登录
9.把两个三角尺按如图所示的方式拼在一起,则∠ABC的大小为(
A.$90°$
B.$100°$
C.$120°$
D.$135°$
C
)。A.$90°$
B.$100°$
C.$120°$
D.$135°$
答案
9.C
解析
【分析】
本题是三角尺拼接求角度的问题，解题思路如下：首先要明确常用三角尺的所有内角度数，两种三角尺的内角分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°；接着观察图形中∠ABC的组成，可发现它是由一个三角尺的90°角和另一个三角尺的30°角拼接组合而成的；最后根据角的和差关系，将两个角的度数相加即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：常用的一副三角尺的内角度数分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°。
观察图形可得，∠ABC由三角尺的90°角与30°角拼接而成，因此：
$∠ ABC = 90° + 30° = 120°$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
三角尺的角度特征、角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对三角尺角度的记忆和角的和差运算能力，解题的关键是准确识别拼接角的组成部分，只要熟悉三角尺的角度即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是三角尺拼接求角度的问题，解题思路如下：首先要明确常用三角尺的所有内角度数，两种三角尺的内角分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°；接着观察图形中∠ABC的组成，可发现它是由一个三角尺的90°角和另一个三角尺的30°角拼接组合而成的；最后根据角的和差关系，将两个角的度数相加即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：常用的一副三角尺的内角度数分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°。
观察图形可得，∠ABC由三角尺的90°角与30°角拼接而成，因此：
$∠ ABC = 90° + 30° = 120°$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
三角尺的角度特征、角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对三角尺角度的记忆和角的和差运算能力，解题的关键是准确识别拼接角的组成部分，只要熟悉三角尺的角度即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10.将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知$∠ CED' = 60°$，则$∠ AED$的大小是（
A.$75°$
B.$60°$
C.$55°$
D.$50°$
B
）。A.$75°$
B.$60°$
C.$55°$
D.$50°$
答案
10.B
解析
【分析】
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等，因此可得∠AED=∠AED'。再观察图形，点D、E、C在同一条直线上，三个角∠AED、∠AED'、∠CED'共同组成平角，和为180°，已知∠CED'的度数，代入即可求出∠AED的大小。
【解析】
解：
∵ 长方形ABCD沿AE折叠得到△AED'
∴ ∠AED = ∠AED'（折叠前后对应角相等）
∵ 点D、E、C共线，平角为180°
∴ ∠AED + ∠AED' + ∠CED' = 180°
将∠CED'=60°代入得：
2∠AED + 60° = 180°
解得：∠AED = (180° - 60°) ÷ 2 = 60°
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质，平角的定义，角度计算
【点评】
本题是典型的折叠求角度问题，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平角的度数特征列关系式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等，因此可得∠AED=∠AED'。再观察图形，点D、E、C在同一条直线上，三个角∠AED、∠AED'、∠CED'共同组成平角，和为180°，已知∠CED'的度数，代入即可求出∠AED的大小。
【解析】
解：
∵ 长方形ABCD沿AE折叠得到△AED'
∴ ∠AED = ∠AED'（折叠前后对应角相等）
∵ 点D、E、C共线，平角为180°
∴ ∠AED + ∠AED' + ∠CED' = 180°
将∠CED'=60°代入得：
2∠AED + 60° = 180°
解得：∠AED = (180° - 60°) ÷ 2 = 60°
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质，平角的定义，角度计算
【点评】
本题是典型的折叠求角度问题，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平角的度数特征列关系式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
11.如图,两个三角尺的直角顶点O重合在一起。若$∠ BOC=\dfrac{1}{7}∠ AOD$,则$∠ BOC$的度数为(
A.$22.5°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
A
)。A.$22.5°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
11.A
解析
【分析】
首先，两个三角尺的直角顶点重合，可知∠AOB和∠COD都是90°的直角。接下来推导∠AOD和∠BOC的数量关系：观察图形，∠AOD由∠AOB和∠DOB组成，而∠DOB=∠COD-∠BOC，代入整理可得到∠AOD与∠BOC的和为180°。再结合题目给出的∠BOC=$\frac{1}{7}$∠AOD的条件，把∠AOD用∠BOC表示后代入关系式，即可计算出∠BOC的度数。
【解析】
解：由三角尺的性质可知，$∠ AOB=∠ COD=90°$。
观察角度的和差关系可得：
$∠ AOD=∠ AOB+∠ COD-∠ BOC=90°+90°-∠ BOC=180°-∠ BOC$
已知$∠ BOC=\frac{1}{7}∠ AOD$，即$∠ AOD=7∠ BOC$，将其代入上式：
$7∠ BOC=180°-∠ BOC$
移项合并得：$8∠ BOC=180°$
解得：$∠ BOC=180°÷8=22.5°$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
角的和差计算，直角的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角板叠放类的典型角度计算题，解题的核心是挖掘出∠AOD+∠BOC=180°的隐含数量关系，结合已知条件列等式求解即可，属于角度计算的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
首先，两个三角尺的直角顶点重合，可知∠AOB和∠COD都是90°的直角。接下来推导∠AOD和∠BOC的数量关系：观察图形，∠AOD由∠AOB和∠DOB组成，而∠DOB=∠COD-∠BOC，代入整理可得到∠AOD与∠BOC的和为180°。再结合题目给出的∠BOC=$\frac{1}{7}$∠AOD的条件，把∠AOD用∠BOC表示后代入关系式，即可计算出∠BOC的度数。
【解析】
解：由三角尺的性质可知，$∠ AOB=∠ COD=90°$。
观察角度的和差关系可得：
$∠ AOD=∠ AOB+∠ COD-∠ BOC=90°+90°-∠ BOC=180°-∠ BOC$
已知$∠ BOC=\frac{1}{7}∠ AOD$，即$∠ AOD=7∠ BOC$，将其代入上式：
$7∠ BOC=180°-∠ BOC$
移项合并得：$8∠ BOC=180°$
解得：$∠ BOC=180°÷8=22.5°$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
角的和差计算，直角的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角板叠放类的典型角度计算题，解题的核心是挖掘出∠AOD+∠BOC=180°的隐含数量关系，结合已知条件列等式求解即可，属于角度计算的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
12.如图，$∠ AOB = ∠ COD = 90°$，$∠ AOD = m$，$∠ BOC = n$，那么$m + n =$
180°
。答案
12.180°
解析
【分析】
首先明确一周角的度数为360°，观察图形可发现∠AOB、∠BOC、∠COD、∠AOD四个角共同组成一个周角，已知∠AOB和∠COD均为90°，要求∠AOD与∠BOC的度数和，只需用周角的总度数减去两个已知直角的度数即可。
【解析】
由图可知，∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠AOD = 360°（周角的度数为360°）。
已知∠AOB = 90°，∠COD = 90°，∠AOD = m，∠BOC = n，将已知条件代入上式得：
90° + n + 90° + m = 360°
移项计算可得：
m + n = 360° - 90° - 90° = 180°
【答案】
180°
【知识点】
1. 周角的定义
2. 角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是观察到四个角构成周角，结合已知的直角条件即可快速求解，能很好地考查学生对基础角概念的掌握和识图能力。
【难度系数】
0.8
首先明确一周角的度数为360°，观察图形可发现∠AOB、∠BOC、∠COD、∠AOD四个角共同组成一个周角，已知∠AOB和∠COD均为90°，要求∠AOD与∠BOC的度数和，只需用周角的总度数减去两个已知直角的度数即可。
【解析】
由图可知，∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠AOD = 360°（周角的度数为360°）。
已知∠AOB = 90°，∠COD = 90°，∠AOD = m，∠BOC = n，将已知条件代入上式得：
90° + n + 90° + m = 360°
移项计算可得：
m + n = 360° - 90° - 90° = 180°
【答案】
180°
【知识点】
1. 周角的定义
2. 角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是观察到四个角构成周角，结合已知的直角条件即可快速求解，能很好地考查学生对基础角概念的掌握和识图能力。
【难度系数】
0.8
13.【综合与实践】如图，$∠ AOB$是直角，$∠ AOC=40°$，$ON$是$∠ AOC$的平分线，$OM$是$∠ BOC$的平分线。
(1)求$∠ MON$的大小。
(2)当锐角$∠ AOC$的大小发生改变时，$∠ MON$的大小是否发生改变？为什么？
(1)求$∠ MON$的大小。
(2)当锐角$∠ AOC$的大小发生改变时，$∠ MON$的大小是否发生改变？为什么？
答案
13. 解:(1)因为$∠ AOB$是直角,$∠ AOC=40°$,
所以$∠ BOC = ∠ AOB + ∠ AOC = 90°+40°=130°$。
因为$OM$是$∠ BOC$的平分线,$ON$是$∠ AOC$的平分线,
所以$∠ MOC = \frac{1}{2}∠ BOC = 65°$,$∠ NOC = \frac{1}{2}∠ AOC=20°$,
所以$∠ MON = ∠ MOC - ∠ NOC = 65°-20°=45°$。
(2)当锐角$∠ AOC$的大小发生改变时,$∠ MON$的大小不发生改变。
理由如下:因为$∠ MON = ∠ MOC - ∠ NOC = \frac{1}{2}∠ BOC - \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}(∠ BOC - ∠ AOC)=\frac{1}{2}∠ AOB$,
又因为$∠ AOB$是直角,
所以$∠ MON = \frac{1}{2}∠ AOB = 45°$。
所以$∠ BOC = ∠ AOB + ∠ AOC = 90°+40°=130°$。
因为$OM$是$∠ BOC$的平分线,$ON$是$∠ AOC$的平分线,
所以$∠ MOC = \frac{1}{2}∠ BOC = 65°$,$∠ NOC = \frac{1}{2}∠ AOC=20°$,
所以$∠ MON = ∠ MOC - ∠ NOC = 65°-20°=45°$。
(2)当锐角$∠ AOC$的大小发生改变时,$∠ MON$的大小不发生改变。
理由如下:因为$∠ MON = ∠ MOC - ∠ NOC = \frac{1}{2}∠ BOC - \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}(∠ BOC - ∠ AOC)=\frac{1}{2}∠ AOB$,
又因为$∠ AOB$是直角,
所以$∠ MON = \frac{1}{2}∠ AOB = 45°$。
解析
【分析】
(1) 解题时先利用已知的直角∠AOB和∠AOC的度数，先算出∠BOC的度数；再根据角平分线的定义，分别求出∠MOC和∠NOC的度数；最后通过角的差的关系，用∠MOC减去∠NOC就能得到∠MON的大小。
(2) 判断∠MON是否变化时，先把∠MON用含∠BOC和∠AOC的式子表示，提取公因式后可发现∠MON等于∠AOB的一半，而∠AOB是固定的90°，因此∠MON是定值，不会随∠AOC的变化而变化。
【解析】
(1) 因为$∠AOB$是直角，所以$∠AOB=90°$，已知$∠AOC=40°$，
所以$∠BOC = ∠AOB + ∠AOC = 90°+40°=130°$。
因为$OM$是$∠BOC$的平分线，$ON$是$∠AOC$的平分线，
所以$∠MOC = \frac{1}{2}∠BOC = \frac{1}{2}×130°=65°$，$∠NOC = \frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×40°=20°$，
所以$∠MON = ∠MOC - ∠NOC = 65°-20°=45°$。
(2) 当锐角$∠AOC$的大小发生改变时，$∠MON$的大小不发生改变，理由如下：
根据角平分线的定义可得$∠MOC=\frac{1}{2}∠BOC$，$∠NOC=\frac{1}{2}∠AOC$，
则$∠MON = ∠MOC - ∠NOC = \frac{1}{2}∠BOC - \frac{1}{2}∠AOC = \frac{1}{2}(∠BOC - ∠AOC)$，
又因为$∠BOC - ∠AOC = ∠AOB=90°$（定值），
所以$∠MON = \frac{1}{2}×90° = 45°$，即∠MON的大小不随∠AOC的改变而变化。
【答案】
(1) $∠MON=45°$；
(2) $∠MON$的大小不发生改变，恒为$45°$。
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 角的和差计算
【点评】
本题是角的运算的经典题型，既考查了固定角度下的基础计算，也考查了动态角度下的定值推导，解题的核心是熟练运用角平分线的性质，通过代数式变形梳理出角之间的固定关系，对提升逻辑推导能力有很好的帮助。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先利用已知的直角∠AOB和∠AOC的度数，先算出∠BOC的度数；再根据角平分线的定义，分别求出∠MOC和∠NOC的度数；最后通过角的差的关系，用∠MOC减去∠NOC就能得到∠MON的大小。
(2) 判断∠MON是否变化时，先把∠MON用含∠BOC和∠AOC的式子表示，提取公因式后可发现∠MON等于∠AOB的一半，而∠AOB是固定的90°，因此∠MON是定值，不会随∠AOC的变化而变化。
【解析】
(1) 因为$∠AOB$是直角，所以$∠AOB=90°$，已知$∠AOC=40°$，
所以$∠BOC = ∠AOB + ∠AOC = 90°+40°=130°$。
因为$OM$是$∠BOC$的平分线，$ON$是$∠AOC$的平分线，
所以$∠MOC = \frac{1}{2}∠BOC = \frac{1}{2}×130°=65°$，$∠NOC = \frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×40°=20°$，
所以$∠MON = ∠MOC - ∠NOC = 65°-20°=45°$。
(2) 当锐角$∠AOC$的大小发生改变时，$∠MON$的大小不发生改变，理由如下：
根据角平分线的定义可得$∠MOC=\frac{1}{2}∠BOC$，$∠NOC=\frac{1}{2}∠AOC$，
则$∠MON = ∠MOC - ∠NOC = \frac{1}{2}∠BOC - \frac{1}{2}∠AOC = \frac{1}{2}(∠BOC - ∠AOC)$，
又因为$∠BOC - ∠AOC = ∠AOB=90°$（定值），
所以$∠MON = \frac{1}{2}×90° = 45°$，即∠MON的大小不随∠AOC的改变而变化。
【答案】
(1) $∠MON=45°$；
(2) $∠MON$的大小不发生改变，恒为$45°$。
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 角的和差计算
【点评】
本题是角的运算的经典题型，既考查了固定角度下的基础计算，也考查了动态角度下的定值推导，解题的核心是熟练运用角平分线的性质，通过代数式变形梳理出角之间的固定关系，对提升逻辑推导能力有很好的帮助。
【难度系数】
0.7
