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11. 如图,已知直线$l:y=2x$,分别过$x$轴上的点$A_1(1,0),A_2(2,0),\dots,A_n(n,0)$,作垂直于$x$轴的直线交$l$于点$B_1,B_2,\dots,B_n$,将$△ OA_1B_1$、四边形$A_1A_2B_2B_1$、…、四边形$A_{n-1}A_nB_nB_{n-1}$的面积依次记为$S_1,S_2,\dots,S_n$,则$S_n$等于(
A.$n^2$
B.$2n+1$
C.$2n$
D.$2n-1$
D
)。A.$n^2$
B.$2n+1$
C.$2n$
D.$2n-1$
答案
11.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用直线l的解析式求出各点$B_k$的坐标，得到垂直于x轴的线段$A_kB_k$的长度；再判断$S_n$对应的图形形状：$S_1$是三角形，$S_2$及之后的图形是梯形，它们的高都是相邻A点横坐标的差，即1；最后结合对应图形的面积公式推导$S_n$的表达式，也可以通过计算前几个$S$的数值找规律验证结果。
【解析】
1. 求点$B_k$的坐标：已知直线l的解析式为$y=2x$，点$A_k$的坐标为$(k,0)$，过$A_k$作x轴的垂线交l于$B_k$，因此$B_k$的横坐标为k，代入解析式得纵坐标为$2k$，即$B_k(k,2k)$，故线段$A_kB_k$的长度为$2k$。
2. 计算$S_1$验证：$S_1$是$△ OA_1B_1$的面积，底$OA_1=1$，高$A_1B_1=2×1=2$，根据三角形面积公式得$S_1=\frac{1}{2}×1×2=1$。
3. 推导$S_n$的通用表达式：当$n≥2$时，$S_n$是梯形$A_{n-1}A_nB_nB_{n-1}$的面积，梯形的上底为$A_{n-1}B_{n-1}=2(n-1)$，下底为$A_nB_n=2n$，高为$A_{n-1}A_n$的长度$=n-(n-1)=1$。
根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，代入得：
$S_n = \frac{1}{2}×[2(n-1)+2n]×1 = \frac{1}{2}×(4n-2)=2n-1$。
当$n=1$时，$2×1-1=1$，与$S_1$的计算结果一致，因此$S_n=2n-1$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，图形面积计算，规律探究
【点评】
本题将一次函数的图象特点与几何图形面积计算结合，解题的核心是先根据一次函数解析式得到竖直方向线段的长度，再结合对应图形的面积公式推导结果，既可以通过公式直接推导，也可以通过计算前几项找规律得到答案。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先利用直线l的解析式求出各点$B_k$的坐标，得到垂直于x轴的线段$A_kB_k$的长度；再判断$S_n$对应的图形形状：$S_1$是三角形，$S_2$及之后的图形是梯形，它们的高都是相邻A点横坐标的差，即1；最后结合对应图形的面积公式推导$S_n$的表达式，也可以通过计算前几个$S$的数值找规律验证结果。
【解析】
1. 求点$B_k$的坐标：已知直线l的解析式为$y=2x$，点$A_k$的坐标为$(k,0)$，过$A_k$作x轴的垂线交l于$B_k$，因此$B_k$的横坐标为k，代入解析式得纵坐标为$2k$，即$B_k(k,2k)$，故线段$A_kB_k$的长度为$2k$。
2. 计算$S_1$验证：$S_1$是$△ OA_1B_1$的面积，底$OA_1=1$，高$A_1B_1=2×1=2$，根据三角形面积公式得$S_1=\frac{1}{2}×1×2=1$。
3. 推导$S_n$的通用表达式：当$n≥2$时，$S_n$是梯形$A_{n-1}A_nB_nB_{n-1}$的面积，梯形的上底为$A_{n-1}B_{n-1}=2(n-1)$，下底为$A_nB_n=2n$，高为$A_{n-1}A_n$的长度$=n-(n-1)=1$。
根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，代入得：
$S_n = \frac{1}{2}×[2(n-1)+2n]×1 = \frac{1}{2}×(4n-2)=2n-1$。
当$n=1$时，$2×1-1=1$，与$S_1$的计算结果一致，因此$S_n=2n-1$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，图形面积计算，规律探究
【点评】
本题将一次函数的图象特点与几何图形面积计算结合，解题的核心是先根据一次函数解析式得到竖直方向线段的长度，再结合对应图形的面积公式推导结果，既可以通过公式直接推导，也可以通过计算前几项找规律得到答案。
【难度系数】
0.7
12. (1)点P的坐标为$(x,y)$，若$x=y$，则点P在坐标平面内的位置是
(2)已知点Q的坐标为$(2-2a,a+8)$，且点Q到两坐标轴的距离相等，则点Q的坐标为
第一、三象限的角平分线上
；若$x+y=0$，则点P在坐标平面内的位置是第二、四象限的角平分线上
。(2)已知点Q的坐标为$(2-2a,a+8)$，且点Q到两坐标轴的距离相等，则点Q的坐标为
(6,6)或(-18,18)
。答案
12.(1)第一、三象限的角平分线上 第二、四象限的角平分线上
(2)(6,6)或(-18,18)
(2)(6,6)或(-18,18)
解析
【分析】
(1) 首先回忆平面直角坐标系中特殊直线上点的坐标特征：若点的横纵坐标相等，对应第一、三象限的角平分线；若横纵坐标互为相反数（即x+y=0），对应第二、四象限的角平分线，据此直接判断即可。
(2) 点到两坐标轴的距离相等，说明点的横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值，据此列出绝对值方程，分两种情况求解a的值，再代入计算点Q的坐标即可，注意分类讨论不要漏解。
【解析】
(1) 当x=y时，点P的横、纵坐标相等，平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的所有点均满足横纵坐标相等，因此点P在第一、三象限的角平分线上；
当x+y=0时，即x=-y，点P的横、纵坐标互为相反数，平面直角坐标系中第二、四象限角平分线上的所有点均满足横纵坐标互为相反数，因此点P在第二、四象限的角平分线上。
(2)
∵点Q到两坐标轴的距离相等
∴点Q的横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值，即$|2-2a|=|a+8|$
分两种情况讨论：
① 当$2-2a = a+8$时，
移项得：$-3a=6$，解得$a=-2$
代入坐标计算：$2-2a=2-2×(-2)=6$，$a+8=-2+8=6$，此时点Q坐标为$(6,6)$
② 当$2-2a = -(a+8)$时，
去括号得：$2-2a=-a-8$
移项得：$-a=-10$，解得$a=10$
代入坐标计算：$2-2a=2-2×10=-18$，$a+8=10+8=18$，此时点Q坐标为$(-18,18)$
综上，点Q的坐标为$(6,6)$或$(-18,18)$
【答案】
(1)第一、三象限的角平分线上；第二、四象限的角平分线上
(2)(6,6)或(-18,18)
【知识点】
象限角平分线的坐标特征；点到坐标轴的距离；绝对值方程求解
【点评】
本题考查平面直角坐标系中特殊位置点的坐标规律，解题核心是掌握两类特殊直线上点的坐标关系，解决第二问时要注意分类讨论两种坐标相等的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 首先回忆平面直角坐标系中特殊直线上点的坐标特征：若点的横纵坐标相等，对应第一、三象限的角平分线；若横纵坐标互为相反数（即x+y=0），对应第二、四象限的角平分线，据此直接判断即可。
(2) 点到两坐标轴的距离相等，说明点的横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值，据此列出绝对值方程，分两种情况求解a的值，再代入计算点Q的坐标即可，注意分类讨论不要漏解。
【解析】
(1) 当x=y时，点P的横、纵坐标相等，平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的所有点均满足横纵坐标相等，因此点P在第一、三象限的角平分线上；
当x+y=0时，即x=-y，点P的横、纵坐标互为相反数，平面直角坐标系中第二、四象限角平分线上的所有点均满足横纵坐标互为相反数，因此点P在第二、四象限的角平分线上。
(2)
∵点Q到两坐标轴的距离相等
∴点Q的横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值，即$|2-2a|=|a+8|$
分两种情况讨论：
① 当$2-2a = a+8$时，
移项得：$-3a=6$，解得$a=-2$
代入坐标计算：$2-2a=2-2×(-2)=6$，$a+8=-2+8=6$，此时点Q坐标为$(6,6)$
② 当$2-2a = -(a+8)$时，
去括号得：$2-2a=-a-8$
移项得：$-a=-10$，解得$a=10$
代入坐标计算：$2-2a=2-2×10=-18$，$a+8=10+8=18$，此时点Q坐标为$(-18,18)$
综上，点Q的坐标为$(6,6)$或$(-18,18)$
【答案】
(1)第一、三象限的角平分线上；第二、四象限的角平分线上
(2)(6,6)或(-18,18)
【知识点】
象限角平分线的坐标特征；点到坐标轴的距离；绝对值方程求解
【点评】
本题考查平面直角坐标系中特殊位置点的坐标规律，解题核心是掌握两类特殊直线上点的坐标关系，解决第二问时要注意分类讨论两种坐标相等的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
13. 如图所示的是甲、乙两人在一次赛跑中，路程y(m)与时间x(s)之间的关系，看图回答下列问题：
(1)这是一次多少米的赛跑？
(2)谁先到达终点？
(3)乙在这次赛跑中的速度是多少？
(4)分别求甲、乙两人的路程与时间之间的关系式。
(1)这是一次多少米的赛跑？
(2)谁先到达终点？
(3)乙在这次赛跑中的速度是多少？
(4)分别求甲、乙两人的路程与时间之间的关系式。
答案
13.解:(1)这是一次 100 m 的赛跑。
(2)甲先到达终点。
(3)乙在这次赛跑中的速度是
$100÷12.5=8(\mathrm{m/s})$。
(4)设甲的路程与时间之间的关系式为$y=k_1x$,把$x=12,y=100$代入,得$100=12k_1$,解得$k_1=\frac{25}{3}$。
所以甲的路程与时间之间的关系式为 $y=\frac{25}{3}x$ ($0≤x≤12$)。
设乙的路程与时间之间的关系式为$y=k_2x$,把$x=12.5$,$y=100$代入,得$100=12.5k_2$,解得$k_2=8$。
所以乙的路程与时间之间的关系式为 $y=8x$ ($0≤x≤12.5$)。
(2)甲先到达终点。
(3)乙在这次赛跑中的速度是
$100÷12.5=8(\mathrm{m/s})$。
(4)设甲的路程与时间之间的关系式为$y=k_1x$,把$x=12,y=100$代入,得$100=12k_1$,解得$k_1=\frac{25}{3}$。
所以甲的路程与时间之间的关系式为 $y=\frac{25}{3}x$ ($0≤x≤12$)。
设乙的路程与时间之间的关系式为$y=k_2x$,把$x=12.5$,$y=100$代入,得$100=12.5k_2$,解得$k_2=8$。
所以乙的路程与时间之间的关系式为 $y=8x$ ($0≤x≤12.5$)。
解析
【分析】
解题时首先明确图像的横、纵轴代表的含义：横轴是赛跑时间x（单位：s），纵轴是赛跑路程y（单位：m）。①看纵轴的最大刻度即可得到赛跑总路程；②对比两人跑完全程的用时，用时短的先到达终点；③根据速度=路程÷总时间，代入乙的路程和总用时即可求出乙的速度；④甲、乙的路程与时间的图像均为过原点的直线，属于正比例函数，设解析式为y=kx，分别代入两人跑完全程的坐标求出k值，再结合实际情况写出自变量x的取值范围即可。
【解析】
(1) 观察图像纵轴的最大值为100，可知这是一次100m的赛跑。
(2) 甲跑完全程用时12s，乙跑完全程用时12.5s，12＜12.5，因此甲先到达终点。
(3) 乙跑100m用时12.5s，根据速度公式计算：
$v=\frac{s}{t}=\frac{100}{12.5}=8(\mathrm{m/s})$
即乙在这次赛跑中的速度是8m/s。
(4) 甲的路程与时间的图像为过原点的直线，是正比例函数，设解析式为$y=k_1x$（$k_1≠0$），将$x=12,y=100$代入得：
$100=12k_1$，解得$k_1=\frac{25}{3}$
结合实际赛跑的时间范围，甲的关系式为$y=\frac{25}{3}x$（$0≤x≤12$）。
乙的路程与时间的图像同样为过原点的直线，设解析式为$y=k_2x$（$k_2≠0$），将$x=12.5,y=100$代入得：
$100=12.5k_2$，解得$k_2=8$
结合实际赛跑的时间范围，乙的关系式为$y=8x$（$0≤x≤12.5$）。
【答案】
(1) 这是一次100m的赛跑；
(2) 甲先到达终点；
(3) 乙在这次赛跑中的速度是$8\mathrm{m/s}$；
(4) 甲的路程与时间的关系式为$y=\frac{25}{3}x$ ($0≤x≤12$)，乙的路程与时间的关系式为$y=8x$ ($0≤x≤12.5$)。
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，s-t图像的解读
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，重点考查学生从函数图像中提取有效信息的能力，以及用待定系数法求正比例函数解析式的方法，整体难度较低，是一次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确图像的横、纵轴代表的含义：横轴是赛跑时间x（单位：s），纵轴是赛跑路程y（单位：m）。①看纵轴的最大刻度即可得到赛跑总路程；②对比两人跑完全程的用时，用时短的先到达终点；③根据速度=路程÷总时间，代入乙的路程和总用时即可求出乙的速度；④甲、乙的路程与时间的图像均为过原点的直线，属于正比例函数，设解析式为y=kx，分别代入两人跑完全程的坐标求出k值，再结合实际情况写出自变量x的取值范围即可。
【解析】
(1) 观察图像纵轴的最大值为100，可知这是一次100m的赛跑。
(2) 甲跑完全程用时12s，乙跑完全程用时12.5s，12＜12.5，因此甲先到达终点。
(3) 乙跑100m用时12.5s，根据速度公式计算：
$v=\frac{s}{t}=\frac{100}{12.5}=8(\mathrm{m/s})$
即乙在这次赛跑中的速度是8m/s。
(4) 甲的路程与时间的图像为过原点的直线，是正比例函数，设解析式为$y=k_1x$（$k_1≠0$），将$x=12,y=100$代入得：
$100=12k_1$，解得$k_1=\frac{25}{3}$
结合实际赛跑的时间范围，甲的关系式为$y=\frac{25}{3}x$（$0≤x≤12$）。
乙的路程与时间的图像同样为过原点的直线，设解析式为$y=k_2x$（$k_2≠0$），将$x=12.5,y=100$代入得：
$100=12.5k_2$，解得$k_2=8$
结合实际赛跑的时间范围，乙的关系式为$y=8x$（$0≤x≤12.5$）。
【答案】
(1) 这是一次100m的赛跑；
(2) 甲先到达终点；
(3) 乙在这次赛跑中的速度是$8\mathrm{m/s}$；
(4) 甲的路程与时间的关系式为$y=\frac{25}{3}x$ ($0≤x≤12$)，乙的路程与时间的关系式为$y=8x$ ($0≤x≤12.5$)。
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，s-t图像的解读
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，重点考查学生从函数图像中提取有效信息的能力，以及用待定系数法求正比例函数解析式的方法，整体难度较低，是一次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
14.【综合与实践】某班数学兴趣小组对函数$y=|x|$的图象和性质进行了探究，过程如下，请补充完整。
(1)自变量$x$的取值范围是全体实数，$x$与$y$的几组对应值列表如下：
其中，$m=$
(2)根据上表中的数据，小组成员在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分。
(3)观察图象，写出该函数的一条性质。
(1)自变量$x$的取值范围是全体实数，$x$与$y$的几组对应值列表如下：
其中，$m=$
2
。(2)根据上表中的数据，小组成员在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分。
(3)观察图象，写出该函数的一条性质。
答案
14.解:(1)2
(2)函数图象如图所示。
(3)(答案不唯一,合理即可)如:函数值$y≥0$ 或当$x＞0$时,$y$的值随着$x$值的增大而增大。
解析
【分析】
解题思路分三小问梳理：
1. 求m的值：已知函数解析式为$y=|x|$，m是x=2时对应的y值，直接代入x=2计算即可，也可根据绝对值的性质：互为相反数的两个数绝对值相等，由x=-2时y=2，直接推出x=2时y的值。
2. 补画函数图象：$y=|x|$的图象关于y轴对称，题目已经给出x≤0的部分，只需对称描出x＞0的对应点，再用直线连接成射线即可。
3. 写函数性质：观察图象的位置、对称性、变化趋势等，从函数取值范围、最值、增减性、对称性等角度任选一条合理描述即可。
【解析】
(1) 将x=2代入函数$y=|x|$，得$y=|2|=2$，因此m=2。
(2) 利用函数$y=|x|$关于y轴对称的特点，描出x＞0时的所有对应点，从原点出发连接各点得到y轴右侧的射线，补全后的图象为：
(3) 观察图象可得到多条性质，例如：函数的最小值为0；当x＞0时，y随x的增大而增大；函数图象关于y轴对称；函数值始终满足$y≥0$等，任选一条即可。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$
(2)
(3) 示例：函数值$y≥0$（或当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大，合理即可）
【知识点】
1. 绝对值的运算
2. 函数图象绘制
3. 函数性质分析
【点评】
本题是基础的函数探究类题目，完整考查了研究函数的“列表-描点-绘图-分析性质”的基本步骤，难度较低，掌握绝对值的性质和分析函数性质的常用角度即可顺利解答，是后续学习其他类型函数的基础。
【难度系数】
0.85
解题思路分三小问梳理：
1. 求m的值：已知函数解析式为$y=|x|$，m是x=2时对应的y值，直接代入x=2计算即可，也可根据绝对值的性质：互为相反数的两个数绝对值相等，由x=-2时y=2，直接推出x=2时y的值。
2. 补画函数图象：$y=|x|$的图象关于y轴对称，题目已经给出x≤0的部分，只需对称描出x＞0的对应点，再用直线连接成射线即可。
3. 写函数性质：观察图象的位置、对称性、变化趋势等，从函数取值范围、最值、增减性、对称性等角度任选一条合理描述即可。
【解析】
(1) 将x=2代入函数$y=|x|$，得$y=|2|=2$，因此m=2。
(2) 利用函数$y=|x|$关于y轴对称的特点，描出x＞0时的所有对应点，从原点出发连接各点得到y轴右侧的射线，补全后的图象为：
(3) 观察图象可得到多条性质，例如：函数的最小值为0；当x＞0时，y随x的增大而增大；函数图象关于y轴对称；函数值始终满足$y≥0$等，任选一条即可。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$
(2)
(3) 示例：函数值$y≥0$（或当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大，合理即可）
【知识点】
1. 绝对值的运算
2. 函数图象绘制
3. 函数性质分析
【点评】
本题是基础的函数探究类题目，完整考查了研究函数的“列表-描点-绘图-分析性质”的基本步骤，难度较低，掌握绝对值的性质和分析函数性质的常用角度即可顺利解答，是后续学习其他类型函数的基础。
【难度系数】
0.85
