项目式学习（2025·攀枝花中考）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究。先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用。
【设计实验方案】如图所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放。从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t(s)、运动快慢v(cm/s)、运动路程y(cm)的数据。
【收集整理数据】
| 运动时间 t/s | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 运动快慢 v/(cm/s) | 12 | 10 | 8 | 6 | 4 | 2 | … |
| 运动路程 y/cm | 0 | 44 | 80 | 108 | 128 | 140 | … |
【数学建模探究】
【猜想】根据表格中的数据分别在图②、图③的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：v与t之间的关系可以近似地用函数表示，y与t之间的关系可以近似地用函数表示。

【检验】根据猜想求出v与t，y与t之间的函数表达式，并代入一组数据进行验证。
【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以3 cm/s的速度匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么AB最大值是多少？

【猜想】作图如下：


【检验】设 v = kt + m，把(0,12),(4,10)代入，得$\begin{cases}m=12,\\4k+m=10,\end{cases}$解得
$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2},\\m=12,\end{cases}$$\therefore v=-\dfrac{1}{2}t+12$，验证：当t = 20时，$v=-\dfrac{1}{2}×20+12=2$，符合题意。(验证不唯一)
设 $y = at^2 + bt + c$，把点(0,0),(4,44),(8,80)代入，得
$\begin{cases}c=0,\\16a+4b+c=44,\\64a+8b+c=80,\end{cases}$解得$\begin{cases}c=0,\\a=-\dfrac{1}{4},\\b=12,\end{cases}$$\therefore y=-\dfrac{1}{4}t^2+12t$，验证：当t = 20时，
$y=-\dfrac{1}{4}×20^2+12×20=140$，符合题意。(验证不唯一)
【应用】$\because y=-\dfrac{1}{4}t^2+12t$，设AB = d cm，由题意，得$-\dfrac{1}{4}t^2+12t≥ d+3t$，
$\therefore d≤ -\dfrac{1}{4}t^2+9t$，$\therefore$ 当$t=-\dfrac{9}{2×(-\dfrac{1}{4})}=18$时，d最大为$-\dfrac{1}{4}×18^2+9×18=81$，故AB最大为81 cm。

【分析】
1. 猜想环节：观察v随t的变化数据，每间隔4s速度均匀减少2cm/s，对应图象为直线，因此v与t符合一次函数特征；观察y随t的变化数据，相同时间间隔内路程增量逐渐减小，变化不均匀，对应图象为抛物线，因此y与t符合二次函数特征。
2. 检验环节：使用待定系数法，分别选取对应点代入一次函数、二次函数的一般式求解参数，再代入其他组数据验证解析式的正确性。
3. 应用环节：明确追及条件为弹珠运动路程≥AB距离+小车运动路程，据此列不等式将AB的最大值转化为关于t的二次函数的最大值，用二次函数顶点公式求解最值即可。
【解析】
猜想
作图如下：


检验
设v与t的函数解析式为$v = kt + m$，将$(0,12),(4,10)$代入得：
$\begin{cases}m=12,\\4k+m=10,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2},\\m=12,\end{cases}$
因此$v=-\dfrac{1}{2}t+12$，验证：当$t=20$时，$v=-\dfrac{1}{2}×20+12=2$，与表格数据一致，符合题意。
设y与t的函数解析式为$y = at^2 + bt + c$，将$(0,0),(4,44),(8,80)$代入得：
$\begin{cases}c=0,\\16a+4b+c=44,\\64a+8b+c=80,\end{cases}$
解得$\begin{cases}c=0,\\a=-\dfrac{1}{4},\\b=12,\end{cases}$
因此$y=-\dfrac{1}{4}t^2+12t$，验证：当$t=20$时，$y=-\dfrac{1}{4}×20^2+12×20=140$，与表格数据一致，符合题意。
应用
设$AB=d\ \mathrm{cm}$，弹珠追上小车时满足：弹珠路程≥AB距离+小车运动路程，即
$-\dfrac{1}{4}t^2+12t≥ d+3t$
整理得$d≤ -\dfrac{1}{4}t^2+9t$
二次函数$d'=-\dfrac{1}{4}t^2+9t$中$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，存在最大值，当$t=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{9}{2×(-\dfrac{1}{4})}=18$时，$d'_{\mathrm{max}}=-\dfrac{1}{4}×18^2+9×18=81$，即AB的最大值为81 cm。
【答案】
【猜想】作图如下：


【检验】$v=-\dfrac{1}{2}t+12$，$y=-\dfrac{1}{4}t^2+12t$，代入数据验证均符合题意。
【应用】AB最大值是81 cm。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数应用，二次函数应用
【点评】
本题以跨学科的运动实验为载体，将物理运动场景和数学函数知识结合，考查了函数类型判断、解析式求解和最值应用，需要学生建立数学模型解决实际问题，对综合分析能力和知识迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.6