1. (2025·甘肃期中)某中学在科技实验活动中,设计制作了“水火箭”升空实验,已知“水火箭”的升空高度$h$(单位:$\mathrm{m}$)与飞行时间$t$(单位:$\mathrm{s}$)满足函数表达式$h=at^2+bt+1$,"水火箭"飞行$3\ \mathrm{s}$和飞行$9\ \mathrm{s}$时的升空高度相同,飞行$8\ \mathrm{s}$时的升空高度为$33\ \mathrm{m}$,则"水火箭"升空的最大高度为 $\mathrm{m}$.

1. 37

【分析】
这是二次函数在实际运动问题中的应用，解题思路如下：第一步，根据“飞行3s和9s时升空高度相同”的条件，利用二次函数的对称性可直接求出对称轴；第二步，结合二次函数对称轴公式得到a与b的关系，再将t=8、h=33代入函数表达式，联立求出a、b的值，得到完整的函数解析式；第三步，由于二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点纵坐标就是升空的最大高度，将对称轴对应的t值代入解析式计算即可。
【解析】
解：
∵“水火箭”飞行3s和9s时的升空高度相同，
∴二次函数$h=at^2+bt+1$的对称轴为直线$t=\frac{3+9}{2}=6$。
根据二次函数对称轴公式$t=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=6$，即$b=-12a$ ①。
将$t=8$，$h=33$代入$h=at^2+bt+1$，得：
$64a+8b+1=33$，
化简得$8a+b=4$ ②。
把①代入②，得$8a-12a=4$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入①，得$b=-12×(-1)=12$。
∴函数表达式为$h=-t^2+12t+1$。
∵$a=-1＜0$，抛物线开口向下，顶点处$h$取得最大值，
当$t=6$时，$h$的最大值为：$-6^2+12×6+1=-36+72+1=37(\mathrm{m})$。
【答案】
37
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合科技实验场景考查二次函数的相关知识，解题的核心是利用二次函数的对称性快速定位对称轴，简化计算过程，再通过二次函数的最值性质得到最终结果，能很好地检验学生对二次函数基础知识的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7

2. 项目式学习【项目主题】自动旋转式喷泉景观
【项目背景】学习完二次函数的相关知识后，某校九年级数学创新小组开展项目式学习，深入探究喷泉设计与二次函数的密切关系.
【项目素材】某公园要在小广场上建造一个喷泉景观，在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子OA，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图①所示.为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米.

任务一 模型构建：
(1)以点O为原点建立如图②所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的垂直高度为y米，求出在第一象限内的抛物线表达式(不要求写出自变量的取值范围)；
任务二 模型分析：
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距离为d米，求d的取值范围；
任务三 问题解决：
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B，C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图③所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线表达式为$y=-x+4$，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离.
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2. (1)由题意可得第一象限内抛物线的顶点坐标为(1,2.25),
∴设第一象限内抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2+2.25$,
∵抛物线经过点A(0,1.25),
∴$1.25=a(0-1)^2+2.25$,解得$a=-1$,
∴第一象限内抛物线的表达式为$y=-(x-1)^2+2.25$.
(2)令$y=1.76$,则有$1.76=-(x-1)^2+2.25$,解得$x_1=0.3,x_2=1.7$,
∵$a=-1＜0$,
∴抛物线的开口向下,
∴$0.3＜x＜1.7$时,$y＞1.76$,
∴$d$的取值范围为$0.3＜d＜1.7$.
(3)如图,作$BP$的平行线$DE$,与抛物线相切于点$D$,交$x$轴于点$E$,过点$E$作$EG⊥ BP$于点$G$,则$∠ EGB=90°$,
∴可设直线$DE$的表达式为$y=-x+b$,
∴$\begin{cases} y=-(x-1)^2+2.25,\\ y=-x+b, \end{cases}$$-x+b=-(x-1)^2+2.25$,整理得$x^2-3x+b-1.25=0$.
∵$DE$与抛物线相切,
∴一元二次方程$x^2-3x+b-1.25=0$有两个相等的实数根,
∴$(-3)^2-4×1×(b-1.25)=0$,解得$b=3.5$,
∴直线$DE$的表达式为$y=-x+3.5$,
令$y=0$,则$-x+3.5=0$,解得$x=3.5$,
∴点$E$的坐标为$(3.5,0)$.
∵点$B$的坐标为$(4,0)$,
∴$BE=4-3.5=0.5$.
∵射灯射出的光线与地面成$45°$角,
∴$∠ EBG = 45°$,
∴$∠ BEG = 90° - ∠ EBG = 90° - 45° = 45°$,
∴$∠ EBG= ∠ BEG$,
∴$EG=BG$,
∴$BE = \sqrt{EG^2+BG^2} = \sqrt{EG^2+EG^2} = \sqrt{2}EG$,
∴$EG=\frac{BE}{\sqrt{2}}=\frac{0.5}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$,
∴光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为$\frac{\sqrt{2}}{4}$米.

【分析】
(1) 求解第一象限抛物线表达式时，已知抛物线顶点坐标为(1,2.25)，因此选用顶点式设解析式，再将抛物线经过的已知点A(0,1.25)代入，求解参数a即可得到解析式。
(2) 张师傅未被水淋到，说明对应位置的水流高度大于其身高1.76米，即y＞1.76。先求解y=1.76对应的x值，结合抛物线开口向下的性质，即可得到y＞1.76对应的x的范围，也就是d的取值范围。
(3) 光线与抛物线的最小距离，是和光线BP平行且与抛物线相切的直线到BP的距离。先设出与BP平行的直线解析式，和抛物线联立，利用相切时判别式等于0求出直线解析式，再结合光线与地面成45°的条件，利用等腰直角三角形性质求出两平行线的距离，即为最小垂直距离。
【解析】
(1) 由题意可得第一象限内抛物线的顶点坐标为(1,2.25)，
∴设第一象限内抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2+2.25$，
∵抛物线经过点A(0,1.25)，
∴$1.25=a(0-1)^2+2.25$，解得$a=-1$，
∴第一象限内抛物线的表达式为$y=-(x-1)^2+2.25$。
(2) 令$y=1.76$，则有$1.76=-(x-1)^2+2.25$，解得$x_1=0.3,x_2=1.7$，
∵$a=-1＜0$，
∴抛物线的开口向下，
∴$0.3＜x＜1.7$时，$y＞1.76$，
∴$d$的取值范围为$0.3＜d＜1.7$。
(3) 如图，作$BP$的平行线$DE$，与抛物线相切于点$D$，交$x$轴于点$E$，过点$E$作$EG⊥ BP$于点$G$，则$∠ EGB=90°$，
∴可设直线$DE$的表达式为$y=-x+b$，
∴联立$\begin{cases} y=-(x-1)^2+2.25,\\ y=-x+b, \end{cases}$得$-x+b=-(x-1)^2+2.25$，整理得$x^2-3x+b-1.25=0$。
∵$DE$与抛物线相切，
∴一元二次方程$x^2-3x+b-1.25=0$有两个相等的实数根，
∴$Δ=(-3)^2-4×1×(b-1.25)=0$，解得$b=3.5$，
∴直线$DE$的表达式为$y=-x+3.5$，
令$y=0$，则$-x+3.5=0$，解得$x=3.5$，
∴点$E$的坐标为$(3.5,0)$。
∵点$B$的坐标为$(4,0)$，
∴$BE=4-3.5=0.5$。
∵射灯射出的光线与地面成$45°$角，
∴$∠ EBG = 45°$，
∴$∠ BEG = 90° - ∠ EBG = 45°$，
∴$∠ EBG= ∠ BEG$，
∴$EG=BG$，
在$Rt△EBG$中，由勾股定理得$BE = \sqrt{EG^2+BG^2} = \sqrt{2}EG$，
∴$EG=\frac{BE}{\sqrt{2}}=\frac{0.5}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为$\frac{\sqrt{2}}{4}$米。

【答案】
(1) $y=-(x-1)^2+2.25$
(2) $0.3＜d＜1.7$
(3) $\frac{\sqrt{2}}{4}$米

【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数实际应用，函数与几何综合
【点评】
本题以喷泉设计为实际背景，将二次函数、一次函数、几何距离计算结合考查，既需要掌握函数解析式的求解方法，也需要结合实际场景转化数学问题，能够锻炼数学建模能力和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.65