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1. ★★（2026·杭州月考）若抛物线$y=(x+m)^2+m+1$向右平移2个单位长度，所得的抛物线的顶点在第一象限，则$m$的取值范围是（
A.$m＞0$
B.$-1＜m＜2$
C.$m＜-1$
D.$m＞2$
＞＞ 对点专练 P20
B
）A.$m＞0$
B.$-1＜m＜2$
C.$m＜-1$
D.$m＞2$
＞＞ 对点专练 P20
答案
1.B
解析
【分析】
解决这道题可按三步思考：第一步，根据二次函数的顶点式，直接确定原抛物线的顶点坐标；第二步，依据函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律，计算向右平移2个单位后新抛物线的顶点坐标；第三步，结合第一象限内点的横、纵坐标均大于0的特征，列出关于m的不等式组，求解不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
抛物线$y=(x+m)^2+m+1$为顶点式，其原顶点坐标为$(-m, m+1)$。
将抛物线向右平移2个单位长度，顶点横坐标加2、纵坐标不变，因此平移后抛物线的顶点坐标为$(-m+2, m+1)$。
已知平移后的顶点在第一象限，第一象限内点的横、纵坐标均大于0，据此列不等式组：
$\begin{cases}-m+2＞0 \\m+1＞0\end{cases}$
解第一个不等式得：$m＜2$；
解第二个不等式得：$m＞-1$；
因此m的取值范围为$-1＜m＜2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移；点的坐标特征；一元一次不等式组解法
【点评】
本题综合考查二次函数平移规律和平面直角坐标系内点的坐标特征，解题核心是准确求出平移后的顶点坐标，再根据坐标符号要求列不等式求解，注意不要混淆“左加右减”的平移方向。
【难度系数】
0.7
解决这道题可按三步思考：第一步，根据二次函数的顶点式，直接确定原抛物线的顶点坐标；第二步，依据函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律，计算向右平移2个单位后新抛物线的顶点坐标；第三步，结合第一象限内点的横、纵坐标均大于0的特征，列出关于m的不等式组，求解不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
抛物线$y=(x+m)^2+m+1$为顶点式，其原顶点坐标为$(-m, m+1)$。
将抛物线向右平移2个单位长度，顶点横坐标加2、纵坐标不变，因此平移后抛物线的顶点坐标为$(-m+2, m+1)$。
已知平移后的顶点在第一象限，第一象限内点的横、纵坐标均大于0，据此列不等式组：
$\begin{cases}-m+2＞0 \\m+1＞0\end{cases}$
解第一个不等式得：$m＜2$；
解第二个不等式得：$m＞-1$；
因此m的取值范围为$-1＜m＜2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移；点的坐标特征；一元一次不等式组解法
【点评】
本题综合考查二次函数平移规律和平面直角坐标系内点的坐标特征，解题核心是准确求出平移后的顶点坐标，再根据坐标符号要求列不等式求解，注意不要混淆“左加右减”的平移方向。
【难度系数】
0.7
2. ★★★（2026·温州期中）已知$A(2,0)$是抛物线$y=ax^2+bx+4$上的一点，且当$0＜x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，则$a$的取值范围是（
A.$-1≤ a≤1$且$a≠0$
B.$-2≤ a≤1$且$a≠0$
C.$-1≤ a≤2$且$a≠0$
D.$-2≤ a≤2$且$a≠0$
A
）A.$-1≤ a≤1$且$a≠0$
B.$-2≤ a≤1$且$a≠0$
C.$-1≤ a≤2$且$a≠0$
D.$-2≤ a≤2$且$a≠0$
答案
2.A
解析
【分析】
首先将点A(2,0)代入抛物线解析式，得到a与b的等量关系，用a表示出b，进而写出抛物线对称轴的表达式。由于抛物线开口方向由a的符号决定，且二次函数的增减性与开口方向、对称轴位置相关，因此分a＞0（开口向上）和a＜0（开口向下）两种情况讨论：根据0＜x＜2时y随x增大而减小的条件，分别列出对称轴满足的不等式，求解后合并范围即可得到a的取值范围，注意二次项系数a≠0。
【解析】
∵点A(2,0)在抛物线$y=ax^2+bx+4$上，
∴将x=2，y=0代入解析式得：
$0 = 4a + 2b + 4$，
化简得：$b = -2a - 2$。
抛物线为二次函数，故$a≠0$，其对称轴为：
$x = -\frac{b}{2a} = \frac{2a + 2}{2a} = 1 + \frac{1}{a}$。
分两种情况讨论：
①当$a＞0$时，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小。
要使$0＜x＜2$时y随x增大而减小，需区间$(0,2)$全部在对称轴左侧，即：
$1 + \frac{1}{a} ≥ 2$，
解得：$\frac{1}{a} ≥ 1$，结合$a＞0$得$a ≤ 1$，即$0 ＜ a ≤ 1$。
②当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小。
要使$0＜x＜2$时y随x增大而减小，需区间$(0,2)$全部在对称轴右侧，即：
$1 + \frac{1}{a} ≤ 0$，
移项得$\frac{1}{a} ≤ -1$，结合$a＜0$，两边乘a不等号变向得：$1 ≥ -a$，即$a ≥ -1$，因此$-1 ≤ a ＜ 0$。
综上，a的取值范围是$-1 ≤ a ≤ 1$且$a≠0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；不等式的解法
【点评】
本题是二次函数增减性的典型题型，解题关键是结合开口方向分类讨论对称轴与给定区间的位置关系，求解不等式时注意a的符号对不等号方向的影响，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
首先将点A(2,0)代入抛物线解析式，得到a与b的等量关系，用a表示出b，进而写出抛物线对称轴的表达式。由于抛物线开口方向由a的符号决定，且二次函数的增减性与开口方向、对称轴位置相关，因此分a＞0（开口向上）和a＜0（开口向下）两种情况讨论：根据0＜x＜2时y随x增大而减小的条件，分别列出对称轴满足的不等式，求解后合并范围即可得到a的取值范围，注意二次项系数a≠0。
【解析】
∵点A(2,0)在抛物线$y=ax^2+bx+4$上，
∴将x=2，y=0代入解析式得：
$0 = 4a + 2b + 4$，
化简得：$b = -2a - 2$。
抛物线为二次函数，故$a≠0$，其对称轴为：
$x = -\frac{b}{2a} = \frac{2a + 2}{2a} = 1 + \frac{1}{a}$。
分两种情况讨论：
①当$a＞0$时，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小。
要使$0＜x＜2$时y随x增大而减小，需区间$(0,2)$全部在对称轴左侧，即：
$1 + \frac{1}{a} ≥ 2$，
解得：$\frac{1}{a} ≥ 1$，结合$a＞0$得$a ≤ 1$，即$0 ＜ a ≤ 1$。
②当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小。
要使$0＜x＜2$时y随x增大而减小，需区间$(0,2)$全部在对称轴右侧，即：
$1 + \frac{1}{a} ≤ 0$，
移项得$\frac{1}{a} ≤ -1$，结合$a＜0$，两边乘a不等号变向得：$1 ≥ -a$，即$a ≥ -1$，因此$-1 ≤ a ＜ 0$。
综上，a的取值范围是$-1 ≤ a ≤ 1$且$a≠0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；不等式的解法
【点评】
本题是二次函数增减性的典型题型，解题关键是结合开口方向分类讨论对称轴与给定区间的位置关系，求解不等式时注意a的符号对不等号方向的影响，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
3. ★★★（2025·石家庄模拟）一种高脚杯如图①所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图②为其杯肚的截面图，已知杯口$AB=8\ \mathrm{cm}$，杯深$CD=12\ \mathrm{cm}$.如图③，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜$45°$（即$AB$与液面$FG$所在直线相交，所夹较小角为$45°$），液面$FG$与$CD$交于点$E$，且点$E$距杯口$AB$的距离$ED=7\ \mathrm{cm}$，则此时液面宽$FG$为（
A.$2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
B.$\dfrac{10\sqrt{2}}{3}\ \mathrm{cm}$
C.$\dfrac{16\sqrt{2}}{3}\ \mathrm{cm}$
D.$\dfrac{16}{3}\ \mathrm{cm}$
C
）A.$2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
B.$\dfrac{10\sqrt{2}}{3}\ \mathrm{cm}$
C.$\dfrac{16\sqrt{2}}{3}\ \mathrm{cm}$
D.$\dfrac{16}{3}\ \mathrm{cm}$
答案
3.C
解析
【分析】
解题首先通过建立合适的平面直角坐标系求解杯肚截面抛物线的解析式，再结合倾斜角度和E点坐标求出液面所在直线的解析式，联立两个解析式得到交点坐标，最后用两点间距离公式即可算出液面宽FG。
【解析】
解：以D为原点，AB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得：$A(-4,0)$，$B(4,0)$，$C(0,-12)$，
设抛物线解析式为$y=ax^2+c$，将$C(0,-12)$代入得$c=-12$，
将$B(4,0)$代入$y=ax^2-12$得：$0=16a-12$，解得$a=\frac{3}{4}$，
∴抛物线解析式为$y=\frac{3}{4}x^2-12$。
∵高脚杯倾斜45°，
∴液面FG所在直线的斜率为1，
∵$ED=7\ \mathrm{cm}$，
∴E点坐标为$(0,-7)$，
设直线FG的解析式为$y=x+b$，将$E(0,-7)$代入得$b=-7$，
∴直线FG解析式为$y=x-7$。
联立抛物线和直线方程：
$\begin{cases}y=\frac{3}{4}x^2-12 \\ y=x-7 \end{cases}$
消去y整理得：$3x^2-4x-20=0$，
解得$x_1=-2$，$x_2=\frac{10}{3}$，
对应交点坐标为$(-2,-9)$和$(\frac{10}{3},-\frac{11}{3})$，
∴$FG=\sqrt{(\frac{10}{3}+2)^2+(-\frac{11}{3}+9)^2}=\sqrt{(\frac{16}{3})^2+(\frac{16}{3})^2}=\frac{16\sqrt{2}}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数应用，一次函数应用，两点间距离计算
【点评】
本题结合生活实际考查函数的综合应用，核心是将实际问题转化为函数交点问题，解题关键是建立合理的平面直角坐标系，求出对应函数解析式后联立求解，很好地体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.6
解题首先通过建立合适的平面直角坐标系求解杯肚截面抛物线的解析式，再结合倾斜角度和E点坐标求出液面所在直线的解析式，联立两个解析式得到交点坐标，最后用两点间距离公式即可算出液面宽FG。
【解析】
解：以D为原点，AB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得：$A(-4,0)$，$B(4,0)$，$C(0,-12)$，
设抛物线解析式为$y=ax^2+c$，将$C(0,-12)$代入得$c=-12$，
将$B(4,0)$代入$y=ax^2-12$得：$0=16a-12$，解得$a=\frac{3}{4}$，
∴抛物线解析式为$y=\frac{3}{4}x^2-12$。
∵高脚杯倾斜45°，
∴液面FG所在直线的斜率为1，
∵$ED=7\ \mathrm{cm}$，
∴E点坐标为$(0,-7)$，
设直线FG的解析式为$y=x+b$，将$E(0,-7)$代入得$b=-7$，
∴直线FG解析式为$y=x-7$。
联立抛物线和直线方程：
$\begin{cases}y=\frac{3}{4}x^2-12 \\ y=x-7 \end{cases}$
消去y整理得：$3x^2-4x-20=0$，
解得$x_1=-2$，$x_2=\frac{10}{3}$，
对应交点坐标为$(-2,-9)$和$(\frac{10}{3},-\frac{11}{3})$，
∴$FG=\sqrt{(\frac{10}{3}+2)^2+(-\frac{11}{3}+9)^2}=\sqrt{(\frac{16}{3})^2+(\frac{16}{3})^2}=\frac{16\sqrt{2}}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数应用，一次函数应用，两点间距离计算
【点评】
本题结合生活实际考查函数的综合应用，核心是将实际问题转化为函数交点问题，解题关键是建立合理的平面直角坐标系，求出对应函数解析式后联立求解，很好地体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.6
4. ★★ (2025·烟台模拟)如图①,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,已知动点P以1 m/s的速度从点A向点B运动,动点Q的速度是点P的$\sqrt{3}$倍,从点B向点C运动.若点P,Q同时出发,当点P到达点B时,点Q恰好到达点C处,此时两点都停止运动. 
图②是△BPQ的面积$y(\mathrm{m}^2)$与点P的运动时间$t(\mathrm{s})$之间的函数关系图象(点M为图象的最高点),则平行四边形ABCD的面积为 (
A.48 m²
B.96 m²
C.108 m²
D.126 m² ＞＞ 对点专练 P19
图②是△BPQ的面积$y(\mathrm{m}^2)$与点P的运动时间$t(\mathrm{s})$之间的函数关系图象(点M为图象的最高点),则平行四边形ABCD的面积为 (B
)A.48 m²
B.96 m²
C.108 m²
D.126 m² ＞＞ 对点专练 P19
答案
4.B
解析
【分析】
首先根据平行四边形的性质可得∠B=∠C=60°，结合P、Q两点的运动速度和同时停止运动的条件，得出BC与AB的数量关系；再用运动时间t表示出△BPQ的两条边BP、BQ的长度，利用含60°角的三角形面积公式写出y关于t的二次函数解析式，结合函数图象给出的最大值为12，求出AB的长度，最后计算平行四边形的面积即可。
【解析】
设AB的长度为$a\ \mathrm{m}$，由题意可知：
点P从A到B的运动时间为$a\ \mathrm{s}$，点Q的速度为$\sqrt{3}\ \mathrm{m/s}$，因此$BC=\sqrt{3}a\ \mathrm{m}$。
在平行四边形ABCD中，$∠ B=∠ C=60°$，运动时间为$t\ \mathrm{s}$时：
$AP=t\ \mathrm{m}$，则$BP=(a-t)\ \mathrm{m}$，$BQ=\sqrt{3}t\ \mathrm{m}$。
△BPQ的面积为：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}· BP· BQ· \sin60°\\&=\frac{1}{2}×(a-t)×\sqrt{3}t×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=-\frac{3}{4}t^2+\frac{3a}{4}t\end{aligned}$
该二次函数开口向下，最大值为12，当$t=\frac{a}{2}$时取得最大值：
$\frac{3a^2}{16}=12$
解得$a=8$（长度为正，舍去负根），即$AB=8\ \mathrm{m}$，$BC=8\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
平行四边形ABCD中，BC边上的高为$AB·\sin60°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，因此面积为：
$S=BC×\mathrm{高}=8\sqrt{3}×4\sqrt{3}=96\ \mathrm{m}^2$
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；二次函数的最值；三角形面积计算
【点评】
本题是动点与函数图象结合的综合题，解题的关键是准确用运动时间表示出相关线段的长度，结合三角形面积公式得到函数解析式，利用函数最值求出平行四边形的边长，进而求得面积，需要掌握几何性质与函数知识的综合运用。
【难度系数】
0.6
首先根据平行四边形的性质可得∠B=∠C=60°，结合P、Q两点的运动速度和同时停止运动的条件，得出BC与AB的数量关系；再用运动时间t表示出△BPQ的两条边BP、BQ的长度，利用含60°角的三角形面积公式写出y关于t的二次函数解析式，结合函数图象给出的最大值为12，求出AB的长度，最后计算平行四边形的面积即可。
【解析】
设AB的长度为$a\ \mathrm{m}$，由题意可知：
点P从A到B的运动时间为$a\ \mathrm{s}$，点Q的速度为$\sqrt{3}\ \mathrm{m/s}$，因此$BC=\sqrt{3}a\ \mathrm{m}$。
在平行四边形ABCD中，$∠ B=∠ C=60°$，运动时间为$t\ \mathrm{s}$时：
$AP=t\ \mathrm{m}$，则$BP=(a-t)\ \mathrm{m}$，$BQ=\sqrt{3}t\ \mathrm{m}$。
△BPQ的面积为：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}· BP· BQ· \sin60°\\&=\frac{1}{2}×(a-t)×\sqrt{3}t×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=-\frac{3}{4}t^2+\frac{3a}{4}t\end{aligned}$
该二次函数开口向下，最大值为12，当$t=\frac{a}{2}$时取得最大值：
$\frac{3a^2}{16}=12$
解得$a=8$（长度为正，舍去负根），即$AB=8\ \mathrm{m}$，$BC=8\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
平行四边形ABCD中，BC边上的高为$AB·\sin60°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，因此面积为：
$S=BC×\mathrm{高}=8\sqrt{3}×4\sqrt{3}=96\ \mathrm{m}^2$
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；二次函数的最值；三角形面积计算
【点评】
本题是动点与函数图象结合的综合题，解题的关键是准确用运动时间表示出相关线段的长度，结合三角形面积公式得到函数解析式，利用函数最值求出平行四边形的边长，进而求得面积，需要掌握几何性质与函数知识的综合运用。
【难度系数】
0.6
5. 抛物线$y=(x-1)^2 + t$与x轴的两个交点之间的距离为6，则t的值是
-9
。答案
5.-9
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确抛物线与x轴交点的纵坐标为0，我们可以先令y=0得到关于x的方程，求出两个交点横坐标的表达式，再结合两个交点之间的距离为6建立等式，即可求解t的值。也可以利用抛物线的对称性：该抛物线的对称轴为x=1，两个交点关于x=1对称，结合交点距离可先确定交点坐标，再代入解析式计算t，两种方法均符合学段知识要求。
【解析】
令抛物线解析式中$y=0$，可得方程：
$(x-1)^2 + t = 0$
整理得：$(x-1)^2 = -t$
因为抛物线与x轴有两个交点，所以$-t＞0$，即$t＜0$，开方得：
$x-1 = \pm\sqrt{-t}$
因此两个交点的横坐标分别为：$x_1=1+\sqrt{-t}$，$x_2=1-\sqrt{-t}$
已知两个交点之间的距离为6，所以横坐标差为6，即：
$(1+\sqrt{-t}) - (1-\sqrt{-t}) = 6$
化简得：$2\sqrt{-t}=6$
两边同时除以2得：$\sqrt{-t}=3$
两边平方得：$-t=9$
解得：$t=-9$，符合$t＜0$的前提条件。
【答案】
$-9$
【知识点】
抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数部分的常考基础题，核心考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题时可灵活选择利用方程根的性质或抛物线对称性计算，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确抛物线与x轴交点的纵坐标为0，我们可以先令y=0得到关于x的方程，求出两个交点横坐标的表达式，再结合两个交点之间的距离为6建立等式，即可求解t的值。也可以利用抛物线的对称性：该抛物线的对称轴为x=1，两个交点关于x=1对称，结合交点距离可先确定交点坐标，再代入解析式计算t，两种方法均符合学段知识要求。
【解析】
令抛物线解析式中$y=0$，可得方程：
$(x-1)^2 + t = 0$
整理得：$(x-1)^2 = -t$
因为抛物线与x轴有两个交点，所以$-t＞0$，即$t＜0$，开方得：
$x-1 = \pm\sqrt{-t}$
因此两个交点的横坐标分别为：$x_1=1+\sqrt{-t}$，$x_2=1-\sqrt{-t}$
已知两个交点之间的距离为6，所以横坐标差为6，即：
$(1+\sqrt{-t}) - (1-\sqrt{-t}) = 6$
化简得：$2\sqrt{-t}=6$
两边同时除以2得：$\sqrt{-t}=3$
两边平方得：$-t=9$
解得：$t=-9$，符合$t＜0$的前提条件。
【答案】
$-9$
【知识点】
抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数部分的常考基础题，核心考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题时可灵活选择利用方程根的性质或抛物线对称性计算，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6. 当直线$y=m$与函数$y=|x^2+2x-3|$的图象有2个交点时，$m$的取值范围是
m=0或m＞4
。＞＞ 对点专练 P6答案
6.m=0或m＞4
解析
【分析】
解决本题需采用数形结合的思路，步骤如下：①先研究不含绝对值的二次函数$y=x^2+2x-3$的图像特征，求出它与x轴的交点、顶点坐标；②根据绝对值的意义，将x轴下方的抛物线部分沿x轴翻折到x轴上方，得到$y=|x^2+2x-3|$的完整图像；③直线$y=m$是平行于x轴的动直线，通过移动这条直线观察交点个数，即可得到交点为2个时m的取值范围。
【解析】
1. 求二次函数$y=x^2+2x-3$的零点：
令$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，即原抛物线与x轴交于$(-3,0)$、$(1,0)$两点。
2. 求原二次函数的顶点坐标：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$，代入得纵坐标$y=(-1)^2+2×(-1)-3=-4$，即原顶点为$(-1,-4)$。
3. 分析$y=|x^2+2x-3|$的图像：
绝对值会将x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方，因此翻折后原顶点对应点为$(-1,4)$，$x\in[-3,1]$区间内的图像为开口向下的抛物线段，其余部分与原开口向上的抛物线一致。
4. 分析直线$y=m$与图像的交点个数：
当$m＜0$时，无交点；
当$m=0$时，直线与图像交于$(-3,0)$、$(1,0)$，共2个交点；
当$0＜m＜4$时，直线与翻折段有2个交点，与两侧未翻折段各有1个交点，共4个交点；
当$m=4$时，直线过翻折后的顶点$(-1,4)$，同时与两侧各有1个交点，共3个交点；
当$m＞4$时，直线仅与两侧未翻折段各有1个交点，共2个交点。
综上，交点为2个时，$m=0$或$m＞4$。
【答案】
$m=0$或$m＞4$
【知识点】
二次函数的图像与性质；图像翻折变换；函数交点判断
【点评】
本题重点考查数形结合思想的应用，解题关键是准确画出绝对值变换后的二次函数图像，抓住零点、顶点等关键节点分析交点个数，避免漏掉$m=0$的情况。
【难度系数】
0.6
解决本题需采用数形结合的思路，步骤如下：①先研究不含绝对值的二次函数$y=x^2+2x-3$的图像特征，求出它与x轴的交点、顶点坐标；②根据绝对值的意义，将x轴下方的抛物线部分沿x轴翻折到x轴上方，得到$y=|x^2+2x-3|$的完整图像；③直线$y=m$是平行于x轴的动直线，通过移动这条直线观察交点个数，即可得到交点为2个时m的取值范围。
【解析】
1. 求二次函数$y=x^2+2x-3$的零点：
令$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，即原抛物线与x轴交于$(-3,0)$、$(1,0)$两点。
2. 求原二次函数的顶点坐标：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$，代入得纵坐标$y=(-1)^2+2×(-1)-3=-4$，即原顶点为$(-1,-4)$。
3. 分析$y=|x^2+2x-3|$的图像：
绝对值会将x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方，因此翻折后原顶点对应点为$(-1,4)$，$x\in[-3,1]$区间内的图像为开口向下的抛物线段，其余部分与原开口向上的抛物线一致。
4. 分析直线$y=m$与图像的交点个数：
当$m＜0$时，无交点；
当$m=0$时，直线与图像交于$(-3,0)$、$(1,0)$，共2个交点；
当$0＜m＜4$时，直线与翻折段有2个交点，与两侧未翻折段各有1个交点，共4个交点；
当$m=4$时，直线过翻折后的顶点$(-1,4)$，同时与两侧各有1个交点，共3个交点；
当$m＞4$时，直线仅与两侧未翻折段各有1个交点，共2个交点。
综上，交点为2个时，$m=0$或$m＞4$。
【答案】
$m=0$或$m＞4$
【知识点】
二次函数的图像与性质；图像翻折变换；函数交点判断
【点评】
本题重点考查数形结合思想的应用，解题关键是准确画出绝对值变换后的二次函数图像，抓住零点、顶点等关键节点分析交点个数，避免漏掉$m=0$的情况。
【难度系数】
0.6
7. （2025·齐齐哈尔模拟）如图，抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与$x$轴交于点$A(-2,0),B(4,0)$，与$y$轴的正半轴交于点$C$，顶点为$P$。下列结论：①$b+c＞0$；②$4a+b＞-\dfrac{3}{4}c$；③$(k+1)(ak+a+b)≤a+b$；④抛物线上有两点$M(m-1,y_1),N(m+2,y_2)$，当$y_1＞y_2$时，$m$的取值范围是$m＞\dfrac{1}{2}$；⑤当$△ CPB$是直角三角形时，符合条件的$a$值有3个。其中正确结论有
＞＞ 对点专练 P5
①②③④
。(填序号)＞＞ 对点专练 P5
答案
7. ①②③④ 解析:
∵抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与$x$轴交于点A(-2,0),B(4,0),
∴抛物线表达式为$y=a(x+2)(x-4)=ax^2-2ax-8a$.
∴$b=-2a,c=-8a$,
∵抛物线开口向下,
∴$a＜0$,
∴$b+c=-2a-8a=-10a＞0$,故①正确.
∵$4a+b=4a-2a=2a$,$-\frac{3}{4}c=-\frac{3}{4}(-8a)=6a$,且$2a＞6a$,
∴$4a+b＞-\frac{3}{4}c$,故②正确.$(k+1)(ak+a+b)=(k+1)(ak+a-2a)=(k+1)(ak-a)=a(k^2-1)$,$a+b=-a$,
∴$(k+1)(ak+a+b)-(a+b)=ak^2$.
∵$a＜0,k^2≥0$,
∴$ak^2≤0$,
∴$(k+1)(ak+a+b)-(a+b)≤0$,
∴$(k+1)(ak+a+b)≤a+b$,故③正确.
∵抛物线上有两点$M(m-1,y_1),N(m+2,y_2)$,
∴当$y_1＞y_2$时,$a(m-1)^2-2a(m-1)-8a＞ a(m+2)^2-2a(m+2)-8a$,
∴$(m-1)^2-2(m-1)-8＜(m+2)^2-2(m+2)-8$,
∴$m^2-2m+1-2m+2＜m^2+4m+4-2m-4$,
∴$m＞\frac{1}{2}$,故④正确.在$y=ax^2-2ax-8a$中,当$x=1$时,$y=a-2a-8a=-9a$,当$x=0$时,$y=-8a$,
∴$C(0,-8a),P(1,-9a)$.
∵$B(4,0)$,
∴$BC^2=(0-4)^2+(-8a-0)^2=64a^2+16$,$BP^2=(1-4)^2+(-9a-0)^2=81a^2+9$,$PC^2=(0-1)^2+[-8a-(-9a)]^2=a^2+1$,当$∠BCP=90°$时,则$64a^2+16+a^2+1=81a^2+9$,解得$a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去);当$∠BPC=90°$时,则$64a^2+16=a^2+1+81a^2+9$,解得$a=-\frac{\sqrt{3}}{3}$或$a=\frac{\sqrt{3}}{3}$(舍去);当$∠CBP=90°$时,则$64a^2+16+81a^2+9=a^2+1$,此时方程无解.综上所述,当$△CPB$是直角三角形时,符合条件的$a$值有2个,故⑤错误.故正确的结论有①②③④.
∵抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与$x$轴交于点A(-2,0),B(4,0),
∴抛物线表达式为$y=a(x+2)(x-4)=ax^2-2ax-8a$.
∴$b=-2a,c=-8a$,
∵抛物线开口向下,
∴$a＜0$,
∴$b+c=-2a-8a=-10a＞0$,故①正确.
∵$4a+b=4a-2a=2a$,$-\frac{3}{4}c=-\frac{3}{4}(-8a)=6a$,且$2a＞6a$,
∴$4a+b＞-\frac{3}{4}c$,故②正确.$(k+1)(ak+a+b)=(k+1)(ak+a-2a)=(k+1)(ak-a)=a(k^2-1)$,$a+b=-a$,
∴$(k+1)(ak+a+b)-(a+b)=ak^2$.
∵$a＜0,k^2≥0$,
∴$ak^2≤0$,
∴$(k+1)(ak+a+b)-(a+b)≤0$,
∴$(k+1)(ak+a+b)≤a+b$,故③正确.
∵抛物线上有两点$M(m-1,y_1),N(m+2,y_2)$,
∴当$y_1＞y_2$时,$a(m-1)^2-2a(m-1)-8a＞ a(m+2)^2-2a(m+2)-8a$,
∴$(m-1)^2-2(m-1)-8＜(m+2)^2-2(m+2)-8$,
∴$m^2-2m+1-2m+2＜m^2+4m+4-2m-4$,
∴$m＞\frac{1}{2}$,故④正确.在$y=ax^2-2ax-8a$中,当$x=1$时,$y=a-2a-8a=-9a$,当$x=0$时,$y=-8a$,
∴$C(0,-8a),P(1,-9a)$.
∵$B(4,0)$,
∴$BC^2=(0-4)^2+(-8a-0)^2=64a^2+16$,$BP^2=(1-4)^2+(-9a-0)^2=81a^2+9$,$PC^2=(0-1)^2+[-8a-(-9a)]^2=a^2+1$,当$∠BCP=90°$时,则$64a^2+16+a^2+1=81a^2+9$,解得$a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去);当$∠BPC=90°$时,则$64a^2+16=a^2+1+81a^2+9$,解得$a=-\frac{\sqrt{3}}{3}$或$a=\frac{\sqrt{3}}{3}$(舍去);当$∠CBP=90°$时,则$64a^2+16+81a^2+9=a^2+1$,此时方程无解.综上所述,当$△CPB$是直角三角形时,符合条件的$a$值有2个,故⑤错误.故正确的结论有①②③④.
解析
【分析】
本题是二次函数图象与性质的综合题，解题核心是先根据抛物线与x轴的两个交点坐标，将解析式写为交点式，把b、c都用参数a表示，结合抛物线开口向下得到a＜0，再逐个分析5个结论：①将b+c用a表示，判断正负；②分别计算不等式左右两侧用a表示的结果，比较大小；③将左侧式子展开化简，与右侧作差，根据a＜0和平方的非负性判断差的正负；④把两点坐标代入解析式，利用a＜0的性质消去a，解不等式得到m的范围；⑤分三种直角顶点的情况，利用勾股定理列方程求解a的个数，判断结论是否正确。
【解析】
∵抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与x轴交于点$A(-2,0),B(4,0)$，
∴抛物线解析式可写为$y=a(x+2)(x-4)=ax^2-2ax-8a$，
∴$b=-2a,c=-8a$，
∵抛物线开口向下，
∴$a＜0$。
1. 判断①：$b+c=-2a-8a=-10a$，
∵$a＜0$，
∴$-10a＞0$，即$b+c＞0$，故①正确。
2. 判断②：$4a+b=4a-2a=2a$，$-\frac{3}{4}c=-\frac{3}{4}×(-8a)=6a$，
∵$a＜0$，
∴$2a＞6a$，即$4a+b＞-\frac{3}{4}c$，故②正确。
3. 判断③：左边$(k+1)(ak+a+b)=(k+1)(ak+a-2a)=(k+1)(ak-a)=a(k^2-1)$，右边$a+b=a-2a=-a$，
作差得：$a(k^2-1)-(-a)=ak^2$，
∵$a＜0,k^2≥0$，
∴$ak^2≤0$，即$(k+1)(ak+a+b)≤a+b$，故③正确。
4. 判断④：将$M(m-1,y_1),N(m+2,y_2)$代入解析式，$y_1＞a(m+2)^2-2a(m+2)-8a$，
∵$a＜0$，不等号方向改变，得$(m-1)^2-2(m-1)-8＜(m+2)^2-2(m+2)-8$，
展开化简：$m^2-2m+1-2m+2＜m^2+4m+4-2m-4$，解得$m＞\frac{1}{2}$，故④正确。
5. 判断⑤：由解析式得$C(0,-8a),P(1,-9a),B(4,0)$，
计算三边平方：$BC^2=4^2+(-8a)^2=64a^2+16$，$BP^2=(1-4)^2+(-9a)^2=81a^2+9$，$PC^2=(0-1)^2+(-8a+9a)^2=a^2+1$。
若$∠BCP=90°$：$BC^2+PC^2=BP^2$，即$64a^2+16+a^2+1=81a^2+9$，解得$a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$（正根舍去）；
若$∠BPC=90°$：$BP^2+PC^2=BC^2$，即$81a^2+9+a^2+1=64a^2+16$，解得$a=-\frac{\sqrt{3}}{3}$（正根舍去）；
若$∠CBP=90°$：$BC^2+BP^2=PC^2$，即$64a^2+16+81a^2+9=a^2+1$，方程无解。
综上符合条件的a有2个，故⑤错误。
【答案】
①②③④
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，直角三角形的判定
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，解题时利用交点式将多个参数统一为用a表示是简化计算的关键，需要熟练掌握二次函数的增减性、不等式变形，结合分类讨论思想和勾股定理求解，对综合运算能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
本题是二次函数图象与性质的综合题，解题核心是先根据抛物线与x轴的两个交点坐标，将解析式写为交点式，把b、c都用参数a表示，结合抛物线开口向下得到a＜0，再逐个分析5个结论：①将b+c用a表示，判断正负；②分别计算不等式左右两侧用a表示的结果，比较大小；③将左侧式子展开化简，与右侧作差，根据a＜0和平方的非负性判断差的正负；④把两点坐标代入解析式，利用a＜0的性质消去a，解不等式得到m的范围；⑤分三种直角顶点的情况，利用勾股定理列方程求解a的个数，判断结论是否正确。
【解析】
∵抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与x轴交于点$A(-2,0),B(4,0)$，
∴抛物线解析式可写为$y=a(x+2)(x-4)=ax^2-2ax-8a$，
∴$b=-2a,c=-8a$，
∵抛物线开口向下，
∴$a＜0$。
1. 判断①：$b+c=-2a-8a=-10a$，
∵$a＜0$，
∴$-10a＞0$，即$b+c＞0$，故①正确。
2. 判断②：$4a+b=4a-2a=2a$，$-\frac{3}{4}c=-\frac{3}{4}×(-8a)=6a$，
∵$a＜0$，
∴$2a＞6a$，即$4a+b＞-\frac{3}{4}c$，故②正确。
3. 判断③：左边$(k+1)(ak+a+b)=(k+1)(ak+a-2a)=(k+1)(ak-a)=a(k^2-1)$，右边$a+b=a-2a=-a$，
作差得：$a(k^2-1)-(-a)=ak^2$，
∵$a＜0,k^2≥0$，
∴$ak^2≤0$，即$(k+1)(ak+a+b)≤a+b$，故③正确。
4. 判断④：将$M(m-1,y_1),N(m+2,y_2)$代入解析式，$y_1＞a(m+2)^2-2a(m+2)-8a$，
∵$a＜0$，不等号方向改变，得$(m-1)^2-2(m-1)-8＜(m+2)^2-2(m+2)-8$，
展开化简：$m^2-2m+1-2m+2＜m^2+4m+4-2m-4$，解得$m＞\frac{1}{2}$，故④正确。
5. 判断⑤：由解析式得$C(0,-8a),P(1,-9a),B(4,0)$，
计算三边平方：$BC^2=4^2+(-8a)^2=64a^2+16$，$BP^2=(1-4)^2+(-9a)^2=81a^2+9$，$PC^2=(0-1)^2+(-8a+9a)^2=a^2+1$。
若$∠BCP=90°$：$BC^2+PC^2=BP^2$，即$64a^2+16+a^2+1=81a^2+9$，解得$a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$（正根舍去）；
若$∠BPC=90°$：$BP^2+PC^2=BC^2$，即$81a^2+9+a^2+1=64a^2+16$，解得$a=-\frac{\sqrt{3}}{3}$（正根舍去）；
若$∠CBP=90°$：$BC^2+BP^2=PC^2$，即$64a^2+16+81a^2+9=a^2+1$，方程无解。
综上符合条件的a有2个，故⑤错误。
【答案】
①②③④
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，直角三角形的判定
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，解题时利用交点式将多个参数统一为用a表示是简化计算的关键，需要熟练掌握二次函数的增减性、不等式变形，结合分类讨论思想和勾股定理求解，对综合运算能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
