+n\overline{b}$
则新数据的平均数为：$\frac{n\overline{a}+n\overline{b}}{n}=\overline{a}+\overline{b}$，所以答案选B。
【答案】B
【知识点】平均数的计算
【点评】本题是平均数的基础应用题，核心考查对平均数定义的理解与运用，只要掌握“两组数据和的平均数等于两组数据平均数的和”这一结论，就能快速解题，属于基础题。
【难度系数】0.8
