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4 角(第2课时)
课堂精要·梳理内容
1.角的比较
(1)用
(2)把一个角放在另一个角上，使它们的顶点
2.角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个
课堂精要·梳理内容
1.角的比较
(1)用
量角器
量出角的度数，通过比较它们的度数来比较这两个角的大小。(2)把一个角放在另一个角上，使它们的顶点
重合
，其中一边也重合
，并使另一边都放在重合边的同侧，就可以比较两个角的大小了。2.角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个
相等
的角，这条射线叫作这个角的平分线。答案
1.(1)量角器
(2)重合 重合
2.相等
(2)重合 重合
2.相等
解析
【分析】
本题考查角的比较方法、角平分线的基础定义，属于基础识记类题型。解题时回忆对应课本概念即可：首先回忆角的两种比较方法，度量法用到的工具和叠合法的操作要点，再回忆角平分线的定义内容，对应空缺内容填写即可。
【解析】
1. 角的比较有两种常用方法：
(1) 度量法：用量角器测量出角的度数，通过比较度数的大小即可判断角的大小，所以此处填量角器。
(2) 叠合法：将两个角叠放比较时，首先要让两个角的顶点重合，再让其中一条边也重合，同时保证两个角的另一条边都放在重合边的同侧，再根据另一边的位置判断大小，所以两个空依次填重合、重合。
2. 根据角平分线的定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就是这个角的平分线，所以此处填相等。
【答案】
1.(1)量角器
(2)重合 重合
2.相等
【知识点】
角的大小比较方法；角平分线的定义
【点评】
本题是基础概念类填空题，核心考察对教材基础概念的记忆掌握情况，属于送分类题型，只要熟悉课本相关内容就能轻松做对。
【难度系数】
0.9
本题考查角的比较方法、角平分线的基础定义，属于基础识记类题型。解题时回忆对应课本概念即可：首先回忆角的两种比较方法，度量法用到的工具和叠合法的操作要点，再回忆角平分线的定义内容，对应空缺内容填写即可。
【解析】
1. 角的比较有两种常用方法：
(1) 度量法：用量角器测量出角的度数，通过比较度数的大小即可判断角的大小，所以此处填量角器。
(2) 叠合法：将两个角叠放比较时，首先要让两个角的顶点重合，再让其中一条边也重合，同时保证两个角的另一条边都放在重合边的同侧，再根据另一边的位置判断大小，所以两个空依次填重合、重合。
2. 根据角平分线的定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就是这个角的平分线，所以此处填相等。
【答案】
1.(1)量角器
(2)重合 重合
2.相等
【知识点】
角的大小比较方法；角平分线的定义
【点评】
本题是基础概念类填空题，核心考察对教材基础概念的记忆掌握情况，属于送分类题型，只要熟悉课本相关内容就能轻松做对。
【难度系数】
0.9
1.下列说法正确的是(
A.角的两边画得越长,这个角就越大
B.角的大小与角的两边所画的长短无关
C.角的大小和它们的度数的大小是不一致的
D.角大,它的度数不一定大
B
)。A.角的两边画得越长,这个角就越大
B.角的大小与角的两边所画的长短无关
C.角的大小和它们的度数的大小是不一致的
D.角大,它的度数不一定大
答案
1.B
解析
【分析】
解决这道题首先要明确角的基本性质：角是由公共端点的两条射线组成的图形，角的大小只由两条边张开的程度决定，和边的长度无关，且角的度数就是衡量角大小的标准，二者是一一对应的。接下来我们逐个辨析四个选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：角的两边是射线，本身可无限延伸，角的大小仅由两边张开的幅度决定，和边画的长度无关，因此A错误。
B选项：角的大小只与两边张开的程度有关，与两边所画的长短没有关系，因此B正确。
C选项：角的大小就是用度数来量化表示的，二者完全一致，度数越大角就越大，因此C错误。
D选项：角的大小和度数一一对应，角越大对应的度数一定越大，因此D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
角的基本概念；角的大小度量
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是区分角的大小的决定因素，易错点是容易误认为角的边越长角越大，牢记角的两边是射线、长度不影响张开幅度即可快速判断。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确角的基本性质：角是由公共端点的两条射线组成的图形，角的大小只由两条边张开的程度决定，和边的长度无关，且角的度数就是衡量角大小的标准，二者是一一对应的。接下来我们逐个辨析四个选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：角的两边是射线，本身可无限延伸，角的大小仅由两边张开的幅度决定，和边画的长度无关，因此A错误。
B选项：角的大小只与两边张开的程度有关，与两边所画的长短没有关系，因此B正确。
C选项：角的大小就是用度数来量化表示的，二者完全一致，度数越大角就越大，因此C错误。
D选项：角的大小和度数一一对应，角越大对应的度数一定越大，因此D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
角的基本概念；角的大小度量
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是区分角的大小的决定因素，易错点是容易误认为角的边越长角越大，牢记角的两边是射线、长度不影响张开幅度即可快速判断。
【难度系数】
0.9
2.已知∠α和∠β的顶点和一边都重合，另一边都在公共边的同侧，且∠α＞∠β，那么∠α的另一边落在∠β的(
A.另一边上
B.内部
C.外部
D.以上都不对
C
)。A.另一边上
B.内部
C.外部
D.以上都不对
答案
2.C
解析
【分析】
解题时可以结合叠合法比较角大小的规则来思考：首先明确叠合法比较角大小的前提是两个角顶点重合、一条边重合，且另外两边都在重合边的同侧，此时哪个角的另一边落在外侧，哪个角的度数就更大。本题已经给出两个角满足叠合法的前提条件，且∠α＞∠β，反过来就能推导∠α另一边的位置。
【解析】
根据叠合法比较角大小的规则：当两个角的顶点和其中一边重合，另一边都在公共边的同侧时，度数更大的角的另一边落在度数较小的角的外部。
本题中∠α和∠β满足顶点、一边重合，另一边在公共边同侧的前提，且∠α＞∠β，因此∠α的另一边落在∠β的外部。
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
叠合法比较角的大小，角的位置判断
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对叠合法比较角大小规则的理解和反向应用，解题时不要混淆角的大小和对应边的内外位置关系即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时可以结合叠合法比较角大小的规则来思考：首先明确叠合法比较角大小的前提是两个角顶点重合、一条边重合，且另外两边都在重合边的同侧，此时哪个角的另一边落在外侧，哪个角的度数就更大。本题已经给出两个角满足叠合法的前提条件，且∠α＞∠β，反过来就能推导∠α另一边的位置。
【解析】
根据叠合法比较角大小的规则：当两个角的顶点和其中一边重合，另一边都在公共边的同侧时，度数更大的角的另一边落在度数较小的角的外部。
本题中∠α和∠β满足顶点、一边重合，另一边在公共边同侧的前提，且∠α＞∠β，因此∠α的另一边落在∠β的外部。
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
叠合法比较角的大小，角的位置判断
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对叠合法比较角大小规则的理解和反向应用，解题时不要混淆角的大小和对应边的内外位置关系即可快速得分。
【难度系数】
0.9
3.在$∠ AOB$的内部任取一点$C$,作射线$OC$,则一定有(
A.$∠ AOB＞∠ AOC$
B.$∠ AOB＜∠ AOC$
C.$∠ COB＞∠ AOC$
D.$∠ AOC＞∠ COB$
A
)。A.$∠ AOB＞∠ AOC$
B.$∠ AOB＜∠ AOC$
C.$∠ COB＞∠ AOC$
D.$∠ AOC＞∠ COB$
答案
3.A
解析
【分析】
首先明确本题考查角的大小比较和角的和差关系。解题时先结合“点C在∠AOB内部”的条件，分析∠AOB、∠AOC、∠COB三个角的数量关系：大角等于两个小角的和，且两个小角都是大于0的角，因此大角一定大于任意一个小角。再结合选项逐一判断：首先排除明显错误的B选项；而C点是任意取的，所以∠AOC和∠COB的大小无法确定，即可排除C、D选项，最终得到正确答案。
【解析】
已知点C在∠AOB的内部，因此射线OC把∠AOB分成了两个小角∠AOC和∠COB，可得：
$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ COB$
因为角的度数一定为正数，所以$∠ COB ＞ 0°$，因此$∠ AOB ＞ ∠ AOC$，$∠ AOB ＞ ∠ COB$，故A选项正确，B选项错误。
又因为点C是∠AOB内部任意取的点，∠AOC和∠COB的大小关系随C点位置变化而变化，可能$∠ AOC ＞ ∠ COB$，可能$∠ AOC ＜ ∠ COB$，也可能二者相等，因此C、D选项的关系不一定成立。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
角的和差关系；角的大小比较
【点评】
本题是基础题，解题的关键是理解角内部一点与顶点连线形成的三个角之间的和差关系，同时注意“任取一点”说明两个小角的大小关系不固定，不能随意判断二者大小。
【难度系数】
0.9
首先明确本题考查角的大小比较和角的和差关系。解题时先结合“点C在∠AOB内部”的条件，分析∠AOB、∠AOC、∠COB三个角的数量关系：大角等于两个小角的和，且两个小角都是大于0的角，因此大角一定大于任意一个小角。再结合选项逐一判断：首先排除明显错误的B选项；而C点是任意取的，所以∠AOC和∠COB的大小无法确定，即可排除C、D选项，最终得到正确答案。
【解析】
已知点C在∠AOB的内部，因此射线OC把∠AOB分成了两个小角∠AOC和∠COB，可得：
$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ COB$
因为角的度数一定为正数，所以$∠ COB ＞ 0°$，因此$∠ AOB ＞ ∠ AOC$，$∠ AOB ＞ ∠ COB$，故A选项正确，B选项错误。
又因为点C是∠AOB内部任意取的点，∠AOC和∠COB的大小关系随C点位置变化而变化，可能$∠ AOC ＞ ∠ COB$，可能$∠ AOC ＜ ∠ COB$，也可能二者相等，因此C、D选项的关系不一定成立。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
角的和差关系；角的大小比较
【点评】
本题是基础题，解题的关键是理解角内部一点与顶点连线形成的三个角之间的和差关系，同时注意“任取一点”说明两个小角的大小关系不固定，不能随意判断二者大小。
【难度系数】
0.9
4.如果OC是∠AOB的平分线，那么下列等式错误的是(
A.$∠ AOB=2∠ COB$
B.$2∠ AOC=∠ AOB$
C.$∠ AOC=∠ COB$
D.$∠ O=2∠ AOC$
D
)。A.$∠ AOB=2∠ COB$
B.$2∠ AOC=∠ AOB$
C.$∠ AOC=∠ COB$
D.$∠ O=2∠ AOC$
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先要明确角平分线的定义：从角的顶点出发，把一个角分成两个相等的角的射线叫做该角的角平分线。结合已知OC是∠AOB的平分线，我们可以先推导得到角之间的数量关系，再逐一核对选项，同时要注意角的表示规则：当顶点处存在多个角时，不能仅用顶点字母单独表示某个角，避免判断出错。
【解析】
根据角平分线的定义，已知OC是∠AOB的平分线，可得：
$∠ AOC=∠ COB=\frac{1}{2}∠ AOB$，变形可得$∠ AOB=2∠ AOC=2∠ COB$。
逐个分析选项：
A. $∠ AOB=2∠ COB$，符合推导的数量关系，等式正确；
B. $2∠ AOC=∠ AOB$，符合推导的数量关系，等式正确；
C. $∠ AOC=∠ COB$，符合推导的数量关系，等式正确；
D. 顶点O处同时存在$∠ AOB$、$∠ AOC$、$∠ COB$多个角，不能仅用$∠ O$表示某一个确定的角，角的表示不规范，等式错误。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1.角平分线的定义 2.角的表示方法
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对角平分线性质的运用和角的表示规则的掌握，解题时既要牢记角平分线对应的角的等量关系，也要注意角的表示规范，避免因细节问题出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确角平分线的定义：从角的顶点出发，把一个角分成两个相等的角的射线叫做该角的角平分线。结合已知OC是∠AOB的平分线，我们可以先推导得到角之间的数量关系，再逐一核对选项，同时要注意角的表示规则：当顶点处存在多个角时，不能仅用顶点字母单独表示某个角，避免判断出错。
【解析】
根据角平分线的定义，已知OC是∠AOB的平分线，可得：
$∠ AOC=∠ COB=\frac{1}{2}∠ AOB$，变形可得$∠ AOB=2∠ AOC=2∠ COB$。
逐个分析选项：
A. $∠ AOB=2∠ COB$，符合推导的数量关系，等式正确；
B. $2∠ AOC=∠ AOB$，符合推导的数量关系，等式正确；
C. $∠ AOC=∠ COB$，符合推导的数量关系，等式正确；
D. 顶点O处同时存在$∠ AOB$、$∠ AOC$、$∠ COB$多个角，不能仅用$∠ O$表示某一个确定的角，角的表示不规范，等式错误。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1.角平分线的定义 2.角的表示方法
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对角平分线性质的运用和角的表示规则的掌握，解题时既要牢记角平分线对应的角的等量关系，也要注意角的表示规范，避免因细节问题出错。
【难度系数】
0.9
5.如图，O是直线AB上一点，$∠ 1=40°$，OD平分$∠ BOC$，则$∠ 2$的度数是（
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$70°$
D
）。A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$70°$
答案
5.D
解析
【分析】
首先，直线上的点可形成180°的平角，O在直线AB上，因此∠AOB为平角，即∠1与∠BOC的和为180°。已知∠1的度数，可先求出∠BOC的总度数。其次，角平分线会把一个角分成两个完全相等的角，OD平分∠BOC，说明∠2是∠BOC的一半，用∠BOC的度数除以2就能得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵ O是直线AB上的点
∴ ∠AOB=180°，即$∠ 1+∠ BOC=180°$
已知$∠ 1=40°$，代入得：
$∠ BOC=180° - 40°=140°$
又
∵ OD平分$∠ BOC$
∴ $∠ 2=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×140°=70°$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角度计算
【点评】
本题是角度计算的基础题，解题核心是理清图中角的和差关系，结合平角、角平分线的基本概念即可快速求解，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
首先，直线上的点可形成180°的平角，O在直线AB上，因此∠AOB为平角，即∠1与∠BOC的和为180°。已知∠1的度数，可先求出∠BOC的总度数。其次，角平分线会把一个角分成两个完全相等的角，OD平分∠BOC，说明∠2是∠BOC的一半，用∠BOC的度数除以2就能得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵ O是直线AB上的点
∴ ∠AOB=180°，即$∠ 1+∠ BOC=180°$
已知$∠ 1=40°$，代入得：
$∠ BOC=180° - 40°=140°$
又
∵ OD平分$∠ BOC$
∴ $∠ 2=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×140°=70°$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角度计算
【点评】
本题是角度计算的基础题，解题核心是理清图中角的和差关系，结合平角、角平分线的基本概念即可快速求解，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
6. 如图,下列条件不能确定OC是∠AOB的平分线的是(
A.$∠ AOC = ∠ BOC$
B.$∠ AOB = 2∠ AOC$
C.$∠ AOC + ∠ BOC = ∠ AOB$
D.$∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB$
C
)。A.$∠ AOC = ∠ BOC$
B.$∠ AOB = 2∠ AOC$
C.$∠ AOC + ∠ BOC = ∠ AOB$
D.$∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB$
答案
6.C
解析
【分析】
解题的核心依据是角平分线的定义：从角的顶点出发，在角的内部，能把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。要判断哪个条件不能确定OC是∠AOB的平分线，只需逐个验证选项是否能推出∠AOC=∠BOC，且OC在∠AOB内部即可，也可通过举反例判断不符合要求的选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：若∠AOC=∠BOC，结合图中OC在∠AOB内部，完全符合角平分线的定义，可确定OC是∠AOB的平分线，不符合题意；
B选项：若∠AOB=2∠AOC，可得∠AOC=∠AOB-∠BOC，代入推出∠BOC=∠AOC，结合OC在∠AOB内部，可确定OC是∠AOB的平分线，不符合题意；
C选项：若∠AOC+∠BOC=∠AOB，只能说明OC是位于∠AOB内部的任意一条射线，无法保证∠AOC=∠BOC，比如OC靠近OA时，只要两个小角相加等于∠AOB就满足该条件，此时OC不是角平分线，故不能确定OC是∠AOB的平分线，符合题意；
D选项：若∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，可得∠AOC=∠AOB-∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，即∠AOC=∠BOC，结合OC在∠AOB内部，可确定OC是∠AOB的平分线，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义、角的和差关系
【点评】
本题考查角平分线的判定，解题时要注意角平分线不仅要满足角的数量相等关系，还要保证射线在角的内部，通过举反例的方式可以快速判断错误选项。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是角平分线的定义：从角的顶点出发，在角的内部，能把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。要判断哪个条件不能确定OC是∠AOB的平分线，只需逐个验证选项是否能推出∠AOC=∠BOC，且OC在∠AOB内部即可，也可通过举反例判断不符合要求的选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：若∠AOC=∠BOC，结合图中OC在∠AOB内部，完全符合角平分线的定义，可确定OC是∠AOB的平分线，不符合题意；
B选项：若∠AOB=2∠AOC，可得∠AOC=∠AOB-∠BOC，代入推出∠BOC=∠AOC，结合OC在∠AOB内部，可确定OC是∠AOB的平分线，不符合题意；
C选项：若∠AOC+∠BOC=∠AOB，只能说明OC是位于∠AOB内部的任意一条射线，无法保证∠AOC=∠BOC，比如OC靠近OA时，只要两个小角相加等于∠AOB就满足该条件，此时OC不是角平分线，故不能确定OC是∠AOB的平分线，符合题意；
D选项：若∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，可得∠AOC=∠AOB-∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，即∠AOC=∠BOC，结合OC在∠AOB内部，可确定OC是∠AOB的平分线，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义、角的和差关系
【点评】
本题考查角平分线的判定，解题时要注意角平分线不仅要满足角的数量相等关系，还要保证射线在角的内部，通过举反例的方式可以快速判断错误选项。
【难度系数】
0.8
7.如果OC平分∠AOB，∠AOC=25°，那么∠AOB=
50°
。答案
7.50°
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的定义：角平分线会把一个角分成两个完全相等的小角，即原角的大小是被分出的任意一个小角的2倍。本题已知OC是∠AOB的平分线，且给出了其中一个小角∠AOC的度数，直接利用角平分线对应的角的倍数关系计算即可。
【解析】
解：
∵OC平分∠AOB，
∴根据角平分线的定义可得：∠AOB = 2∠AOC，
又
∵∠AOC=25°，
∴∠AOB=2×25°=50°。
【答案】
50°
【知识点】
角平分线的定义、角度的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线定义的直接应用，只要熟练掌握角平分线对应的角的数量关系，代入数值计算就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆角平分线的定义：角平分线会把一个角分成两个完全相等的小角，即原角的大小是被分出的任意一个小角的2倍。本题已知OC是∠AOB的平分线，且给出了其中一个小角∠AOC的度数，直接利用角平分线对应的角的倍数关系计算即可。
【解析】
解：
∵OC平分∠AOB，
∴根据角平分线的定义可得：∠AOB = 2∠AOC，
又
∵∠AOC=25°，
∴∠AOB=2×25°=50°。
【答案】
50°
【知识点】
角平分线的定义、角度的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线定义的直接应用，只要熟练掌握角平分线对应的角的数量关系，代入数值计算就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
8.如图，∠AOB=30°,∠COB=50°,∠COD=22°,OE平分∠AOD,求∠AOE的度数。
答案
8. 解:$∠ AOE = \frac{1}{2}∠ AOD = \frac{1}{2}(∠ AOB + ∠ COB+∠ COD)=\frac{1}{2}×(30°+50°+22°)=51°$。
解析
【分析】
要求∠AOE的度数，首先结合已知条件“OE平分∠AOD”，根据角平分线的性质可知∠AOE是∠AOD的一半，因此只需先求出∠AOD的度数即可。观察图形可得，∠AOD由相邻的∠AOB、∠COB、∠COD组成，将三个已知角的度数相加就能得到∠AOD的度数，再代入角平分线的数量关系即可求出结果。
【解析】
首先根据角的和差关系计算∠AOD的度数：
$\begin{aligned}∠AOD &= ∠AOB + ∠COB + ∠COD \\&= 30° + 50° + 22° \\&= 102°\end{aligned}$
因为OE平分∠AOD，根据角平分线的定义可得：
$\begin{aligned}∠AOE &= \frac{1}{2}∠AOD \\&= \frac{1}{2}×102° \\&= 51°\end{aligned}$
【答案】
$51°$
【知识点】
角的和差运算，角平分线的定义
【点评】
本题是角的相关计算的基础题，解题核心是结合图形理清各角的和差关系，再利用角平分线的性质计算，难度较低，主要考查对基础概念的掌握和读图能力。
【难度系数】
0.8
要求∠AOE的度数，首先结合已知条件“OE平分∠AOD”，根据角平分线的性质可知∠AOE是∠AOD的一半，因此只需先求出∠AOD的度数即可。观察图形可得，∠AOD由相邻的∠AOB、∠COB、∠COD组成，将三个已知角的度数相加就能得到∠AOD的度数，再代入角平分线的数量关系即可求出结果。
【解析】
首先根据角的和差关系计算∠AOD的度数：
$\begin{aligned}∠AOD &= ∠AOB + ∠COB + ∠COD \\&= 30° + 50° + 22° \\&= 102°\end{aligned}$
因为OE平分∠AOD，根据角平分线的定义可得：
$\begin{aligned}∠AOE &= \frac{1}{2}∠AOD \\&= \frac{1}{2}×102° \\&= 51°\end{aligned}$
【答案】
$51°$
【知识点】
角的和差运算，角平分线的定义
【点评】
本题是角的相关计算的基础题，解题核心是结合图形理清各角的和差关系，再利用角平分线的性质计算，难度较低，主要考查对基础概念的掌握和读图能力。
【难度系数】
0.8
