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7.按如下方法将$△ ABC$的三边缩小为原来的$\frac{1}{2}$:如图,任取一点$O$,连接$AO$,$BO$,$CO$,并取它们的中点$D$,$E$,$F$,连接$DE$,$DF$,$EF$,得到$△ DEF$,则下列说法正确的有(
①$△ ABC$与$△ DEF$是位似图形；
②$△ ABC$与$△ DEF$是相似图形；
③$△ ABC$与$△ DEF$周长的比为$2$；
④$△ ABC$与$△ DEF$面积的比为$4$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)。①$△ ABC$与$△ DEF$是位似图形；
②$△ ABC$与$△ DEF$是相似图形；
③$△ ABC$与$△ DEF$周长的比为$2$；
④$△ ABC$与$△ DEF$面积的比为$4$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
7.D
解析
【分析】
解题时先回忆位似图形的定义、位似与相似的关系，再结合相似三角形的周长、面积比与相似比的关系逐一判断四个说法：首先根据中位线性质可得两个三角形对应边的关系，进而判断是否为位似图形；再由位似与相似的关系判断是否相似；最后根据相似比计算周长比和面积比即可。
【解析】
1. 判断①：由题意可知，△ABC和△DEF的对应顶点连线AO、BO、CO都交于点O，且D、E、F分别是AO、BO、CO的中点，根据三角形中位线性质，可得$DE// AB$，$EF// BC$，$DF// AC$，且$DE=\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}AC$，符合位似图形的定义，故△ABC与△DEF是位似图形，①正确。
2. 判断②：位似图形是特殊的相似图形，因此△ABC与△DEF是相似图形，②正确。
3. 判断③：相似三角形的周长比等于相似比，两个三角形的相似比为$AB:DE=2:1$，因此周长比为2，③正确。
4. 判断④：相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此面积比为$2^2:1^2=4:1$，即面积比为4，④正确。
综上，4个说法都正确。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质，相似三角形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题对位似图形的判定、位似与相似的关系及相似三角形的性质进行了综合考查，核心是明确相似比和周长比、面积比的对应关系，属于基础考点。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆位似图形的定义、位似与相似的关系，再结合相似三角形的周长、面积比与相似比的关系逐一判断四个说法：首先根据中位线性质可得两个三角形对应边的关系，进而判断是否为位似图形；再由位似与相似的关系判断是否相似；最后根据相似比计算周长比和面积比即可。
【解析】
1. 判断①：由题意可知，△ABC和△DEF的对应顶点连线AO、BO、CO都交于点O，且D、E、F分别是AO、BO、CO的中点，根据三角形中位线性质，可得$DE// AB$，$EF// BC$，$DF// AC$，且$DE=\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}AC$，符合位似图形的定义，故△ABC与△DEF是位似图形，①正确。
2. 判断②：位似图形是特殊的相似图形，因此△ABC与△DEF是相似图形，②正确。
3. 判断③：相似三角形的周长比等于相似比，两个三角形的相似比为$AB:DE=2:1$，因此周长比为2，③正确。
4. 判断④：相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此面积比为$2^2:1^2=4:1$，即面积比为4，④正确。
综上，4个说法都正确。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质，相似三角形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题对位似图形的判定、位似与相似的关系及相似三角形的性质进行了综合考查，核心是明确相似比和周长比、面积比的对应关系，属于基础考点。
【难度系数】
0.8
8.由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，$∠ AOB = ∠ BOC = ∠ COD = \dots = ∠ LOM = 30°$。若$S_{△ AOB} = 1$，则图中与$△ AOB$位似的三角形的面积为(
A.$(\dfrac{4}{3})^3$
B.$(\dfrac{4}{3})^7$
C.$(\dfrac{4}{3})^6$
D.$(\dfrac{3}{4})^6$
C
)。A.$(\dfrac{4}{3})^3$
B.$(\dfrac{4}{3})^7$
C.$(\dfrac{4}{3})^6$
D.$(\dfrac{3}{4})^6$
答案
8.C
解析
【分析】
首先回忆位似图形的判定规则：两个图形不仅相似，且对应顶点连线交于同一点（位似中心）、对应边互相平行，即为位似图形。解题步骤如下：①先找与△AOB位似的三角形：所有直角三角形都含30°角，均相似；△AOB的直角边AB垂直于OM、OA在OM上，要满足对应边平行，需找到直角在与OM共线的边上的三角形，从OA出发逆时针转6个30°共180°，得到的△GOH的直角边GH垂直于与OM共线的OG，对应边互相平行、顶点连线过O，就是所求位似三角形。②再利用30°直角三角形的边角关系推导相似比：相邻三角形对应边的比值为$\frac{2}{\sqrt{3}}$，共经过6次放大得到对应边的比，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方计算面积即可。
【解析】
解：在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=30°$，$∠ OAB=90°$，
由余弦定义得$\cos30°=\frac{OA}{OB}$，即$\frac{OB}{OA}=\frac{1}{\cos30°}=\frac{2}{\sqrt{3}}$，同理可得每个相邻直角三角形的对应边比值均为$\frac{2}{\sqrt{3}}$。
要找与$△ AOB$位似的三角形：$△ AOB$的$AB⊥ OM$，$OA$在射线$OM$上，逆时针转6个$30°$总角度为$6×30°=180°$，此时射线$OG$与$OM$共线，$Rt△ GOH$的直角在$G$，即$GH⊥ OG$，因此$GH// AB$、$OG// OA$，对应顶点连线均过$O$，故$△ GOH$与$△ AOB$位似，位似中心为$O$。
从$OA$到$OG$共经过6次边长放大，故两个三角形的相似比$k=\frac{OG}{OA}=(\frac{2}{\sqrt{3}})^6$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且$S_{△ AOB}=1$，得：
$S_{△ GOH}=S_{△ AOB}× k^2=1×[(\frac{2}{\sqrt{3}})^6]^2=(\frac{2}{\sqrt{3}})^{12}=(\frac{4}{3})^6$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的判定，含30°角直角三角形的性质，相似三角形的性质
【点评】
本题综合考查了位似、直角三角形边角关系、相似三角形性质的应用，解题核心是先准确识别位似图形，再推导出边长的变化规律得到相似比，最后结合面积比的性质求解，对图形观察能力和规律推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
首先回忆位似图形的判定规则：两个图形不仅相似，且对应顶点连线交于同一点（位似中心）、对应边互相平行，即为位似图形。解题步骤如下：①先找与△AOB位似的三角形：所有直角三角形都含30°角，均相似；△AOB的直角边AB垂直于OM、OA在OM上，要满足对应边平行，需找到直角在与OM共线的边上的三角形，从OA出发逆时针转6个30°共180°，得到的△GOH的直角边GH垂直于与OM共线的OG，对应边互相平行、顶点连线过O，就是所求位似三角形。②再利用30°直角三角形的边角关系推导相似比：相邻三角形对应边的比值为$\frac{2}{\sqrt{3}}$，共经过6次放大得到对应边的比，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方计算面积即可。
【解析】
解：在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=30°$，$∠ OAB=90°$，
由余弦定义得$\cos30°=\frac{OA}{OB}$，即$\frac{OB}{OA}=\frac{1}{\cos30°}=\frac{2}{\sqrt{3}}$，同理可得每个相邻直角三角形的对应边比值均为$\frac{2}{\sqrt{3}}$。
要找与$△ AOB$位似的三角形：$△ AOB$的$AB⊥ OM$，$OA$在射线$OM$上，逆时针转6个$30°$总角度为$6×30°=180°$，此时射线$OG$与$OM$共线，$Rt△ GOH$的直角在$G$，即$GH⊥ OG$，因此$GH// AB$、$OG// OA$，对应顶点连线均过$O$，故$△ GOH$与$△ AOB$位似，位似中心为$O$。
从$OA$到$OG$共经过6次边长放大，故两个三角形的相似比$k=\frac{OG}{OA}=(\frac{2}{\sqrt{3}})^6$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且$S_{△ AOB}=1$，得：
$S_{△ GOH}=S_{△ AOB}× k^2=1×[(\frac{2}{\sqrt{3}})^6]^2=(\frac{2}{\sqrt{3}})^{12}=(\frac{4}{3})^6$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的判定，含30°角直角三角形的性质，相似三角形的性质
【点评】
本题综合考查了位似、直角三角形边角关系、相似三角形性质的应用，解题核心是先准确识别位似图形，再推导出边长的变化规律得到相似比，最后结合面积比的性质求解，对图形观察能力和规律推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
9.如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是点
P
。答案
9.P
解析
【分析】
要确定两个位似三角形的位似中心，首先回忆位似中心的定义：位似图形的位似中心是各组对应顶点连线的公共交点。因此解题思路为：1. 找出两个三角形的两组对应顶点；2. 分别连接每组对应顶点并延长，得到两条直线；3. 两条直线的交点即为所求的位似中心。
【解析】
根据位似图形的性质，位似中心是位似图形所有对应顶点连线的公共交点。
选取两个三角形的两组对应顶点，分别作连线并延长，可发现这两条连线的交点为点P，即两个三角形的所有对应顶点连线都经过点P，因此它们的位似中心是点P。
【答案】
P
【知识点】
位似图形的性质；位似中心的确定
【点评】
本题考查位似中心的确定，属于基础概念题，核心是掌握位似中心是位似图形对应顶点连线的交点这一概念即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要确定两个位似三角形的位似中心，首先回忆位似中心的定义：位似图形的位似中心是各组对应顶点连线的公共交点。因此解题思路为：1. 找出两个三角形的两组对应顶点；2. 分别连接每组对应顶点并延长，得到两条直线；3. 两条直线的交点即为所求的位似中心。
【解析】
根据位似图形的性质，位似中心是位似图形所有对应顶点连线的公共交点。
选取两个三角形的两组对应顶点，分别作连线并延长，可发现这两条连线的交点为点P，即两个三角形的所有对应顶点连线都经过点P，因此它们的位似中心是点P。
【答案】
P
【知识点】
位似图形的性质；位似中心的确定
【点评】
本题考查位似中心的确定，属于基础概念题，核心是掌握位似中心是位似图形对应顶点连线的交点这一概念即可快速求解。
【难度系数】
0.9
10.如图,点O是△ABC与△D₁E₁F₁的位似中心,△ABC的周长为1。若D₁,E₁,F₁分别是线段OA,OB,OC的中点,则△D₁E₁F₁的周长为$\frac{1}{2}$;若$OD_{2}=\frac{1}{3}OA$,$OE_{2}=\frac{1}{3}OB,OF_{2}=\frac{1}{3}OC$,则△D₂E₂F₂的周长为$\frac{1}{3}$……若$OD_{n}=\frac{1}{n+1}OA$,$OE_{n}=\frac{1}{n+1}OB,OF_{n}=\frac{1}{n+1}OC$,则△DₙEₙFₙ的周长为
$\frac{1}{n+1}$
。(用正整数n表示)答案
10.$\frac{1}{n+1}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆位似图形的相关性质：位似图形是特殊的相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离之比，而相似三角形的周长比等于相似比。我们先确定△DₙEₙFₙ与△ABC的相似比，再结合△ABC的周长为1，就能求出△DₙEₙFₙ的周长，也可以结合题目给出的前几种情况的规律推导通用表达式。
【解析】
∵点O是△ABC与△DₙEₙFₙ的位似中心，且$OD_{n}=\frac{1}{n+1}OA$，$OE_{n}=\frac{1}{n+1}OB$，$OF_{n}=\frac{1}{n+1}OC$，
∴△DₙEₙFₙ与△ABC的相似比为$\frac{1}{n+1}$。
∵相似三角形的周长比等于相似比，且△ABC的周长为1，
∴△DₙEₙFₙ的周长为$1×\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n+1}$。
【答案】
$\frac{1}{n+1}$
【知识点】
位似的性质，相似三角形周长性质，规律探究
【点评】
本题将位似图形性质、相似三角形性质和规律探究结合考查，解题核心是明确位似图形的相似比与对应点到位似中心距离的关系，再结合相似三角形周长比等于相似比即可推导结论，也可通过观察题干给出的示例规律直接得到结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆位似图形的相关性质：位似图形是特殊的相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离之比，而相似三角形的周长比等于相似比。我们先确定△DₙEₙFₙ与△ABC的相似比，再结合△ABC的周长为1，就能求出△DₙEₙFₙ的周长，也可以结合题目给出的前几种情况的规律推导通用表达式。
【解析】
∵点O是△ABC与△DₙEₙFₙ的位似中心，且$OD_{n}=\frac{1}{n+1}OA$，$OE_{n}=\frac{1}{n+1}OB$，$OF_{n}=\frac{1}{n+1}OC$，
∴△DₙEₙFₙ与△ABC的相似比为$\frac{1}{n+1}$。
∵相似三角形的周长比等于相似比，且△ABC的周长为1，
∴△DₙEₙFₙ的周长为$1×\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n+1}$。
【答案】
$\frac{1}{n+1}$
【知识点】
位似的性质，相似三角形周长性质，规律探究
【点评】
本题将位似图形性质、相似三角形性质和规律探究结合考查，解题核心是明确位似图形的相似比与对应点到位似中心距离的关系，再结合相似三角形周长比等于相似比即可推导结论，也可通过观察题干给出的示例规律直接得到结果。
【难度系数】
0.8
11.如图,在水平桌面上的两个“E”字形图案为位似图形,观测点O为位似中心,在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同。
(1)图中$b_1,b_2,l_1,l_2$满足怎样的关系式?
(2)若$b_1=3.2\ \mathrm{cm},b_2=2\ \mathrm{cm}$,①号“E”的测试距离$l_1=8\ \mathrm{m}$,要使测得的视力相同,则用②号“E”的测试距离$l_2$应为多少?
(1)图中$b_1,b_2,l_1,l_2$满足怎样的关系式?
(2)若$b_1=3.2\ \mathrm{cm},b_2=2\ \mathrm{cm}$,①号“E”的测试距离$l_1=8\ \mathrm{m}$,要使测得的视力相同,则用②号“E”的测试距离$l_2$应为多少?
答案
11.解:(1)连接$P_1D_1,P_2D_2$。
$∵P_1D_1// P_2D_2$,
$∴∠OP_1D_1 = ∠OP_2D_2,∠OD_1P_1 = ∠OD_2P_2$,
$∴△P_1D_1O ∽△P_2D_2O$。
$∴\frac{P_1D_1}{P_2D_2}=\frac{D_1O}{D_2O},即\frac{b_1}{b_2}=\frac{l_1}{l_2}$。
(2)$∵\frac{b_1}{b_2}=\frac{l_1}{l_2},且b_1=3.2\ \mathrm{cm},b_2=2\ \mathrm{cm}$,
$l_1=8\ \mathrm{m}$,
$∴\frac{3.2}{2}=\frac{8}{l_2}$,
$∴l_2=5$,即②号“E”的测试距离$l_2$应为5 m。
$∵P_1D_1// P_2D_2$,
$∴∠OP_1D_1 = ∠OP_2D_2,∠OD_1P_1 = ∠OD_2P_2$,
$∴△P_1D_1O ∽△P_2D_2O$。
$∴\frac{P_1D_1}{P_2D_2}=\frac{D_1O}{D_2O},即\frac{b_1}{b_2}=\frac{l_1}{l_2}$。
(2)$∵\frac{b_1}{b_2}=\frac{l_1}{l_2},且b_1=3.2\ \mathrm{cm},b_2=2\ \mathrm{cm}$,
$l_1=8\ \mathrm{m}$,
$∴\frac{3.2}{2}=\frac{8}{l_2}$,
$∴l_2=5$,即②号“E”的测试距离$l_2$应为5 m。
解析
【分析】
(1) 已知两个“E”是以O为位似中心的位似图形，位似图形的对应边互相平行，因此可连接$P_1D_1$、$P_2D_2$，证明$△ P_1D_1O$和$△ P_2D_2O$相似，再根据相似三角形对应边成比例，就能推出$b_1,b_2,l_1,l_2$的数量关系。
(2) 第二问为代入求值题，将已知的$b_1、b_2、l_1$数值直接代入第一问得到的比例式，解关于$l_2$的方程即可，本题中同类量单位一致，无需额外换算。
【解析】
(1) 连接$P_1D_1,P_2D_2$。
$∵$ 两个“E”是关于点$O$的位似图形，
$∴P_1D_1// P_2D_2$，
$∴∠OP_1D_1 = ∠OP_2D_2,∠OD_1P_1 = ∠OD_2P_2$，
$∴△P_1D_1O ∽△P_2D_2O$。
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{P_1D_1}{P_2D_2}=\frac{D_1O}{D_2O}$，即$\frac{b_1}{b_2}=\frac{l_1}{l_2}$。
(2) 将$b_1=3.2\ \mathrm{cm},b_2=2\ \mathrm{cm}$，$l_1=8\ \mathrm{m}$代入$\frac{b_1}{b_2}=\frac{l_1}{l_2}$，得：
$\frac{3.2}{2}=\frac{8}{l_2}$
交叉相乘得：$3.2l_2=16$
解得：$l_2=5\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\frac{b_1}{b_2}=\frac{l_1}{l_2}$；
(2) $5\ \mathrm{m}$
【知识点】
位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，解比例
【点评】
本题结合视力测试的实际场景考查位似与相似的应用，解题核心是利用位似对应边平行的性质得到相似三角形，进而建立线段比例关系求解，属于基础应用题，掌握相关基础性质即可解答。
【难度系数】
0.7
(1) 已知两个“E”是以O为位似中心的位似图形，位似图形的对应边互相平行，因此可连接$P_1D_1$、$P_2D_2$，证明$△ P_1D_1O$和$△ P_2D_2O$相似，再根据相似三角形对应边成比例，就能推出$b_1,b_2,l_1,l_2$的数量关系。
(2) 第二问为代入求值题，将已知的$b_1、b_2、l_1$数值直接代入第一问得到的比例式，解关于$l_2$的方程即可，本题中同类量单位一致，无需额外换算。
【解析】
(1) 连接$P_1D_1,P_2D_2$。
$∵$ 两个“E”是关于点$O$的位似图形，
$∴P_1D_1// P_2D_2$，
$∴∠OP_1D_1 = ∠OP_2D_2,∠OD_1P_1 = ∠OD_2P_2$，
$∴△P_1D_1O ∽△P_2D_2O$。
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{P_1D_1}{P_2D_2}=\frac{D_1O}{D_2O}$，即$\frac{b_1}{b_2}=\frac{l_1}{l_2}$。
(2) 将$b_1=3.2\ \mathrm{cm},b_2=2\ \mathrm{cm}$，$l_1=8\ \mathrm{m}$代入$\frac{b_1}{b_2}=\frac{l_1}{l_2}$，得：
$\frac{3.2}{2}=\frac{8}{l_2}$
交叉相乘得：$3.2l_2=16$
解得：$l_2=5\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\frac{b_1}{b_2}=\frac{l_1}{l_2}$；
(2) $5\ \mathrm{m}$
【知识点】
位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，解比例
【点评】
本题结合视力测试的实际场景考查位似与相似的应用，解题核心是利用位似对应边平行的性质得到相似三角形，进而建立线段比例关系求解，属于基础应用题，掌握相关基础性质即可解答。
【难度系数】
0.7
