三、解答题(共65分)
8.(20分)(2025·宿迁沭阳县一模)公安交警部门提醒市民,骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量,该品牌头盔4月份销售100个,6月份销售144个,且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率;
(2)若此种头盔的进价为30元/个,测算在市场中,当售价为40元/个时,月销售量为600个,若在此基础上售价每上涨1元/个,则月销售量将减少10个,为使月销售利润达到10000元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个?

解:(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x,根据题意,得 $100(1+x)^2=144$,
解得 $x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不合题意,舍去),
答:该品牌头盔销售量的月增长率为20%.
(2)设该品牌头盔的实际售价应定为$(40+y)$元/个,则月销售量为$(600-10y)$个,根据题意,得$(y+10)(600-10y)=10000$,整理,
得 $y^2-50y+400=0$,解得 $y_1=10$,$y_2=40$.
∵尽可能让顾客得到实惠,
∴$y_1=10$符合题意,此时 $40+y=50$.
答:该品牌头盔的实际售价应定为50元/个.

9.(22分)(宿迁期末)某宾馆有200间客房供游客居住,当每间客房的定价为每天180元时,客房恰好全部住满;如果每间客房每天的定价每增加10元,就会空出4间客房.
(1)当某天客房全部住满时,这天客房收入为元;
(2)设每间客房每天的定价增加m元,则宾馆租出的客房为间;(用含m的代数式表示)
(3)如果某天宾馆客房收入为38400元,那么这天每间客房的定价是多少元?

(1)36000
(2)$(200-\frac{2}{5}m)$
(3)解:设这天每间客房的定价增加x元,则当天租出了$(200-\frac{2}{5}x)$间客房.
根据题意,得$(180+x)(200-\frac{2}{5}x)=38400$,
整理,得$x^2-320x+6000=0$,解得$x=20$或$x=300$.
当$x=20$时,$180+x=200$.当$x=300$时,$180+x=480$.
答:这天每间客房的定价是200元或480元.

10.(23分)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=8\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,动点$D$从点$A$出发,以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$运动.同时动点$E$从点$C$出发,以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$运动,设它们的运动时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)根据题意知$CE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$,$CD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.(用含$t$的代数式表示)
(2)当$t$为何值时,$△ CDE$的面积等于四边形$ABED$的面积的$\frac{1}{3}$?
(3)$DE$的长可以是$4\ \mathrm{cm}$吗?如果可以,请求出$t$的值;如果不可以,请说明理由.

(1)$3t$ $(8-4t)$
(2)解:当$△ CDE$的面积等于四边形$ABED$的面积的$\frac{1}{3}$时,$△ CDE$的面积等于$△ ABC$的面积的$\frac{1}{4}$,
根据题意,得$\frac{1}{2}× 3t(8-4t)=\frac{1}{4}× \frac{1}{2}× 8× 6$,
整理,得$t^2-2t+1=0$,解得$t_1=t_2=1$,
∴当$t$的值为1时,$△ CDE$的面积等于四边形$ABED$的面积的$\frac{1}{3}$.
(3)解:不可以,理由如下:
若可以,则由勾股定理,得$(3t)^2+(8-4t)^2=4^2$,
整理,得$25t^2-64t+48=0$,
∵$b^2-4ac=(-64)^2-4× 25× 48=-704＜0$,
∴该方程没有实数根,
∴$DE$的长不可以是4 cm.