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1.用配方法解下列方程时，配方有错误的是()
A.$x^2 -2x -99=0$化为$(x-1)^2=100$
B.$x^2 +8x +9=0$化为$(x+4)^2=25$
C.$2x^2 -7x -4=0$化为$(x-\frac{7}{4})^2=\frac{81}{16}$
D.$3x^2 -4x -2=0$化为$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{10}{9}$
A.$x^2 -2x -99=0$化为$(x-1)^2=100$
B.$x^2 +8x +9=0$化为$(x+4)^2=25$
C.$2x^2 -7x -4=0$化为$(x-\frac{7}{4})^2=\frac{81}{16}$
D.$3x^2 -4x -2=0$化为$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{10}{9}$
答案
B
解析
【分析】
要解这道题，首先要明确配方法解一元二次方程的标准步骤：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②将常数项移到等号右侧；③等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方；④将等号左侧整理为完全平方式，合并右侧常数项。我们只需逐个验证每个选项的配方过程是否符合上述步骤，就能找出配方错误的选项。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A. 方程$x^2 -2x -99=0$，移项得$x^2 -2x=99$，一次项系数为-2，其一半的平方为$(-1)^2=1$，两边同时加1得$x^2-2x+1=99+1$，即$(x-1)^2=100$，配方正确。
B. 方程$x^2 +8x +9=0$，移项得$x^2 +8x=-9$，一次项系数为8，其一半的平方为$4^2=16$，两边同时加16得$x^2+8x+16=-9+16$，即$(x+4)^2=7$，并非$(x+4)^2=25$，配方错误。
C. 方程$2x^2 -7x -4=0$，先将二次项系数化为1得$x^2-\frac{7}{2}x-2=0$，移项得$x^2-\frac{7}{2}x=2$，一次项系数为$-\frac{7}{2}$，其一半的平方为$(-\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}$，两边同时加$\frac{49}{16}$得$x^2-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$，即$(x-\frac{7}{4})^2=\frac{81}{16}$，配方正确。
D. 方程$3x^2 -4x -2=0$，先将二次项系数化为1得$x^2-\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}=0$，移项得$x^2-\frac{4}{3}x=\frac{2}{3}$，一次项系数为$-\frac{4}{3}$，其一半的平方为$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，两边同时加$\frac{4}{9}$得$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{2}{3}+\frac{4}{9}$，即$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{10}{9}$，配方正确。
综上，配方有错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基本应用，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意二次项系数不为1时要先化系数为1再配方，移项时也要注意符号变化，属于基础运算类题型。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先要明确配方法解一元二次方程的标准步骤：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②将常数项移到等号右侧；③等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方；④将等号左侧整理为完全平方式，合并右侧常数项。我们只需逐个验证每个选项的配方过程是否符合上述步骤，就能找出配方错误的选项。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A. 方程$x^2 -2x -99=0$，移项得$x^2 -2x=99$，一次项系数为-2，其一半的平方为$(-1)^2=1$，两边同时加1得$x^2-2x+1=99+1$，即$(x-1)^2=100$，配方正确。
B. 方程$x^2 +8x +9=0$，移项得$x^2 +8x=-9$，一次项系数为8，其一半的平方为$4^2=16$，两边同时加16得$x^2+8x+16=-9+16$，即$(x+4)^2=7$，并非$(x+4)^2=25$，配方错误。
C. 方程$2x^2 -7x -4=0$，先将二次项系数化为1得$x^2-\frac{7}{2}x-2=0$，移项得$x^2-\frac{7}{2}x=2$，一次项系数为$-\frac{7}{2}$，其一半的平方为$(-\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}$，两边同时加$\frac{49}{16}$得$x^2-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$，即$(x-\frac{7}{4})^2=\frac{81}{16}$，配方正确。
D. 方程$3x^2 -4x -2=0$，先将二次项系数化为1得$x^2-\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}=0$，移项得$x^2-\frac{4}{3}x=\frac{2}{3}$，一次项系数为$-\frac{4}{3}$，其一半的平方为$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，两边同时加$\frac{4}{9}$得$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{2}{3}+\frac{4}{9}$，即$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{10}{9}$，配方正确。
综上，配方有错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基本应用，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意二次项系数不为1时要先化系数为1再配方，移项时也要注意符号变化，属于基础运算类题型。
【难度系数】
0.8
2.将一元二次方程$2x^2 +12x=5$配方后，得到$2(x+c)^2 =b$，则$b+c=$。
答案
解：
对原方程$2x^2 + 12x = 5$进行配方：
先提取二次项系数，得$2(x^2 + 6x) = 5$，
在括号内加上一次项系数一半的平方$3^2=9$，等式两边同时加上$2×9=18$，得：
$2(x^2 + 6x + 9) = 5 + 18$，
整理得$2(x+3)^2 = 23$，
对比$2(x+c)^2 = b$，可得$c=3$，$b=23$，
因此$b+c=23+3=26$。
对原方程$2x^2 + 12x = 5$进行配方：
先提取二次项系数，得$2(x^2 + 6x) = 5$，
在括号内加上一次项系数一半的平方$3^2=9$，等式两边同时加上$2×9=18$，得：
$2(x^2 + 6x + 9) = 5 + 18$，
整理得$2(x+3)^2 = 23$，
对比$2(x+c)^2 = b$，可得$c=3$，$b=23$，
因此$b+c=23+3=26$。
解析
【分析】
要解决本题，需先按配方法的要求将原方程变形为$2(x+c)^2 = b$的形式，再对应求出$b$、$c$的值计算和即可。具体思路为：第一步先提取方程左边二次项的系数2，将含$x$的项整理为二次项系数为1的多项式形式；第二步在括号内凑完全平方，添加一次项系数一半的平方，此时需注意括号外有系数2，等式右侧要同步添加2乘这个平方数，保证等式成立；最后整理配方后的式子，对比形式得到$b$、$c$的值，计算$b+c$。
【解析】
对原方程$2x^2 + 12x = 5$进行配方：
1. 提取二次项系数，得$2(x^2 + 6x) = 5$；
2. 一次项系数为6，其一半的平方为$3^2=9$，等式两边同时加$2×9=18$，得$2(x^2 + 6x + 9) = 5 + 18$；
3. 整理得$2(x+3)^2 = 23$；
对比$2(x+c)^2 = b$，可得$c=3$，$b=23$，因此$b+c=23+3=26$。
【答案】
26
【知识点】
配方法；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题考查配方法的实际应用，解题核心是掌握配方法的操作步骤，尤其要注意提取二次项系数后，补加的常数需要乘提取的系数再加到等式另一侧，避免漏乘导致计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需先按配方法的要求将原方程变形为$2(x+c)^2 = b$的形式，再对应求出$b$、$c$的值计算和即可。具体思路为：第一步先提取方程左边二次项的系数2，将含$x$的项整理为二次项系数为1的多项式形式；第二步在括号内凑完全平方，添加一次项系数一半的平方，此时需注意括号外有系数2，等式右侧要同步添加2乘这个平方数，保证等式成立；最后整理配方后的式子，对比形式得到$b$、$c$的值，计算$b+c$。
【解析】
对原方程$2x^2 + 12x = 5$进行配方：
1. 提取二次项系数，得$2(x^2 + 6x) = 5$；
2. 一次项系数为6，其一半的平方为$3^2=9$，等式两边同时加$2×9=18$，得$2(x^2 + 6x + 9) = 5 + 18$；
3. 整理得$2(x+3)^2 = 23$；
对比$2(x+c)^2 = b$，可得$c=3$，$b=23$，因此$b+c=23+3=26$。
【答案】
26
【知识点】
配方法；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题考查配方法的实际应用，解题核心是掌握配方法的操作步骤，尤其要注意提取二次项系数后，补加的常数需要乘提取的系数再加到等式另一侧，避免漏乘导致计算错误。
【难度系数】
0.7
3.无论$x,y$取何实数,代数式$4x^2+3y^2+8x-12y+7$的值不小于。
答案
解：对代数式进行配方：
$\begin{aligned}4x^2+3y^2+8x-12y+7&=4(x^2+2x)+3(y^2-4y)+7\\&=4(x^2+2x+1-1)+3(y^2-4y+4-4)+7\\&=4(x+1)^2 -4 + 3(y-2)^2 -12 +7\\&=4(x+1)^2 + 3(y-2)^2 -9\end{aligned}$
∵ 无论x,y取何实数，都有$(x+1)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$，
∴ $4(x+1)^2≥0$，$3(y-2)^2≥0$，
∴ $4(x+1)^2 + 3(y-2)^2 -9 ≥ -9$，
即代数式的值不小于$\boldsymbol{-9}$。
$\begin{aligned}4x^2+3y^2+8x-12y+7&=4(x^2+2x)+3(y^2-4y)+7\\&=4(x^2+2x+1-1)+3(y^2-4y+4-4)+7\\&=4(x+1)^2 -4 + 3(y-2)^2 -12 +7\\&=4(x+1)^2 + 3(y-2)^2 -9\end{aligned}$
∵ 无论x,y取何实数，都有$(x+1)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$，
∴ $4(x+1)^2≥0$，$3(y-2)^2≥0$，
∴ $4(x+1)^2 + 3(y-2)^2 -9 ≥ -9$，
即代数式的值不小于$\boldsymbol{-9}$。
解析
【分析】
本题要求代数式的最小值（即不小于的值），对于含多个变量的二次代数式求最值，常用配方法求解：先将含x的项、含y的项分别分组，提取对应二次项系数后配方，将原式转化为“非负项+常数”的形式，再根据平方的非负性即可求出代数式的取值范围，得到最小值。
【解析】
解：对代数式进行配方：
$\begin{aligned}4x^2+3y^2+8x-12y+7&=4(x^2+2x)+3(y^2-4y)+7\\&=4(x^2+2x+1-1)+3(y^2-4y+4-4)+7\\&=4(x+1)^2 -4 + 3(y-2)^2 -12 +7\\&=4(x+1)^2 + 3(y-2)^2 -9\end{aligned}$
∵ 无论x,y取何实数，平方数具有非负性，即$(x+1)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$，
∴ $4(x+1)^2≥0$，$3(y-2)^2≥0$，
∴ $4(x+1)^2 + 3(y-2)^2 -9 ≥ 0+0-9=-9$，
即代数式的值不小于-9。
【答案】
$\boldsymbol{-9}$
【知识点】
配方法；平方的非负性；代数式最值
【点评】
本题是代数式最值类的常规题型，解题核心是熟练掌握配方法，对不同变量的二次式分别配方，结合平方的非负性即可快速求出取值范围，需要注意配方时提取二次项系数后，添加的常数项要对应乘回系数再做抵消，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
本题要求代数式的最小值（即不小于的值），对于含多个变量的二次代数式求最值，常用配方法求解：先将含x的项、含y的项分别分组，提取对应二次项系数后配方，将原式转化为“非负项+常数”的形式，再根据平方的非负性即可求出代数式的取值范围，得到最小值。
【解析】
解：对代数式进行配方：
$\begin{aligned}4x^2+3y^2+8x-12y+7&=4(x^2+2x)+3(y^2-4y)+7\\&=4(x^2+2x+1-1)+3(y^2-4y+4-4)+7\\&=4(x+1)^2 -4 + 3(y-2)^2 -12 +7\\&=4(x+1)^2 + 3(y-2)^2 -9\end{aligned}$
∵ 无论x,y取何实数，平方数具有非负性，即$(x+1)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$，
∴ $4(x+1)^2≥0$，$3(y-2)^2≥0$，
∴ $4(x+1)^2 + 3(y-2)^2 -9 ≥ 0+0-9=-9$，
即代数式的值不小于-9。
【答案】
$\boldsymbol{-9}$
【知识点】
配方法；平方的非负性；代数式最值
【点评】
本题是代数式最值类的常规题型，解题核心是熟练掌握配方法，对不同变量的二次式分别配方，结合平方的非负性即可快速求出取值范围，需要注意配方时提取二次项系数后，添加的常数项要对应乘回系数再做抵消，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
4.已知点A,B,C在数轴上的位置如图所示，O为原点，且O为AB的中点，B为AC的中点。若点B表示的数为x，点C表示的数为$4x^2 -5x -2$，则x的值为。
答案
$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$
解析
【分析】
解题思路：首先根据数轴上点的位置和中点性质，先确定点A表示的数，再利用B是AC中点的关系建立关于x的方程，最后解一元二次方程，结合x的正负性舍去不符合题意的根即可。
第一步：O是AB中点且为原点，故点A和点B表示的数互为相反数，可推出A表示的数；
第二步：根据线段中点的坐标性质，中点表示的数等于两端点表示数的平均值，代入A、B、C的表达式列方程；
第三步：解一元二次方程，结合B在原点右侧，x为正数，舍去负根得到结果。
【解析】
解：
∵O为AB的中点，O是原点，点B表示的数为x，
∴点A表示的数为$-x$。
又
∵B为AC的中点，根据数轴上线段中点的坐标公式：中点表示的数 = （两端点表示数的和）÷2，
∴$x = \frac{(-x) + (4x^2 -5x -2)}{2}$
两边同乘2得：$2x = -x +4x^2 -5x -2$
整理化简得：$2x^2 -4x -1 = 0$
由一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$a=2,b=-4,c=-1$，
代入得：$x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2 -4×2×(-1)}}{2×2}=\frac{4\pm\sqrt{24}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$
∵点B在原点右侧，
∴$x＞0$，
又
∵$\frac{2-\sqrt{6}}{2}＜0$，故舍去该负根，
∴$x=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$
【答案】
$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
数轴的应用；线段中点的性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题综合考查数轴、中点性质和一元二次方程的应用，解题核心是根据中点的数量关系正确列方程，同时要注意结合数轴上点的位置对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先根据数轴上点的位置和中点性质，先确定点A表示的数，再利用B是AC中点的关系建立关于x的方程，最后解一元二次方程，结合x的正负性舍去不符合题意的根即可。
第一步：O是AB中点且为原点，故点A和点B表示的数互为相反数，可推出A表示的数；
第二步：根据线段中点的坐标性质，中点表示的数等于两端点表示数的平均值，代入A、B、C的表达式列方程；
第三步：解一元二次方程，结合B在原点右侧，x为正数，舍去负根得到结果。
【解析】
解：
∵O为AB的中点，O是原点，点B表示的数为x，
∴点A表示的数为$-x$。
又
∵B为AC的中点，根据数轴上线段中点的坐标公式：中点表示的数 = （两端点表示数的和）÷2，
∴$x = \frac{(-x) + (4x^2 -5x -2)}{2}$
两边同乘2得：$2x = -x +4x^2 -5x -2$
整理化简得：$2x^2 -4x -1 = 0$
由一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$a=2,b=-4,c=-1$，
代入得：$x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2 -4×2×(-1)}}{2×2}=\frac{4\pm\sqrt{24}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$
∵点B在原点右侧，
∴$x＞0$，
又
∵$\frac{2-\sqrt{6}}{2}＜0$，故舍去该负根，
∴$x=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$
【答案】
$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
数轴的应用；线段中点的性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题综合考查数轴、中点性质和一元二次方程的应用，解题核心是根据中点的数量关系正确列方程，同时要注意结合数轴上点的位置对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
5.用配方法解下列方程：
(1)$2 - \frac{1}{3}x^2 = \frac{5}{3}x$；
(2)$\frac{1}{2}x(3x - 8) = \frac{3}{2}$。
(1)$2 - \frac{1}{3}x^2 = \frac{5}{3}x$；
(2)$\frac{1}{2}x(3x - 8) = \frac{3}{2}$。
答案
解：
(1) 方程两边同乘3，得
$6 - x^2 = 5x$
移项整理，得
$x^2 + 5x = 6$
配方，两边同时加上$(\frac{5}{2})^2$，得
$x^2 +5x + \frac{25}{4} = 6 + \frac{25}{4}$
即$(x+\frac{5}{2})^2 = \frac{49}{4}$
两边开平方，得
$x+\frac{5}{2} = \pm \frac{7}{2}$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = -6$。
(2) 方程两边同乘2，得
$x(3x-8) = 3$
展开并整理，得
$3x^2 -8x = 3$
两边同除以3，得
$x^2 - \frac{8}{3}x = 1$
配方，两边同时加上$(\frac{4}{3})^2$，得
$x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{16}{9} = 1 + \frac{16}{9}$
即$(x-\frac{4}{3})^2 = \frac{25}{9}$
两边开平方，得
$x-\frac{4}{3} = \pm \frac{5}{3}$
解得$x_1 = 3$，$x_2 = -\frac{1}{3}$。
(1) 方程两边同乘3，得
$6 - x^2 = 5x$
移项整理，得
$x^2 + 5x = 6$
配方，两边同时加上$(\frac{5}{2})^2$，得
$x^2 +5x + \frac{25}{4} = 6 + \frac{25}{4}$
即$(x+\frac{5}{2})^2 = \frac{49}{4}$
两边开平方，得
$x+\frac{5}{2} = \pm \frac{7}{2}$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = -6$。
(2) 方程两边同乘2，得
$x(3x-8) = 3$
展开并整理，得
$3x^2 -8x = 3$
两边同除以3，得
$x^2 - \frac{8}{3}x = 1$
配方，两边同时加上$(\frac{4}{3})^2$，得
$x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{16}{9} = 1 + \frac{16}{9}$
即$(x-\frac{4}{3})^2 = \frac{25}{9}$
两边开平方，得
$x-\frac{4}{3} = \pm \frac{5}{3}$
解得$x_1 = 3$，$x_2 = -\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心思路是通过配方将方程转化为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，再利用直接开平方法求解。解题步骤通常为：①去分母、去括号，将方程整理为整式方程；②将二次项系数化为1；③移项，把常数项移到方程右侧；④配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；⑤开平方求解，注意开平方后有正负两种情况。
第(1)题先去分母消去分数，再整理为二次项系数为1的形式后按步骤配方即可；第(2)题先去分母、展开括号，再将二次项系数化为1后配方求解。
【解析】
(1) 方程两边同乘3，得
$6 - x^2 = 5x$
移项整理，得
$x^2 + 5x = 6$
配方，两边同时加上$(\frac{5}{2})^2$，得
$x^2 +5x + \frac{25}{4} = 6 + \frac{25}{4}$
即$(x+\frac{5}{2})^2 = \frac{49}{4}$
两边开平方，得
$x+\frac{5}{2} = \pm \frac{7}{2}$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = -6$。
(2) 方程两边同乘2，得
$x(3x-8) = 3$
展开并整理，得
$3x^2 -8x = 3$
两边同除以3，得
$x^2 - \frac{8}{3}x = 1$
配方，两边同时加上$(\frac{4}{3})^2$，得
$x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{16}{9} = 1 + \frac{16}{9}$
即$(x-\frac{4}{3})^2 = \frac{25}{9}$
两边开平方，得
$x-\frac{4}{3} = \pm \frac{5}{3}$
解得$x_1 = 3$，$x_2 = -\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $x_1=1$，$x_2=-6$；(2) $x_1=3$，$x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，解题时需注意：去分母时不要漏乘常数项，配方时方程两边要同时加一次项系数一半的平方，避免只给左侧加的错误，开平方时要考虑正负两种情况，防止漏解。
【难度系数】
0.8
用配方法解一元二次方程的核心思路是通过配方将方程转化为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，再利用直接开平方法求解。解题步骤通常为：①去分母、去括号，将方程整理为整式方程；②将二次项系数化为1；③移项，把常数项移到方程右侧；④配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；⑤开平方求解，注意开平方后有正负两种情况。
第(1)题先去分母消去分数，再整理为二次项系数为1的形式后按步骤配方即可；第(2)题先去分母、展开括号，再将二次项系数化为1后配方求解。
【解析】
(1) 方程两边同乘3，得
$6 - x^2 = 5x$
移项整理，得
$x^2 + 5x = 6$
配方，两边同时加上$(\frac{5}{2})^2$，得
$x^2 +5x + \frac{25}{4} = 6 + \frac{25}{4}$
即$(x+\frac{5}{2})^2 = \frac{49}{4}$
两边开平方，得
$x+\frac{5}{2} = \pm \frac{7}{2}$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = -6$。
(2) 方程两边同乘2，得
$x(3x-8) = 3$
展开并整理，得
$3x^2 -8x = 3$
两边同除以3，得
$x^2 - \frac{8}{3}x = 1$
配方，两边同时加上$(\frac{4}{3})^2$，得
$x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{16}{9} = 1 + \frac{16}{9}$
即$(x-\frac{4}{3})^2 = \frac{25}{9}$
两边开平方，得
$x-\frac{4}{3} = \pm \frac{5}{3}$
解得$x_1 = 3$，$x_2 = -\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $x_1=1$，$x_2=-6$；(2) $x_1=3$，$x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，解题时需注意：去分母时不要漏乘常数项，配方时方程两边要同时加一次项系数一半的平方，避免只给左侧加的错误，开平方时要考虑正负两种情况，防止漏解。
【难度系数】
0.8
6. 阅读下面的解题过程，并解答下列问题。
解方程：$2x^2 - 8x + 3 = 0$。
解：移项，得 $2x^2 - 8x = -3$。 ①
二次项系数化为1，得 $x^2 - 4x = -3$。 ②
配方，得 $x^2 - 4x + 4 = -3 + 4$， ③
即 $(x - 2)^2 = 1$。 ④
两边开平方，得 $x - 2 = 1$，或 $x - 2 = -1$。 ⑤
所以 $x_1 = 3, x_2 = 1$。 ⑥
(1)该题运用的解法是 ，上面的解题过程是从第 步开始出现错误的。
(2)请你给出正确的解题过程。
解方程：$2x^2 - 8x + 3 = 0$。
解：移项，得 $2x^2 - 8x = -3$。 ①
二次项系数化为1，得 $x^2 - 4x = -3$。 ②
配方，得 $x^2 - 4x + 4 = -3 + 4$， ③
即 $(x - 2)^2 = 1$。 ④
两边开平方，得 $x - 2 = 1$，或 $x - 2 = -1$。 ⑤
所以 $x_1 = 3, x_2 = 1$。 ⑥
(1)该题运用的解法是 ，上面的解题过程是从第 步开始出现错误的。
(2)请你给出正确的解题过程。
答案
(1) 配方法；②
(2) 解：移项，得 $2x^2 - 8x = -3$。
二次项系数化为1，得 $x^2 - 4x = -\frac{3}{2}$。
配方，得 $x^2 - 4x + 4 = -\frac{3}{2} + 4$，
即 $(x-2)^2 = \frac{5}{2}$。
两边开平方，得 $x-2 = \frac{\sqrt{10}}{2}$，或 $x-2 = -\frac{\sqrt{10}}{2}$。
所以 $x_1 = 2 + \frac{\sqrt{10}}{2}$，$x_2 = 2 - \frac{\sqrt{10}}{2}$。
(2) 解：移项，得 $2x^2 - 8x = -3$。
二次项系数化为1，得 $x^2 - 4x = -\frac{3}{2}$。
配方，得 $x^2 - 4x + 4 = -\frac{3}{2} + 4$，
即 $(x-2)^2 = \frac{5}{2}$。
两边开平方，得 $x-2 = \frac{\sqrt{10}}{2}$，或 $x-2 = -\frac{\sqrt{10}}{2}$。
所以 $x_1 = 2 + \frac{\sqrt{10}}{2}$，$x_2 = 2 - \frac{\sqrt{10}}{2}$。
解析
【分析】
(1) 观察解题过程，该解法通过配方将方程转化为完全平方式再开方求解，属于配方法解一元二次方程。逐步骤排查：第②步将二次项系数化为1时，需要等式两边同时除以二次项系数2，原步骤仅左边各项除以2，右边的-3未除以2，因此从第②步开始出现错误。
(2) 正确解题遵循配方法的规范步骤：首先移项把常数项移到等号右侧；其次等式两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1；接着两边同时加一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；再对完全平方式开平方得到两个一元一次方程；最后求解得到方程的根。
【解析】
(1) 该题运用的解法是配方法，解题过程从第②步开始出错，原因是二次项系数化为1时漏除了等号右侧的常数项。
(2) 正确解题过程如下：
移项，得 $2x^2 - 8x = -3$。
二次项系数化为1，得 $x^2 - 4x = -\frac{3}{2}$。
配方，得 $x^2 - 4x + 4 = -\frac{3}{2} + 4$，
即 $(x-2)^2 = \frac{5}{2}$。
两边开平方，得 $x-2 = \frac{\sqrt{10}}{2}$，或 $x-2 = -\frac{\sqrt{10}}{2}$。
所以 $x_1 = 2 + \frac{\sqrt{10}}{2}$，$x_2 = 2 - \frac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
(1) 配方法；②
(2) 移项，得 $2x^2 - 8x = -3$。
二次项系数化为1，得 $x^2 - 4x = -\frac{3}{2}$。
配方，得 $x^2 - 4x + 4 = -\frac{3}{2} + 4$，
即 $(x-2)^2 = \frac{5}{2}$。
两边开平方，得 $x-2 = \frac{\sqrt{10}}{2}$，或 $x-2 = -\frac{\sqrt{10}}{2}$。
所以 $x_1 = 2 + \frac{\sqrt{10}}{2}$，$x_2 = 2 - \frac{\sqrt{10}}{2}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程、等式的基本性质、平方根的性质
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的规范操作，解题时需注意每一步运算的等价性，二次项系数化为1时不要漏除常数项，开平方时不要漏掉负的平方根，避免出现计算失误或漏解的问题。
【难度系数】
0.7
(1) 观察解题过程，该解法通过配方将方程转化为完全平方式再开方求解，属于配方法解一元二次方程。逐步骤排查：第②步将二次项系数化为1时，需要等式两边同时除以二次项系数2，原步骤仅左边各项除以2，右边的-3未除以2，因此从第②步开始出现错误。
(2) 正确解题遵循配方法的规范步骤：首先移项把常数项移到等号右侧；其次等式两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1；接着两边同时加一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；再对完全平方式开平方得到两个一元一次方程；最后求解得到方程的根。
【解析】
(1) 该题运用的解法是配方法，解题过程从第②步开始出错，原因是二次项系数化为1时漏除了等号右侧的常数项。
(2) 正确解题过程如下：
移项，得 $2x^2 - 8x = -3$。
二次项系数化为1，得 $x^2 - 4x = -\frac{3}{2}$。
配方，得 $x^2 - 4x + 4 = -\frac{3}{2} + 4$，
即 $(x-2)^2 = \frac{5}{2}$。
两边开平方，得 $x-2 = \frac{\sqrt{10}}{2}$，或 $x-2 = -\frac{\sqrt{10}}{2}$。
所以 $x_1 = 2 + \frac{\sqrt{10}}{2}$，$x_2 = 2 - \frac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
(1) 配方法；②
(2) 移项，得 $2x^2 - 8x = -3$。
二次项系数化为1，得 $x^2 - 4x = -\frac{3}{2}$。
配方，得 $x^2 - 4x + 4 = -\frac{3}{2} + 4$，
即 $(x-2)^2 = \frac{5}{2}$。
两边开平方，得 $x-2 = \frac{\sqrt{10}}{2}$，或 $x-2 = -\frac{\sqrt{10}}{2}$。
所以 $x_1 = 2 + \frac{\sqrt{10}}{2}$，$x_2 = 2 - \frac{\sqrt{10}}{2}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程、等式的基本性质、平方根的性质
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的规范操作，解题时需注意每一步运算的等价性，二次项系数化为1时不要漏除常数项，开平方时不要漏掉负的平方根，避免出现计算失误或漏解的问题。
【难度系数】
0.7
