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在平面直角坐标系中,将一个多边形每个顶点的
横坐标、纵坐标
都乘同一个数$k(k≠0)$
,所对应的图形与原图形位似
,位似中心是坐标原点
,它们的相似比为$|k|$
。答案
横坐标、纵坐标 $k(k≠0)$ 位似 坐标原点 $|k|$
解析
【分析】
解题时先回忆平面直角坐标系中位似变换的基本规律：当以坐标原点为位似中心对图形做位似变换时，需要把原图形各顶点的横、纵坐标同时乘同一个不为0的数k，得到的新图形和原图形是位似关系，位似中心为坐标原点，相似比是k的绝对值，按照该规律依次对应空缺位置填写即可。
【解析】
根据平面直角坐标系中位似变换的定义：将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数$k(k≠0)$，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为$|k|$。
【答案】
横坐标、纵坐标 $k(k≠0)$ 位似 坐标原点 $|k|$
【知识点】
坐标系中位似变换；位似的概念；相似比
【点评】
本题考查坐标系中以原点为位似中心的位似变换的基础概念，属于识记类基础题，熟练掌握位似变换的坐标变化规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平面直角坐标系中位似变换的基本规律：当以坐标原点为位似中心对图形做位似变换时，需要把原图形各顶点的横、纵坐标同时乘同一个不为0的数k，得到的新图形和原图形是位似关系，位似中心为坐标原点，相似比是k的绝对值，按照该规律依次对应空缺位置填写即可。
【解析】
根据平面直角坐标系中位似变换的定义：将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数$k(k≠0)$，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为$|k|$。
【答案】
横坐标、纵坐标 $k(k≠0)$ 位似 坐标原点 $|k|$
【知识点】
坐标系中位似变换；位似的概念；相似比
【点评】
本题考查坐标系中以原点为位似中心的位似变换的基础概念，属于识记类基础题，熟练掌握位似变换的坐标变化规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
1. 如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为位似中心,将△ABO各边扩大到原来的2倍,得到△A'B'O。若点A的坐标是(1,2),则点A'的坐标是(
A.(2,4)
B.(-1,-2)
C.(-2,-4)
D.(-2,-1)
C
)。A.(2,4)
B.(-1,-2)
C.(-2,-4)
D.(-2,-1)
答案
1.C
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先明确本题位似中心是坐标原点，回忆原点为位似中心时的坐标变化规律：若位似图形和原图形在位似中心同侧，对应点坐标为原坐标乘正位似比；若在异侧，对应点坐标为原坐标乘负位似比。2. 结合图象判断△A'B'O和△ABO位于原点两侧，且题目要求将原图形各边扩大到原来的2倍，因此位似比为-2。3. 将点A的坐标乘位似比，即可得出点A'的坐标。
【解析】
解：在平面直角坐标系中，以原点为位似中心进行位似变换时，若两个图形在位似中心两侧，位似比为k（k＜0），则位似图形对应点的坐标等于原图形对应点坐标乘k。
由题意可知，位似中心为原点O，△ABO扩大到原来的2倍得到△A'B'O，且两个三角形位于原点两侧，因此位似比$k=-2$。
已知点A的坐标为$(1,2)$，则点A'的坐标为$(1×(-2),2×(-2))$，即$(-2,-4)$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；坐标系中位似变换的坐标规律
【点评】
本题属于位似变换的基础题型，解题关键是结合图形判断位似图形的位置，确定位似比的符号，避免忽略符号直接计算而错选答案。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先明确本题位似中心是坐标原点，回忆原点为位似中心时的坐标变化规律：若位似图形和原图形在位似中心同侧，对应点坐标为原坐标乘正位似比；若在异侧，对应点坐标为原坐标乘负位似比。2. 结合图象判断△A'B'O和△ABO位于原点两侧，且题目要求将原图形各边扩大到原来的2倍，因此位似比为-2。3. 将点A的坐标乘位似比，即可得出点A'的坐标。
【解析】
解：在平面直角坐标系中，以原点为位似中心进行位似变换时，若两个图形在位似中心两侧，位似比为k（k＜0），则位似图形对应点的坐标等于原图形对应点坐标乘k。
由题意可知，位似中心为原点O，△ABO扩大到原来的2倍得到△A'B'O，且两个三角形位于原点两侧，因此位似比$k=-2$。
已知点A的坐标为$(1,2)$，则点A'的坐标为$(1×(-2),2×(-2))$，即$(-2,-4)$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；坐标系中位似变换的坐标规律
【点评】
本题属于位似变换的基础题型，解题关键是结合图形判断位似图形的位置，确定位似比的符号，避免忽略符号直接计算而错选答案。
【难度系数】
0.7
2.如图,已知$△ ABC$的三个顶点分别为$A(1,2),B(-2,3),C(-1,0)$,把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍,得到点$A',B',C'$,则下列说法正确的是(
A.$△ A'B'C'$与$△ ABC$是位似图形,位似中心是点$(1,0)$
B.$△ A'B'C'$与$△ ABC$是位似图形,位似中心是点$(-1,0)$
C.$△ A'B'C'$与$△ ABC$是位似图形,位似中心是点$(0,0)$
D.$△ A'B'C'$与$△ ABC$是相似图形,但不是位似图形
C
)。A.$△ A'B'C'$与$△ ABC$是位似图形,位似中心是点$(1,0)$
B.$△ A'B'C'$与$△ ABC$是位似图形,位似中心是点$(-1,0)$
C.$△ A'B'C'$与$△ ABC$是位似图形,位似中心是点$(0,0)$
D.$△ A'B'C'$与$△ ABC$是相似图形,但不是位似图形
答案
2.C
解析
【分析】
要解决本题，首先需根据坐标变换规则得到变换后点$A'$、$B'$、$C'$的坐标，再结合位似图形的性质判断：位似图形的对应顶点连线会交于同一点（即位似中心），且对应点到位似中心的距离比等于相似比。我们可以通过验证对应点连线的公共交点、对应点到交点的距离比是否一致，即可得出结论。
【解析】
第一步：计算坐标扩大后的点坐标
已知将$A$、$B$、$C$的横、纵坐标都扩大到原来的2倍，因此：
$A'$的坐标为$(1×2,2×2)=(2,4)$，
$B'$的坐标为$(-2×2,3×2)=(-4,6)$，
$C'$的坐标为$(-1×2,0×2)=(-2,0)$。
第二步：验证对应点连线的公共交点
观察对应点坐标的关系：$A'(2,4)=2× A(1,2)$，$B'(-4,6)=2× B(-2,3)$，$C'(-2,0)=2× C(-1,0)$，说明每个对应点的连线都经过原点$(0,0)$。
第三步：验证位似比
计算对应点到原点的距离比：
$OA'=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$OA=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，故$\frac{OA'}{OA}=2$；同理可得$\frac{OB'}{OB}=2$，$\frac{OC'}{OC}=2$，相似比为2。
因此$△ A'B'C'$与$△ ABC$是位似图形，位似中心为$(0,0)$。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的判定；坐标与位似变换；位似中心的确定
【点评】
本题考查位似图形的性质与坐标位似变换的规律，解题的关键是明确：以原点为位似中心的位似变换，对应点的横、纵坐标的比等于相似比，对应顶点连线均过原点，掌握该规律可快速判断此类坐标位似问题。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需根据坐标变换规则得到变换后点$A'$、$B'$、$C'$的坐标，再结合位似图形的性质判断：位似图形的对应顶点连线会交于同一点（即位似中心），且对应点到位似中心的距离比等于相似比。我们可以通过验证对应点连线的公共交点、对应点到交点的距离比是否一致，即可得出结论。
【解析】
第一步：计算坐标扩大后的点坐标
已知将$A$、$B$、$C$的横、纵坐标都扩大到原来的2倍，因此：
$A'$的坐标为$(1×2,2×2)=(2,4)$，
$B'$的坐标为$(-2×2,3×2)=(-4,6)$，
$C'$的坐标为$(-1×2,0×2)=(-2,0)$。
第二步：验证对应点连线的公共交点
观察对应点坐标的关系：$A'(2,4)=2× A(1,2)$，$B'(-4,6)=2× B(-2,3)$，$C'(-2,0)=2× C(-1,0)$，说明每个对应点的连线都经过原点$(0,0)$。
第三步：验证位似比
计算对应点到原点的距离比：
$OA'=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$OA=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，故$\frac{OA'}{OA}=2$；同理可得$\frac{OB'}{OB}=2$，$\frac{OC'}{OC}=2$，相似比为2。
因此$△ A'B'C'$与$△ ABC$是位似图形，位似中心为$(0,0)$。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的判定；坐标与位似变换；位似中心的确定
【点评】
本题考查位似图形的性质与坐标位似变换的规律，解题的关键是明确：以原点为位似中心的位似变换，对应点的横、纵坐标的比等于相似比，对应顶点连线均过原点，掌握该规律可快速判断此类坐标位似问题。
【难度系数】
0.7
3.如图,以点D为位似中心,作△ABC的一个位似三角形A₁B₁C₁,点A,B,C的对应点分别为A₁,B₁,C₁,DA₁与DA的比值为k。若两个三角形的顶点及点D均在如图所示的网格格点上,则k的值和点C₁的坐标分别为(
A.2,(2,8)
B.4,(2,8)
C.2,(2,4)
D.2,(4,4)
A
)。A.2,(2,8)
B.4,(2,8)
C.2,(2,4)
D.2,(4,4)
答案
3.A
解析
【分析】
解决本题需结合位似的性质逐步推导：首先根据网格确定相关点的坐标，再利用两点间距离公式计算DA和DA₁的长度求出位似比k，最后根据位似中心和位似比计算对应点C₁的坐标即可。
【解析】
首先根据网格确定各点坐标：点D坐标为$(2,0)$，点A坐标为$(1,1)$，点$A_1$坐标为$(0,2)$，点C坐标为$(2,4)$。
1. 计算位似比$k$：
根据两点间距离公式：
$DA=\sqrt{(2-1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
$DA_1=\sqrt{(2-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$
因此$k=\frac{DA_1}{DA}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$。
2. 求点$C_1$的坐标：
位似中心为D$(2,0)$，向量$\overrightarrow{DC}=(2-2,4-0)=(0,4)$，位似变换后向量$\overrightarrow{DC_1}=k·\overrightarrow{DC}=2×(0,4)=(0,8)$，
因此$C_1$的坐标为$(2+0,0+8)=(2,8)$。
综上可得$k=2$，点$C_1$坐标为$(2,8)$。
【答案】
A
【知识点】
位似的性质，坐标与图形变换，两点间距离公式
【点评】
本题是位似变换的基础应用题，重点考查对位似比定义的理解和位似变换下坐标变化规律的应用，只要能准确读取网格中点的坐标，结合位似的基本性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解决本题需结合位似的性质逐步推导：首先根据网格确定相关点的坐标，再利用两点间距离公式计算DA和DA₁的长度求出位似比k，最后根据位似中心和位似比计算对应点C₁的坐标即可。
【解析】
首先根据网格确定各点坐标：点D坐标为$(2,0)$，点A坐标为$(1,1)$，点$A_1$坐标为$(0,2)$，点C坐标为$(2,4)$。
1. 计算位似比$k$：
根据两点间距离公式：
$DA=\sqrt{(2-1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
$DA_1=\sqrt{(2-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$
因此$k=\frac{DA_1}{DA}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$。
2. 求点$C_1$的坐标：
位似中心为D$(2,0)$，向量$\overrightarrow{DC}=(2-2,4-0)=(0,4)$，位似变换后向量$\overrightarrow{DC_1}=k·\overrightarrow{DC}=2×(0,4)=(0,8)$，
因此$C_1$的坐标为$(2+0,0+8)=(2,8)$。
综上可得$k=2$，点$C_1$坐标为$(2,8)$。
【答案】
A
【知识点】
位似的性质，坐标与图形变换，两点间距离公式
【点评】
本题是位似变换的基础应用题，重点考查对位似比定义的理解和位似变换下坐标变化规律的应用，只要能准确读取网格中点的坐标，结合位似的基本性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
4.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点A的坐标为(0,1)，则点E的坐标是
$(\sqrt{2},\sqrt{2})$
。答案
4.$(\sqrt{2},\sqrt{2})$
解析
【分析】
解题时首先从已知点A的坐标入手，先得到正方形OABC的边长，再结合位似图形的性质：两个位似图形的对应边长之比等于相似比，求出正方形ODEF的边长，最后根据正方形ODEF的顶点在坐标轴上的位置特点，即可确定点E的坐标。
【解析】
∵点A的坐标为(0,1)，正方形OABC中OA为边长，
∴正方形OABC的边长为1，对应顶点B的坐标为(1,1)。
∵正方形OABC与正方形ODEF位似，位似中心为原点O，相似比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$（即OABC与ODEF的边长比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴正方形ODEF的边长为$1÷\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。
又
∵正方形ODEF的顶点D在y轴正半轴、F在x轴正半轴，点E是右上角顶点，
∴点E的横、纵坐标均等于正方形ODEF的边长，即E的坐标为$(\sqrt{2},\sqrt{2})$。
【答案】
$(\sqrt{2},\sqrt{2})$
【知识点】
位似图形的性质；正方形的性质；坐标与图形性质
【点评】
本题是位似图形性质的基础应用题，解题的核心是准确理解位似比的对应关系，结合正方形边与坐标轴重合的位置特征，就能快速求出对应点坐标，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知点A的坐标入手，先得到正方形OABC的边长，再结合位似图形的性质：两个位似图形的对应边长之比等于相似比，求出正方形ODEF的边长，最后根据正方形ODEF的顶点在坐标轴上的位置特点，即可确定点E的坐标。
【解析】
∵点A的坐标为(0,1)，正方形OABC中OA为边长，
∴正方形OABC的边长为1，对应顶点B的坐标为(1,1)。
∵正方形OABC与正方形ODEF位似，位似中心为原点O，相似比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$（即OABC与ODEF的边长比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴正方形ODEF的边长为$1÷\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。
又
∵正方形ODEF的顶点D在y轴正半轴、F在x轴正半轴，点E是右上角顶点，
∴点E的横、纵坐标均等于正方形ODEF的边长，即E的坐标为$(\sqrt{2},\sqrt{2})$。
【答案】
$(\sqrt{2},\sqrt{2})$
【知识点】
位似图形的性质；正方形的性质；坐标与图形性质
【点评】
本题是位似图形性质的基础应用题，解题的核心是准确理解位似比的对应关系，结合正方形边与坐标轴重合的位置特征，就能快速求出对应点坐标，难度不大。
【难度系数】
0.7
5.如图,在平面直角坐标系中有两点A(6,2),B(6,0),以坐标原点为位似中心,相似比为$\frac{1}{2}$作线段A'B',则线段AB的对应线段A'B'的长为(
A.1
B.2
C.1或4
D.2或6
C
)。A.1
B.2
C.1或4
D.2或6
答案
5.C
解析
【分析】
首先计算原线段AB的长度：A、B两点横坐标相同，因此AB为竖直方向的线段，长度等于两点纵坐标差的绝对值。再结合位似图形的性质分析：位似图形的对应线段长度比等于相似比，本题未明确相似比的对应顺序，需分两种情况讨论：①新线段A'B'与原线段AB的相似比为$\frac{1}{2}$；②原线段AB与新线段A'B'的相似比为$\frac{1}{2}$，分别计算两种情况下A'B'的长度即可。
【解析】
第一步：计算线段AB的长度
已知A(6,2)，B(6,0)，两点横坐标相等，因此AB的长度为纵坐标差的绝对值：
$AB = |2 - 0| = 2$
第二步：分情况讨论A'B'的长度
位似图形对应线段的比等于相似比，分两种情况：
① 当相似比为$A'B':AB = 1:2$时，$\frac{A'B'}{AB}=\frac{1}{2}$，代入AB=2得：
$A'B' = 2 × \frac{1}{2} = 1$
② 当相似比为$AB:A'B' = 1:2$时，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}$，代入AB=2得：
$A'B' = 2 ÷ \frac{1}{2} = 4$
因此线段A'B'的长为1或4，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；两点间距离计算；相似比的概念
【点评】
本题考查位似相关知识，解题的关键是掌握位似图形对应线段比等于相似比的性质，易错点是容易忽略相似比的两种对应顺序，只计算一种情况导致漏解，需要注意分类讨论思想的运用。
【难度系数】
0.65
首先计算原线段AB的长度：A、B两点横坐标相同，因此AB为竖直方向的线段，长度等于两点纵坐标差的绝对值。再结合位似图形的性质分析：位似图形的对应线段长度比等于相似比，本题未明确相似比的对应顺序，需分两种情况讨论：①新线段A'B'与原线段AB的相似比为$\frac{1}{2}$；②原线段AB与新线段A'B'的相似比为$\frac{1}{2}$，分别计算两种情况下A'B'的长度即可。
【解析】
第一步：计算线段AB的长度
已知A(6,2)，B(6,0)，两点横坐标相等，因此AB的长度为纵坐标差的绝对值：
$AB = |2 - 0| = 2$
第二步：分情况讨论A'B'的长度
位似图形对应线段的比等于相似比，分两种情况：
① 当相似比为$A'B':AB = 1:2$时，$\frac{A'B'}{AB}=\frac{1}{2}$，代入AB=2得：
$A'B' = 2 × \frac{1}{2} = 1$
② 当相似比为$AB:A'B' = 1:2$时，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}$，代入AB=2得：
$A'B' = 2 ÷ \frac{1}{2} = 4$
因此线段A'B'的长为1或4，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；两点间距离计算；相似比的概念
【点评】
本题考查位似相关知识，解题的关键是掌握位似图形对应线段比等于相似比的性质，易错点是容易忽略相似比的两种对应顺序，只计算一种情况导致漏解，需要注意分类讨论思想的运用。
【难度系数】
0.65
