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5. 从地面竖直向上抛射一个物体，在物体落地之前，物体的速度$v(\mathrm{m/s})$与运动时间$t(\mathrm{s})$之间的函数关系式为$v=25-10t$，则下列分析正确的是（
A.每经过1秒，该物体的速度增加10 m/s
B.每经过1秒，该物体的速度增加25 m/s
C.该物体抛出时的初始速度为25 m/s
D.该物体抛出时的初始速度为10 m/s
C
）A.每经过1秒，该物体的速度增加10 m/s
B.每经过1秒，该物体的速度增加25 m/s
C.该物体抛出时的初始速度为25 m/s
D.该物体抛出时的初始速度为10 m/s
答案
5.C
解析
【分析】
这是一次函数在实际运动问题中的应用，我们可结合一次函数$y=kx+b$的性质分析：一次函数中$k$代表因变量随自变量的变化率，对应本题就是速度随时间的变化规律；常数项$b$是自变量为0时的因变量值，对应本题就是抛出瞬间（$t=0$）的初始速度。我们先根据$k$的数值判断速度的变化规律，排除错误选项，再计算$t=0$时的$v$值得到初始速度，即可选出正确选项。
【解析】
已知速度$v$与运动时间$t$的函数关系式为$v=25-10t$，这是关于$t$的一次函数，一次项系数为$-10$，常数项为$25$。
1. 分析速度变化规律：一次项系数为$-10$，说明时间$t$每增加1秒，速度$v$的变化量为$-10\mathrm{m/s}$，即每经过1秒，物体的速度减少$10\mathrm{m/s}$，因此A、B选项错误。
2. 计算初始速度：物体抛出时的初始速度是$t=0$时的速度，将$t=0$代入函数式得：$v=25-10×0=25\mathrm{(m/s)}$，因此初始速度为$25\mathrm{m/s}$，C选项正确，D选项错误。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用；一次函数的性质；函数值计算
【点评】
本题结合竖直上抛运动的场景考查一次函数的实际应用，解题关键是明确一次函数各项系数在实际问题中的对应意义，代入对应数值计算即可判断选项，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
这是一次函数在实际运动问题中的应用，我们可结合一次函数$y=kx+b$的性质分析：一次函数中$k$代表因变量随自变量的变化率，对应本题就是速度随时间的变化规律；常数项$b$是自变量为0时的因变量值，对应本题就是抛出瞬间（$t=0$）的初始速度。我们先根据$k$的数值判断速度的变化规律，排除错误选项，再计算$t=0$时的$v$值得到初始速度，即可选出正确选项。
【解析】
已知速度$v$与运动时间$t$的函数关系式为$v=25-10t$，这是关于$t$的一次函数，一次项系数为$-10$，常数项为$25$。
1. 分析速度变化规律：一次项系数为$-10$，说明时间$t$每增加1秒，速度$v$的变化量为$-10\mathrm{m/s}$，即每经过1秒，物体的速度减少$10\mathrm{m/s}$，因此A、B选项错误。
2. 计算初始速度：物体抛出时的初始速度是$t=0$时的速度，将$t=0$代入函数式得：$v=25-10×0=25\mathrm{(m/s)}$，因此初始速度为$25\mathrm{m/s}$，C选项正确，D选项错误。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用；一次函数的性质；函数值计算
【点评】
本题结合竖直上抛运动的场景考查一次函数的实际应用，解题关键是明确一次函数各项系数在实际问题中的对应意义，代入对应数值计算即可判断选项，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
6.标有刻度的线香在古代主要用于计时，通常被称为“更香”或“计时香”，其原理是基于线香燃烧速度的相对稳定性，根据香燃烧的长度来估算时间.已知某型号线香燃烧过程中剩余长度$ h $（cm）与燃烧时间$ t $（分）满足一次函数$ h = h_0 + kt $，其中线香初始长度$ h_0 = 21 $cm.若燃烧30分钟时，线香燃烧了14 cm，则$ k $的值为
$-\dfrac{7}{15}$
.答案
6.$-\dfrac{7}{15}$
解析
【分析】
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：首先明确函数关系式中各量的含义：$h$是线香剩余长度，$t$是燃烧时间，$h_0$是线香初始长度。首先计算燃烧30分钟时线香的剩余长度，再将$t$、$h$、$h_0$的数值代入一次函数关系式，得到关于$k$的一元一次方程，解方程即可求出$k$的值，注意线香燃烧时长度逐渐减少，$k$应为负数。
【解析】
第一步：求燃烧30分钟时线香的剩余长度
已知线香初始长度为21cm，燃烧30分钟烧掉14cm，因此剩余长度：
$h=21-14=7\ \mathrm{cm}$
第二步：代入函数关系式求解$k$
将$h=7$，$t=30$，$h_0=21$代入$h=h_0+kt$，得：
$7=21+30k$
移项计算：
$30k=7-21$
$30k=-14$
$k=-\frac{14}{30}=-\frac{7}{15}$
【答案】
$-\dfrac{7}{15}$
【知识点】
一次函数应用，解一元一次方程
【点评】
本题结合传统计时工具“更香”的实际情境出题，既考查了一次函数的基础应用，也能让学生了解古代计时方法。解题的关键是准确对应燃烧时间和剩余长度的数值，计算时注意不要漏掉负号。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：首先明确函数关系式中各量的含义：$h$是线香剩余长度，$t$是燃烧时间，$h_0$是线香初始长度。首先计算燃烧30分钟时线香的剩余长度，再将$t$、$h$、$h_0$的数值代入一次函数关系式，得到关于$k$的一元一次方程，解方程即可求出$k$的值，注意线香燃烧时长度逐渐减少，$k$应为负数。
【解析】
第一步：求燃烧30分钟时线香的剩余长度
已知线香初始长度为21cm，燃烧30分钟烧掉14cm，因此剩余长度：
$h=21-14=7\ \mathrm{cm}$
第二步：代入函数关系式求解$k$
将$h=7$，$t=30$，$h_0=21$代入$h=h_0+kt$，得：
$7=21+30k$
移项计算：
$30k=7-21$
$30k=-14$
$k=-\frac{14}{30}=-\frac{7}{15}$
【答案】
$-\dfrac{7}{15}$
【知识点】
一次函数应用，解一元一次方程
【点评】
本题结合传统计时工具“更香”的实际情境出题，既考查了一次函数的基础应用，也能让学生了解古代计时方法。解题的关键是准确对应燃烧时间和剩余长度的数值，计算时注意不要漏掉负号。
【难度系数】
0.8
7.如图,已知直线$y=x+1$与$y=kx+b$相交于点$P(1,m)$,则关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x - y = -1, \\kx - y = -b\end{cases}$的解是 ______ .
答案
7.$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，明确二元一次方程组的解与对应两个一次函数图象交点坐标的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式联立组成的二元一次方程组的解；第二步，先求出交点P的坐标，已知P点横坐标为1，且在直线y=x+1上，代入即可求出P点纵坐标，进而得到方程组的解。
【解析】
首先，将点$P(1,m)$代入直线$y=x+1$，可得：
$m=1+1=2$，因此交点$P$的坐标为$(1,2)$。
观察所给的二元一次方程组：$\begin{cases}x - y = -1 \\kx - y = -b\end{cases}$，将两个方程移项变形后可得$\begin{cases}y=x+1 \\y=kx+b\end{cases}$，正好对应图中的两条直线的解析式。
根据一次函数与二元一次方程组的关系，两条直线的交点坐标就是对应联立方程组的解，因此该方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查一次函数和二元一次方程组的对应联系，只要掌握“两个一次函数图象的交点即为对应联立方程组的解”这一结论，再结合一次函数上点的坐标特征计算即可求解。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步，明确二元一次方程组的解与对应两个一次函数图象交点坐标的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式联立组成的二元一次方程组的解；第二步，先求出交点P的坐标，已知P点横坐标为1，且在直线y=x+1上，代入即可求出P点纵坐标，进而得到方程组的解。
【解析】
首先，将点$P(1,m)$代入直线$y=x+1$，可得：
$m=1+1=2$，因此交点$P$的坐标为$(1,2)$。
观察所给的二元一次方程组：$\begin{cases}x - y = -1 \\kx - y = -b\end{cases}$，将两个方程移项变形后可得$\begin{cases}y=x+1 \\y=kx+b\end{cases}$，正好对应图中的两条直线的解析式。
根据一次函数与二元一次方程组的关系，两条直线的交点坐标就是对应联立方程组的解，因此该方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查一次函数和二元一次方程组的对应联系，只要掌握“两个一次函数图象的交点即为对应联立方程组的解”这一结论，再结合一次函数上点的坐标特征计算即可求解。
【难度系数】
0.8
8. 如图,直线:$y_1 = kx + b$ 经过点 $A(-6,0), B(-1,5)$.
(1)求直线AB的解析式.
(2)若直线 $y_2 = -2x -3$ 与直线AB相交于点M,与x轴相交于点D.求四边形OBMD的面积.
(3)根据图象,直接写出关于x的不等式 $0 ＜ -2x -3 ≤ kx + b$ 的解集.
(1)求直线AB的解析式.
(2)若直线 $y_2 = -2x -3$ 与直线AB相交于点M,与x轴相交于点D.求四边形OBMD的面积.
(3)根据图象,直接写出关于x的不等式 $0 ＜ -2x -3 ≤ kx + b$ 的解集.
答案
8. 解:(1)由条件可得 $\begin{cases}-6k+b=0, \\-k+b=5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=1, \\b=6,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AB$ 的解析式为 $y_1=x+6$.
(2)联立 $\begin{cases}y_1=x+6, \\y_2=-2x-3,\end{cases}$ $\because y_1=y_2$,
解得 $\begin{cases}x=-3, \\y_1=y_2=3,\end{cases}$ $\therefore M(-3,3)$.
令 $y_2=-2x-3=0$,解得 $x=-\dfrac{3}{2}$,
$\therefore D(-\dfrac{3}{2},0)$.
$\therefore AD=-\dfrac{3}{2}-(-6)=\dfrac{9}{2}$.
$\therefore S_{OBMD}=S_{△ AOB}-S_{△ AMD}=\dfrac{1}{2}×6×5-\dfrac{1}{2}×\dfrac{9}{2}×3=\dfrac{33}{4}$.
(3)由图象可知,$0＜ -2x-3≤ x+6$ 的解集为 $-3≤ x＜-\dfrac{3}{2}$.
解析
【分析】
(1) 求直线AB的解析式，已知直线过两个坐标确定的点，使用待定系数法，将两点坐标代入y=kx+b得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b的值即可得到解析式。
(2) 四边形OBMD是不规则图形，可用割补法计算面积，用△AOB的面积减去△AMD的面积求解即可。首先联立两条直线解析式求出交点M的坐标，再令y₂=0求出D点坐标，分别计算两个三角形的面积后作差即可得到四边形面积。
(3) 解不等式0＜-2x-3≤kx+b可结合图象分析：0＜-2x-3对应直线y₂在x轴上方的部分，-2x-3≤kx+b对应直线y₂在直线y₁下方（含交点）的部分，取两部分公共区域对应的x的取值范围即为解集。
【解析】
(1) 将点A(-6,0)、B(-1,5)代入$y_1=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}-6k+b=0 \\-k+b=5\end{cases}$
两式相减得$5k=5$，解得$k=1$，将$k=1$代入$-6k+b=0$，得$b=6$，因此直线AB的解析式为$y_1=x+6$。
(2) 联立两条直线的解析式：
$\begin{cases}y=x+6 \\y=-2x-3\end{cases}$
令$x+6=-2x-3$，解得$x=-3$，代入得$y=3$，即交点$M(-3,3)$。
令$y_2=-2x-3=0$，解得$x=-\frac{3}{2}$，即D点坐标为$(-\frac{3}{2},0)$。
$△ AOB$的底$AO=6$，高为B点纵坐标5，面积为$\frac{1}{2}×6×5=15$；$△ AMD$的底$AD=-\frac{3}{2}-(-6)=\frac{9}{2}$，高为M点纵坐标3，面积为$\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$。
因此四边形OBMD的面积为$15-\frac{27}{4}=\frac{33}{4}$。
(3) 观察图象可得：$0＜-2x-3$对应$x＜-\frac{3}{2}$，$-2x-3≤x+6$对应$x≥-3$，因此不等式的解集为$-3≤x＜-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 直线 $AB$ 的解析式为 $y_1=x+6$
(2) 四边形OBMD的面积为$\frac{33}{4}$
(3) 不等式的解集为 $-3≤ x＜-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数面积计算，一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数的常见综合题型，基础考查了待定系数法求函数解析式的能力，不规则图形面积通过割补法转化为规则图形面积差可简化计算，结合图象解不等式体现了数形结合思想的应用，需要熟练掌握相关方法。
【难度系数】
0.7
(1) 求直线AB的解析式，已知直线过两个坐标确定的点，使用待定系数法，将两点坐标代入y=kx+b得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b的值即可得到解析式。
(2) 四边形OBMD是不规则图形，可用割补法计算面积，用△AOB的面积减去△AMD的面积求解即可。首先联立两条直线解析式求出交点M的坐标，再令y₂=0求出D点坐标，分别计算两个三角形的面积后作差即可得到四边形面积。
(3) 解不等式0＜-2x-3≤kx+b可结合图象分析：0＜-2x-3对应直线y₂在x轴上方的部分，-2x-3≤kx+b对应直线y₂在直线y₁下方（含交点）的部分，取两部分公共区域对应的x的取值范围即为解集。
【解析】
(1) 将点A(-6,0)、B(-1,5)代入$y_1=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}-6k+b=0 \\-k+b=5\end{cases}$
两式相减得$5k=5$，解得$k=1$，将$k=1$代入$-6k+b=0$，得$b=6$，因此直线AB的解析式为$y_1=x+6$。
(2) 联立两条直线的解析式：
$\begin{cases}y=x+6 \\y=-2x-3\end{cases}$
令$x+6=-2x-3$，解得$x=-3$，代入得$y=3$，即交点$M(-3,3)$。
令$y_2=-2x-3=0$，解得$x=-\frac{3}{2}$，即D点坐标为$(-\frac{3}{2},0)$。
$△ AOB$的底$AO=6$，高为B点纵坐标5，面积为$\frac{1}{2}×6×5=15$；$△ AMD$的底$AD=-\frac{3}{2}-(-6)=\frac{9}{2}$，高为M点纵坐标3，面积为$\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$。
因此四边形OBMD的面积为$15-\frac{27}{4}=\frac{33}{4}$。
(3) 观察图象可得：$0＜-2x-3$对应$x＜-\frac{3}{2}$，$-2x-3≤x+6$对应$x≥-3$，因此不等式的解集为$-3≤x＜-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 直线 $AB$ 的解析式为 $y_1=x+6$
(2) 四边形OBMD的面积为$\frac{33}{4}$
(3) 不等式的解集为 $-3≤ x＜-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数面积计算，一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数的常见综合题型，基础考查了待定系数法求函数解析式的能力，不规则图形面积通过割补法转化为规则图形面积差可简化计算，结合图象解不等式体现了数形结合思想的应用，需要熟练掌握相关方法。
【难度系数】
0.7
