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1. 二次函数$y=-x^2$的图象如图所示。在同一直角坐标系中，分别画出函数$y=-(x+2)^2$和$y=-x^2+2$的大致图象，并回答下列问题。
（1）函数$y=-(x+2)^2$的图象可以由函数$y=-x^2$的图象向
（2）函数$y=-x^2+2$的图象可以由函数$y=-x^2$的图象向
（1）函数$y=-(x+2)^2$的图象可以由函数$y=-x^2$的图象向
左
平移2
个单位得到。（2）函数$y=-x^2+2$的图象可以由函数$y=-x^2$的图象向
上
平移2
个单位得到。答案
(1) 左,2 (2) 上,2
解析
【分析】
解决这道题我们可以用两种思路：①顶点对比法：二次函数平移时仅改变图象位置，开口方向、大小都不变，因此我们可以分别找到原函数和待判断函数的顶点坐标，对比顶点的位置变化即可得到平移方式；②口诀法：利用二次函数平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律直接判断。首先我们知道原函数$y=-x^2$的顶点是$(0,0)$，接下来分别分析两个目标函数即可。
【解析】
首先，原二次函数$y=-x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。
（1）对于函数$y=-(x+2)^2$，可变形为$y=-[x-(-2)]^2$，它的顶点坐标为$(-2,0)$。对比原顶点$(0,0)$，横坐标从0变为-2，说明图象向左平移，平移的距离为$|0-(-2)|=2$个单位。
（2）对于函数$y=-x^2+2$，它的顶点坐标为$(0,2)$。对比原顶点$(0,0)$，纵坐标从0变为2，说明图象向上平移，平移的距离为$|2-0|=2$个单位。
【答案】
（1）左，2；（2）上，2
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数顶点式、函数平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题的核心是掌握通过顶点坐标变化或者平移口诀判断图象平移方式的方法，熟练掌握该规律能快速解决同类平移问题。
【难度系数】
0.8
解决这道题我们可以用两种思路：①顶点对比法：二次函数平移时仅改变图象位置，开口方向、大小都不变，因此我们可以分别找到原函数和待判断函数的顶点坐标，对比顶点的位置变化即可得到平移方式；②口诀法：利用二次函数平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律直接判断。首先我们知道原函数$y=-x^2$的顶点是$(0,0)$，接下来分别分析两个目标函数即可。
【解析】
首先，原二次函数$y=-x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。
（1）对于函数$y=-(x+2)^2$，可变形为$y=-[x-(-2)]^2$，它的顶点坐标为$(-2,0)$。对比原顶点$(0,0)$，横坐标从0变为-2，说明图象向左平移，平移的距离为$|0-(-2)|=2$个单位。
（2）对于函数$y=-x^2+2$，它的顶点坐标为$(0,2)$。对比原顶点$(0,0)$，纵坐标从0变为2，说明图象向上平移，平移的距离为$|2-0|=2$个单位。
【答案】
（1）左，2；（2）上，2
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数顶点式、函数平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题的核心是掌握通过顶点坐标变化或者平移口诀判断图象平移方式的方法，熟练掌握该规律能快速解决同类平移问题。
【难度系数】
0.8
2. 把二次函数$y=ax^2$的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，恰好经过点$(0,5)$，则$a$的值是（
A.7
B.5
C.3
D.1
C
）。A.7
B.5
C.3
D.1
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数图象的平移规律：“左加右减、上加下减”，其中左右平移只改变自变量x（向左平移给x加平移单位，向右平移给x减平移单位），上下平移改变函数整体（向上平移加平移单位，向下平移减平移单位）。我们可以先按照平移规则写出平移后的二次函数解析式，再把已知经过的点(0,5)代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程就能求出a的值。
【解析】
1. 求平移后的二次函数解析式：
将二次函数$y=ax^2$的图象向右平移1个单位，根据“左加右减”的规则，得到解析式为$y=a(x-1)^2$；
再向上平移2个单位，根据“上加下减”的规则，最终平移后的解析式为$y=a(x-1)^2+2$。
2. 代入点坐标求解a：
已知平移后的图象经过点$(0,5)$，将$x=0$，$y=5$代入平移后的解析式得：
$5=a(0-1)^2+2$
化简得：$5=a+2$
解得：$a=3$
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，核心是熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，注意左右平移是针对自变量x进行调整，不要混淆平移方向对应的加减操作，代入点坐标求解参数的方法是函数类问题的常用方法。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数图象的平移规律：“左加右减、上加下减”，其中左右平移只改变自变量x（向左平移给x加平移单位，向右平移给x减平移单位），上下平移改变函数整体（向上平移加平移单位，向下平移减平移单位）。我们可以先按照平移规则写出平移后的二次函数解析式，再把已知经过的点(0,5)代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程就能求出a的值。
【解析】
1. 求平移后的二次函数解析式：
将二次函数$y=ax^2$的图象向右平移1个单位，根据“左加右减”的规则，得到解析式为$y=a(x-1)^2$；
再向上平移2个单位，根据“上加下减”的规则，最终平移后的解析式为$y=a(x-1)^2+2$。
2. 代入点坐标求解a：
已知平移后的图象经过点$(0,5)$，将$x=0$，$y=5$代入平移后的解析式得：
$5=a(0-1)^2+2$
化简得：$5=a+2$
解得：$a=3$
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，核心是熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，注意左右平移是针对自变量x进行调整，不要混淆平移方向对应的加减操作，代入点坐标求解参数的方法是函数类问题的常用方法。
【难度系数】
0.8
3. 说出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1) $y=\frac{1}{6}x^2 -7$。
(2) $y=-\frac{1}{5}(x+1)^2$。
(3) $y=1-(\frac{1}{2}-x)^2$。
(1) $y=\frac{1}{6}x^2 -7$。
(2) $y=-\frac{1}{5}(x+1)^2$。
(3) $y=1-(\frac{1}{2}-x)^2$。
答案
(1) 开口向上,顶点坐标是$(0,-7)$,对称轴是$y$轴。
(2) 开口向下,顶点坐标是$(-1,0)$,对称轴是直线$x=-1$。
(3) 开口向下,顶点坐标是$(\frac{1}{2},1)$,对称轴是直线$x=\frac{1}{2}$。
(2) 开口向下,顶点坐标是$(-1,0)$,对称轴是直线$x=-1$。
(3) 开口向下,顶点坐标是$(\frac{1}{2},1)$,对称轴是直线$x=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
要确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，核心是掌握二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的性质：①$a$的符号决定开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；②对称轴为直线$x=h$；③顶点坐标为$(h,k)$。解题时先把每个解析式转化为顶点式形式，对应找到$a、h、k$的值即可推出图象特征；对于非标准形式的解析式（如第(3)题），先利用平方的性质变形为标准顶点式再分析即可。
【解析】
(1) 解析式$y=\frac{1}{6}x^2 -7$可改写为顶点式$y=\frac{1}{6}(x-0)^2 -7$，其中$a=\frac{1}{6}＞0$，$h=0$，$k=-7$，因此可得开口向上，对称轴为$y$轴（即直线$x=0$），顶点坐标为$(0,-7)$。
(2) 解析式$y=-\frac{1}{5}(x+1)^2$可改写为顶点式$y=-\frac{1}{5}[x-(-1)]^2 +0$，其中$a=-\frac{1}{5}＜0$，$h=-1$，$k=0$，因此可得开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,0)$。
(3) 先对解析式做恒等变形：由平方的性质可得$(\frac{1}{2}-x)^2=(x-\frac{1}{2})^2$，因此原式可改写为顶点式$y=-(x-\frac{1}{2})^2 +1$，其中$a=-1＜0$，$h=\frac{1}{2}$，$k=1$，因此可得开口向下，对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，顶点坐标为$(\frac{1}{2},1)$。
【答案】
(1) 开口向上,顶点坐标是$(0,-7)$,对称轴是$y$轴。
(2) 开口向下,顶点坐标是$(-1,0)$,对称轴是直线$x=-1$。
(3) 开口向下,顶点坐标是$(\frac{1}{2},1)$,对称轴是直线$x=\frac{1}{2}$。
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质 2. 二次函数图象特征 3. 代数式恒等变形
【点评】
本题考查二次函数图象的基础特征，解题关键是熟练掌握顶点式各参数与图象性质的对应关系，对于非标准顶点式的解析式，可先通过简单变形转化为标准形式再分析，属于二次函数图象部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，核心是掌握二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的性质：①$a$的符号决定开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；②对称轴为直线$x=h$；③顶点坐标为$(h,k)$。解题时先把每个解析式转化为顶点式形式，对应找到$a、h、k$的值即可推出图象特征；对于非标准形式的解析式（如第(3)题），先利用平方的性质变形为标准顶点式再分析即可。
【解析】
(1) 解析式$y=\frac{1}{6}x^2 -7$可改写为顶点式$y=\frac{1}{6}(x-0)^2 -7$，其中$a=\frac{1}{6}＞0$，$h=0$，$k=-7$，因此可得开口向上，对称轴为$y$轴（即直线$x=0$），顶点坐标为$(0,-7)$。
(2) 解析式$y=-\frac{1}{5}(x+1)^2$可改写为顶点式$y=-\frac{1}{5}[x-(-1)]^2 +0$，其中$a=-\frac{1}{5}＜0$，$h=-1$，$k=0$，因此可得开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,0)$。
(3) 先对解析式做恒等变形：由平方的性质可得$(\frac{1}{2}-x)^2=(x-\frac{1}{2})^2$，因此原式可改写为顶点式$y=-(x-\frac{1}{2})^2 +1$，其中$a=-1＜0$，$h=\frac{1}{2}$，$k=1$，因此可得开口向下，对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，顶点坐标为$(\frac{1}{2},1)$。
【答案】
(1) 开口向上,顶点坐标是$(0,-7)$,对称轴是$y$轴。
(2) 开口向下,顶点坐标是$(-1,0)$,对称轴是直线$x=-1$。
(3) 开口向下,顶点坐标是$(\frac{1}{2},1)$,对称轴是直线$x=\frac{1}{2}$。
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质 2. 二次函数图象特征 3. 代数式恒等变形
【点评】
本题考查二次函数图象的基础特征，解题关键是熟练掌握顶点式各参数与图象性质的对应关系，对于非标准顶点式的解析式，可先通过简单变形转化为标准形式再分析，属于二次函数图象部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 已知二次函数$y=-4(x-m)^2 +k$的图象的顶点坐标为$(2,3)$。
（1）写出$m,k$的值。
（2）判断点$(1,-1)$是否在这个函数的图象上。
（3）将该二次函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得函数$y=ax^2 +bx +c$。求$a,b,c$的值。
（1）写出$m,k$的值。
（2）判断点$(1,-1)$是否在这个函数的图象上。
（3）将该二次函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得函数$y=ax^2 +bx +c$。求$a,b,c$的值。
答案
(1) $m=2,k=3$。
(2) 点$(1,-1)$在这个函数的图象上。
(3) $a=-4,b=8,c=-3$。
(2) 点$(1,-1)$在这个函数的图象上。
(3) $a=-4,b=8,c=-3$。
解析
【分析】
1. 第一问可结合二次函数顶点式的性质求解：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，将题目给出的顶点坐标和已知顶点式直接对应，即可求出$m$、$k$的值。
2. 第二问判断点是否在函数图像上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算所得纵坐标和点的纵坐标一致，即可说明点在函数图像上。
3. 第三问按照二次函数图像“左加右减（针对自变量$x$）、上加下减（针对常数项）”的平移规律，先写出平移后的顶点式，再展开为一般式对应系数，就能得到$a$、$b$、$c$的值。
【解析】
（1）
∵二次函数$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，已知$y=-4(x-m)^2 +k$的顶点坐标为$(2,3)$
∴对应可得$m=2$，$k=3$。
（2）由（1）得该二次函数解析式为$y=-4(x-2)^2+3$
将$x=1$代入解析式，得：
$y=-4×(1-2)^2+3=-4×1+3=-1$
计算结果与点$(1,-1)$的纵坐标相等，因此点$(1,-1)$在这个函数的图象上。
（3）根据平移规则逐步计算：
原函数向左平移1个单位，解析式变为$y=-4(x-2+1)^2+3=-4(x-1)^2+3$
再向下平移2个单位，解析式变为$y=-4(x-1)^2+3-2=-4(x-1)^2+1$
将顶点式展开为一般式：
$y=-4(x^2-2x+1)+1=-4x^2+8x-4+1=-4x^2+8x-3$
和$y=ax^2+bx+c$对应，可得$a=-4$，$b=8$，$c=-3$。
【答案】
(1) $m=2,k=3$；(2) 点$(1,-1)$在这个函数的图象上；(3) $a=-4,b=8,c=-3$
【知识点】
二次函数顶点式，点与函数图像的关系，二次函数图像平移
【点评】
本题属于二次函数基础考察题，核心围绕顶点式的性质和图像平移规律设置考点，掌握对应基础概念和规则即可顺利解题，是巩固二次函数基础的典型题型。
【难度系数】
0.8
1. 第一问可结合二次函数顶点式的性质求解：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，将题目给出的顶点坐标和已知顶点式直接对应，即可求出$m$、$k$的值。
2. 第二问判断点是否在函数图像上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算所得纵坐标和点的纵坐标一致，即可说明点在函数图像上。
3. 第三问按照二次函数图像“左加右减（针对自变量$x$）、上加下减（针对常数项）”的平移规律，先写出平移后的顶点式，再展开为一般式对应系数，就能得到$a$、$b$、$c$的值。
【解析】
（1）
∵二次函数$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，已知$y=-4(x-m)^2 +k$的顶点坐标为$(2,3)$
∴对应可得$m=2$，$k=3$。
（2）由（1）得该二次函数解析式为$y=-4(x-2)^2+3$
将$x=1$代入解析式，得：
$y=-4×(1-2)^2+3=-4×1+3=-1$
计算结果与点$(1,-1)$的纵坐标相等，因此点$(1,-1)$在这个函数的图象上。
（3）根据平移规则逐步计算：
原函数向左平移1个单位，解析式变为$y=-4(x-2+1)^2+3=-4(x-1)^2+3$
再向下平移2个单位，解析式变为$y=-4(x-1)^2+3-2=-4(x-1)^2+1$
将顶点式展开为一般式：
$y=-4(x^2-2x+1)+1=-4x^2+8x-4+1=-4x^2+8x-3$
和$y=ax^2+bx+c$对应，可得$a=-4$，$b=8$，$c=-3$。
【答案】
(1) $m=2,k=3$；(2) 点$(1,-1)$在这个函数的图象上；(3) $a=-4,b=8,c=-3$
【知识点】
二次函数顶点式，点与函数图像的关系，二次函数图像平移
【点评】
本题属于二次函数基础考察题，核心围绕顶点式的性质和图像平移规律设置考点，掌握对应基础概念和规则即可顺利解题，是巩固二次函数基础的典型题型。
【难度系数】
0.8
