登录
三、解答题(共65分)
8.(20分)(2025·宿迁沭阳县一模)公安交警部门提醒市民,骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量,该品牌头盔4月份销售100个,6月份销售144个,且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率;
(2)若此种头盔的进价为30元/个,测算在市场中,当售价为40元/个时,月销售量为600个,若在此基础上售价每上涨1元/个,则月销售量将减少10个,为使月销售利润达到10000元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个?
8.(20分)(2025·宿迁沭阳县一模)公安交警部门提醒市民,骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量,该品牌头盔4月份销售100个,6月份销售144个,且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率;
(2)若此种头盔的进价为30元/个,测算在市场中,当售价为40元/个时,月销售量为600个,若在此基础上售价每上涨1元/个,则月销售量将减少10个,为使月销售利润达到10000元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个?
答案
解:(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x,根据题意,得 $100(1+x)^2=144$,
解得 $x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不合题意,舍去),
答:该品牌头盔销售量的月增长率为20%.
(2)设该品牌头盔的实际售价应定为$(40+y)$元/个,则月销售量为$(600-10y)$个,根据题意,得$(y+10)(600-10y)=10000$,整理,
得 $y^2-50y+400=0$,解得 $y_1=10$,$y_2=40$.
∵尽可能让顾客得到实惠,
∴$y_1=10$符合题意,此时 $40+y=50$.
答:该品牌头盔的实际售价应定为50元/个.
解得 $x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不合题意,舍去),
答:该品牌头盔销售量的月增长率为20%.
(2)设该品牌头盔的实际售价应定为$(40+y)$元/个,则月销售量为$(600-10y)$个,根据题意,得$(y+10)(600-10y)=10000$,整理,
得 $y^2-50y+400=0$,解得 $y_1=10$,$y_2=40$.
∵尽可能让顾客得到实惠,
∴$y_1=10$符合题意,此时 $40+y=50$.
答:该品牌头盔的实际售价应定为50元/个.
解析
【分析】
（1）本题属于增长率类应用题，核心等量关系为：初始量×(1+月增长率)ⁿ=增长n个月后的量。本题中4月份销量为初始量100个，到6月份经过2个月增长后销量为144个，设月增长率为x，代入等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负解即可得到结果。
（2）本题属于销售利润类应用题，核心等量关系为：总利润=单个商品利润×销售量。设售价在40元基础上上涨y元，则单个利润为(40+y-30)元，月销售量为(600-10y)个，代入总利润10000元列方程，求解后结合“尽可能让顾客得到实惠”的要求，选择涨幅更小的解即可得到最终售价。
【解析】
(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意得：
$100(1+x)^2=144$
解得 $x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%。
(2)设该品牌头盔的售价在40元/个的基础上涨了y元，即实际售价为$(40+y)$元/个，则月销售量为$(600-10y)$个，单个头盔的利润为$(40+y-30)=(y+10)$元。
根据月销售利润达到10000元，列方程得：
$(y+10)(600-10y)=10000$
整理得：$y^2-50y+400=0$
解得 $y_1=10$，$y_2=40$
∵要尽可能让顾客得到实惠，即售价应尽可能低，
∴选择较小的y值，即$y=10$
此时实际售价为$40+10=50$（元/个）
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个。
【答案】
(1) 20%；(2) 50元/个
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题结合生活实际场景考查方程的实际应用，解题关键是找准等量关系列方程，同时要注意结合实际要求对求出的解进行取舍，避免出现不符合现实情况的结果。
【难度系数】
0.75
（1）本题属于增长率类应用题，核心等量关系为：初始量×(1+月增长率)ⁿ=增长n个月后的量。本题中4月份销量为初始量100个，到6月份经过2个月增长后销量为144个，设月增长率为x，代入等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负解即可得到结果。
（2）本题属于销售利润类应用题，核心等量关系为：总利润=单个商品利润×销售量。设售价在40元基础上上涨y元，则单个利润为(40+y-30)元，月销售量为(600-10y)个，代入总利润10000元列方程，求解后结合“尽可能让顾客得到实惠”的要求，选择涨幅更小的解即可得到最终售价。
【解析】
(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意得：
$100(1+x)^2=144$
解得 $x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%。
(2)设该品牌头盔的售价在40元/个的基础上涨了y元，即实际售价为$(40+y)$元/个，则月销售量为$(600-10y)$个，单个头盔的利润为$(40+y-30)=(y+10)$元。
根据月销售利润达到10000元，列方程得：
$(y+10)(600-10y)=10000$
整理得：$y^2-50y+400=0$
解得 $y_1=10$，$y_2=40$
∵要尽可能让顾客得到实惠，即售价应尽可能低，
∴选择较小的y值，即$y=10$
此时实际售价为$40+10=50$（元/个）
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个。
【答案】
(1) 20%；(2) 50元/个
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题结合生活实际场景考查方程的实际应用，解题关键是找准等量关系列方程，同时要注意结合实际要求对求出的解进行取舍，避免出现不符合现实情况的结果。
【难度系数】
0.75
9.(22分)(宿迁期末)某宾馆有200间客房供游客居住,当每间客房的定价为每天180元时,客房恰好全部住满;如果每间客房每天的定价每增加10元,就会空出4间客房.
(1)当某天客房全部住满时,这天客房收入为
(2)设每间客房每天的定价增加m元,则宾馆租出的客房为
(3)如果某天宾馆客房收入为38400元,那么这天每间客房的定价是多少元?
(1)当某天客房全部住满时,这天客房收入为
36000
元;(2)设每间客房每天的定价增加m元,则宾馆租出的客房为
$(200-\frac{2}{5}m)$
间;(用含m的代数式表示)(3)如果某天宾馆客房收入为38400元,那么这天每间客房的定价是多少元?
答案
(1)36000
(2)$(200-\frac{2}{5}m)$
(3)解:设这天每间客房的定价增加x元,则当天租出了$(200-\frac{2}{5}x)$间客房.
根据题意,得$(180+x)(200-\frac{2}{5}x)=38400$,
整理,得$x^2-320x+6000=0$,解得$x=20$或$x=300$.
当$x=20$时,$180+x=200$.当$x=300$时,$180+x=480$.
答:这天每间客房的定价是200元或480元.
(2)$(200-\frac{2}{5}m)$
(3)解:设这天每间客房的定价增加x元,则当天租出了$(200-\frac{2}{5}x)$间客房.
根据题意,得$(180+x)(200-\frac{2}{5}x)=38400$,
整理,得$x^2-320x+6000=0$,解得$x=20$或$x=300$.
当$x=20$时,$180+x=200$.当$x=300$时,$180+x=480$.
答:这天每间客房的定价是200元或480元.
解析
【分析】
(1) 客房全部住满时，总收入=每间客房定价×住满的客房总数，直接代入对应数值计算即可。
(2) 先计算定价增加m元时空出的客房数量：每增加10元空出4间，可得每增加1元空出$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$间，增加m元共空出$\frac{2}{5}m$间，租出的客房数=总客房数-空出的客房数，代入即可得到对应代数式。
(3) 设每间客房定价增加x元，先表示出当天的实际定价和租出的客房数量，根据“总收入=每间定价×租出房间数”的等量关系列一元二次方程，求解后计算对应的实际定价，再验证解是否符合实际情况即可。
【解析】
(1) 全部住满时的收入为：$180×200=36000$（元）。
(2) 定价增加m元时，空出的客房数为$\frac{m}{10}×4=\frac{2}{5}m$间，因此租出的客房为$(200-\frac{2}{5}m)$间。
(3) 解：设这天每间客房的定价增加x元，则当天租出了$(200-\frac{2}{5}x)$间客房。
根据题意列方程：$(180+x)(200-\frac{2}{5}x)=38400$
整理得：$x^2-320x+6000=0$
解得：$x=20$或$x=300$
当$x=20$时，每间定价为$180+20=200$（元）；
当$x=300$时，每间定价为$180+300=480$（元）。
两个解均符合实际租房规则，均有效。
【答案】
(1) $\boxed{36000}$
(2) $\boxed{(200-\dfrac{2}{5}m)}$
(3) 这天每间客房的定价是$\boxed{200}$元或$\boxed{480}$元
【知识点】
列代数式，一元二次方程应用，销售收入计算
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，前两问难度较低，考察基础的数量关系梳理和代数式书写能力；第三问需要准确找到等量关系列方程，求解后注意验证解是否符合实际场景，避免漏解或者错舍合理的解。
【难度系数】
0.7
(1) 客房全部住满时，总收入=每间客房定价×住满的客房总数，直接代入对应数值计算即可。
(2) 先计算定价增加m元时空出的客房数量：每增加10元空出4间，可得每增加1元空出$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$间，增加m元共空出$\frac{2}{5}m$间，租出的客房数=总客房数-空出的客房数，代入即可得到对应代数式。
(3) 设每间客房定价增加x元，先表示出当天的实际定价和租出的客房数量，根据“总收入=每间定价×租出房间数”的等量关系列一元二次方程，求解后计算对应的实际定价，再验证解是否符合实际情况即可。
【解析】
(1) 全部住满时的收入为：$180×200=36000$（元）。
(2) 定价增加m元时，空出的客房数为$\frac{m}{10}×4=\frac{2}{5}m$间，因此租出的客房为$(200-\frac{2}{5}m)$间。
(3) 解：设这天每间客房的定价增加x元，则当天租出了$(200-\frac{2}{5}x)$间客房。
根据题意列方程：$(180+x)(200-\frac{2}{5}x)=38400$
整理得：$x^2-320x+6000=0$
解得：$x=20$或$x=300$
当$x=20$时，每间定价为$180+20=200$（元）；
当$x=300$时，每间定价为$180+300=480$（元）。
两个解均符合实际租房规则，均有效。
【答案】
(1) $\boxed{36000}$
(2) $\boxed{(200-\dfrac{2}{5}m)}$
(3) 这天每间客房的定价是$\boxed{200}$元或$\boxed{480}$元
【知识点】
列代数式，一元二次方程应用，销售收入计算
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，前两问难度较低，考察基础的数量关系梳理和代数式书写能力；第三问需要准确找到等量关系列方程，求解后注意验证解是否符合实际场景，避免漏解或者错舍合理的解。
【难度系数】
0.7
10.(23分)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=8\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,动点$D$从点$A$出发,以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$运动.同时动点$E$从点$C$出发,以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$运动,设它们的运动时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)根据题意知$CE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$,$CD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.(用含$t$的代数式表示)
(2)当$t$为何值时,$△ CDE$的面积等于四边形$ABED$的面积的$\frac{1}{3}$?
(3)$DE$的长可以是$4\ \mathrm{cm}$吗?如果可以,请求出$t$的值;如果不可以,请说明理由.
(1)根据题意知$CE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$,$CD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.(用含$t$的代数式表示)
(2)当$t$为何值时,$△ CDE$的面积等于四边形$ABED$的面积的$\frac{1}{3}$?
(3)$DE$的长可以是$4\ \mathrm{cm}$吗?如果可以,请求出$t$的值;如果不可以,请说明理由.
答案
(1)$3t$ $(8-4t)$
(2)解:当$△ CDE$的面积等于四边形$ABED$的面积的$\frac{1}{3}$时,$△ CDE$的面积等于$△ ABC$的面积的$\frac{1}{4}$,
根据题意,得$\frac{1}{2}× 3t(8-4t)=\frac{1}{4}× \frac{1}{2}× 8× 6$,
整理,得$t^2-2t+1=0$,解得$t_1=t_2=1$,
∴当$t$的值为1时,$△ CDE$的面积等于四边形$ABED$的面积的$\frac{1}{3}$.
(3)解:不可以,理由如下:
若可以,则由勾股定理,得$(3t)^2+(8-4t)^2=4^2$,
整理,得$25t^2-64t+48=0$,
∵$b^2-4ac=(-64)^2-4× 25× 48=-704＜0$,
∴该方程没有实数根,
∴$DE$的长不可以是4 cm.
(2)解:当$△ CDE$的面积等于四边形$ABED$的面积的$\frac{1}{3}$时,$△ CDE$的面积等于$△ ABC$的面积的$\frac{1}{4}$,
根据题意,得$\frac{1}{2}× 3t(8-4t)=\frac{1}{4}× \frac{1}{2}× 8× 6$,
整理,得$t^2-2t+1=0$,解得$t_1=t_2=1$,
∴当$t$的值为1时,$△ CDE$的面积等于四边形$ABED$的面积的$\frac{1}{3}$.
(3)解:不可以,理由如下:
若可以,则由勾股定理,得$(3t)^2+(8-4t)^2=4^2$,
整理,得$25t^2-64t+48=0$,
∵$b^2-4ac=(-64)^2-4× 25× 48=-704＜0$,
∴该方程没有实数根,
∴$DE$的长不可以是4 cm.
解析
【分析】
(1) 根据“路程=速度×时间”可直接得出CE的长度；CD的长度为AC的总长减去点D运动的路程AD，代入对应数值即可得到含t的代数式。
(2) 由△CDE的面积是四边形ABED面积的$\frac{1}{3}$，可推出△CDE的面积是△ABC总面积的$\frac{1}{4}$，先计算△ABC的面积，再根据直角三角形面积公式列出关于t的一元二次方程，求解即可。
(3) △CDE是直角三角形，∠C=90°，若DE=4cm，可根据勾股定理列出关于t的一元二次方程，通过计算方程的判别式判断方程是否有实数根，即可判断DE能否取4cm。
【解析】
(1) 动点E的运动速度为3cm/s，运动时间为t s，因此$CE=3t\ \mathrm{cm}$；动点D的运动速度为4cm/s，t s运动的路程$AD=4t\ \mathrm{cm}$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，因此$CD=AC-AD=(8-4t)\ \mathrm{cm}$。
(2) 当△CDE的面积等于四边形ABED面积的$\frac{1}{3}$时，△CDE的面积是△ABC面积的$\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$。
先计算△ABC的面积：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×8×6=24\ \mathrm{cm^2}$，因此$S_{△CDE}=\frac{1}{4}×24=6\ \mathrm{cm^2}$。
根据直角三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}×3t×(8-4t)=6$
整理得$t^2-2t+1=0$，解得$t_1=t_2=1$，符合运动时间的取值范围（$0≤ t≤2$）。
(3) DE的长不可以是4cm，理由如下：
若$DE=4\ \mathrm{cm}$，在Rt△CDE中由勾股定理得：
$(3t)^2+(8-4t)^2=4^2$
整理得$25t^2-64t+48=0$
计算判别式：$\Delta=(-64)^2-4×25×48=-704＜0$
因此该方程没有实数根，不存在符合条件的t值，所以DE的长不可以是4cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3t}$；$\boldsymbol{8-4t}$
(2) $\boldsymbol{t=1}$
(3) $\boldsymbol{不可以}$，理由见解析
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；勾股定理
【点评】
本题是典型的动点几何与代数结合的题型，考查了转化思想和方程思想，需要将动态的运动过程转化为静态的代数关系求解，解题时要注意结合几何性质列方程，同时要通过一元二次方程根的判别式判断解是否存在。
【难度系数】
0.7
(1) 根据“路程=速度×时间”可直接得出CE的长度；CD的长度为AC的总长减去点D运动的路程AD，代入对应数值即可得到含t的代数式。
(2) 由△CDE的面积是四边形ABED面积的$\frac{1}{3}$，可推出△CDE的面积是△ABC总面积的$\frac{1}{4}$，先计算△ABC的面积，再根据直角三角形面积公式列出关于t的一元二次方程，求解即可。
(3) △CDE是直角三角形，∠C=90°，若DE=4cm，可根据勾股定理列出关于t的一元二次方程，通过计算方程的判别式判断方程是否有实数根，即可判断DE能否取4cm。
【解析】
(1) 动点E的运动速度为3cm/s，运动时间为t s，因此$CE=3t\ \mathrm{cm}$；动点D的运动速度为4cm/s，t s运动的路程$AD=4t\ \mathrm{cm}$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，因此$CD=AC-AD=(8-4t)\ \mathrm{cm}$。
(2) 当△CDE的面积等于四边形ABED面积的$\frac{1}{3}$时，△CDE的面积是△ABC面积的$\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$。
先计算△ABC的面积：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×8×6=24\ \mathrm{cm^2}$，因此$S_{△CDE}=\frac{1}{4}×24=6\ \mathrm{cm^2}$。
根据直角三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}×3t×(8-4t)=6$
整理得$t^2-2t+1=0$，解得$t_1=t_2=1$，符合运动时间的取值范围（$0≤ t≤2$）。
(3) DE的长不可以是4cm，理由如下：
若$DE=4\ \mathrm{cm}$，在Rt△CDE中由勾股定理得：
$(3t)^2+(8-4t)^2=4^2$
整理得$25t^2-64t+48=0$
计算判别式：$\Delta=(-64)^2-4×25×48=-704＜0$
因此该方程没有实数根，不存在符合条件的t值，所以DE的长不可以是4cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3t}$；$\boldsymbol{8-4t}$
(2) $\boldsymbol{t=1}$
(3) $\boldsymbol{不可以}$，理由见解析
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；勾股定理
【点评】
本题是典型的动点几何与代数结合的题型，考查了转化思想和方程思想，需要将动态的运动过程转化为静态的代数关系求解，解题时要注意结合几何性质列方程，同时要通过一元二次方程根的判别式判断解是否存在。
【难度系数】
0.7
