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1.(2025·广东)广东省统计局的相关数据显示,近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元,预计7月产值将增至9100万元.设该公司6,7两个月产值的月均增长率为x,可列出的方程为
（
A.$2500(1+x)^2=9100$
B.$2500(1-x)^2=9100$
C.$2500(1-2x)^2=9100$
D.$2500(1+2x)^2=9100$
（
A
）A.$2500(1+x)^2=9100$
B.$2500(1-x)^2=9100$
C.$2500(1-2x)^2=9100$
D.$2500(1+2x)^2=9100$
答案
A
解析
【分析】
本题为平均增长率类应用题，解题时首先明确初始产值、增长期数和最终产值的对应关系：①初始值为5月产值2500万元，月均增长率为x，每经过1个月，产值为上月的(1+x)倍；②从5月到7月共经过2个月的增长，因此7月产值是初始值乘两次(1+x)，结合7月预计产值9100万元即可列出对应方程。
【解析】
已知5月产值为2500万元，月均增长率为x：
第一步：计算6月产值，6月是在5月基础上增长x，因此6月产值 = 2500(1+x) 万元；
第二步：计算7月产值，7月是在6月基础上增长x，因此7月产值 = 2500(1+x) × (1+x) = 2500(1+x)² 万元；
第三步：结合题中7月预计产值为9100万元，可列方程：2500(1+x)² = 9100，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
【点评】
本题是增长率问题的基础考查题型，核心是掌握平均增长率的计算公式，明确增长次数、初始值和最终值的对应关系，熟练掌握后即可快速求解，是考试中的常考基础题型。
【难度系数】
0.85
本题为平均增长率类应用题，解题时首先明确初始产值、增长期数和最终产值的对应关系：①初始值为5月产值2500万元，月均增长率为x，每经过1个月，产值为上月的(1+x)倍；②从5月到7月共经过2个月的增长，因此7月产值是初始值乘两次(1+x)，结合7月预计产值9100万元即可列出对应方程。
【解析】
已知5月产值为2500万元，月均增长率为x：
第一步：计算6月产值，6月是在5月基础上增长x，因此6月产值 = 2500(1+x) 万元；
第二步：计算7月产值，7月是在6月基础上增长x，因此7月产值 = 2500(1+x) × (1+x) = 2500(1+x)² 万元；
第三步：结合题中7月预计产值为9100万元，可列方程：2500(1+x)² = 9100，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
【点评】
本题是增长率问题的基础考查题型，核心是掌握平均增长率的计算公式，明确增长次数、初始值和最终值的对应关系，熟练掌握后即可快速求解，是考试中的常考基础题型。
【难度系数】
0.85
2.(2025·福建)为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程 （
A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
C
）A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确图形特征：矩形依托直角围墙修建，因此篱笆仅需要围矩形相邻的两条边，不需要围靠墙的两条边。解题思路为：先根据篱笆总长和已知的一条边长x，表示出矩形的另一条边长，再结合矩形面积=长×宽的等量关系，代入面积数值即可列出对应方程，最后匹配选项得到答案。
【解析】
解：由于菜地依靠直角围墙围建，总长5米的篱笆仅对应矩形两条不靠墙的相邻边的长度和。
已知矩形的一条边长为x米，则矩形的另一条边长为(5-x)米。
根据矩形面积公式：面积=长×宽，已知菜地面积为6平方米，代入得：
$x(5-x)=6$
与选项对比，可知应选C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用中的面积问题，解题的核心是准确判断篱笆对应的是矩形的两条边，避免误将篱笆总长当做矩形周长计算，只要正确表示出矩形的两条边长，结合面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确图形特征：矩形依托直角围墙修建，因此篱笆仅需要围矩形相邻的两条边，不需要围靠墙的两条边。解题思路为：先根据篱笆总长和已知的一条边长x，表示出矩形的另一条边长，再结合矩形面积=长×宽的等量关系，代入面积数值即可列出对应方程，最后匹配选项得到答案。
【解析】
解：由于菜地依靠直角围墙围建，总长5米的篱笆仅对应矩形两条不靠墙的相邻边的长度和。
已知矩形的一条边长为x米，则矩形的另一条边长为(5-x)米。
根据矩形面积公式：面积=长×宽，已知菜地面积为6平方米，代入得：
$x(5-x)=6$
与选项对比，可知应选C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用中的面积问题，解题的核心是准确判断篱笆对应的是矩形的两条边，避免误将篱笆总长当做矩形周长计算，只要正确表示出矩形的两条边长，结合面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.(2025·南京模拟)在京沪高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车,突然发现前面有情况,紧急刹车后又滑行30米才停车.刹车后汽车滑行10米时用了（
A.$\frac{2}{3}$秒
B.$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$秒
C.$\frac{6-\sqrt{30}}{3}$秒
D.$\frac{6-2\sqrt{6}}{3}$秒
D
）A.$\frac{2}{3}$秒
B.$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$秒
C.$\frac{6-\sqrt{30}}{3}$秒
D.$\frac{6-2\sqrt{6}}{3}$秒
答案
D
解析
【分析】
解题时首先统一速度单位，再结合匀减速运动的平均速度特点求出刹车总时长，得到滑行距离与刹车时间的二次函数关系，代入滑行10米的条件列一元二次方程求解，最后结合刹车总时长舍去不符合实际的解即可。
【解析】
1. 单位换算：$108\mathrm{km/h}=108×\frac{1000\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}=30\mathrm{m/s}$，即刹车前汽车的初速度为$30\mathrm{m/s}$。
2. 求刹车总时间：汽车紧急刹车后做匀减速运动直到静止，全程平均速度$\overline{v}=\frac{\mathrm{初速度}+\mathrm{末速度}}{2}=\frac{30+0}{2}=15\mathrm{m/s}$，已知总滑行距离为$30\mathrm{m}$，则总刹车时间$t_{\mathrm{总}}=\frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{平均速度}}=\frac{30}{15}=2\mathrm{s}$，即汽车最多滑行2秒就会停止。
3. 列位移方程：设刹车后滑行$t$秒的距离为$s$，$t$时刻汽车的速度为$30 - 15t$（每秒减速$15\mathrm{m/s}$），则$t$时间内的平均速度为$\frac{30+(30-15t)}{2}=30-\frac{15}{2}t$，因此位移公式为：
$s=(30-\frac{15}{2}t)t$
4. 代入$s=10\mathrm{m}$列方程求解：
$10=30t-\frac{15}{2}t^2$
两边同乘2整理得：$3t^2-12t+4=0$
用一元二次方程求根公式$t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$a=3,b=-12,c=4$，代入得：
$t=\frac{12\pm\sqrt{144-48}}{6}=\frac{12\pm4\sqrt{6}}{6}=\frac{6\pm2\sqrt{6}}{3}$
5. 舍去不合理的解：
因为总刹车时间仅为2s，$t_1=\frac{6+2\sqrt{6}}{3}\approx3.6\mathrm{s}＞2\mathrm{s}$，不符合实际，舍去，因此$t=\frac{6-2\sqrt{6}}{3}\mathrm{s}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用，单位换算，匀变速运动规律
【点评】
本题结合实际运动场景考查一元二次方程的应用，解题关键是要结合物理实际对方程的解进行取舍，避免得到不符合运动过程的错误结果。
【难度系数】
0.6
解题时首先统一速度单位，再结合匀减速运动的平均速度特点求出刹车总时长，得到滑行距离与刹车时间的二次函数关系，代入滑行10米的条件列一元二次方程求解，最后结合刹车总时长舍去不符合实际的解即可。
【解析】
1. 单位换算：$108\mathrm{km/h}=108×\frac{1000\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}=30\mathrm{m/s}$，即刹车前汽车的初速度为$30\mathrm{m/s}$。
2. 求刹车总时间：汽车紧急刹车后做匀减速运动直到静止，全程平均速度$\overline{v}=\frac{\mathrm{初速度}+\mathrm{末速度}}{2}=\frac{30+0}{2}=15\mathrm{m/s}$，已知总滑行距离为$30\mathrm{m}$，则总刹车时间$t_{\mathrm{总}}=\frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{平均速度}}=\frac{30}{15}=2\mathrm{s}$，即汽车最多滑行2秒就会停止。
3. 列位移方程：设刹车后滑行$t$秒的距离为$s$，$t$时刻汽车的速度为$30 - 15t$（每秒减速$15\mathrm{m/s}$），则$t$时间内的平均速度为$\frac{30+(30-15t)}{2}=30-\frac{15}{2}t$，因此位移公式为：
$s=(30-\frac{15}{2}t)t$
4. 代入$s=10\mathrm{m}$列方程求解：
$10=30t-\frac{15}{2}t^2$
两边同乘2整理得：$3t^2-12t+4=0$
用一元二次方程求根公式$t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$a=3,b=-12,c=4$，代入得：
$t=\frac{12\pm\sqrt{144-48}}{6}=\frac{12\pm4\sqrt{6}}{6}=\frac{6\pm2\sqrt{6}}{3}$
5. 舍去不合理的解：
因为总刹车时间仅为2s，$t_1=\frac{6+2\sqrt{6}}{3}\approx3.6\mathrm{s}＞2\mathrm{s}$，不符合实际，舍去，因此$t=\frac{6-2\sqrt{6}}{3}\mathrm{s}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用，单位换算，匀变速运动规律
【点评】
本题结合实际运动场景考查一元二次方程的应用，解题关键是要结合物理实际对方程的解进行取舍，避免得到不符合运动过程的错误结果。
【难度系数】
0.6
4.(2025·宿迁沭阳县期末)某种药品原售价为16元，经过连续两次降价后售价为9元，则平均每次降价的百分率为
25%
。答案
25%
解析
【分析】
这是平均下降率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先设平均每次降价的百分率为未知数x，明确降价的计算规则：以原价为基础，每次降价后价格为原价乘以(1-降价百分率)，连续两次降价后的价格就是原价乘以$(1-x)$的平方，再根据题目给出的原价和两次降价后的售价列方程求解，最后结合实际意义，降价百分率必须在0到1之间，舍去不符合要求的根即可得到答案。
【解析】
设平均每次降价的百分率为$ x $。
根据连续两次降价后的售价计算规则，可列方程：
$ 16(1-x)^2 = 9 $
方程两边同时除以16，得：
$ (1-x)^2 = \frac{9}{16} $
开平方得：
$ 1-x = \pm \frac{3}{4} $
分情况求解：
当$ 1-x = \frac{3}{4} $时，解得$ x = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} = 25\% $；
当$ 1-x = -\frac{3}{4} $时，解得$ x = 1 + \frac{3}{4} = 175\% $，不符合降价百分率小于1的实际意义，舍去。
【答案】
25%
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率的基础典型题，解题关键是牢记连续两次变化后量的计算公式，求解方程后一定要结合实际情境验证根的合理性，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
这是平均下降率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先设平均每次降价的百分率为未知数x，明确降价的计算规则：以原价为基础，每次降价后价格为原价乘以(1-降价百分率)，连续两次降价后的价格就是原价乘以$(1-x)$的平方，再根据题目给出的原价和两次降价后的售价列方程求解，最后结合实际意义，降价百分率必须在0到1之间，舍去不符合要求的根即可得到答案。
【解析】
设平均每次降价的百分率为$ x $。
根据连续两次降价后的售价计算规则，可列方程：
$ 16(1-x)^2 = 9 $
方程两边同时除以16，得：
$ (1-x)^2 = \frac{9}{16} $
开平方得：
$ 1-x = \pm \frac{3}{4} $
分情况求解：
当$ 1-x = \frac{3}{4} $时，解得$ x = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} = 25\% $；
当$ 1-x = -\frac{3}{4} $时，解得$ x = 1 + \frac{3}{4} = 175\% $，不符合降价百分率小于1的实际意义，舍去。
【答案】
25%
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率的基础典型题，解题关键是牢记连续两次变化后量的计算公式，求解方程后一定要结合实际情境验证根的合理性，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
5. 跨学科根据物理学规律，如果把一物体从地面以7 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度(单位:m)约为$7x - 4.9x^2$. 根据上述规律，则物体经过
$\frac{10}{7}$
s落回地面.答案
$\frac{10}{7}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确“物体落回地面”的数学含义：此时物体离地面的高度为0。我们只需要令高度的表达式等于0，得到关于x的一元二次方程，再求解方程，最后结合实际意义舍去不符合要求的解，就能得到正确答案。
【解析】
当物体落回地面时，它离地面的高度为0，因此可列方程：
$7x - 4.9x^2 = 0$
对等式左边因式分解得：
$x(7 - 4.9x) = 0$
由此可得两个解：
$x=0$ 或 $7 - 4.9x = 0$
其中$x=0$表示物体刚被抛出的时刻，不符合“落回地面”的题意，舍去。
解$7 - 4.9x = 0$：
$4.9x = 7$
$x = \frac{7}{4.9} = \frac{70}{49} = \frac{10}{7}$
【答案】
$\frac{10}{7}$
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题结合物理上的竖直上抛运动情境，考查方程在实际问题中的应用，解题的关键是抓住“落回地面时高度为0”这一核心条件列方程，同时要注意结合实际情境舍去无意义的解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确“物体落回地面”的数学含义：此时物体离地面的高度为0。我们只需要令高度的表达式等于0，得到关于x的一元二次方程，再求解方程，最后结合实际意义舍去不符合要求的解，就能得到正确答案。
【解析】
当物体落回地面时，它离地面的高度为0，因此可列方程：
$7x - 4.9x^2 = 0$
对等式左边因式分解得：
$x(7 - 4.9x) = 0$
由此可得两个解：
$x=0$ 或 $7 - 4.9x = 0$
其中$x=0$表示物体刚被抛出的时刻，不符合“落回地面”的题意，舍去。
解$7 - 4.9x = 0$：
$4.9x = 7$
$x = \frac{7}{4.9} = \frac{70}{49} = \frac{10}{7}$
【答案】
$\frac{10}{7}$
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题结合物理上的竖直上抛运动情境，考查方程在实际问题中的应用，解题的关键是抓住“落回地面时高度为0”这一核心条件列方程，同时要注意结合实际情境舍去无意义的解。
【难度系数】
0.7
6. 操作与实践（2025·山东）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图。若正方形硬纸板的边长为12 cm，则折成立方体的棱长为
$\frac{12}{5}\sqrt{2}$
cm.答案
$\frac{12}{5}\sqrt{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确折成的立方体的棱长就是展开图中每个小正方形的边长。观察图形可知，原大正方形的边由若干个完全相同的等腰直角三角形的直角边拼接而成，而这些等腰直角三角形的斜边恰好等于立方体的棱长。我们可以先设出立方体的棱长，利用等腰直角三角形斜边和直角边的关系，结合大正方形边长为12cm列方程求解即可。
【解析】
设折成立方体的棱长为$a$ cm。
观察图形可得：原正方形硬纸板的边长由5个全等的等腰直角三角形的直角边组成，且这些等腰直角三角形的斜边长度等于立方体的棱长$a$。
根据等腰直角三角形的性质（勾股定理），斜边长为$a$时，直角边长为$\frac{a}{\sqrt{2}}$。
已知原正方形硬纸板边长为12 cm，因此列方程：
$5×\frac{a}{\sqrt{2}}=12$
解得：
$a=\frac{12\sqrt{2}}{5}$
【答案】
$\frac{12}{5}\sqrt{2}$
【知识点】
正方体表面展开图；等腰直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题将立体图形的展开图与平面几何计算结合，解题的核心是通过观察图形梳理出原大正方形边长和立方体棱长之间的数量关系，对学生的空间想象能力和图形观察分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需明确折成的立方体的棱长就是展开图中每个小正方形的边长。观察图形可知，原大正方形的边由若干个完全相同的等腰直角三角形的直角边拼接而成，而这些等腰直角三角形的斜边恰好等于立方体的棱长。我们可以先设出立方体的棱长，利用等腰直角三角形斜边和直角边的关系，结合大正方形边长为12cm列方程求解即可。
【解析】
设折成立方体的棱长为$a$ cm。
观察图形可得：原正方形硬纸板的边长由5个全等的等腰直角三角形的直角边组成，且这些等腰直角三角形的斜边长度等于立方体的棱长$a$。
根据等腰直角三角形的性质（勾股定理），斜边长为$a$时，直角边长为$\frac{a}{\sqrt{2}}$。
已知原正方形硬纸板边长为12 cm，因此列方程：
$5×\frac{a}{\sqrt{2}}=12$
解得：
$a=\frac{12\sqrt{2}}{5}$
【答案】
$\frac{12}{5}\sqrt{2}$
【知识点】
正方体表面展开图；等腰直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题将立体图形的展开图与平面几何计算结合，解题的核心是通过观察图形梳理出原大正方形边长和立方体棱长之间的数量关系，对学生的空间想象能力和图形观察分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
7.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,连接EF.若BE=2,DF=3,EF=5,则正方形ABCD的边长为
6
.答案
6
解析
【分析】
要求正方形ABCD的边长，我们可以先设边长为未知数x，利用正方形四条边相等、四个角均为直角的性质，分别表示出Rt△ECF的两条直角边EC、FC的长度，再结合勾股定理列出关于x的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到边长。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$ x $。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $ BC=CD=x $，$ ∠ C=90° $。
∵ $ BE=2 $，$ DF=3 $，
∴ $ EC=BC-BE=x-2 $，$ FC=CD-DF=x-3 $。
在$ \mathrm{Rt}△ ECF $中，根据勾股定理：$ EC^2 + FC^2 = EF^2 $，
已知$ EF=5 $，代入得：
$(x-2)^2 + (x-3)^2 = 5^2$
展开并整理方程：
$x^2 -4x +4 + x^2 -6x +9 = 25$
$2x^2 -10x -12 = 0$
化简得：
$x^2 -5x -6 = 0$
因式分解得：
$(x-6)(x+1)=0$
解得$ x_1=6 $，$ x_2=-1 $。
∵ 正方形边长为正数，
∴ 舍去$ x=-1 $。
【答案】
6
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是通过设未知数，结合正方形性质找到直角三角形的边长关系，利用勾股定理建立方程求解，注意最终结果要符合实际几何意义。
【难度系数】
0.7
要求正方形ABCD的边长，我们可以先设边长为未知数x，利用正方形四条边相等、四个角均为直角的性质，分别表示出Rt△ECF的两条直角边EC、FC的长度，再结合勾股定理列出关于x的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到边长。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$ x $。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $ BC=CD=x $，$ ∠ C=90° $。
∵ $ BE=2 $，$ DF=3 $，
∴ $ EC=BC-BE=x-2 $，$ FC=CD-DF=x-3 $。
在$ \mathrm{Rt}△ ECF $中，根据勾股定理：$ EC^2 + FC^2 = EF^2 $，
已知$ EF=5 $，代入得：
$(x-2)^2 + (x-3)^2 = 5^2$
展开并整理方程：
$x^2 -4x +4 + x^2 -6x +9 = 25$
$2x^2 -10x -12 = 0$
化简得：
$x^2 -5x -6 = 0$
因式分解得：
$(x-6)(x+1)=0$
解得$ x_1=6 $，$ x_2=-1 $。
∵ 正方形边长为正数，
∴ 舍去$ x=-1 $。
【答案】
6
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是通过设未知数，结合正方形性质找到直角三角形的边长关系，利用勾股定理建立方程求解，注意最终结果要符合实际几何意义。
【难度系数】
0.7
