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9.(2024·姑苏区期中)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$是$BC$的中点,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,垂足分别为$E,F$.求证:$AD$垂直平分$EF$.
答案
证明:
∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,
∴AD是△ABC的角平分线.
又
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°.
又
∵AD=AD,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),
∴AE=AF.
又
∵DE=DF,
∴AD垂直平分EF.
∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,
∴AD是△ABC的角平分线.
又
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°.
又
∵AD=AD,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),
∴AE=AF.
又
∵DE=DF,
∴AD垂直平分EF.
10. (2024·灌南县期末)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=40°$,$AD$是$BC$边上的高.线段$AC$的垂直平分线交$AD$于点$E$,交$AC$于点$F$,连接$BE$.
(1)试问:线段$AE$与$BE$的长相等吗?请说明理由;
(2)求$∠ EBD$的度数.
(1)试问:线段$AE$与$BE$的长相等吗?请说明理由;
(2)求$∠ EBD$的度数.
答案
解:(1)AE=BE,理由:如答图,连接CE.
∵线段AC的垂直平分线交AD于点E,交AC于点F,
∴AE=CE.
∵AB=AC,AD是BC边上的高,
∴AD是线段BC的垂直平分线,
∴EB=EC,
∴AE=BE.
(2)
∵AB=AC,∠BAC=40°,
∴∠ABC=1/2(180°−∠BAC)=70°.
∵AB=AC,AD是BC边上的高,
∴AD平分∠BAC,
∴∠BAE=1/2∠BAC=20°.
∵AE=BE,
∴∠ABE=∠BAE=20°,
∴∠EBD=∠ABC−∠ABE=50°.
11. 问题:探索等腰三角形一条腰上的高与底边所成的角与顶角的关系.
(1)为了解决这个问题,我们可从特殊情形入手,
如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=40^{ \circ }$,$BD$是$AC$边上的高,则$∠ DBC=$
如图②,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=90^{ \circ }$,$BD$是$AC$边上的高,则$∠ DBC=$
如图③,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120^{ \circ }$,$BD$是$AC$边上的高,则$∠ DBC=$
(2)猜想$∠ BAC$与$∠ DBC$的关系是
(3)对上述猜想,请你说明理由.
(1)为了解决这个问题,我们可从特殊情形入手,
如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=40^{ \circ }$,$BD$是$AC$边上的高,则$∠ DBC=$
20°
;如图②,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=90^{ \circ }$,$BD$是$AC$边上的高,则$∠ DBC=$
45°
;如图③,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120^{ \circ }$,$BD$是$AC$边上的高,则$∠ DBC=$
60°
.(2)猜想$∠ BAC$与$∠ DBC$的关系是
∠DBC=1/2∠BAC
.(3)对上述猜想,请你说明理由.
答案
11.(1)20° 45° 60° (2)∠DBC=1/2∠BAC
(3)解:在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的高,
∴∠ABC=∠ACB=1/2×(180°−∠BAC)=90°−1/2∠BAC. 在Rt△BDC中,∠DBC=90°−∠ACB=90°−(90°−1/2∠BAC)=1/2∠BAC.
(3)解:在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的高,
∴∠ABC=∠ACB=1/2×(180°−∠BAC)=90°−1/2∠BAC. 在Rt△BDC中,∠DBC=90°−∠ACB=90°−(90°−1/2∠BAC)=1/2∠BAC.
