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4. 如图2，一次函数$y=kx+b(k＜0)$的图象经过点A. 当$y＜3$时，x的取值范围是
x＞2
.答案
4.$x＞2$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先判断一次函数的增减性：题目给出k＜0，因此一次函数的y值随x的增大而减小；2. 找到y=3时对应的x值：已知函数经过点A，结合图象可知点A坐标为(2,3)，也就是x=2时，函数值y=3；3. 结合增减性推导y＜3时的x范围：因为函数递减，所以函数值小于3时，对应的x值要大于y=3时的x值，即可得到不等式的解集。
【解析】
解：
∵一次函数$y=kx+b$中$k＜0$，
∴$y$随$x$的增大而减小，
由图象可知，函数图象经过点$A(2,3)$，即当$x=2$时，$y=3$，
根据函数的增减性可得：当$y＜3$时，$x$的取值范围是$x＞2$。
【答案】
$x＞2$
【知识点】
一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图象应用
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的基础题型，解题核心是利用一次函数的增减性，结合图象上特殊点的坐标推导不等式的解集，能很好地考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 先判断一次函数的增减性：题目给出k＜0，因此一次函数的y值随x的增大而减小；2. 找到y=3时对应的x值：已知函数经过点A，结合图象可知点A坐标为(2,3)，也就是x=2时，函数值y=3；3. 结合增减性推导y＜3时的x范围：因为函数递减，所以函数值小于3时，对应的x值要大于y=3时的x值，即可得到不等式的解集。
【解析】
解：
∵一次函数$y=kx+b$中$k＜0$，
∴$y$随$x$的增大而减小，
由图象可知，函数图象经过点$A(2,3)$，即当$x=2$时，$y=3$，
根据函数的增减性可得：当$y＜3$时，$x$的取值范围是$x＞2$。
【答案】
$x＞2$
【知识点】
一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图象应用
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的基础题型，解题核心是利用一次函数的增减性，结合图象上特殊点的坐标推导不等式的解集，能很好地考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.8
5. 如图3，经过点B(-2，0)的直线$y=kx+b$与直线$y=4x+2$相交于点A(-1，-2)，则不等式$4x+2＜kx+b＜0$的解集为
-2＜x＜-1
.答案
5.$-2＜x＜-1$
解析
【分析】
本题是一次函数与不等式结合的问题，采用数形结合思想求解即可，无需计算k、b的值。首先将连写的不等式拆分为两个不等式：$4x+2＜kx+b$和$kx+b＜0$，分别找到两个不等式对应的x取值范围，再取公共部分就是所求解集。其中$kx+b＜0$对应直线$y=kx+b$在x轴下方的部分对应的x值，$4x+2＜kx+b$对应直线$y=4x+2$在直线$y=kx+b$下方的部分对应的x值，结合已知的交点坐标即可推导范围。
【解析】
不等式$4x+2＜kx+b＜0$可拆分为两个不等式分别求解：
1. 解$kx+b＜0$：
已知直线$y=kx+b$与x轴交于点$B(-2,0)$，观察函数图像，当$x＞-2$时，直线$y=kx+b$位于x轴下方，满足函数值$kx+b＜0$。
2. 解$4x+2＜kx+b$：
已知直线$y=kx+b$与$y=4x+2$的交点为$A(-1,-2)$，观察函数图像，当$x＜-1$时，直线$y=4x+2$位于直线$y=kx+b$的下方，满足$4x+2＜kx+b$。
取两个解集的公共部分，可得同时满足两个不等式的x的取值范围为$-2＜x＜-1$。
【答案】
$-2＜x＜-1$
【知识点】
一次函数与不等式，一次函数的图像
【点评】
本题考查利用一次函数图像求解不等式组，核心是理解不等式对应的函数图像位置关系，熟练运用数形结合思想可以快速得出结果，避免繁琐的计算。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数与不等式结合的问题，采用数形结合思想求解即可，无需计算k、b的值。首先将连写的不等式拆分为两个不等式：$4x+2＜kx+b$和$kx+b＜0$，分别找到两个不等式对应的x取值范围，再取公共部分就是所求解集。其中$kx+b＜0$对应直线$y=kx+b$在x轴下方的部分对应的x值，$4x+2＜kx+b$对应直线$y=4x+2$在直线$y=kx+b$下方的部分对应的x值，结合已知的交点坐标即可推导范围。
【解析】
不等式$4x+2＜kx+b＜0$可拆分为两个不等式分别求解：
1. 解$kx+b＜0$：
已知直线$y=kx+b$与x轴交于点$B(-2,0)$，观察函数图像，当$x＞-2$时，直线$y=kx+b$位于x轴下方，满足函数值$kx+b＜0$。
2. 解$4x+2＜kx+b$：
已知直线$y=kx+b$与$y=4x+2$的交点为$A(-1,-2)$，观察函数图像，当$x＜-1$时，直线$y=4x+2$位于直线$y=kx+b$的下方，满足$4x+2＜kx+b$。
取两个解集的公共部分，可得同时满足两个不等式的x的取值范围为$-2＜x＜-1$。
【答案】
$-2＜x＜-1$
【知识点】
一次函数与不等式，一次函数的图像
【点评】
本题考查利用一次函数图像求解不等式组，核心是理解不等式对应的函数图像位置关系，熟练运用数形结合思想可以快速得出结果，避免繁琐的计算。
【难度系数】
0.7
6. 如图4，一个正比例函数图象与一次函数$y=-x+1$的图象相交于点P，则这个正比例函数的表达式为
y=-2x
。答案
6.$y=-2x$
解析
【分析】
要确定正比例函数的表达式，首先回忆正比例函数的形式为$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$），只需求出$k$的值即可，因此需要找到该函数图象上一个已知坐标的点。已知正比例函数与一次函数$y=-x+1$交于点$P$，说明点$P$同时在两个函数的图象上，我们可以先结合图象给出的点$P$的纵坐标信息，代入一次函数解析式求出点$P$的横坐标，得到$P$的完整坐标后，再代入正比例函数解析式求出$k$，就能得到最终的表达式。
【解析】
解：由图象可知，交点$P$的纵坐标为2。
∵点$P$在一次函数$y=-x+1$的图象上，
∴把$y=2$代入$y=-x+1$，得：
$2=-x+1$
解得$x=-1$
∴点$P$的坐标为$(-1,2)$
设正比例函数的表达式为$y=kx$（$k\ne0$），
将$P(-1,2)$代入$y=kx$，得：
$2=-k$
解得$k=-2$
∴这个正比例函数的表达式为$y=-2x$
【答案】
$y=-2x$
【知识点】
一次函数点坐标特征；待定系数法求解析式；两直线交点的性质
【点评】
本题属于一次函数基础常考题，解题核心是利用交点的坐标属性先求出两个函数的公共点坐标，再用待定系数法求解正比例函数表达式，解题过程逻辑清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
要确定正比例函数的表达式，首先回忆正比例函数的形式为$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$），只需求出$k$的值即可，因此需要找到该函数图象上一个已知坐标的点。已知正比例函数与一次函数$y=-x+1$交于点$P$，说明点$P$同时在两个函数的图象上，我们可以先结合图象给出的点$P$的纵坐标信息，代入一次函数解析式求出点$P$的横坐标，得到$P$的完整坐标后，再代入正比例函数解析式求出$k$，就能得到最终的表达式。
【解析】
解：由图象可知，交点$P$的纵坐标为2。
∵点$P$在一次函数$y=-x+1$的图象上，
∴把$y=2$代入$y=-x+1$，得：
$2=-x+1$
解得$x=-1$
∴点$P$的坐标为$(-1,2)$
设正比例函数的表达式为$y=kx$（$k\ne0$），
将$P(-1,2)$代入$y=kx$，得：
$2=-k$
解得$k=-2$
∴这个正比例函数的表达式为$y=-2x$
【答案】
$y=-2x$
【知识点】
一次函数点坐标特征；待定系数法求解析式；两直线交点的性质
【点评】
本题属于一次函数基础常考题，解题核心是利用交点的坐标属性先求出两个函数的公共点坐标，再用待定系数法求解正比例函数表达式，解题过程逻辑清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
7. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是我国古代人民对函数思想的创造性应用.小明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型（如图5），研究中发现水位$h$（单位：$\mathrm{cm}$）是时间$t$（单位：$\mathrm{min}$）的一次函数，当$t=1\ \mathrm{min}$时，$h=1.1\ \mathrm{cm}$；当$t=5\ \mathrm{min}$时，$h=2.7\ \mathrm{cm}$.则当时间$t$为$10\ \mathrm{min}$时，对应的高度$h$为（
A.$3.3\ \mathrm{cm}$
B.$3.9\ \mathrm{cm}$
C.$4.7\ \mathrm{cm}$
D.$5.4\ \mathrm{cm}$
C
）.A.$3.3\ \mathrm{cm}$
B.$3.9\ \mathrm{cm}$
C.$4.7\ \mathrm{cm}$
D.$5.4\ \mathrm{cm}$
答案
7.C
解析
【分析】
题目明确说明水位h是时间t的一次函数，解题时首先利用一次函数的一般形式设出解析式，再将已知的两组t、h对应值代入解析式，得到关于系数k、b的二元一次方程组，求解得到k、b的值即可确定函数解析式，最后将t=10代入解析式就能求出对应的h值。
【解析】
设水位h与时间t的一次函数解析式为$ h = kt + b $（$ k≠0 $，k、b为常数）。
将$ t=1, h=1.1 $和$ t=5, h=2.7 $分别代入解析式，得：
$\begin{cases}k + b = 1.1 \\5k + b = 2.7\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得：$ 4k = 1.6 $，解得$ k=0.4 $。
将$ k=0.4 $代入$ k + b =1.1 $，得：$ 0.4 + b =1.1 $，解得$ b=0.7 $。
所以一次函数解析式为$ h = 0.4t + 0.7 $。
当$ t=10\ \mathrm{min} $时，代入解析式得：$ h = 0.4×10 + 0.7 = 4.7\ \mathrm{cm} $。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合我国古代漏刻计时的传统文化背景考查一次函数的应用，核心是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，再代入自变量的值求解对应的函数值，属于基础应用题，贴合生活实际。
【难度系数】
0.8
题目明确说明水位h是时间t的一次函数，解题时首先利用一次函数的一般形式设出解析式，再将已知的两组t、h对应值代入解析式，得到关于系数k、b的二元一次方程组，求解得到k、b的值即可确定函数解析式，最后将t=10代入解析式就能求出对应的h值。
【解析】
设水位h与时间t的一次函数解析式为$ h = kt + b $（$ k≠0 $，k、b为常数）。
将$ t=1, h=1.1 $和$ t=5, h=2.7 $分别代入解析式，得：
$\begin{cases}k + b = 1.1 \\5k + b = 2.7\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得：$ 4k = 1.6 $，解得$ k=0.4 $。
将$ k=0.4 $代入$ k + b =1.1 $，得：$ 0.4 + b =1.1 $，解得$ b=0.7 $。
所以一次函数解析式为$ h = 0.4t + 0.7 $。
当$ t=10\ \mathrm{min} $时，代入解析式得：$ h = 0.4×10 + 0.7 = 4.7\ \mathrm{cm} $。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合我国古代漏刻计时的传统文化背景考查一次函数的应用，核心是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，再代入自变量的值求解对应的函数值，属于基础应用题，贴合生活实际。
【难度系数】
0.8
8. 《九章算术》记载：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺.问几何日相逢？”意思是：有一道墙，高9尺，上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸；地上种着瓠向上长，瓠蔓每天长1尺.问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇？如图6是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度h（单位：尺）关于生长时间x（单位：天）的函数图象，则由图可知两图象交点P的横坐标是（
A.$\frac{9}{2}$
B.5
C.$\frac{90}{17}$
D.6
C
）.（注：尺是长度单位，1尺=10寸=$\frac{1}{3}$ m）A.$\frac{9}{2}$
B.5
C.$\frac{90}{17}$
D.6
答案
8.C
解析
【分析】
解题时首先要统一单位，将7寸换算为0.7尺。接下来分别写出瓠蔓和瓜蔓离地面的高度h关于生长时间x的函数解析式：瓠蔓从地面向上生长，每天长1尺，高度随天数增长成正比例关系；瓜蔓从9尺高处向下生长，每天下降0.7尺，高度为初始高度减去生长的长度。两图象交点P的实际意义是两种蔓高度相同（即相遇），联立两个函数解析式解方程，即可得到交点的横坐标x的值。
【解析】
首先进行单位换算：
∵1尺=10寸，
∴7寸=0.7尺。
设生长x天时两蔓相遇，此时：
瓠蔓离地面的高度为：$h_1 = x$（尺）
瓜蔓离地面的高度为：$h_2 = 9 - 0.7x$（尺）
两蔓相遇时高度相等，即$h_1 = h_2$，列方程得：
$x = 9 - 0.7x$
移项得：$x + 0.7x = 9$
合并同类项得：$1.7x = 9$
解得：$x = 9 ÷ 1.7 = \frac{90}{17}$
即交点P的横坐标为$\frac{90}{17}$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用，一元一次方程求解，函数交点的意义
【点评】
本题以古代数学问题为背景，结合一次函数图象考查实际应用问题，解题的关键是准确理解两个函数的实际意义，统一单位后正确列出函数表达式，抓住交点的含义列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先要统一单位，将7寸换算为0.7尺。接下来分别写出瓠蔓和瓜蔓离地面的高度h关于生长时间x的函数解析式：瓠蔓从地面向上生长，每天长1尺，高度随天数增长成正比例关系；瓜蔓从9尺高处向下生长，每天下降0.7尺，高度为初始高度减去生长的长度。两图象交点P的实际意义是两种蔓高度相同（即相遇），联立两个函数解析式解方程，即可得到交点的横坐标x的值。
【解析】
首先进行单位换算：
∵1尺=10寸，
∴7寸=0.7尺。
设生长x天时两蔓相遇，此时：
瓠蔓离地面的高度为：$h_1 = x$（尺）
瓜蔓离地面的高度为：$h_2 = 9 - 0.7x$（尺）
两蔓相遇时高度相等，即$h_1 = h_2$，列方程得：
$x = 9 - 0.7x$
移项得：$x + 0.7x = 9$
合并同类项得：$1.7x = 9$
解得：$x = 9 ÷ 1.7 = \frac{90}{17}$
即交点P的横坐标为$\frac{90}{17}$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用，一元一次方程求解，函数交点的意义
【点评】
本题以古代数学问题为背景，结合一次函数图象考查实际应用问题，解题的关键是准确理解两个函数的实际意义，统一单位后正确列出函数表达式，抓住交点的含义列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
