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12.如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
$15$
cm.答案
12.15
解析
【分析】
要找到蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，需先把圆柱侧面展开成平面图形，利用“两点之间线段最短”的原理求解。首先圆柱侧面展开为长方形，因为A和C在圆柱相对的位置，所以二者的水平距离是底面周长的一半；又因为蚂蚁在杯外壁、蜂蜜在杯内壁，蚂蚁需要先爬到杯口再进入内壁，因此作点A关于杯上沿所在直线的对称点，对称点到点C的线段长度就是最短路径，最后用勾股定理计算该线段长度即可。
【解析】
1. 将圆柱侧面沿过点A的高展开，得到长为18cm、高为12cm的长方形；
2. 作点A关于长方形上长边（对应杯上沿）的对称点$A'$；
3. 计算水平距离：因为A、C位置相对，水平距离为底面周长的一半，即$18÷2=9\mathrm{cm}$；
4. 计算竖直距离：点A离上沿4cm，对称后$A'$离上沿也为4cm，点C离杯底4cm，则C离上沿的距离为$12-4=8\mathrm{cm}$，因此$A'$到C的竖直总距离为$4+8=12\mathrm{cm}$；
5. 由勾股定理得最短路径长度：$\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\mathrm{cm}$。
【答案】
15
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，核心是将立体问题转化为平面问题求解，需要掌握圆柱展开的特点，结合对称思想和勾股定理计算，能很好地考查空间转化能力。
【难度系数】
0.6
要找到蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，需先把圆柱侧面展开成平面图形，利用“两点之间线段最短”的原理求解。首先圆柱侧面展开为长方形，因为A和C在圆柱相对的位置，所以二者的水平距离是底面周长的一半；又因为蚂蚁在杯外壁、蜂蜜在杯内壁，蚂蚁需要先爬到杯口再进入内壁，因此作点A关于杯上沿所在直线的对称点，对称点到点C的线段长度就是最短路径，最后用勾股定理计算该线段长度即可。
【解析】
1. 将圆柱侧面沿过点A的高展开，得到长为18cm、高为12cm的长方形；
2. 作点A关于长方形上长边（对应杯上沿）的对称点$A'$；
3. 计算水平距离：因为A、C位置相对，水平距离为底面周长的一半，即$18÷2=9\mathrm{cm}$；
4. 计算竖直距离：点A离上沿4cm，对称后$A'$离上沿也为4cm，点C离杯底4cm，则C离上沿的距离为$12-4=8\mathrm{cm}$，因此$A'$到C的竖直总距离为$4+8=12\mathrm{cm}$；
5. 由勾股定理得最短路径长度：$\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\mathrm{cm}$。
【答案】
15
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，核心是将立体问题转化为平面问题求解，需要掌握圆柱展开的特点，结合对称思想和勾股定理计算，能很好地考查空间转化能力。
【难度系数】
0.6
13.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点E在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为
$2\sqrt{7}$
.答案
13.$2\sqrt{7}$
解析
【分析】
首先，菱形属于中心对称图形，过对称中心的直线可以平分中心对称图形的面积，因此我们先确定菱形的对称中心（对角线交点），直线l过点E和对称中心，与另一边交于F，F和E关于对称中心对称，最后构造直角三角形利用勾股定理计算EF的长度即可。
【解析】
我们通过建立平面直角坐标系求解：
1. 设点B为坐标原点$(0,0)$，BC边在x轴上：
已知菱形ABCD中$AB=6$，$∠ B=60°$，因此：
$B(0,0)$，$C(6,0)$，A点横坐标为$AB·\cos60°=6×0.5=3$，纵坐标为$AB·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，即$A(3,3\sqrt{3})$，D点坐标为$(3+6,3\sqrt{3})=(9,3\sqrt{3})$。
2. 求点E坐标：
点E在AD上，AD为水平线段（纵坐标均为$3\sqrt{3}$），$AE=2$，因此E的横坐标为$3+2=5$，即$E(5,3\sqrt{3})$。
3. 求菱形对称中心坐标：
菱形的对称中心为对角线BD的中点，$B(0,0)$，$D(9,3\sqrt{3})$，因此中点坐标为$(\frac{0+9}{2},\frac{0+3\sqrt{3}}{2})=(4.5,\frac{3\sqrt{3}}{2})$。
4. 求点F坐标：
因为直线l平分菱形面积，所以F与E关于对称中心对称，设$F(x,y)$：
由中点公式得$\frac{5+x}{2}=4.5$，$\frac{3\sqrt{3}+y}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，解得$x=4$，$y=0$，即$F(4,0)$。
5. 计算EF长度：
由两点间距离公式（勾股定理）得：
$EF=\sqrt{(5-4)^2+(3\sqrt{3}-0)^2}=\sqrt{1+27}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
【答案】
$2\sqrt{7}$
【知识点】
菱形的性质；中心对称的性质；勾股定理
【点评】
本题解题的关键是掌握“过中心对称图形的对称中心的直线平分图形面积”这一性质，结合坐标法或构造直角三角形即可求解，是几何性质结合计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
首先，菱形属于中心对称图形，过对称中心的直线可以平分中心对称图形的面积，因此我们先确定菱形的对称中心（对角线交点），直线l过点E和对称中心，与另一边交于F，F和E关于对称中心对称，最后构造直角三角形利用勾股定理计算EF的长度即可。
【解析】
我们通过建立平面直角坐标系求解：
1. 设点B为坐标原点$(0,0)$，BC边在x轴上：
已知菱形ABCD中$AB=6$，$∠ B=60°$，因此：
$B(0,0)$，$C(6,0)$，A点横坐标为$AB·\cos60°=6×0.5=3$，纵坐标为$AB·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，即$A(3,3\sqrt{3})$，D点坐标为$(3+6,3\sqrt{3})=(9,3\sqrt{3})$。
2. 求点E坐标：
点E在AD上，AD为水平线段（纵坐标均为$3\sqrt{3}$），$AE=2$，因此E的横坐标为$3+2=5$，即$E(5,3\sqrt{3})$。
3. 求菱形对称中心坐标：
菱形的对称中心为对角线BD的中点，$B(0,0)$，$D(9,3\sqrt{3})$，因此中点坐标为$(\frac{0+9}{2},\frac{0+3\sqrt{3}}{2})=(4.5,\frac{3\sqrt{3}}{2})$。
4. 求点F坐标：
因为直线l平分菱形面积，所以F与E关于对称中心对称，设$F(x,y)$：
由中点公式得$\frac{5+x}{2}=4.5$，$\frac{3\sqrt{3}+y}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，解得$x=4$，$y=0$，即$F(4,0)$。
5. 计算EF长度：
由两点间距离公式（勾股定理）得：
$EF=\sqrt{(5-4)^2+(3\sqrt{3}-0)^2}=\sqrt{1+27}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
【答案】
$2\sqrt{7}$
【知识点】
菱形的性质；中心对称的性质；勾股定理
【点评】
本题解题的关键是掌握“过中心对称图形的对称中心的直线平分图形面积”这一性质，结合坐标法或构造直角三角形即可求解，是几何性质结合计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
14.如图,四边形ABCD是矩形,延长DA到点E,使$AE=DA$,连接EB,点$F_1$是CD的中点,连接$EF_1,BF_1$,得到$△ EF_1B$;点$F_2$是$CF_1$的中点,连接$EF_2,BF_2$,得到$△ EF_2B$;点$F_3$是$CF_2$的中点,连接$EF_3,BF_3$,得到$△ EF_3B$……按照此规律继续进行下去,若矩形ABCD的面积等于2,则$△ EF_nB$的面积为
$\dfrac{2^n+1}{2^n}$
.(用含正整数n的式子表示)答案
14.$\dfrac{2^n+1}{2^n}$
解析
【分析】
解题时可先设出矩形的边长，用边长乘积表示矩形面积，再通过割补法计算前几个△EFₙB的面积，观察结果的变化规律，最终推导得到含n的通用表达式。第一步先计算直角梯形EDCB的固定面积，第二步分别计算对应n下△EDFₙ和△BCFₙ的面积，第三步用梯形面积减去两个小三角形面积得到△EFₙB的面积，第四步总结规律得到通项。
【解析】
设矩形ABCD中AD=a，AB=b，由矩形面积为2可得$ab=2$。
因为$AE=DA$，所以$ED=AE+AD=2a$，四边形EDCB为直角梯形，其面积为：
$S_{梯形EDCB}=\frac{1}{2}(ED+BC)· DC=\frac{1}{2}(2a+a)· b=\frac{3}{2}ab=\frac{3}{2}×2=3$
按规律计算：
1. $n=1$时，$F_1$是CD中点，$CF_1=\frac{1}{2}b$，$DF_1=\frac{1}{2}b$：
$S_{△ EDF_1}=\frac{1}{2}×2a×\frac{1}{2}b=\frac{1}{2}ab=1$，$S_{△ BCF_1}=\frac{1}{2}× a×\frac{1}{2}b=\frac{1}{4}ab=\frac{1}{2}$
$S_{△ EF_1B}=3-1-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=\frac{2^1+1}{2^1}$
2. $n=2$时，$F_2$是$CF_1$中点，$CF_2=\frac{1}{4}b$，$DF_2=\frac{3}{4}b$：
$S_{△ EDF_2}=\frac{1}{2}×2a×\frac{3}{4}b=\frac{3}{4}ab=\frac{3}{2}$，$S_{△ BCF_2}=\frac{1}{2}× a×\frac{1}{4}b=\frac{1}{8}ab=\frac{1}{4}$
$S_{△ EF_2B}=3-\frac{3}{2}-\frac{1}{4}=\frac{5}{4}=\frac{2^2+1}{2^2}$
3. $n=3$时，$F_3$是$CF_2$中点，$CF_3=\frac{1}{8}b$，$DF_3=\frac{7}{8}b$：
$S_{△ EDF_3}=\frac{1}{2}×2a×\frac{7}{8}b=\frac{7}{8}ab=\frac{7}{4}$，$S_{△ BCF_3}=\frac{1}{2}× a×\frac{1}{8}b=\frac{1}{16}ab=\frac{1}{8}$
$S_{△ EF_3B}=3-\frac{7}{4}-\frac{1}{8}=\frac{9}{8}=\frac{2^3+1}{2^3}$
以此类推，可得△EFₙB的面积为$\frac{2^n+1}{2^n}$。
【答案】
$\dfrac{2^n+1}{2^n}$
【知识点】
矩形的性质，三角形面积计算，规律探究
【点评】
本题将几何面积计算和规律探究结合，核心是用割补法求解三角形面积，通过计算前几个特殊值归纳通用规律，能够有效考察学生的逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
解题时可先设出矩形的边长，用边长乘积表示矩形面积，再通过割补法计算前几个△EFₙB的面积，观察结果的变化规律，最终推导得到含n的通用表达式。第一步先计算直角梯形EDCB的固定面积，第二步分别计算对应n下△EDFₙ和△BCFₙ的面积，第三步用梯形面积减去两个小三角形面积得到△EFₙB的面积，第四步总结规律得到通项。
【解析】
设矩形ABCD中AD=a，AB=b，由矩形面积为2可得$ab=2$。
因为$AE=DA$，所以$ED=AE+AD=2a$，四边形EDCB为直角梯形，其面积为：
$S_{梯形EDCB}=\frac{1}{2}(ED+BC)· DC=\frac{1}{2}(2a+a)· b=\frac{3}{2}ab=\frac{3}{2}×2=3$
按规律计算：
1. $n=1$时，$F_1$是CD中点，$CF_1=\frac{1}{2}b$，$DF_1=\frac{1}{2}b$：
$S_{△ EDF_1}=\frac{1}{2}×2a×\frac{1}{2}b=\frac{1}{2}ab=1$，$S_{△ BCF_1}=\frac{1}{2}× a×\frac{1}{2}b=\frac{1}{4}ab=\frac{1}{2}$
$S_{△ EF_1B}=3-1-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=\frac{2^1+1}{2^1}$
2. $n=2$时，$F_2$是$CF_1$中点，$CF_2=\frac{1}{4}b$，$DF_2=\frac{3}{4}b$：
$S_{△ EDF_2}=\frac{1}{2}×2a×\frac{3}{4}b=\frac{3}{4}ab=\frac{3}{2}$，$S_{△ BCF_2}=\frac{1}{2}× a×\frac{1}{4}b=\frac{1}{8}ab=\frac{1}{4}$
$S_{△ EF_2B}=3-\frac{3}{2}-\frac{1}{4}=\frac{5}{4}=\frac{2^2+1}{2^2}$
3. $n=3$时，$F_3$是$CF_2$中点，$CF_3=\frac{1}{8}b$，$DF_3=\frac{7}{8}b$：
$S_{△ EDF_3}=\frac{1}{2}×2a×\frac{7}{8}b=\frac{7}{8}ab=\frac{7}{4}$，$S_{△ BCF_3}=\frac{1}{2}× a×\frac{1}{8}b=\frac{1}{16}ab=\frac{1}{8}$
$S_{△ EF_3B}=3-\frac{7}{4}-\frac{1}{8}=\frac{9}{8}=\frac{2^3+1}{2^3}$
以此类推，可得△EFₙB的面积为$\frac{2^n+1}{2^n}$。
【答案】
$\dfrac{2^n+1}{2^n}$
【知识点】
矩形的性质，三角形面积计算，规律探究
【点评】
本题将几何面积计算和规律探究结合，核心是用割补法求解三角形面积，通过计算前几个特殊值归纳通用规律，能够有效考察学生的逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共 58 分)
15.(8分)先化简，再求值：$(\dfrac{1}{x-1}-1)÷\dfrac{x^2+2x+1}{x^2-1}$，其中 $x=\sqrt{2}-1$.
15.(8分)先化简，再求值：$(\dfrac{1}{x-1}-1)÷\dfrac{x^2+2x+1}{x^2-1}$，其中 $x=\sqrt{2}-1$.
答案
15.解:$(\dfrac{1}{x-1}-1)÷ \dfrac{x^2+2x+1}{x^2-1}$
$=\dfrac{1-x+1}{x-1}× \dfrac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}$
$=\dfrac{2-x}{x+1}.$
当 $x=\sqrt{2}-1$ 时,
原式$=\dfrac{2-\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1+1}=\dfrac{3-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}-2}{2}$
$=\dfrac{3}{2}\sqrt{2}-1.$
$=\dfrac{1-x+1}{x-1}× \dfrac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}$
$=\dfrac{2-x}{x+1}.$
当 $x=\sqrt{2}-1$ 时,
原式$=\dfrac{2-\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1+1}=\dfrac{3-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}-2}{2}$
$=\dfrac{3}{2}\sqrt{2}-1.$
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简分式，先计算括号内的分式减法，将1转化为分母为$x-1$的分式通分计算，再将分式除法转化为乘法，对分子分母利用平方差公式、完全平方公式因式分解后约分，得到最简分式；第二步将$x$的取值代入最简分式，进行二次根式的运算，最后化简为最简结果即可，计算过程中要注意通分、约分的符号及规则，避免出错。
【解析】
解：$(\dfrac{1}{x-1}-1)÷ \dfrac{x^2+2x+1}{x^2-1}$
$=\dfrac{1-(x-1)}{x-1}× \dfrac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}$
$=\dfrac{2-x}{x+1}$
当 $x=\sqrt{2}-1$ 时，
原式$=\dfrac{2-(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}-1+1}=\dfrac{3-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{(3-\sqrt{2})×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}-2}{2}$
$=\dfrac{3}{2}\sqrt{2}-1$
【答案】
$\dfrac{3}{2}\sqrt{2}-1$（或$\dfrac{3\sqrt{2}-2}{2}$）
【知识点】
分式化简求值，因式分解，二次根式运算
【点评】
本题是分式运算的常规考题，综合考查了分式的四则运算法则、乘法公式的应用以及二次根式的化简，属于基础得分题，解题时需注意通分、约分的正确性，代入求值后要将二次根式化为最简形式。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简分式，先计算括号内的分式减法，将1转化为分母为$x-1$的分式通分计算，再将分式除法转化为乘法，对分子分母利用平方差公式、完全平方公式因式分解后约分，得到最简分式；第二步将$x$的取值代入最简分式，进行二次根式的运算，最后化简为最简结果即可，计算过程中要注意通分、约分的符号及规则，避免出错。
【解析】
解：$(\dfrac{1}{x-1}-1)÷ \dfrac{x^2+2x+1}{x^2-1}$
$=\dfrac{1-(x-1)}{x-1}× \dfrac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}$
$=\dfrac{2-x}{x+1}$
当 $x=\sqrt{2}-1$ 时，
原式$=\dfrac{2-(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}-1+1}=\dfrac{3-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{(3-\sqrt{2})×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}-2}{2}$
$=\dfrac{3}{2}\sqrt{2}-1$
【答案】
$\dfrac{3}{2}\sqrt{2}-1$（或$\dfrac{3\sqrt{2}-2}{2}$）
【知识点】
分式化简求值，因式分解，二次根式运算
【点评】
本题是分式运算的常规考题，综合考查了分式的四则运算法则、乘法公式的应用以及二次根式的化简，属于基础得分题，解题时需注意通分、约分的正确性，代入求值后要将二次根式化为最简形式。
【难度系数】
0.7
