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1. 下列配方有错误的是(
A.$x^2 - 4x - 1 = 0$，化为$(x - 2)^2 = 5$
B.$x^2 + 6x + 8 = 0$，化为$(x + 3)^2 = 1$
C.$2x^2 - 7x - 6 = 0$，化为$(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{97}{16}$
D.$3x^2 - 4x - 2 = 0$，化为$(3x - 2)^2 = 6$
D
)A.$x^2 - 4x - 1 = 0$，化为$(x - 2)^2 = 5$
B.$x^2 + 6x + 8 = 0$，化为$(x + 3)^2 = 1$
C.$2x^2 - 7x - 6 = 0$，化为$(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{97}{16}$
D.$3x^2 - 4x - 2 = 0$，化为$(3x - 2)^2 = 6$
答案
D
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路为逐一验证每个选项的配方过程是否符合配方法的规范步骤：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②将常数项移到等号右侧；③等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，计算右侧结果后和选项给出的配方结果对比，找出错误选项即可。
【解析】
我们按照配方法步骤逐一验证选项：
A. $x^2 - 4x - 1 = 0$，移项得$x^2 - 4x = 1$，两边加一次项系数一半的平方$(\frac{-4}{2})^2=4$，得$x^2 -4x +4 = 1+4$，即$(x-2)^2=5$，A选项配方正确。
B. $x^2 +6x +8=0$，移项得$x^2 +6x = -8$，两边加$(\frac{6}{2})^2=9$，得$x^2 +6x +9 = -8+9$，即$(x+3)^2=1$，B选项配方正确。
C. $2x^2 -7x -6=0$，先将二次项系数化为1，得$x^2 - \frac{7}{2}x = 3$，两边加$(\frac{-\frac{7}{2}}{2})^2=\frac{49}{16}$，得$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{49}{16} = 3 + \frac{49}{16} = \frac{97}{16}$，即$(x-\frac{7}{4})^2=\frac{97}{16}$，C选项配方正确。
D. $3x^2 -4x -2=0$，先将二次项系数化为1，得$x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{2}{3}$，两边加$(\frac{-\frac{4}{3}}{2})^2=\frac{4}{9}$，得$x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{4}{9} = \frac{10}{9}$，即$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{10}{9}$，两边同乘9得$(3x-2)^2=10$，和选项给出的$(3x-2)^2=6$不符，D选项配方错误。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，解题的关键是牢记配方法的步骤，尤其注意二次项系数不为1时，必须先将二次项系数化为1再进行配方，否则容易出现计算错误。
【难度系数】
0.7
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路为逐一验证每个选项的配方过程是否符合配方法的规范步骤：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②将常数项移到等号右侧；③等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，计算右侧结果后和选项给出的配方结果对比，找出错误选项即可。
【解析】
我们按照配方法步骤逐一验证选项：
A. $x^2 - 4x - 1 = 0$，移项得$x^2 - 4x = 1$，两边加一次项系数一半的平方$(\frac{-4}{2})^2=4$，得$x^2 -4x +4 = 1+4$，即$(x-2)^2=5$，A选项配方正确。
B. $x^2 +6x +8=0$，移项得$x^2 +6x = -8$，两边加$(\frac{6}{2})^2=9$，得$x^2 +6x +9 = -8+9$，即$(x+3)^2=1$，B选项配方正确。
C. $2x^2 -7x -6=0$，先将二次项系数化为1，得$x^2 - \frac{7}{2}x = 3$，两边加$(\frac{-\frac{7}{2}}{2})^2=\frac{49}{16}$，得$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{49}{16} = 3 + \frac{49}{16} = \frac{97}{16}$，即$(x-\frac{7}{4})^2=\frac{97}{16}$，C选项配方正确。
D. $3x^2 -4x -2=0$，先将二次项系数化为1，得$x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{2}{3}$，两边加$(\frac{-\frac{4}{3}}{2})^2=\frac{4}{9}$，得$x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{4}{9} = \frac{10}{9}$，即$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{10}{9}$，两边同乘9得$(3x-2)^2=10$，和选项给出的$(3x-2)^2=6$不符，D选项配方错误。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，解题的关键是牢记配方法的步骤，尤其注意二次项系数不为1时，必须先将二次项系数化为1再进行配方，否则容易出现计算错误。
【难度系数】
0.7
2.【教材P7例2变式】用配方法解方程$x^2 -2x -5=0$时，原方程应变形为(
A.$(x+1)^2=6$
B.$(x-1)^2=6$
C.$(x+2)^2=9$
D.$(x-2)^2=9$
B
)A.$(x+1)^2=6$
B.$(x-1)^2=6$
C.$(x+2)^2=9$
D.$(x-2)^2=9$
答案
B
解析
【分析】
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，解题思路如下：第一步先将常数项移到方程右侧，第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧转化为完全平方式，右侧合并常数项即可得到变形后的方程。本题中二次项系数已经为1，直接按上述步骤操作即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -2x -5=0$进行变形：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 - 2x = 5$
2. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，在方程左右两边同时加1，得：
$x^2 - 2x + 1 = 5 + 1$
3. 左侧根据完全平方公式整理，右侧合并常数项，得：
$(x-1)^2 = 6$
因此原方程变形为$(x-1)^2=6$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题型，熟练掌握配方法的操作步骤是解题关键，操作时要注意移项要变号，配方时方程两边需同时加同一个常数，避免漏加或计算错误。
【难度系数】
0.8
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，解题思路如下：第一步先将常数项移到方程右侧，第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧转化为完全平方式，右侧合并常数项即可得到变形后的方程。本题中二次项系数已经为1，直接按上述步骤操作即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -2x -5=0$进行变形：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 - 2x = 5$
2. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，在方程左右两边同时加1，得：
$x^2 - 2x + 1 = 5 + 1$
3. 左侧根据完全平方公式整理，右侧合并常数项，得：
$(x-1)^2 = 6$
因此原方程变形为$(x-1)^2=6$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题型，熟练掌握配方法的操作步骤是解题关键，操作时要注意移项要变号，配方时方程两边需同时加同一个常数，避免漏加或计算错误。
【难度系数】
0.8
3.用配方法解方程$x^2 -4x=6$时，应该把方程两边同时(
A.加2
B.减2
C.加4
D.减4
C
)A.加2
B.减2
C.加4
D.减4
答案
C
解析
【分析】
解这道题要先回忆配方法的操作规则。配方法解一元二次方程时，若二次项系数为1，我们需要将方程左边凑成完全平方式，根据完全平方公式的结构，需要加上一次项系数一半的平方。本题方程左边是$x^2-4x$，二次项系数已经是1，所以只需要计算一次项系数一半的平方，就能确定方程两边需要同时加的数。
【解析】
配方法的核心是将含未知数的项凑成完全平方式，对于二次项系数为1的一元二次方程，配方时需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
本题方程为$x^2 -4x=6$，二次项系数为1，一次项系数为-4：
1. 计算一次项系数的一半：$-4÷2=-2$
2. 计算一半的平方：$(-2)^2=4$
因此方程两边同时加4，左边可化为$(x-2)^2$，右边为$6+4=10$，即可完成配方。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，重点考察配方的核心操作步骤，熟练掌握配方规则即可快速作答，是配方法应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
解这道题要先回忆配方法的操作规则。配方法解一元二次方程时，若二次项系数为1，我们需要将方程左边凑成完全平方式，根据完全平方公式的结构，需要加上一次项系数一半的平方。本题方程左边是$x^2-4x$，二次项系数已经是1，所以只需要计算一次项系数一半的平方，就能确定方程两边需要同时加的数。
【解析】
配方法的核心是将含未知数的项凑成完全平方式，对于二次项系数为1的一元二次方程，配方时需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
本题方程为$x^2 -4x=6$，二次项系数为1，一次项系数为-4：
1. 计算一次项系数的一半：$-4÷2=-2$
2. 计算一半的平方：$(-2)^2=4$
因此方程两边同时加4，左边可化为$(x-2)^2$，右边为$6+4=10$，即可完成配方。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，重点考察配方的核心操作步骤，熟练掌握配方规则即可快速作答，是配方法应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
4. 用配方法解方程 $3x^2 + 4x + 1 = 0$ 时,可以将方程化为(
A.$(x+\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{1}{9}$
B.$(x+2)^2=3$
C.$(x+\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{1}{3}$
D.$(3x+\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{1}{9}$
A
)A.$(x+\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{1}{9}$
B.$(x+2)^2=3$
C.$(x+\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{1}{3}$
D.$(3x+\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{1}{9}$
答案
A
解析
【分析】
要使用配方法将给定的一元二次方程变形，需遵循配方法的固定步骤思考：首先处理二次项系数，将其化为1，方便后续配方；接着将常数项移到方程右侧，使左侧只含二次项和一次项；再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后整理得到结果后匹配选项即可。
【解析】
解：对原方程$3x^2 + 4x + 1 = 0$进行变形：
第一步，将二次项系数化为1，方程两边同时除以3，得：
$x^2 + \dfrac{4}{3}x + \dfrac{1}{3} = 0$
第二步，移项，将常数项移到方程右侧，得：
$x^2 + \dfrac{4}{3}x = -\dfrac{1}{3}$
第三步，配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$\dfrac{4}{3}$，其一半为$\dfrac{2}{3}$，平方为$\dfrac{4}{9}$，因此两边加$\dfrac{4}{9}$：
$x^2 + \dfrac{4}{3}x + \dfrac{4}{9} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{9}$
第四步，整理得：
$(x+\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{1}{9}$
因此对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，解题关键是牢记配方法的步骤，尤其注意二次项系数不为1时，要先将二次项系数化为1再配方，同时配方时等式两边要同时加相同的数，保证等式成立。
【难度系数】
0.8
要使用配方法将给定的一元二次方程变形，需遵循配方法的固定步骤思考：首先处理二次项系数，将其化为1，方便后续配方；接着将常数项移到方程右侧，使左侧只含二次项和一次项；再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后整理得到结果后匹配选项即可。
【解析】
解：对原方程$3x^2 + 4x + 1 = 0$进行变形：
第一步，将二次项系数化为1，方程两边同时除以3，得：
$x^2 + \dfrac{4}{3}x + \dfrac{1}{3} = 0$
第二步，移项，将常数项移到方程右侧，得：
$x^2 + \dfrac{4}{3}x = -\dfrac{1}{3}$
第三步，配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$\dfrac{4}{3}$，其一半为$\dfrac{2}{3}$，平方为$\dfrac{4}{9}$，因此两边加$\dfrac{4}{9}$：
$x^2 + \dfrac{4}{3}x + \dfrac{4}{9} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{9}$
第四步，整理得：
$(x+\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{1}{9}$
因此对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，解题关键是牢记配方法的步骤，尤其注意二次项系数不为1时，要先将二次项系数化为1再配方，同时配方时等式两边要同时加相同的数，保证等式成立。
【难度系数】
0.8
5. 下列用配方法解方程$\frac{1}{2}x^2 - x - 2 = 0$的四个步骤中，出现错误的是(
A.①
B.②
C.③
D.④
D
)A.①
B.②
C.③
D.④
答案
D
解析
【分析】
要判断配方法解方程的步骤正误，需按照配方法的标准流程逐个核对步骤：首先将二次项系数化为1，再移项将常数项移到等号右侧，接着方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，最后开平方时注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
我们逐一对四个步骤进行验证：
1. 原方程为$\frac{1}{2}x^2 - x - 2 = 0$，步骤①：方程两边同乘2得$x^2 - 2x - 4 = 0$，移项后得到$x^2 - 2x = 4$，步骤①正确。
2. 步骤②：方程两边同时加一次项系数$-2$一半的平方，即$(-1)^2=1$，得到$x^2 - 2x + 1 = 4 + 1 = 5$，步骤②正确。
3. 步骤③：将左边利用完全平方公式变形，得$(x-1)^2=5$，步骤③正确。
4. 步骤④：对$(x-1)^2=5$开平方，根据平方根的性质，5的平方根为$\pm\sqrt{5}$，因此$x-1=\pm\sqrt{5}$，解得$x=1\pm\sqrt{5}$，原步骤只写出了正根，漏了负根，因此步骤④错误。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的易错点，开平方时遗漏负的平方根是此类题的常见失分点，做题时要牢记正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要判断配方法解方程的步骤正误，需按照配方法的标准流程逐个核对步骤：首先将二次项系数化为1，再移项将常数项移到等号右侧，接着方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，最后开平方时注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
我们逐一对四个步骤进行验证：
1. 原方程为$\frac{1}{2}x^2 - x - 2 = 0$，步骤①：方程两边同乘2得$x^2 - 2x - 4 = 0$，移项后得到$x^2 - 2x = 4$，步骤①正确。
2. 步骤②：方程两边同时加一次项系数$-2$一半的平方，即$(-1)^2=1$，得到$x^2 - 2x + 1 = 4 + 1 = 5$，步骤②正确。
3. 步骤③：将左边利用完全平方公式变形，得$(x-1)^2=5$，步骤③正确。
4. 步骤④：对$(x-1)^2=5$开平方，根据平方根的性质，5的平方根为$\pm\sqrt{5}$，因此$x-1=\pm\sqrt{5}$，解得$x=1\pm\sqrt{5}$，原步骤只写出了正根，漏了负根，因此步骤④错误。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的易错点，开平方时遗漏负的平方根是此类题的常见失分点，做题时要牢记正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.7
6.【教材P9练习T1变式】填空：
(1)$x^2 + 2x + 1 = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)$x^2 - 8x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(3)$x^2 + 7x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(4)$x^2 - \frac{2}{5}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$。
(1)$x^2 + 2x + 1 = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)$x^2 - 8x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(3)$x^2 + 7x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(4)$x^2 - \frac{2}{5}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$。
答案
(1)1
(2)16 4
(3)$\frac{49}{4}$ $\frac{7}{2}$
(4)$\frac{1}{25}$ $\frac{1}{5}$
(2)16 4
(3)$\frac{49}{4}$ $\frac{7}{2}$
(4)$\frac{1}{25}$ $\frac{1}{5}$
解析
【分析】
本题考查利用完全平方公式配方，解题思路依据完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。当二次项系数为1时，完全平方式的常数项等于一次项系数一半的平方，完全平方式括号内的常数就是一次项系数的一半，符号与一次项系数的符号保持一致，按照该规律逐一计算各小题即可。
【解析】
(1) 一次项系数为2，其一半为$2÷2=1$，因此$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$，应填1；
(2) 一次项系数为$-8$，其一半为$-8÷2=-4$，平方为$(-4)^2=16$，因此$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$，依次填16、4；
(3) 一次项系数为7，其一半为$7÷2=\frac{7}{2}$，平方为$(\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}$，因此$x^2 + 7x + \frac{49}{4} = (x + \frac{7}{2})^2$，依次填$\frac{49}{4}$、$\frac{7}{2}$；
(4) 一次项系数为$-\frac{2}{5}$，其一半为$-\frac{2}{5}÷2=-\frac{1}{5}$，平方为$(-\frac{1}{5})^2=\frac{1}{25}$，因此$x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{1}{25} = (x - \frac{1}{5})^2$，依次填$\frac{1}{25}$、$\frac{1}{5}$。
【答案】
(1)1
(2)16；4
(3)$\frac{49}{4}$；$\frac{7}{2}$
(4)$\frac{1}{25}$；$\frac{1}{5}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是配方法的基础训练题，核心考查对完全平方公式结构的理解，熟练掌握二次项系数为1时的配方规则，能为后续解一元二次方程、研究二次函数性质等内容打下扎实基础。
【难度系数】
0.85
本题考查利用完全平方公式配方，解题思路依据完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。当二次项系数为1时，完全平方式的常数项等于一次项系数一半的平方，完全平方式括号内的常数就是一次项系数的一半，符号与一次项系数的符号保持一致，按照该规律逐一计算各小题即可。
【解析】
(1) 一次项系数为2，其一半为$2÷2=1$，因此$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$，应填1；
(2) 一次项系数为$-8$，其一半为$-8÷2=-4$，平方为$(-4)^2=16$，因此$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$，依次填16、4；
(3) 一次项系数为7，其一半为$7÷2=\frac{7}{2}$，平方为$(\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}$，因此$x^2 + 7x + \frac{49}{4} = (x + \frac{7}{2})^2$，依次填$\frac{49}{4}$、$\frac{7}{2}$；
(4) 一次项系数为$-\frac{2}{5}$，其一半为$-\frac{2}{5}÷2=-\frac{1}{5}$，平方为$(-\frac{1}{5})^2=\frac{1}{25}$，因此$x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{1}{25} = (x - \frac{1}{5})^2$，依次填$\frac{1}{25}$、$\frac{1}{5}$。
【答案】
(1)1
(2)16；4
(3)$\frac{49}{4}$；$\frac{7}{2}$
(4)$\frac{1}{25}$；$\frac{1}{5}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是配方法的基础训练题，核心考查对完全平方公式结构的理解，熟练掌握二次项系数为1时的配方规则，能为后续解一元二次方程、研究二次函数性质等内容打下扎实基础。
【难度系数】
0.85
7.用配方法解方程:$x^2 -5x -1=0.$
解:移项,得$x^2 -5x=1$,
两边同时加
即$(x - \_\_\_\_\_\_ )^2 = \_\_\_\_\_\_,$
开平方,得
解得$x_1=\_\_\_\_\_\_,x_2=\_\_\_\_\_\_.$
解:移项,得$x^2 -5x=1$,
两边同时加
$(\frac{5}{2})^2$
,得$x^2 -5x + \_\_\_\_\_\_ =1 + \_\_\_\_\_\_,$即$(x - \_\_\_\_\_\_ )^2 = \_\_\_\_\_\_,$
开平方,得
$x-\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{29}}{2}$
,解得$x_1=\_\_\_\_\_\_,x_2=\_\_\_\_\_\_.$
答案
移项,得$x^2 -5x=1$,
两边同时加$(\frac{5}{2})^2$,得$x^2 -5x + (\frac{5}{2})^2 =1 + (\frac{5}{2})^2,$
即$(x - \frac{5}{2} )^2 = \frac{29}{4},$
开平方,得$x-\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{29}}{2},$
解得$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}.$
两边同时加$(\frac{5}{2})^2$,得$x^2 -5x + (\frac{5}{2})^2 =1 + (\frac{5}{2})^2,$
即$(x - \frac{5}{2} )^2 = \frac{29}{4},$
开平方,得$x-\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{29}}{2},$
解得$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}.$
解析
【分析】
本题使用配方法解一元二次方程，可遵循固定步骤思考：首先将常数项移到方程右侧，使左侧仅保留二次项和一次项；接下来进行配方操作，由于本题二次项系数已经为1，只需在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，目的是将左侧凑成完全平方的形式（原理是完全平方公式：$a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$，这里左侧$x^2-5x$对应$a^2-2ab$，所以需要补充$b^2=(\frac{5}{2})^2$）；之后将左侧写成完全平方式，右侧合并计算常数项；最后用直接开平方法将二次方程降次为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
1. 移项：将常数项$-1$移到等号右侧，得$x^2 -5x=1$；
2. 配方：一次项系数为$-5$，其一半的平方为$(\frac{-5}{2})^2=(\frac{5}{2})^2$，两边同时加$(\frac{5}{2})^2$，得$x^2 -5x + (\frac{5}{2})^2 =1 + (\frac{5}{2})^2$；
3. 变形计算：左侧根据完全平方差公式化为$(x-\frac{5}{2})^2$，右侧计算得$1+\frac{25}{4}=\frac{29}{4}$，即$(x - \frac{5}{2} )^2 = \frac{29}{4}$；
4. 开平方：对等式两边同时开平方，得$x-\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{29}}{2}$；
5. 求解：分别计算两个一次方程的解，可得$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$。
【答案】
移项,得$x^2 -5x=1$,
两边同时加$(\frac{5}{2})^2$,得$x^2 -5x + (\frac{5}{2})^2 =1 + (\frac{5}{2})^2,$
即$(x - \frac{5}{2} )^2 = \frac{29}{4},$
开平方,得$x-\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{29}}{2},$
解得$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}.$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法
【点评】
本题是配方法解方程的基础考查题，核心要掌握配方的关键操作：二次项系数为1时，方程两边同时加一次项系数一半的平方，牢记配方法的固定步骤就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
本题使用配方法解一元二次方程，可遵循固定步骤思考：首先将常数项移到方程右侧，使左侧仅保留二次项和一次项；接下来进行配方操作，由于本题二次项系数已经为1，只需在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，目的是将左侧凑成完全平方的形式（原理是完全平方公式：$a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$，这里左侧$x^2-5x$对应$a^2-2ab$，所以需要补充$b^2=(\frac{5}{2})^2$）；之后将左侧写成完全平方式，右侧合并计算常数项；最后用直接开平方法将二次方程降次为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
1. 移项：将常数项$-1$移到等号右侧，得$x^2 -5x=1$；
2. 配方：一次项系数为$-5$，其一半的平方为$(\frac{-5}{2})^2=(\frac{5}{2})^2$，两边同时加$(\frac{5}{2})^2$，得$x^2 -5x + (\frac{5}{2})^2 =1 + (\frac{5}{2})^2$；
3. 变形计算：左侧根据完全平方差公式化为$(x-\frac{5}{2})^2$，右侧计算得$1+\frac{25}{4}=\frac{29}{4}$，即$(x - \frac{5}{2} )^2 = \frac{29}{4}$；
4. 开平方：对等式两边同时开平方，得$x-\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{29}}{2}$；
5. 求解：分别计算两个一次方程的解，可得$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$。
【答案】
移项,得$x^2 -5x=1$,
两边同时加$(\frac{5}{2})^2$,得$x^2 -5x + (\frac{5}{2})^2 =1 + (\frac{5}{2})^2,$
即$(x - \frac{5}{2} )^2 = \frac{29}{4},$
开平方,得$x-\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{29}}{2},$
解得$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}.$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法
【点评】
本题是配方法解方程的基础考查题，核心要掌握配方的关键操作：二次项系数为1时，方程两边同时加一次项系数一半的平方，牢记配方法的固定步骤就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
