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16.(8分)在平面直角坐标系$xOy$中(如图)，已知一次函数的图象平行于直线$y=\frac{1}{2}x$，且经过点$A(2,3)$，与$x$轴交于点$B$。
(1)求这个一次函数的解析式。
(2)设点$C$在$y$轴上，当$AC=BC$时，求点$C$的坐标。
(1)求这个一次函数的解析式。
(2)设点$C$在$y$轴上，当$AC=BC$时，求点$C$的坐标。
答案
16.解:(1)设一次函数的解析式为 $y=kx+b$,
$\because$ 一次函数的图象平行于直线$y=\dfrac{1}{2}x ,\therefore k=\dfrac{1}{2}.$
$\because$ 一次函数的图象经过点 $A(2,3)$,
$\therefore 3=\dfrac{1}{2}× 2+b ,$ 解得 $b=2.$
$\therefore$ 一次函数的解析式为 $y=\dfrac{1}{2}x+2.$
(2)在一次函数 $y=\dfrac{1}{2}x+2$ 中,令$y=0,$得$\dfrac{1}{2}x+2=0 ,\therefore x=-4.$
$\therefore$ 一次函数的图象与 $x$ 轴的交点$B$ 的坐标为 $(-4,0)$,
$\because$ 点 $C$ 在 $y$ 轴上,
$\therefore$ 设点 $C$ 的坐标为 $(0,m)$,
过点 $A$ 作 $AD⊥ y$ 轴,
则 $AD=2,CD=|3-m|.$
在 $\mathrm{Rt}△ BOC$ 中,
$BC^2=OB^2+OC^2=16+m^2.$
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,
$AC^2=AD^2+CD^2=4+(3-m)^2.$
$\because BC=AC,$
$\therefore 16+m^2=4+(3-m)^2,$
解得 $m=-\dfrac{1}{2}.$
$\therefore$ 点 $C$ 的坐标是 $(0,-\dfrac{1}{2}).$
$\because$ 一次函数的图象平行于直线$y=\dfrac{1}{2}x ,\therefore k=\dfrac{1}{2}.$
$\because$ 一次函数的图象经过点 $A(2,3)$,
$\therefore 3=\dfrac{1}{2}× 2+b ,$ 解得 $b=2.$
$\therefore$ 一次函数的解析式为 $y=\dfrac{1}{2}x+2.$
(2)在一次函数 $y=\dfrac{1}{2}x+2$ 中,令$y=0,$得$\dfrac{1}{2}x+2=0 ,\therefore x=-4.$
$\therefore$ 一次函数的图象与 $x$ 轴的交点$B$ 的坐标为 $(-4,0)$,
$\because$ 点 $C$ 在 $y$ 轴上,
$\therefore$ 设点 $C$ 的坐标为 $(0,m)$,
过点 $A$ 作 $AD⊥ y$ 轴,
则 $AD=2,CD=|3-m|.$
在 $\mathrm{Rt}△ BOC$ 中,
$BC^2=OB^2+OC^2=16+m^2.$
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,
$AC^2=AD^2+CD^2=4+(3-m)^2.$
$\because BC=AC,$
$\therefore 16+m^2=4+(3-m)^2,$
解得 $m=-\dfrac{1}{2}.$
$\therefore$ 点 $C$ 的坐标是 $(0,-\dfrac{1}{2}).$
解析
【分析】
(1) 求解一次函数解析式可使用待定系数法：首先设一次函数解析式为$y=kx+b$，根据两直线平行时斜率$k$相等的性质，可直接得到$k=\frac{1}{2}$，再将已知点$A$的坐标代入解析式，即可求出$b$的值，进而得到一次函数的解析式。
(2) 首先求一次函数与$x$轴交点$B$的坐标：$x$轴上的点纵坐标为0，将$y=0$代入第一问求出的解析式，计算出$x$的值即可得到$B$点坐标。由于点$C$在$y$轴上，其横坐标为0，可设$C$的坐标为$(0,m)$，再结合$AC=BC$的条件，用勾股定理分别表示出$AC^2$和$BC^2$，令二者相等列方程，求解出$m$的值即可得到点$C$的坐标。
【解析】
(1) 设一次函数的解析式为 $y=kx+b$，
$\because$ 一次函数的图象平行于直线$y=\dfrac{1}{2}x ,\therefore k=\dfrac{1}{2}.$
$\because$ 一次函数的图象经过点 $A(2,3)$，
$\therefore 3=\dfrac{1}{2}× 2+b ,$ 解得 $b=2.$
$\therefore$ 一次函数的解析式为 $y=\dfrac{1}{2}x+2.$
(2) 在一次函数 $y=\dfrac{1}{2}x+2$ 中，令$y=0$，得$\dfrac{1}{2}x+2=0 ,\therefore x=-4.$
$\therefore$ 一次函数的图象与 $x$ 轴的交点$B$ 的坐标为 $(-4,0)$，
$\because$ 点 $C$ 在 $y$ 轴上，
$\therefore$ 设点 $C$ 的坐标为 $(0,m)$，
过点 $A$ 作 $AD⊥ y$ 轴，
则 $AD=2,CD=|3-m|.$
在 $\mathrm{Rt}△ BOC$ 中，
$BC^2=OB^2+OC^2=16+m^2.$
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，
$AC^2=AD^2+CD^2=4+(3-m)^2.$
$\because BC=AC,$
$\therefore 16+m^2=4+(3-m)^2,$
解得 $m=-\dfrac{1}{2}.$
$\therefore$ 点 $C$ 的坐标是 $(0,-\dfrac{1}{2}).$
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{2}x+2$
(2) $(0,-\dfrac{1}{2})$
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法求解析式；勾股定理的应用
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，既考查了一次函数图象的基本性质、待定系数法求解析式的常规方法，又结合了线段相等的几何条件，通过方程思想求解未知点坐标，是一次函数章节的常见典型题型，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 求解一次函数解析式可使用待定系数法：首先设一次函数解析式为$y=kx+b$，根据两直线平行时斜率$k$相等的性质，可直接得到$k=\frac{1}{2}$，再将已知点$A$的坐标代入解析式，即可求出$b$的值，进而得到一次函数的解析式。
(2) 首先求一次函数与$x$轴交点$B$的坐标：$x$轴上的点纵坐标为0，将$y=0$代入第一问求出的解析式，计算出$x$的值即可得到$B$点坐标。由于点$C$在$y$轴上，其横坐标为0，可设$C$的坐标为$(0,m)$，再结合$AC=BC$的条件，用勾股定理分别表示出$AC^2$和$BC^2$，令二者相等列方程，求解出$m$的值即可得到点$C$的坐标。
【解析】
(1) 设一次函数的解析式为 $y=kx+b$，
$\because$ 一次函数的图象平行于直线$y=\dfrac{1}{2}x ,\therefore k=\dfrac{1}{2}.$
$\because$ 一次函数的图象经过点 $A(2,3)$，
$\therefore 3=\dfrac{1}{2}× 2+b ,$ 解得 $b=2.$
$\therefore$ 一次函数的解析式为 $y=\dfrac{1}{2}x+2.$
(2) 在一次函数 $y=\dfrac{1}{2}x+2$ 中，令$y=0$，得$\dfrac{1}{2}x+2=0 ,\therefore x=-4.$
$\therefore$ 一次函数的图象与 $x$ 轴的交点$B$ 的坐标为 $(-4,0)$，
$\because$ 点 $C$ 在 $y$ 轴上，
$\therefore$ 设点 $C$ 的坐标为 $(0,m)$，
过点 $A$ 作 $AD⊥ y$ 轴，
则 $AD=2,CD=|3-m|.$
在 $\mathrm{Rt}△ BOC$ 中，
$BC^2=OB^2+OC^2=16+m^2.$
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，
$AC^2=AD^2+CD^2=4+(3-m)^2.$
$\because BC=AC,$
$\therefore 16+m^2=4+(3-m)^2,$
解得 $m=-\dfrac{1}{2}.$
$\therefore$ 点 $C$ 的坐标是 $(0,-\dfrac{1}{2}).$
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{2}x+2$
(2) $(0,-\dfrac{1}{2})$
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法求解析式；勾股定理的应用
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，既考查了一次函数图象的基本性质、待定系数法求解析式的常规方法，又结合了线段相等的几何条件，通过方程思想求解未知点坐标，是一次函数章节的常见典型题型，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
17.(8分)某市开展了“寻找雷锋足迹”的活动,某中学为了解七年级800名学生在“学雷锋活动月”中做好事的情况,随机调查了七年级50名学生在一个月内做好事的次数,并将所得数据绘制成下面的统计图,请根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)所调查的七年级50名学生在这个月内做好事的次数的平均数是
(2)根据样本数据,估计该校七年级800名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于4次的人数.
(1)所调查的七年级50名学生在这个月内做好事的次数的平均数是
$4.4$
,众数是$5$
.(2)根据样本数据,估计该校七年级800名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于4次的人数.
答案
17.解:(1)4.4 5
(2)$\dfrac{13+16+10}{50}× 800=624$(人).
(2)$\dfrac{13+16+10}{50}× 800=624$(人).
解析
【分析】
(1)求平均数时，本题给出了不同做好事次数对应的人数，属于加权平均数计算场景，以各做好事次数为数据值，对应人数为权重，加权求和后除以总人数就能得到平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数值，只需找到对应人数最多的做好事次数即为众数。(2)估计全校七年级做好事不少于4次的人数，遵循样本估计总体的思路，先计算抽样的50名学生中做好事不少于4次的人数占比，再用该比例乘七年级总人数800即可。
【解析】
(1)计算平均数：
总做好事次数 = $2×5 + 3×6 + 4×13 + 5×16 + 6×10 = 10 + 18 + 52 + 80 + 60 = 220$
平均数 = $220 ÷ 50 = 4.4$
观察统计图可得，做好事5次的人数为16人，是所有次数中对应人数最多的，因此众数为5。
(2)样本中做好事不少于4次的人数为：$13 + 16 + 10 = 39$（人）
该部分人数占样本的比例为$\frac{39}{50}$
估计该校七年级800名学生中符合条件的人数为：$\frac{39}{50}×800 = 624$（人）
【答案】
(1)$4.4$；$5$
(2)$624$人
【知识点】
加权平均数计算；众数的判定；用样本估计总体
【点评】
本题为统计类基础题，要求学生正确读取条形统计图中的数据，掌握平均数、众数的计算方法，理解用样本估计总体的统计思想，计算时细心即可避免错误。
【难度系数】
0.7
(1)求平均数时，本题给出了不同做好事次数对应的人数，属于加权平均数计算场景，以各做好事次数为数据值，对应人数为权重，加权求和后除以总人数就能得到平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数值，只需找到对应人数最多的做好事次数即为众数。(2)估计全校七年级做好事不少于4次的人数，遵循样本估计总体的思路，先计算抽样的50名学生中做好事不少于4次的人数占比，再用该比例乘七年级总人数800即可。
【解析】
(1)计算平均数：
总做好事次数 = $2×5 + 3×6 + 4×13 + 5×16 + 6×10 = 10 + 18 + 52 + 80 + 60 = 220$
平均数 = $220 ÷ 50 = 4.4$
观察统计图可得，做好事5次的人数为16人，是所有次数中对应人数最多的，因此众数为5。
(2)样本中做好事不少于4次的人数为：$13 + 16 + 10 = 39$（人）
该部分人数占样本的比例为$\frac{39}{50}$
估计该校七年级800名学生中符合条件的人数为：$\frac{39}{50}×800 = 624$（人）
【答案】
(1)$4.4$；$5$
(2)$624$人
【知识点】
加权平均数计算；众数的判定；用样本估计总体
【点评】
本题为统计类基础题，要求学生正确读取条形统计图中的数据，掌握平均数、众数的计算方法，理解用样本估计总体的统计思想，计算时细心即可避免错误。
【难度系数】
0.7
