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9.一条公路上依次有A,B,C三地,一辆轿车从A地出发途经B地接人,停留一段时间后原速驶往C地;一辆货车从C地出发,送货到达B地后立即原路原速返回C地(卸货时间忽略不计).两车同时出发,轿车比货车晚$\frac{1}{3}$h到达终点,两车均按各自速度匀速行驶.如图是轿车和货车距各自出发地的距离y(km)与轿车的行驶时间x(h)之间的函数图象,结合图象回答下列问题:
(1)图中a的值是
(2)在货车从B地返回C地的过程中,求货车距出发地的距离y(km)与轿车行驶时间x(h)之间的函数解析式.
(3)求轿车从出发到与货车相距30 km的时间.
(1)图中a的值是
300
,b的值是2
.(2)在货车从B地返回C地的过程中,求货车距出发地的距离y(km)与轿车行驶时间x(h)之间的函数解析式.
(3)求轿车从出发到与货车相距30 km的时间.
答案
9. 解:(1)由图象可知,A,B 两地之间的距离为 180 km,B,C 两地之间的距离为 120 km,180+120=300(km),
$\therefore a=300$.
轿车的速度为 $180÷1.5=120(\mathrm{km/h})$,$300÷120=2.5(\mathrm{h})$,
根据图象,得 $1.5+(3-b)=2.5$,解得 $b=2$.
故答案为:300,2.
(2)货车到达 $C$ 地所用的时间为 $3-\dfrac{1}{3}=\dfrac{8}{3}(\mathrm{h})$,$\therefore N(\dfrac{8}{3},0)$.$\dfrac{8}{3}÷2=\dfrac{4}{3}(\mathrm{h})$,
$\therefore M(\dfrac{4}{3},120)$.
货车的速度为 $120÷\dfrac{4}{3}=90(\mathrm{km/h})$,
$y=120-90×(x-\dfrac{4}{3})=-90x+240$,
$\therefore$ 在货车从 $B$ 地返回 $C$ 地的过程中,货车距出发地的距离 $y$ 与行驶时间 $x$ 之间的函数解析式为 $y=-90x+240(\dfrac{4}{3}≤ x≤\dfrac{8}{3})$.
(3)$\because v_{\mathrm{轿}}=120\ \mathrm{km/h}$,$v_{\mathrm{货}}=120÷\dfrac{4}{3}=90(\mathrm{km/h})$,
$\therefore$ ①$x=\dfrac{300-30}{120+90}=\dfrac{9}{7}(\mathrm{h})$,两车第一次相距 30 km.
②当 $x=\dfrac{4}{3}\mathrm{h}$,货车到 $B$ 地,轿车距 $B$ 地的路程为 $180-120×\dfrac{4}{3}=20(\mathrm{km})$.
当 $x=1.5\ \mathrm{h}$,轿车在 $B$ 地,货车距离 $B$ 地$=90×(1.5-\dfrac{4}{3})=15(\mathrm{km})$,
$\dfrac{30-15}{90}=\dfrac{1}{6}(\dfrac{1}{6}＜\dfrac{1}{2})$,
$\therefore$ 当 $x=1.5+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{3}(\mathrm{h})$,两车相距 30 km.
③两车相距 30 km,当 $x=2\ \mathrm{h}$,轿车在 $B$ 地,货车距轿车 $90×(2-\dfrac{4}{3})=60(\mathrm{km})$.
当 $x=\dfrac{8}{3}\ \mathrm{h}$,货车到 $C$ 地,此时两车相距 $\dfrac{1}{3}×120=40(\mathrm{km})$,$\dfrac{40-30}{120}=\dfrac{1}{12}$,
$\therefore x=\dfrac{8}{3}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{11}{4}(\mathrm{h})$,
$\therefore$ 综上:$x=\dfrac{9}{7}\ \mathrm{h}$ 或 $\dfrac{5}{3}\ \mathrm{h}$ 或 $\dfrac{11}{4}\ \mathrm{h}$.
$\therefore a=300$.
轿车的速度为 $180÷1.5=120(\mathrm{km/h})$,$300÷120=2.5(\mathrm{h})$,
根据图象,得 $1.5+(3-b)=2.5$,解得 $b=2$.
故答案为:300,2.
(2)货车到达 $C$ 地所用的时间为 $3-\dfrac{1}{3}=\dfrac{8}{3}(\mathrm{h})$,$\therefore N(\dfrac{8}{3},0)$.$\dfrac{8}{3}÷2=\dfrac{4}{3}(\mathrm{h})$,
$\therefore M(\dfrac{4}{3},120)$.
货车的速度为 $120÷\dfrac{4}{3}=90(\mathrm{km/h})$,
$y=120-90×(x-\dfrac{4}{3})=-90x+240$,
$\therefore$ 在货车从 $B$ 地返回 $C$ 地的过程中,货车距出发地的距离 $y$ 与行驶时间 $x$ 之间的函数解析式为 $y=-90x+240(\dfrac{4}{3}≤ x≤\dfrac{8}{3})$.
(3)$\because v_{\mathrm{轿}}=120\ \mathrm{km/h}$,$v_{\mathrm{货}}=120÷\dfrac{4}{3}=90(\mathrm{km/h})$,
$\therefore$ ①$x=\dfrac{300-30}{120+90}=\dfrac{9}{7}(\mathrm{h})$,两车第一次相距 30 km.
②当 $x=\dfrac{4}{3}\mathrm{h}$,货车到 $B$ 地,轿车距 $B$ 地的路程为 $180-120×\dfrac{4}{3}=20(\mathrm{km})$.
当 $x=1.5\ \mathrm{h}$,轿车在 $B$ 地,货车距离 $B$ 地$=90×(1.5-\dfrac{4}{3})=15(\mathrm{km})$,
$\dfrac{30-15}{90}=\dfrac{1}{6}(\dfrac{1}{6}＜\dfrac{1}{2})$,
$\therefore$ 当 $x=1.5+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{3}(\mathrm{h})$,两车相距 30 km.
③两车相距 30 km,当 $x=2\ \mathrm{h}$,轿车在 $B$ 地,货车距轿车 $90×(2-\dfrac{4}{3})=60(\mathrm{km})$.
当 $x=\dfrac{8}{3}\ \mathrm{h}$,货车到 $C$ 地,此时两车相距 $\dfrac{1}{3}×120=40(\mathrm{km})$,$\dfrac{40-30}{120}=\dfrac{1}{12}$,
$\therefore x=\dfrac{8}{3}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{11}{4}(\mathrm{h})$,
$\therefore$ 综上:$x=\dfrac{9}{7}\ \mathrm{h}$ 或 $\dfrac{5}{3}\ \mathrm{h}$ 或 $\dfrac{11}{4}\ \mathrm{h}$.
解析
【分析】
（1）先从函数图像提取已知信息：A、B两地距离180km，B、C两地距离120km，a是A到C的总路程，直接相加即可得到。先计算轿车的行驶速度，再结合轿车全程行驶时间、停留时长和总耗时的关系列方程求b的值。
（2）货车从B地返回C地的y与x的关系是一次函数，先确定货车到达B地的坐标点M、回到C地的坐标点N，用待定系数法代入两点坐标即可求出函数解析式，注意标注自变量的取值范围。
（3）分三种情况讨论两车相距30km的时间：①两车相向行驶未相遇时；②轿车在B地停留、货车从B地返回时；③货车回到C地、轿车仍在驶向C地时，分别根据路程关系计算对应时间即可。
【解析】
(1) 由图象可知A、B两地距离为180km，B、C两地距离为120km，因此A、C总路程$a=180+120=300$。
轿车的速度为$180÷1.5=120(\mathrm{km/h})$，轿车走完全程的行驶时间为$300÷120=2.5(\mathrm{h})$。轿车总耗时3h，行驶时间+停留时间=总耗时，即$2.5+(b-1.5)=3$，解得$b=2$。
(2) 轿车比货车晚$\frac{1}{3}\mathrm{h}$到达终点，因此货车回到C地的总时间为$3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}(\mathrm{h})$，即点$N(\frac{8}{3},0)$。
货车往返C、B两地速度不变，去程和回程时间相等，因此去程时间为$\frac{8}{3}÷2=\frac{4}{3}(\mathrm{h})$，即货车到达B地的时间为$\frac{4}{3}\mathrm{h}$，此时距离出发地120km，得点$M(\frac{4}{3},120)$。
设货车返回时的函数解析式为$y=kx+m$，将$M(\frac{4}{3},120)$和$N(\frac{8}{3},0)$代入得：
$\begin{cases}\frac{4}{3}k+m=120\\\frac{8}{3}k+m=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-90\\m=240\end{cases}$
因此货车返回过程的函数解析式为$y=-90x+240$，自变量取值范围是$\frac{4}{3}≤ x≤\frac{8}{3}$。
(3) 轿车速度$v_轿=120\ \mathrm{km/h}$，货车速度$v_货=120÷\frac{4}{3}=90(\mathrm{km/h})$，分三种情况讨论：
① 两车相向行驶未相遇时，两车路程和为$300-30=270(\mathrm{km})$，时间$x=\frac{270}{120+90}=\frac{9}{7}(\mathrm{h})$。
② 轿车在B地停留阶段：当x=1.5h时，货车已从B地返回行驶了$1.5-\frac{4}{3}=\frac{1}{6}(\mathrm{h})$，行驶路程为$90×\frac{1}{6}=15(\mathrm{km})$，此时两车相距15km，要相距30km还需行驶$30-15=15(\mathrm{km})$，所需时间为$\frac{15}{90}=\frac{1}{6}(\mathrm{h})$，总时间$x=1.5+\frac{1}{6}=\frac{5}{3}(\mathrm{h})$。
③ 货车回到C地后：当$x=\frac{8}{3}\mathrm{h}$时货车到达C地，此时轿车距离C地还有40km，要相距30km，轿车还需行驶10km，所需时间为$\frac{10}{120}=\frac{1}{12}(\mathrm{h})$，总时间$x=\frac{8}{3}+\frac{1}{12}=\frac{11}{4}(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{300}$，$\boldsymbol{2}$
(2) $\boldsymbol{y=-90x+240(\dfrac{4}{3}≤ x≤\dfrac{8}{3})}$
(3) $\boldsymbol{\dfrac{9}{7}\ \mathrm{h}}$或$\boldsymbol{\dfrac{5}{3}\ \mathrm{h}}$或$\boldsymbol{\dfrac{11}{4}\ \mathrm{h}}$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，行程问题分类讨论
【点评】
本题结合函数图像考查实际行程问题，需要准确从图像中提取运动相关信息，梳理不同时间段两车的运动状态，合理分类讨论求解，对读图分析能力和逻辑思维能力有一定要求，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.4
（1）先从函数图像提取已知信息：A、B两地距离180km，B、C两地距离120km，a是A到C的总路程，直接相加即可得到。先计算轿车的行驶速度，再结合轿车全程行驶时间、停留时长和总耗时的关系列方程求b的值。
（2）货车从B地返回C地的y与x的关系是一次函数，先确定货车到达B地的坐标点M、回到C地的坐标点N，用待定系数法代入两点坐标即可求出函数解析式，注意标注自变量的取值范围。
（3）分三种情况讨论两车相距30km的时间：①两车相向行驶未相遇时；②轿车在B地停留、货车从B地返回时；③货车回到C地、轿车仍在驶向C地时，分别根据路程关系计算对应时间即可。
【解析】
(1) 由图象可知A、B两地距离为180km，B、C两地距离为120km，因此A、C总路程$a=180+120=300$。
轿车的速度为$180÷1.5=120(\mathrm{km/h})$，轿车走完全程的行驶时间为$300÷120=2.5(\mathrm{h})$。轿车总耗时3h，行驶时间+停留时间=总耗时，即$2.5+(b-1.5)=3$，解得$b=2$。
(2) 轿车比货车晚$\frac{1}{3}\mathrm{h}$到达终点，因此货车回到C地的总时间为$3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}(\mathrm{h})$，即点$N(\frac{8}{3},0)$。
货车往返C、B两地速度不变，去程和回程时间相等，因此去程时间为$\frac{8}{3}÷2=\frac{4}{3}(\mathrm{h})$，即货车到达B地的时间为$\frac{4}{3}\mathrm{h}$，此时距离出发地120km，得点$M(\frac{4}{3},120)$。
设货车返回时的函数解析式为$y=kx+m$，将$M(\frac{4}{3},120)$和$N(\frac{8}{3},0)$代入得：
$\begin{cases}\frac{4}{3}k+m=120\\\frac{8}{3}k+m=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-90\\m=240\end{cases}$
因此货车返回过程的函数解析式为$y=-90x+240$，自变量取值范围是$\frac{4}{3}≤ x≤\frac{8}{3}$。
(3) 轿车速度$v_轿=120\ \mathrm{km/h}$，货车速度$v_货=120÷\frac{4}{3}=90(\mathrm{km/h})$，分三种情况讨论：
① 两车相向行驶未相遇时，两车路程和为$300-30=270(\mathrm{km})$，时间$x=\frac{270}{120+90}=\frac{9}{7}(\mathrm{h})$。
② 轿车在B地停留阶段：当x=1.5h时，货车已从B地返回行驶了$1.5-\frac{4}{3}=\frac{1}{6}(\mathrm{h})$，行驶路程为$90×\frac{1}{6}=15(\mathrm{km})$，此时两车相距15km，要相距30km还需行驶$30-15=15(\mathrm{km})$，所需时间为$\frac{15}{90}=\frac{1}{6}(\mathrm{h})$，总时间$x=1.5+\frac{1}{6}=\frac{5}{3}(\mathrm{h})$。
③ 货车回到C地后：当$x=\frac{8}{3}\mathrm{h}$时货车到达C地，此时轿车距离C地还有40km，要相距30km，轿车还需行驶10km，所需时间为$\frac{10}{120}=\frac{1}{12}(\mathrm{h})$，总时间$x=\frac{8}{3}+\frac{1}{12}=\frac{11}{4}(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{300}$，$\boldsymbol{2}$
(2) $\boldsymbol{y=-90x+240(\dfrac{4}{3}≤ x≤\dfrac{8}{3})}$
(3) $\boldsymbol{\dfrac{9}{7}\ \mathrm{h}}$或$\boldsymbol{\dfrac{5}{3}\ \mathrm{h}}$或$\boldsymbol{\dfrac{11}{4}\ \mathrm{h}}$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，行程问题分类讨论
【点评】
本题结合函数图像考查实际行程问题，需要准确从图像中提取运动相关信息，梳理不同时间段两车的运动状态，合理分类讨论求解，对读图分析能力和逻辑思维能力有一定要求，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.4
