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练习十六 一次函数与方程、不等式
要点回顾
一次函数
与方程、
不等式
与一元一次方程的关系：一元一次方程 $ k_1x + b_1 = 0 $ 的解是一次函数 $ y = k_1x + b_1 $ 的图象与
与二元一次方程组的关系：方程组 $ \begin{cases} y = k_1x + b_1, \\ y = k_2x + b_2 \end{cases} $ 的解是一次函数 $ y = k_1x + b_1 $ 和 $ y = k_2$
$ + b_2 $ 的图象的交点的坐标
与一次不等式的关系：不等式 $ kx + b ＞ 0 $ 的解集是一次函数图象位于 $ x $ 轴上方部分对应 $ x $ 的取值范围；不等式 $ k_1x + b_1 ＞ k_2x + b_2 $ 的解集是一次函数 $ y = k_1x + b_1 $ 的图象位于一次函数 $ y = k_2x + b_2 $ 的图象
要点回顾
一次函数
与方程、
不等式
与一元一次方程的关系：一元一次方程 $ k_1x + b_1 = 0 $ 的解是一次函数 $ y = k_1x + b_1 $ 的图象与
x轴
交点的横坐标与二元一次方程组的关系：方程组 $ \begin{cases} y = k_1x + b_1, \\ y = k_2x + b_2 \end{cases} $ 的解是一次函数 $ y = k_1x + b_1 $ 和 $ y = k_2$
$ + b_2 $ 的图象的交点的坐标与一次不等式的关系：不等式 $ kx + b ＞ 0 $ 的解集是一次函数图象位于 $ x $ 轴上方部分对应 $ x $ 的取值范围；不等式 $ k_1x + b_1 ＞ k_2x + b_2 $ 的解集是一次函数 $ y = k_1x + b_1 $ 的图象位于一次函数 $ y = k_2x + b_2 $ 的图象
上方
时对应 $ x $ 的取值范围答案
与一元一次方程的关系：一元一次方程 $ k_1x + b_1 = 0 $ 的解是一次函数 $ y = k_1x + b_1 $ 的图象与x轴交点的横坐标；不等式 $ k_1x + b_1 ＞ k_2x + b_2 $ 的解集是一次函数 $ y = k_1x + b_1 $ 的图象位于一次函数 $ y = k_2x + b_2 $ 的图象上方时对应 $ x $ 的取值范围
解析
【分析】
首先思考第一个空：一元一次方程$k_1x+b_1=0$，对应一次函数$y=k_1x+b_1$就是求函数值$y=0$时$x$的取值，而平面直角坐标系中$y=0$的所有点都在$x$轴上，因此这个$x$就是函数图象与$x$轴交点的横坐标。再思考第二个空：不等式$k_1x+b_1＞k_2x+b_2$的含义是，对于同一个$x$的取值，一次函数$y=k_1x+b_1$的函数值大于$y=k_2x+b_2$的函数值，在平面直角坐标系中，函数值越大对应图象的位置越靠上，因此此时$y=k_1x+b_1$的图象位于$y=k_2x+b_2$图象的上方。
【解析】
1. 填第一个空：当$y=0$时，一次函数$y=k_1x+b_1$的表达式转化为$k_1x+b_1=0$，平面直角坐标系内所有$y=0$的点都在$x$轴上，因此方程$k_1x+b_1=0$的解就是函数图象与$x$轴交点的横坐标，此处填$x$轴。
2. 填第二个空：不等式$k_1x+b_1＞k_2x+b_2$表示在相同$x$的取值下，$y=k_1x+b_1$的函数值比$y=k_2x+b_2$的函数值大，函数值越大对应图象位置越靠上，因此此处填上方。
【答案】
第一个空：$x$轴；第二个空：上方
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合思想
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解一次函数的代数表达式和图象的对应关系，结合数形结合的方法记忆相关结论，能有效避免概念混淆。
【难度系数】
0.85
首先思考第一个空：一元一次方程$k_1x+b_1=0$，对应一次函数$y=k_1x+b_1$就是求函数值$y=0$时$x$的取值，而平面直角坐标系中$y=0$的所有点都在$x$轴上，因此这个$x$就是函数图象与$x$轴交点的横坐标。再思考第二个空：不等式$k_1x+b_1＞k_2x+b_2$的含义是，对于同一个$x$的取值，一次函数$y=k_1x+b_1$的函数值大于$y=k_2x+b_2$的函数值，在平面直角坐标系中，函数值越大对应图象的位置越靠上，因此此时$y=k_1x+b_1$的图象位于$y=k_2x+b_2$图象的上方。
【解析】
1. 填第一个空：当$y=0$时，一次函数$y=k_1x+b_1$的表达式转化为$k_1x+b_1=0$，平面直角坐标系内所有$y=0$的点都在$x$轴上，因此方程$k_1x+b_1=0$的解就是函数图象与$x$轴交点的横坐标，此处填$x$轴。
2. 填第二个空：不等式$k_1x+b_1＞k_2x+b_2$表示在相同$x$的取值下，$y=k_1x+b_1$的函数值比$y=k_2x+b_2$的函数值大，函数值越大对应图象位置越靠上，因此此处填上方。
【答案】
第一个空：$x$轴；第二个空：上方
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合思想
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解一次函数的代数表达式和图象的对应关系，结合数形结合的方法记忆相关结论，能有效避免概念混淆。
【难度系数】
0.85
1. 已知不等式$kx+b＞0$的解是$x＞2$，则一次函数$y=kx+b$的图象大致是（
B
）。答案
1.B
解析
【分析】
首先明确一元一次不等式和一次函数的对应关系：不等式$kx+b＞0$的解集，对应一次函数$y=kx+b$的图象在x轴上方（即$y＞0$）时对应的x的取值范围。根据已知解集$x＞2$可得到两个关键信息：①当$x=2$时，$kx+b=0$，即函数图象与x轴交于点$(2,0)$，可先排除交点横坐标不符合的选项；②$x＞2$时$y＞0$，说明y随x的增大而增大，即$k＞0$，图象呈上升趋势，再排除走势不符合的选项即可得到答案。
【解析】
解：不等式$kx+b＞0$的解集是一次函数$y=kx+b$的图象位于x轴上方部分对应的x的取值范围。
1. 由解集为$x＞2$可知，当$x=2$时，$y=kx+b=0$，即函数图象与x轴交于点$(2,0)$，因此排除与x轴交于$(-2,0)$的选项A、D；
2. 当$x＞2$时$y＞0$，说明y随x的增大而增大，因此一次函数的$k＞0$，图象呈上升趋势，排除呈下降趋势的选项C。
综上，符合条件的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象；一次函数与不等式；一次函数的性质
【点评】
本题考查一次函数与一元一次不等式的联系，解题的关键是理解不等式解集对应的函数图象的位置特征，结合一次函数的增减性判断图象走向，是一次函数部分的基础典型题。
【难度系数】
0.7
首先明确一元一次不等式和一次函数的对应关系：不等式$kx+b＞0$的解集，对应一次函数$y=kx+b$的图象在x轴上方（即$y＞0$）时对应的x的取值范围。根据已知解集$x＞2$可得到两个关键信息：①当$x=2$时，$kx+b=0$，即函数图象与x轴交于点$(2,0)$，可先排除交点横坐标不符合的选项；②$x＞2$时$y＞0$，说明y随x的增大而增大，即$k＞0$，图象呈上升趋势，再排除走势不符合的选项即可得到答案。
【解析】
解：不等式$kx+b＞0$的解集是一次函数$y=kx+b$的图象位于x轴上方部分对应的x的取值范围。
1. 由解集为$x＞2$可知，当$x=2$时，$y=kx+b=0$，即函数图象与x轴交于点$(2,0)$，因此排除与x轴交于$(-2,0)$的选项A、D；
2. 当$x＞2$时$y＞0$，说明y随x的增大而增大，因此一次函数的$k＞0$，图象呈上升趋势，排除呈下降趋势的选项C。
综上，符合条件的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象；一次函数与不等式；一次函数的性质
【点评】
本题考查一次函数与一元一次不等式的联系，解题的关键是理解不等式解集对应的函数图象的位置特征，结合一次函数的增减性判断图象走向，是一次函数部分的基础典型题。
【难度系数】
0.7
2. 在同一平面直角坐标系中，若一次函数$y=-x+3$与$y=3x-5$图象交于点M，则点M的坐标为（
A.$(-1,4)$
B.$(-1,2)$
C.$(2,-1)$
D.$(2,1)$
D
）。A.$(-1,4)$
B.$(-1,2)$
C.$(2,-1)$
D.$(2,1)$
答案
2.D
解析
【分析】
本题要求两个一次函数图象的交点坐标，解题思路很清晰：两个函数图象的交点同时在两条直线上，说明交点的横、纵坐标同时满足两个一次函数的解析式，因此只需要将两个函数解析式联立成二元一次方程组，求解得到的x、y值就是交点M的坐标。也可以用代入选项验证的方法，把每个选项的坐标分别代入两个解析式，都成立的即为正确答案。
【解析】
解法一：联立两个一次函数的解析式得到方程组：
$\begin{cases}y = -x + 3 \\y = 3x - 5\end{cases}$
因为两个式子的y相等，因此可得：$-x + 3 = 3x - 5$
移项合并同类项得：$4x = 8$，解得$x=2$
将$x=2$代入$y=-x+3$，得$y=-2+3=1$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$，即点M的坐标为$(2,1)$。
解法二（代入验证法）：
将A选项$(-1,4)$代入$y=3x-5$，右边$=3×(-1)-5=-8≠4$，排除；
将B选项$(-1,2)$代入$y=3x-5$，右边$=-8≠2$，排除；
将C选项$(2,-1)$代入$y=-x+3$，右边$=-2+3=1≠-1$，排除；
将D选项$(2,1)$代入两个解析式，均满足等式，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数交点求解、二元一次方程组解法
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心是理解一次函数图象交点与二元一次方程组解的对应关系，两种解题方法都容易掌握，熟练后可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
本题要求两个一次函数图象的交点坐标，解题思路很清晰：两个函数图象的交点同时在两条直线上，说明交点的横、纵坐标同时满足两个一次函数的解析式，因此只需要将两个函数解析式联立成二元一次方程组，求解得到的x、y值就是交点M的坐标。也可以用代入选项验证的方法，把每个选项的坐标分别代入两个解析式，都成立的即为正确答案。
【解析】
解法一：联立两个一次函数的解析式得到方程组：
$\begin{cases}y = -x + 3 \\y = 3x - 5\end{cases}$
因为两个式子的y相等，因此可得：$-x + 3 = 3x - 5$
移项合并同类项得：$4x = 8$，解得$x=2$
将$x=2$代入$y=-x+3$，得$y=-2+3=1$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$，即点M的坐标为$(2,1)$。
解法二（代入验证法）：
将A选项$(-1,4)$代入$y=3x-5$，右边$=3×(-1)-5=-8≠4$，排除；
将B选项$(-1,2)$代入$y=3x-5$，右边$=-8≠2$，排除；
将C选项$(2,-1)$代入$y=-x+3$，右边$=-2+3=1≠-1$，排除；
将D选项$(2,1)$代入两个解析式，均满足等式，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数交点求解、二元一次方程组解法
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心是理解一次函数图象交点与二元一次方程组解的对应关系，两种解题方法都容易掌握，熟练后可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3. 甲、乙两辆摩托车同时从相距20 km的A，B两地出发，相向而行. 
中$l_1$，$l_2$分别表示甲、乙两辆摩托车到A地的距离$s$（单位：km）与行驶时间$t$（单位：h）的函数关系. 则下列说法错误的是（
A.乙摩托车的速度较快
B.经过0.25 h两摩托车相遇
C.经过0.3 h甲摩托车行驶到A，B两地的中点
D.当乙摩托车到达A地时，甲摩托车还需0.1 h到达B地
中$l_1$，$l_2$分别表示甲、乙两辆摩托车到A地的距离$s$（单位：km）与行驶时间$t$（单位：h）的函数关系. 则下列说法错误的是（B
）.A.乙摩托车的速度较快
B.经过0.25 h两摩托车相遇
C.经过0.3 h甲摩托车行驶到A，B两地的中点
D.当乙摩托车到达A地时，甲摩托车还需0.1 h到达B地
答案
3.B
解析
【分析】
首先明确s-t图像的含义：横坐标为行驶时间t，纵坐标为到A地的距离s，l₁是从A地出发的甲的距离-时间图像，l₂是从B地出发的乙的距离-时间图像。解题思路：第一步先根据图像端点求出甲乙两车的速度，或者写出两个一次函数的解析式；第二步结合行程公式，逐个判断四个选项的正误，选出错误选项。
【解析】
第一步：计算两车速度
甲从A到B总路程20km，总用时0.6h，因此甲的速度$v_甲=20÷0.6=\frac{100}{3}\ \mathrm{km/h}$；
乙从B到A总路程20km，总用时0.5h，因此乙的速度$v_乙=20÷0.5=40\ \mathrm{km/h}$。
第二步：逐个分析选项
选项A：$v_乙=40\ \mathrm{km/h}＞\frac{100}{3}\ \mathrm{km/h}\approx33.3\ \mathrm{km/h}$，乙摩托车速度更快，说法正确，不符合题意；
选项B：相向而行相遇时，两车行驶路程和为20km，设相遇时间为t，则$v_甲 t + v_乙 t=20$，代入得$(\frac{100}{3}+40)t=20$，解得$t=\frac{3}{11}\approx0.27\ \mathrm{h}≠0.25\ \mathrm{h}$，说法错误，符合题意；
选项C：0.3h甲行驶的路程为$\frac{100}{3}×0.3=10\ \mathrm{km}$，刚好是AB两地距离20km的一半，即行驶到中点，说法正确，不符合题意；
选项D：乙到达A地用时0.5h，此时甲行驶的路程为$\frac{100}{3}×0.5=\frac{50}{3}\ \mathrm{km}$，剩余路程为$20-\frac{50}{3}=\frac{10}{3}\ \mathrm{km}$，剩余时间为$\frac{10}{3}÷\frac{100}{3}=0.1\ \mathrm{h}$，即甲还需0.1h到达B地，说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，一次函数与一元一次方程
【点评】
本题考查一次函数在实际行程问题中的应用，核心是读懂图像横纵坐标的含义，结合路程、速度、时间的基本关系求解，也可以通过联立两个一次函数解析式求交点的方式计算相遇时间。
【难度系数】
0.7
首先明确s-t图像的含义：横坐标为行驶时间t，纵坐标为到A地的距离s，l₁是从A地出发的甲的距离-时间图像，l₂是从B地出发的乙的距离-时间图像。解题思路：第一步先根据图像端点求出甲乙两车的速度，或者写出两个一次函数的解析式；第二步结合行程公式，逐个判断四个选项的正误，选出错误选项。
【解析】
第一步：计算两车速度
甲从A到B总路程20km，总用时0.6h，因此甲的速度$v_甲=20÷0.6=\frac{100}{3}\ \mathrm{km/h}$；
乙从B到A总路程20km，总用时0.5h，因此乙的速度$v_乙=20÷0.5=40\ \mathrm{km/h}$。
第二步：逐个分析选项
选项A：$v_乙=40\ \mathrm{km/h}＞\frac{100}{3}\ \mathrm{km/h}\approx33.3\ \mathrm{km/h}$，乙摩托车速度更快，说法正确，不符合题意；
选项B：相向而行相遇时，两车行驶路程和为20km，设相遇时间为t，则$v_甲 t + v_乙 t=20$，代入得$(\frac{100}{3}+40)t=20$，解得$t=\frac{3}{11}\approx0.27\ \mathrm{h}≠0.25\ \mathrm{h}$，说法错误，符合题意；
选项C：0.3h甲行驶的路程为$\frac{100}{3}×0.3=10\ \mathrm{km}$，刚好是AB两地距离20km的一半，即行驶到中点，说法正确，不符合题意；
选项D：乙到达A地用时0.5h，此时甲行驶的路程为$\frac{100}{3}×0.5=\frac{50}{3}\ \mathrm{km}$，剩余路程为$20-\frac{50}{3}=\frac{10}{3}\ \mathrm{km}$，剩余时间为$\frac{10}{3}÷\frac{100}{3}=0.1\ \mathrm{h}$，即甲还需0.1h到达B地，说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，一次函数与一元一次方程
【点评】
本题考查一次函数在实际行程问题中的应用，核心是读懂图像横纵坐标的含义，结合路程、速度、时间的基本关系求解，也可以通过联立两个一次函数解析式求交点的方式计算相遇时间。
【难度系数】
0.7
