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12. 在直角坐标系中，长方形ABCD的边AB可表示为$(0,y)(-1≤ y≤ 2)$，边BC可表示为$(x,2)(0≤ x≤ 4)$。
（1）在直角坐标系中画出长方形ABCD。
（2）写出长方形各顶点的坐标。
（3）求长方形ABCD的周长。
（1）在直角坐标系中画出长方形ABCD。
（2）写出长方形各顶点的坐标。
（3）求长方形ABCD的周长。
答案
12. (1) 图略。 (2) $A(0,-1),B(0,2),C(4,2),D(4,-1)$。
(3) 长方形 ABCD 的周长为 14。
(3) 长方形 ABCD 的周长为 14。
解析
【分析】
解题时先从题目给出的边的坐标特征入手：①求顶点坐标时，先根据AB的坐标表示（横坐标恒为0，y的取值范围是-1到2）确定A、B两点的坐标，再根据BC的坐标表示（纵坐标恒为2，x的取值范围是0到4）确定C点坐标，最后结合长方形对边平行且相等的性质推出D点坐标；②求周长时，先计算长方形相邻两边的长度，再代入长方形周长公式计算即可；画图时只需描出四个顶点再顺次连接即可。
【解析】
(1) 先描出四个顶点，再顺次连接即可得到长方形ABCD，图略。
(2) 由边AB表示为$(0,y)(-1≤ y≤ 2)$，可知AB上所有点的横坐标均为0，因此A、B的横坐标为0：当$y=-1$时得到点$A(0,-1)$，当$y=2$时得到点$B(0,2)$。
由边BC表示为$(x,2)(0≤ x≤ 4)$，可知BC上所有点的纵坐标均为2，因此C点纵坐标为2，取x的最大值4，得点$C(4,2)$。
因为ABCD是长方形，CD与AB平行，AD与BC平行，因此D点横坐标与C点相同为4，纵坐标与A点相同为-1，即$D(4,-1)$。
(3) 先计算相邻两边的长度：
AB的长度：$2-(-1)=3$
BC的长度：$4-0=4$
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，代入得：
$C=2×(3+4)=14$
【答案】
(1) 图略；(2) $A(0,-1),B(0,2),C(4,2),D(4,-1)$；(3) 14
【知识点】
平面直角坐标系点的特征、长方形的性质、长方形周长计算
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何图形结合的基础题，解题核心是通过边的坐标特征确定顶点坐标，再结合图形性质求解，能帮助学生巩固坐标与图形的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时先从题目给出的边的坐标特征入手：①求顶点坐标时，先根据AB的坐标表示（横坐标恒为0，y的取值范围是-1到2）确定A、B两点的坐标，再根据BC的坐标表示（纵坐标恒为2，x的取值范围是0到4）确定C点坐标，最后结合长方形对边平行且相等的性质推出D点坐标；②求周长时，先计算长方形相邻两边的长度，再代入长方形周长公式计算即可；画图时只需描出四个顶点再顺次连接即可。
【解析】
(1) 先描出四个顶点，再顺次连接即可得到长方形ABCD，图略。
(2) 由边AB表示为$(0,y)(-1≤ y≤ 2)$，可知AB上所有点的横坐标均为0，因此A、B的横坐标为0：当$y=-1$时得到点$A(0,-1)$，当$y=2$时得到点$B(0,2)$。
由边BC表示为$(x,2)(0≤ x≤ 4)$，可知BC上所有点的纵坐标均为2，因此C点纵坐标为2，取x的最大值4，得点$C(4,2)$。
因为ABCD是长方形，CD与AB平行，AD与BC平行，因此D点横坐标与C点相同为4，纵坐标与A点相同为-1，即$D(4,-1)$。
(3) 先计算相邻两边的长度：
AB的长度：$2-(-1)=3$
BC的长度：$4-0=4$
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，代入得：
$C=2×(3+4)=14$
【答案】
(1) 图略；(2) $A(0,-1),B(0,2),C(4,2),D(4,-1)$；(3) 14
【知识点】
平面直角坐标系点的特征、长方形的性质、长方形周长计算
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何图形结合的基础题，解题核心是通过边的坐标特征确定顶点坐标，再结合图形性质求解，能帮助学生巩固坐标与图形的对应关系。
【难度系数】
0.8
13. 如图，已知点$A(-1,0),C(1,4)$，点$B$在$x$轴上，且$AB＝3$。
（1）写出点$B$的坐标。
（2）求$△ ABC$的面积。
（3）在$y$轴上是否存在点$P$，使以$A,B,P$三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）写出点$B$的坐标。
（2）求$△ ABC$的面积。
（3）在$y$轴上是否存在点$P$，使以$A,B,P$三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
13. (1) $B(2,0)$或 $B(-4,0)$。(2) $△ ABC$ 的面积为 6。(3) $P(0,\dfrac{20}{3})$或$(0,-\dfrac{20}{3})$。
解析
【分析】
（1）解决第一问时，先明确x轴上的点纵坐标为0，点B与点A都在x轴上，两点距离为横坐标差的绝对值，已知AB=3，需分点B在点A的左侧、右侧两种情况讨论，即可求出B的横坐标，得到坐标。
（2）第二问求三角形面积，AB边在x轴上，可将AB作为底，长度为3，点C到AB边的高就是点C的纵坐标的绝对值（因为AB在x轴上，点到x轴的距离等于纵坐标绝对值），代入三角形面积公式即可计算。
（3）第三问先假设存在点P在y轴上，y轴上的点横坐标为0，设P的坐标为(0,y)，以AB为底的话，△ABP的高是点P到x轴的距离即|y|，结合面积为10列方程，求解得到y的正负两种取值，即可得到P的坐标。
【解析】
（1）
∵点B在x轴上，
∴点B的纵坐标为0，设点B的坐标为$(x,0)$。
已知$A(-1,0)$，$AB=3$，x轴上两点距离为横坐标差的绝对值，因此$|x - (-1)|=3$，即$|x+1|=3$。
当$x+1=3$时，$x=2$；当$x+1=-3$时，$x=-4$。
∴点B的坐标为$(2,0)$或$(-4,0)$。
（2）
∵AB在x轴上，$AB=3$，点$C(1,4)$，
∴点C到AB边的高为C的纵坐标4。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×4=6$。
（3）存在。设点P的坐标为$(0,y)$，点P在y轴上，到x轴的距离为$|y|$，即$△ ABP$中AB边上的高为$|y|$。
已知$S_{△ ABP}=10$，$AB=3$，代入面积公式得：$\frac{1}{2}×3×|y|=10$，解得$|y|=\frac{20}{3}$。
∴$y=\frac{20}{3}$或$y=-\frac{20}{3}$，即点P的坐标为$(0,\frac{20}{3})$或$(0,-\frac{20}{3})$。
【答案】
(1) $B(2,0)$或 $B(-4,0)$；(2) $△ ABC$ 的面积为 6；(3) 存在，$P(0,\dfrac{20}{3})$或$(0,-\dfrac{20}{3})$
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标特征，两点间距离计算，三角形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系与几何计算的结合，解题时要注意点的位置存在多种可能，需分类讨论避免漏解，整体解题思路清晰，重点考查分类讨论思想和基础公式的应用。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问时，先明确x轴上的点纵坐标为0，点B与点A都在x轴上，两点距离为横坐标差的绝对值，已知AB=3，需分点B在点A的左侧、右侧两种情况讨论，即可求出B的横坐标，得到坐标。
（2）第二问求三角形面积，AB边在x轴上，可将AB作为底，长度为3，点C到AB边的高就是点C的纵坐标的绝对值（因为AB在x轴上，点到x轴的距离等于纵坐标绝对值），代入三角形面积公式即可计算。
（3）第三问先假设存在点P在y轴上，y轴上的点横坐标为0，设P的坐标为(0,y)，以AB为底的话，△ABP的高是点P到x轴的距离即|y|，结合面积为10列方程，求解得到y的正负两种取值，即可得到P的坐标。
【解析】
（1）
∵点B在x轴上，
∴点B的纵坐标为0，设点B的坐标为$(x,0)$。
已知$A(-1,0)$，$AB=3$，x轴上两点距离为横坐标差的绝对值，因此$|x - (-1)|=3$，即$|x+1|=3$。
当$x+1=3$时，$x=2$；当$x+1=-3$时，$x=-4$。
∴点B的坐标为$(2,0)$或$(-4,0)$。
（2）
∵AB在x轴上，$AB=3$，点$C(1,4)$，
∴点C到AB边的高为C的纵坐标4。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×4=6$。
（3）存在。设点P的坐标为$(0,y)$，点P在y轴上，到x轴的距离为$|y|$，即$△ ABP$中AB边上的高为$|y|$。
已知$S_{△ ABP}=10$，$AB=3$，代入面积公式得：$\frac{1}{2}×3×|y|=10$，解得$|y|=\frac{20}{3}$。
∴$y=\frac{20}{3}$或$y=-\frac{20}{3}$，即点P的坐标为$(0,\frac{20}{3})$或$(0,-\frac{20}{3})$。
【答案】
(1) $B(2,0)$或 $B(-4,0)$；(2) $△ ABC$ 的面积为 6；(3) 存在，$P(0,\dfrac{20}{3})$或$(0,-\dfrac{20}{3})$
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标特征，两点间距离计算，三角形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系与几何计算的结合，解题时要注意点的位置存在多种可能，需分类讨论避免漏解，整体解题思路清晰，重点考查分类讨论思想和基础公式的应用。
【难度系数】
0.7
