登录
2.若一元二次方程$ax^2=1(a＞0)$的两根分别是$m+1$与$2m-4$，则这两根分别是（
A.1,4
B.1,-1
C.2,-2
D.3,0
C
）A.1,4
B.1,-1
C.2,-2
D.3,0
答案
C
解析
【分析】首先回忆直接开平方法解一元二次方程的特点，方程$ax^2=1(a＞0)$变形为$x^2=\frac{1}{a}$，开平方后得到的两个根互为相反数，即两根之和为0。结合题目给出的两个根的代数式，就可以列出关于m的一元一次方程，求出m的值后再代入代数式就能得到两根的具体数值，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：对一元二次方程$ax^2=1(a＞0)$变形得：
$x^2=\frac{1}{a}$
由直接开平方法可知，方程的两个根互为相反数，即两根之和为0。
已知方程的两根为$m+1$和$2m-4$，因此可得：
$(m+1)+(2m-4)=0$
合并同类项得：$3m-3=0$
解得：$m=1$
将$m=1$代入两根代数式得：
$m+1=1+1=2$，$2m-4=2×1-4=-2$
因此方程的两根为2和-2。
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；相反数的性质
【点评】本题是基础应用题，解题的核心是掌握直接开平方法解得的一元二次方程两根互为相反数的特点，通过根的和为0快速求出参数，再代入计算得到根的数值即可。
【难度系数】0.8
【解析】
解：对一元二次方程$ax^2=1(a＞0)$变形得：
$x^2=\frac{1}{a}$
由直接开平方法可知，方程的两个根互为相反数，即两根之和为0。
已知方程的两根为$m+1$和$2m-4$，因此可得：
$(m+1)+(2m-4)=0$
合并同类项得：$3m-3=0$
解得：$m=1$
将$m=1$代入两根代数式得：
$m+1=1+1=2$，$2m-4=2×1-4=-2$
因此方程的两根为2和-2。
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；相反数的性质
【点评】本题是基础应用题，解题的核心是掌握直接开平方法解得的一元二次方程两根互为相反数的特点，通过根的和为0快速求出参数，再代入计算得到根的数值即可。
【难度系数】0.8
3.已知某三角形的两边长分别是5和6，第三边的长是方程$(x-3)^2=4$的根，则此三角形的周长为(
A.18
B.12
C.16
D.12或16
C
)A.18
B.12
C.16
D.12或16
答案
C
解析
【分析】解题需分两步推进：第一步用直接开平方法求解一元二次方程，得到第三边的两个可能取值；第二步结合三角形三边关系对所得的根进行筛选，排除无法构成三角形的根，最后将符合条件的三边长度相加得到周长，对应选项即可。
【解析】首先解方程$(x - 3)^2 = 4$：
直接开平方得$x - 3 = \pm 2$，
即$x - 3 = 2$或$x - 3 = -2$，
解得$x_1 = 5$，$x_2 = 1$。
再结合三角形三边关系验证：
若第三边长为1，三边长为1、5、6，此时$1 + 5 = 6$，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”，无法构成三角形，故舍去该根；
若第三边长为5，三边长为5、5、6，满足三角形三边关系，可以构成三角形，
此时周长为$5 + 5 + 6 = 16$。
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；三角形三边关系
【点评】本题属于方程与几何的综合基础题，易错点是忽略三角形三边关系的验证，直接将两个根都代入计算周长，误选D选项，解题时要注意对求出的边长进行合理性验证。
【难度系数】0.7
【解析】首先解方程$(x - 3)^2 = 4$：
直接开平方得$x - 3 = \pm 2$，
即$x - 3 = 2$或$x - 3 = -2$，
解得$x_1 = 5$，$x_2 = 1$。
再结合三角形三边关系验证：
若第三边长为1，三边长为1、5、6，此时$1 + 5 = 6$，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”，无法构成三角形，故舍去该根；
若第三边长为5，三边长为5、5、6，满足三角形三边关系，可以构成三角形，
此时周长为$5 + 5 + 6 = 16$。
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；三角形三边关系
【点评】本题属于方程与几何的综合基础题，易错点是忽略三角形三边关系的验证，直接将两个根都代入计算周长，误选D选项，解题时要注意对求出的边长进行合理性验证。
【难度系数】0.7
4.若代数式$(2x+1)^2$的值为9，则x的值为
1或－2
。答案
1或－2
解析
【分析】
首先根据代数式的值为9列出对应的一元二次方程，观察方程左边是含x的完全平方式、右边是正的常数，符合直接开平方法的适用条件。解题时把(2x+1)看作一个整体，根据平方根的性质，一个正数的平方根有两个且互为相反数，开平方后将二次方程降次为两个一元一次方程，分别求解即可得到x的取值，注意不要漏掉负的平方根对应的解。
【解析】
由题意得：$(2x+1)^2=9$
对方程两边直接开平方，得：
$2x+1=\pm3$
分两种情况求解：
①当$2x+1=3$时，
移项得$2x=3-1$，即$2x=2$，
系数化为1得$x=1$；
②当$2x+1=-3$时，
移项得$2x=-3-1$，即$2x=-4$，
系数化为1得$x=-2$。
综上，x的值为1或-2。
【答案】
1或－2
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查直接开平方法的应用，解题关键是将完全平方式部分视为整体降次求解，需要注意开平方时正数的平方根有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.8
首先根据代数式的值为9列出对应的一元二次方程，观察方程左边是含x的完全平方式、右边是正的常数，符合直接开平方法的适用条件。解题时把(2x+1)看作一个整体，根据平方根的性质，一个正数的平方根有两个且互为相反数，开平方后将二次方程降次为两个一元一次方程，分别求解即可得到x的取值，注意不要漏掉负的平方根对应的解。
【解析】
由题意得：$(2x+1)^2=9$
对方程两边直接开平方，得：
$2x+1=\pm3$
分两种情况求解：
①当$2x+1=3$时，
移项得$2x=3-1$，即$2x=2$，
系数化为1得$x=1$；
②当$2x+1=-3$时，
移项得$2x=-3-1$，即$2x=-4$，
系数化为1得$x=-2$。
综上，x的值为1或-2。
【答案】
1或－2
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查直接开平方法的应用，解题关键是将完全平方式部分视为整体降次求解，需要注意开平方时正数的平方根有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.8
5.【整体思想】已知$(a+b+3)(a+b-3)=72$，则$a+b=$
±9
.答案
±9
解析
【分析】
观察等式左边的两个因式，发现都含有相同的部分$a+b$，因此可采用整体代换思想，将$a+b$看作一个整体。此时左边符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的结构，利用平方差公式展开后，可得到关于$a+b$的一元二次方程，再用直接开平方法求解即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
设$x = a + b$，则原方程可转化为：
$(x + 3)(x - 3) = 72$
根据平方差公式展开左边得：
$x^2 - 9 = 72$
移项整理得：
$x^2 = 81$
对等式两边直接开平方得：
$x = ±9$
即$a + b = ±9$
【答案】
±9
【知识点】
平方差公式，整体代换思想，直接开平方法
【点评】
本题解题的核心是运用整体思想简化运算，将重复出现的$a+b$视为整体后，可快速套用平方差公式变形，求解时要注意正数开平方有正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.7
观察等式左边的两个因式，发现都含有相同的部分$a+b$，因此可采用整体代换思想，将$a+b$看作一个整体。此时左边符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的结构，利用平方差公式展开后，可得到关于$a+b$的一元二次方程，再用直接开平方法求解即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
设$x = a + b$，则原方程可转化为：
$(x + 3)(x - 3) = 72$
根据平方差公式展开左边得：
$x^2 - 9 = 72$
移项整理得：
$x^2 = 81$
对等式两边直接开平方得：
$x = ±9$
即$a + b = ±9$
【答案】
±9
【知识点】
平方差公式，整体代换思想，直接开平方法
【点评】
本题解题的核心是运用整体思想简化运算，将重复出现的$a+b$视为整体后，可快速套用平方差公式变形，求解时要注意正数开平方有正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.7
6.解下列方程：
(1)$3x^2 -1=26$；
(2)$(x-2)^2 -4=0$；
(3)$2(x+3)^2 -10=0$。
(1)$3x^2 -1=26$；
(2)$(x-2)^2 -4=0$；
(3)$2(x+3)^2 -10=0$。
答案
(1)移项、合并同类项,得$3x^2=27$,即$x^2=9$,两边直接开平方,得$x_1=3,x_2=-3$.
(2)移项,得$(x-2)^2=4$.两边直接开平方,得$x-2=\pm2$.解得$x_1=4,x_2=0$.
(3)移项,得$2(x+3)^2=10$,即$(x+3)^2=5$,两边直接开平方,得$x+3=\sqrt{5}$或$x+3=-\sqrt{5}$,解得$x_1=\sqrt{5}-3,x_2=-\sqrt{5}-3$.
(2)移项,得$(x-2)^2=4$.两边直接开平方,得$x-2=\pm2$.解得$x_1=4,x_2=0$.
(3)移项,得$2(x+3)^2=10$,即$(x+3)^2=5$,两边直接开平方,得$x+3=\sqrt{5}$或$x+3=-\sqrt{5}$,解得$x_1=\sqrt{5}-3,x_2=-\sqrt{5}-3$.
解析
【分析】
这三道题都是可运用直接开平方法求解的一元二次方程，解题核心是先通过移项、系数化为1等操作，将方程转化为“含未知数的完全平方式=非负数”的标准形式，再利用平方根的定义两边开平方，将二次方程降为一次方程求解。具体来看：第(1)题先整理得到$x^2=p$的形式再开方；第(2)(3)题本身含有完全平方式，先将完全平方式单独留在等号一侧，再开方求解。
【解析】
(1) 移项、合并同类项，得$3x^2=27$，即$x^2=9$，两边直接开平方，得$x_1=3,x_2=-3$。
(2) 移项，得$(x-2)^2=4$，两边直接开平方，得$x-2=\pm2$，解得$x_1=4,x_2=0$。
(3) 移项，得$2(x+3)^2=10$，即$(x+3)^2=5$，两边直接开平方，得$x+3=\sqrt{5}$或$x+3=-\sqrt{5}$，解得$x_1=\sqrt{5}-3,x_2=-\sqrt{5}-3$。
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=-3$
(2) $x_1=4,x_2=0$
(3) $x_1=\sqrt{5}-3,x_2=-\sqrt{5}-3$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质、一元二次方程化简
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的典型基础题，考查对直接开平方法适用条件的掌握和基础化简运算能力，解题关键是先将方程转化为完全平方式等于非负数的形式再降次求解，熟练掌握该方法是学习其他一元二次方程解法的基础。
【难度系数】
0.8
这三道题都是可运用直接开平方法求解的一元二次方程，解题核心是先通过移项、系数化为1等操作，将方程转化为“含未知数的完全平方式=非负数”的标准形式，再利用平方根的定义两边开平方，将二次方程降为一次方程求解。具体来看：第(1)题先整理得到$x^2=p$的形式再开方；第(2)(3)题本身含有完全平方式，先将完全平方式单独留在等号一侧，再开方求解。
【解析】
(1) 移项、合并同类项，得$3x^2=27$，即$x^2=9$，两边直接开平方，得$x_1=3,x_2=-3$。
(2) 移项，得$(x-2)^2=4$，两边直接开平方，得$x-2=\pm2$，解得$x_1=4,x_2=0$。
(3) 移项，得$2(x+3)^2=10$，即$(x+3)^2=5$，两边直接开平方，得$x+3=\sqrt{5}$或$x+3=-\sqrt{5}$，解得$x_1=\sqrt{5}-3,x_2=-\sqrt{5}-3$。
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=-3$
(2) $x_1=4,x_2=0$
(3) $x_1=\sqrt{5}-3,x_2=-\sqrt{5}-3$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质、一元二次方程化简
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的典型基础题，考查对直接开平方法适用条件的掌握和基础化简运算能力，解题关键是先将方程转化为完全平方式等于非负数的形式再降次求解，熟练掌握该方法是学习其他一元二次方程解法的基础。
【难度系数】
0.8
示例:解方程:$x(x-4)=5.$
解:原方程可变形为$[(x-2)+2][(x-2)-2]=5,$
由平方差公式,得$(x-2)^2 - 2^2=5,$
整理,得$(x-2)^2=9,$
直接开平方,得$x-2=\pm3,$
解得$x_1=5,x_2=-1.$
我们把这种解法叫作“平均数法”.
应用:下面是用“平均数法”解方程$(x+4)(x+6)=15$的过程.
解:原方程可变形为$[(x+□)-○][(x+□)+○]=15,$
由平方差公式,得$(x+□)^2 - ○^2=15,$
移项,得$(x+□)^2=15+○^2,$
解得$x_1=☆,x_2=△.$
(1)上述解题过程中,$□=$
(2)用“平均数法”解方程:$(x+3)(x-1)=5.$
解:原方程可变形为$[(x-2)+2][(x-2)-2]=5,$
由平方差公式,得$(x-2)^2 - 2^2=5,$
整理,得$(x-2)^2=9,$
直接开平方,得$x-2=\pm3,$
解得$x_1=5,x_2=-1.$
我们把这种解法叫作“平均数法”.
应用:下面是用“平均数法”解方程$(x+4)(x+6)=15$的过程.
解:原方程可变形为$[(x+□)-○][(x+□)+○]=15,$
由平方差公式,得$(x+□)^2 - ○^2=15,$
移项,得$(x+□)^2=15+○^2,$
解得$x_1=☆,x_2=△.$
(1)上述解题过程中,$□=$
5
,$○=$1
,$☆=$-1
,$△=$-9
;(2)用“平均数法”解方程:$(x+3)(x-1)=5.$
答案
(1)5 1 －1 －9(后两个空的答案可互换)
(2)$x_1=2,x_2=-4$
(2)$x_1=2,x_2=-4$
解析
【分析】
“平均数法”解一元二次方程的核心是构造平方差结构：对于方程$(x+a)(x+b)=c$，先计算$a$、$b$的平均数$m=\frac{a+b}{2}$，将两个一次因式改写为$(x+m)+(a-m)$和$(x+m)+(b-m)$，恰好符合平方差公式的形式，化简后即可用直接开平方法求解。
第(1)问：先求4和6的平均数得$□$的值，再计算常数项与平均数的差得$◯$的值，代入方程求解即可得$☆$和$△$；第(2)问：先求3和$-1$的平均数，再按照示例的步骤构造平方差求解即可。
【解析】
(1) 方程左边为$(x+4)(x+6)$，两个常数项4和6的平均数为$\frac{4+6}{2}=5$，因此$□=5$；
常数项与平均数的差值为$6-5=1$，$5-4=1$，因此$◯=1$；
代入得$(x+5)^2 - 1^2=15$，整理得$(x+5)^2=16$，直接开平方得$x+5=\pm4$，
解得$x_1=4-5=-1$，$x_2=-4-5=-9$，因此$☆=-1$，$△=-9$（二者可互换）。
(2) 解方程$(x+3)(x-1)=5$：
① 计算两个常数项3和$-1$的平均数：$\frac{3+(-1)}{2}=1$；
② 原方程变形为：$[(x+1)+2][(x+1)-2]=5$；
③ 由平方差公式得：$(x+1)^2 - 2^2=5$；
④ 整理得：$(x+1)^2=9$；
⑤ 直接开平方得：$x+1=\pm3$，即$x+1=3$或$x+1=-3$；
⑥ 解得：$x_1=2$，$x_2=-4$。
【答案】
(1) $5$，$1$，$-1$，$-9$（后两空答案可互换）；
(2) $x_1=2,x_2=-4$
【知识点】
平方差公式，直接开平方法，一元二次方程求解
【点评】
本题属于新定义类题型，重点考查对新方法的理解和迁移应用能力，本质是通过构造平方差结构简化一元二次方程的求解过程，熟练掌握平方差公式和直接开平方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
“平均数法”解一元二次方程的核心是构造平方差结构：对于方程$(x+a)(x+b)=c$，先计算$a$、$b$的平均数$m=\frac{a+b}{2}$，将两个一次因式改写为$(x+m)+(a-m)$和$(x+m)+(b-m)$，恰好符合平方差公式的形式，化简后即可用直接开平方法求解。
第(1)问：先求4和6的平均数得$□$的值，再计算常数项与平均数的差得$◯$的值，代入方程求解即可得$☆$和$△$；第(2)问：先求3和$-1$的平均数，再按照示例的步骤构造平方差求解即可。
【解析】
(1) 方程左边为$(x+4)(x+6)$，两个常数项4和6的平均数为$\frac{4+6}{2}=5$，因此$□=5$；
常数项与平均数的差值为$6-5=1$，$5-4=1$，因此$◯=1$；
代入得$(x+5)^2 - 1^2=15$，整理得$(x+5)^2=16$，直接开平方得$x+5=\pm4$，
解得$x_1=4-5=-1$，$x_2=-4-5=-9$，因此$☆=-1$，$△=-9$（二者可互换）。
(2) 解方程$(x+3)(x-1)=5$：
① 计算两个常数项3和$-1$的平均数：$\frac{3+(-1)}{2}=1$；
② 原方程变形为：$[(x+1)+2][(x+1)-2]=5$；
③ 由平方差公式得：$(x+1)^2 - 2^2=5$；
④ 整理得：$(x+1)^2=9$；
⑤ 直接开平方得：$x+1=\pm3$，即$x+1=3$或$x+1=-3$；
⑥ 解得：$x_1=2$，$x_2=-4$。
【答案】
(1) $5$，$1$，$-1$，$-9$（后两空答案可互换）；
(2) $x_1=2,x_2=-4$
【知识点】
平方差公式，直接开平方法，一元二次方程求解
【点评】
本题属于新定义类题型，重点考查对新方法的理解和迁移应用能力，本质是通过构造平方差结构简化一元二次方程的求解过程，熟练掌握平方差公式和直接开平方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
