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1. 下列一元二次方程的根是$x=$
$$的是()
A.$2x^2 + 3x + 1 = 0$
B.$2x^2 - 3x + 1 = 0$
C.$2x^2 + 3x - 1 = 0$
D.$2x^2 - 3x - 1 = 0$
$$的是()A.$2x^2 + 3x + 1 = 0$
B.$2x^2 - 3x + 1 = 0$
C.$2x^2 + 3x - 1 = 0$
D.$2x^2 - 3x - 1 = 0$
答案
B
解析
【分析】
解题的核心是运用一元二次方程的求根公式进行反向匹配。首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应的求根公式是$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们只需要将题干给出的求根表达式和公式逐项对比，确定a、b、c的数值与符号，就能对应找到符合的方程。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题干给出的求根式$\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×2×1}}{2×2}$与求根公式对比：
1. 分母$2a=2×2$，可得二次项系数$a=2$；
2. 分子首项$-b=3$，可得一次项系数$b=-3$；
3. 根号内$4ac=4×2×1$，结合已得的$a=2$，可得常数项$c=1$。
将a、b、c代入一般形式，得到方程为$2x^2-3x+1=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求根公式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对求根公式的掌握程度，解题时要特别注意一次项系数的符号，避免因符号判断错误选错选项。
【难度系数】
0.8
解题的核心是运用一元二次方程的求根公式进行反向匹配。首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应的求根公式是$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们只需要将题干给出的求根表达式和公式逐项对比，确定a、b、c的数值与符号，就能对应找到符合的方程。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题干给出的求根式$\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×2×1}}{2×2}$与求根公式对比：
1. 分母$2a=2×2$，可得二次项系数$a=2$；
2. 分子首项$-b=3$，可得一次项系数$b=-3$；
3. 根号内$4ac=4×2×1$，结合已得的$a=2$，可得常数项$c=1$。
将a、b、c代入一般形式，得到方程为$2x^2-3x+1=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求根公式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对求根公式的掌握程度，解题时要特别注意一次项系数的符号，避免因符号判断错误选错选项。
【难度系数】
0.8
2.小华和小麦对关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$展开讨论。小华说：“若$c=0$，则此方程一定有实数根。”小麦说：“若$a,c$异号，则此方程一定有实数根。”下列判断正确的是（）
A.小华正确，小麦错误
B.小华错误，小麦正确
C.小华、小麦都正确
D.小华、小麦都错误
A.小华正确，小麦错误
B.小华错误，小麦正确
C.小华、小麦都正确
D.小华、小麦都错误
答案
C
解析
【分析】
判断一元二次方程是否有实数根的核心依据是根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$：当$\Delta≥0$时，方程有实数根。我们只需分别结合小华、小麦给出的条件，推导判别式的取值范围即可判断两人说法是否正确：
1. 验证小华的说法：当$c=0$时，代入判别式得$\Delta = b^2$，结合平方的非负性即可判断$\Delta≥0$；
2. 验证小麦的说法：当$a,c$异号时，$ac＜0$，则$-4ac＞0$，加上非负的$b^2$，可得$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，必然满足$\Delta≥0$。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$，若$\Delta≥0$，则方程有实数根。
1. 验证小华的说法：若$c=0$，则$\Delta = b^2 - 4a×0 = b^2$。
因为任意实数的平方都是非负数，即$b^2≥0$，所以$\Delta≥0$，此方程一定有实数根，小华的说法正确。
2. 验证小麦的说法：若$a,c$异号，则$ac＜0$，因此$-4ac＞0$。
又因为$b^2≥0$，所以$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 + |4ac| ≥ 0$，此方程一定有实数根，小麦的说法正确。
因此小华、小麦的说法都正确。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平方的非负性；有理数乘法符号规律
【点评】
本题考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题的关键是熟练掌握判别式的性质，结合已知条件准确判断判别式的符号即可求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
判断一元二次方程是否有实数根的核心依据是根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$：当$\Delta≥0$时，方程有实数根。我们只需分别结合小华、小麦给出的条件，推导判别式的取值范围即可判断两人说法是否正确：
1. 验证小华的说法：当$c=0$时，代入判别式得$\Delta = b^2$，结合平方的非负性即可判断$\Delta≥0$；
2. 验证小麦的说法：当$a,c$异号时，$ac＜0$，则$-4ac＞0$，加上非负的$b^2$，可得$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，必然满足$\Delta≥0$。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$，若$\Delta≥0$，则方程有实数根。
1. 验证小华的说法：若$c=0$，则$\Delta = b^2 - 4a×0 = b^2$。
因为任意实数的平方都是非负数，即$b^2≥0$，所以$\Delta≥0$，此方程一定有实数根，小华的说法正确。
2. 验证小麦的说法：若$a,c$异号，则$ac＜0$，因此$-4ac＞0$。
又因为$b^2≥0$，所以$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 + |4ac| ≥ 0$，此方程一定有实数根，小麦的说法正确。
因此小华、小麦的说法都正确。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平方的非负性；有理数乘法符号规律
【点评】
本题考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题的关键是熟练掌握判别式的性质，结合已知条件准确判断判别式的符号即可求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
3.若关于x的一元二次方程$x^2 -4x +k=0$没有实数根，则k的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{k＞4}$
解析
【分析】
要解决这类一元二次方程有无实数根的问题，核心是运用根的判别式判断：首先明确一元二次方程没有实数根的等价条件是判别式$\Delta＜0$，再确定对应方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，代入判别式列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
本题中方程$x^2-4x+k=0$是一元二次方程，对应$a=1$，$b=-4$，$c=k$，
因为方程没有实数根，所以$\Delta＜0$，代入得：
$\begin{aligned}(-4)^2 - 4×1× k &＜ 0 \\16 - 4k &＜ 0 \\-4k &＜ -16 \\k &＞ 4\end{aligned}$
【答案】
$k＞4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，考查根的判别式的直接应用，解题关键是熟记判别式与方程根的个数的对应关系，计算时注意不等号方向的变化，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
要解决这类一元二次方程有无实数根的问题，核心是运用根的判别式判断：首先明确一元二次方程没有实数根的等价条件是判别式$\Delta＜0$，再确定对应方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，代入判别式列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
本题中方程$x^2-4x+k=0$是一元二次方程，对应$a=1$，$b=-4$，$c=k$，
因为方程没有实数根，所以$\Delta＜0$，代入得：
$\begin{aligned}(-4)^2 - 4×1× k &＜ 0 \\16 - 4k &＜ 0 \\-4k &＜ -16 \\k &＞ 4\end{aligned}$
【答案】
$k＞4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，考查根的判别式的直接应用，解题关键是熟记判别式与方程根的个数的对应关系，计算时注意不等号方向的变化，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
4.用公式法解方程$3x^2 -11x -1=0$，得到方程的两个根为$a,b$，且$a＞b$，则$a$的值是$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
解：
在方程$3x^2 -11x -1=0$中，
二次项系数$A=3$，一次项系数$B=-11$，常数项$C=-1$。
计算判别式：
$\Delta = B^2 - 4AC = (-11)^2 - 4×3×(-1) = 121 + 12 = 133 ＞ 0$
由一元二次方程求根公式得：
$x = \frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2A} = \frac{11\pm\sqrt{133}}{6}$
因为方程两根满足$a＞b$，所以取正号得到较大根：
$a=\frac{11+\sqrt{133}}{6}$
$\boxed{\frac{11+\sqrt{133}}{6}}$
在方程$3x^2 -11x -1=0$中，
二次项系数$A=3$，一次项系数$B=-11$，常数项$C=-1$。
计算判别式：
$\Delta = B^2 - 4AC = (-11)^2 - 4×3×(-1) = 121 + 12 = 133 ＞ 0$
由一元二次方程求根公式得：
$x = \frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2A} = \frac{11\pm\sqrt{133}}{6}$
因为方程两根满足$a＞b$，所以取正号得到较大根：
$a=\frac{11+\sqrt{133}}{6}$
$\boxed{\frac{11+\sqrt{133}}{6}}$
解析
【分析】
本题要求用公式法求一元二次方程的较大根，解题思路如下：首先需准确提取方程的二次项系数、一次项系数、常数项，注意不要弄错各项符号；接着计算根的判别式，判断方程根的情况，本题判别式大于0，存在两个不相等的实数根；再代入一元二次方程求根公式得到两个根的表达式，最后根据a＞b的要求，选取数值更大的根即可。
【解析】
在方程$3x^2 -11x -1=0$中，二次项系数$A=3$，一次项系数$B=-11$，常数项$C=-1$。
计算判别式：
$\Delta = B^2 - 4AC = (-11)^2 - 4×3×(-1) = 121 + 12 = 133 ＞ 0$，可知方程有两个不相等的实数根。
由一元二次方程求根公式得：
$x = \frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2A} = \frac{11\pm\sqrt{133}}{6}$
因为方程两根满足$a＞b$，所以取正号得到较大根：
$a=\frac{11+\sqrt{133}}{6}$
【答案】
$\boxed{\frac{11+\sqrt{133}}{6}}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程求根公式；根的判别式
【点评】
本题属于基础常规题，主要考查公式法解一元二次方程的应用，只要能准确识别方程各项系数、正确计算判别式、熟记求根公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题要求用公式法求一元二次方程的较大根，解题思路如下：首先需准确提取方程的二次项系数、一次项系数、常数项，注意不要弄错各项符号；接着计算根的判别式，判断方程根的情况，本题判别式大于0，存在两个不相等的实数根；再代入一元二次方程求根公式得到两个根的表达式，最后根据a＞b的要求，选取数值更大的根即可。
【解析】
在方程$3x^2 -11x -1=0$中，二次项系数$A=3$，一次项系数$B=-11$，常数项$C=-1$。
计算判别式：
$\Delta = B^2 - 4AC = (-11)^2 - 4×3×(-1) = 121 + 12 = 133 ＞ 0$，可知方程有两个不相等的实数根。
由一元二次方程求根公式得：
$x = \frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2A} = \frac{11\pm\sqrt{133}}{6}$
因为方程两根满足$a＞b$，所以取正号得到较大根：
$a=\frac{11+\sqrt{133}}{6}$
【答案】
$\boxed{\frac{11+\sqrt{133}}{6}}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程求根公式；根的判别式
【点评】
本题属于基础常规题，主要考查公式法解一元二次方程的应用，只要能准确识别方程各项系数、正确计算判别式、熟记求根公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5.用公式法解一元二次方程$3x^2 -4x=2$时，4ac的值为。
答案
$\boldsymbol{-24}$
解析
【分析】
要计算4ac的值，首先需要明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中a、b、c的定义：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。解题第一步要先把给定的方程化为一般形式，再对应找出a、c的取值，最后代入计算4ac即可，注意不要遗漏常数项的符号。
【解析】
首先将方程$3x^2 -4x=2$移项，化为一元二次方程的一般形式：
$3x^2 -4x -2 = 0$
对比一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得：
二次项系数$a=3$，常数项$c=-2$
代入计算4ac：
$4ac=4×3×(-2)=-24$
【答案】
$\boldsymbol{-24}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先将方程化为一元二次方程的一般形式，准确识别a、c的取值，尤其要注意移项后常数项的符号，避免因符号判断错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
要计算4ac的值，首先需要明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中a、b、c的定义：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。解题第一步要先把给定的方程化为一般形式，再对应找出a、c的取值，最后代入计算4ac即可，注意不要遗漏常数项的符号。
【解析】
首先将方程$3x^2 -4x=2$移项，化为一元二次方程的一般形式：
$3x^2 -4x -2 = 0$
对比一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得：
二次项系数$a=3$，常数项$c=-2$
代入计算4ac：
$4ac=4×3×(-2)=-24$
【答案】
$\boldsymbol{-24}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先将方程化为一元二次方程的一般形式，准确识别a、c的取值，尤其要注意移项后常数项的符号，避免因符号判断错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
6.已知关于$x$的一元二次方程$kx^2-(2k-1)x+k-2=0$有两个不相等的实数根，则实数$k$的值可以是（写出一个符合条件的值即可）。
答案
解：
∵ 关于$x$的方程$kx^2-(2k-1)x+k-2=0$是一元二次方程，
∴ $k ≠ 0$。
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta ＞ 0$，
$\begin{aligned}\Delta &= [-(2k-1)]^2 - 4 · k · (k-2) \\&= 4k^2 -4k +1 -4k^2 +8k \\&= 4k +1\end{aligned}$
由$\Delta = 4k+1 ＞ 0$，解得$k ＞ -\frac{1}{4}$。
综上，实数$k$的取值范围是$k ＞ -\frac{1}{4}$且$k ≠ 0$，取符合条件的值为$\boldsymbol{1}$（答案不唯一）。
∵ 关于$x$的方程$kx^2-(2k-1)x+k-2=0$是一元二次方程，
∴ $k ≠ 0$。
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta ＞ 0$，
$\begin{aligned}\Delta &= [-(2k-1)]^2 - 4 · k · (k-2) \\&= 4k^2 -4k +1 -4k^2 +8k \\&= 4k +1\end{aligned}$
由$\Delta = 4k+1 ＞ 0$，解得$k ＞ -\frac{1}{4}$。
综上，实数$k$的取值范围是$k ＞ -\frac{1}{4}$且$k ≠ 0$，取符合条件的值为$\boldsymbol{1}$（答案不唯一）。
解析
【分析】
解决这道题需要分两步思考：首先题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是容易遗漏的前提条件；其次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式$\Delta＞0$，我们只需要计算出判别式，解对应的不等式得到k的取值范围，最后在范围内选取一个满足条件的k值即可。
【解析】
∵ 关于$x$的方程$kx^2-(2k-1)x+k-2=0$是一元二次方程，
∴ 二次项系数$k ≠ 0$。
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta ＞ 0$，
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= [-(2k-1)]^2 - 4 · k · (k-2) \\&= 4k^2 -4k +1 -4k^2 +8k \\&= 4k +1\end{aligned}$
由$\Delta = 4k+1 ＞ 0$，解得$k ＞ -\frac{1}{4}$。
综上，实数$k$的取值范围是$k ＞ -\frac{1}{4}$且$k ≠ 0$，取符合条件的值为1即可。
【答案】
1（答案不唯一，满足$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$即可）
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，只要熟练掌握根的判别式与方程根的个数的对应关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解决这道题需要分两步思考：首先题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是容易遗漏的前提条件；其次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式$\Delta＞0$，我们只需要计算出判别式，解对应的不等式得到k的取值范围，最后在范围内选取一个满足条件的k值即可。
【解析】
∵ 关于$x$的方程$kx^2-(2k-1)x+k-2=0$是一元二次方程，
∴ 二次项系数$k ≠ 0$。
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta ＞ 0$，
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= [-(2k-1)]^2 - 4 · k · (k-2) \\&= 4k^2 -4k +1 -4k^2 +8k \\&= 4k +1\end{aligned}$
由$\Delta = 4k+1 ＞ 0$，解得$k ＞ -\frac{1}{4}$。
综上，实数$k$的取值范围是$k ＞ -\frac{1}{4}$且$k ≠ 0$，取符合条件的值为1即可。
【答案】
1（答案不唯一，满足$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$即可）
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，只要熟练掌握根的判别式与方程根的个数的对应关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7.用公式法解下列方程：
(1)$3x^2 -4x -1=0$；
(2)$x(x-3)-4=0$。
(1)$3x^2 -4x -1=0$；
(2)$x(x-3)-4=0$。
答案
解：
(1) 对于方程$3x^2 -4x -1=0$，
可知$a=3$，$b=-4$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×3×(-1) = 16 + 12 = 28 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4\pm\sqrt{28}}{2×3} = \frac{4\pm2\sqrt{7}}{6} = \frac{2\pm\sqrt{7}}{3}$，
即$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$。
(2) 先将方程整理为一般形式：
$x^2 - 3x - 4 = 0$，
可知$a=1$，$b=-3$，$c=-4$，
判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-3)^2 -4×1×(-4) =9 +16=25＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{3\pm5}{2}$，
即$x_1=4$，$x_2=-1$。
(1) 对于方程$3x^2 -4x -1=0$，
可知$a=3$，$b=-4$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×3×(-1) = 16 + 12 = 28 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4\pm\sqrt{28}}{2×3} = \frac{4\pm2\sqrt{7}}{6} = \frac{2\pm\sqrt{7}}{3}$，
即$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$。
(2) 先将方程整理为一般形式：
$x^2 - 3x - 4 = 0$，
可知$a=1$，$b=-3$，$c=-4$，
判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-3)^2 -4×1×(-4) =9 +16=25＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{3\pm5}{2}$，
即$x_1=4$，$x_2=-1$。
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的通用步骤为：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式；②确定系数$a$、$b$、$c$的取值，注意要带上数值的符号；③计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，判断$\Delta$的符号，若$\Delta≥0$则方程有实数根，若$\Delta＜0$则无实数根；④$\Delta≥0$时，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算方程的根，最后能化简的要化到最简形式。本题中(1)已经是一般形式，直接确定系数计算即可；(2)需要先展开整理为一般形式，再按步骤计算。
【解析】
(1) 对于方程$3x^2 -4x -1=0$，
可知$a=3$，$b=-4$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×3×(-1) = 16 + 12 = 28 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4\pm\sqrt{28}}{2×3} = \frac{4\pm2\sqrt{7}}{6} = \frac{2\pm\sqrt{7}}{3}$，
即$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$。
(2) 先将方程整理为一般形式：
$x^2 - 3x - 4 = 0$，
可知$a=1$，$b=-3$，$c=-4$，
判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-3)^2 -4×1×(-4) =9 +16=25＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{3\pm5}{2}$，
即$x_1=4$，$x_2=-1$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$；
(2) $x_1=4$，$x_2=-1$
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 一元二次方程根的判别式
3. 一元二次方程一般式
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，核心考查公式法的使用步骤，解题时要注意先将方程化为一般形式，准确识别$a$、$b$、$c$的符号，计算判别式判断根的情况后再代入求根公式，计算过程中注意二次根式的化简即可得到正确结果。
【难度系数】
0.75
用公式法解一元二次方程的通用步骤为：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式；②确定系数$a$、$b$、$c$的取值，注意要带上数值的符号；③计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，判断$\Delta$的符号，若$\Delta≥0$则方程有实数根，若$\Delta＜0$则无实数根；④$\Delta≥0$时，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算方程的根，最后能化简的要化到最简形式。本题中(1)已经是一般形式，直接确定系数计算即可；(2)需要先展开整理为一般形式，再按步骤计算。
【解析】
(1) 对于方程$3x^2 -4x -1=0$，
可知$a=3$，$b=-4$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×3×(-1) = 16 + 12 = 28 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4\pm\sqrt{28}}{2×3} = \frac{4\pm2\sqrt{7}}{6} = \frac{2\pm\sqrt{7}}{3}$，
即$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$。
(2) 先将方程整理为一般形式：
$x^2 - 3x - 4 = 0$，
可知$a=1$，$b=-3$，$c=-4$，
判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-3)^2 -4×1×(-4) =9 +16=25＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{3\pm5}{2}$，
即$x_1=4$，$x_2=-1$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$；
(2) $x_1=4$，$x_2=-1$
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 一元二次方程根的判别式
3. 一元二次方程一般式
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，核心考查公式法的使用步骤，解题时要注意先将方程化为一般形式，准确识别$a$、$b$、$c$的符号，计算判别式判断根的情况后再代入求根公式，计算过程中注意二次根式的化简即可得到正确结果。
【难度系数】
0.75
8.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(m+2)x+2m=0$。
(1)求证:不论$m$为何值,方程总有实数根。
(2)若该方程的两个根为平行四边形的一组邻边长,当该平行四边形是菱形时,求菱形的边长。
(1)求证:不论$m$为何值,方程总有实数根。
(2)若该方程的两个根为平行四边形的一组邻边长,当该平行四边形是菱形时,求菱形的边长。
答案
(1) 证明：
在一元二次方程$x^2-(m+2)x+2m=0$中，
判别式$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4×1×2m$
$=m^2 + 4m + 4 - 8m$
$=m^2 - 4m + 4$
$=(m-2)^2$
∵ 不论$m$为何值，都有$(m-2)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴ 不论$m$为何值，方程总有实数根。
(2) 解：
当平行四边形是菱形时，它的一组邻边长相等，因此该一元二次方程有两个相等的实数根，即$\Delta=0$。
由$(m-2)^2=0$，解得$m=2$。
将$m=2$代入原方程，得：
$x^2 - 4x + 4 = 0$
因式分解得$(x-2)^2=0$
解得$x_1=x_2=2$。
答：菱形的边长为2。
在一元二次方程$x^2-(m+2)x+2m=0$中，
判别式$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4×1×2m$
$=m^2 + 4m + 4 - 8m$
$=m^2 - 4m + 4$
$=(m-2)^2$
∵ 不论$m$为何值，都有$(m-2)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴ 不论$m$为何值，方程总有实数根。
(2) 解：
当平行四边形是菱形时，它的一组邻边长相等，因此该一元二次方程有两个相等的实数根，即$\Delta=0$。
由$(m-2)^2=0$，解得$m=2$。
将$m=2$代入原方程，得：
$x^2 - 4x + 4 = 0$
因式分解得$(x-2)^2=0$
解得$x_1=x_2=2$。
答：菱形的边长为2。
解析
【分析】
(1) 要证明不论m取何值，一元二次方程总有实数根，只需证明方程的判别式Δ≥0即可。我们先根据方程的系数写出判别式的表达式，再化简整理，利用完全平方的非负性判断Δ的取值范围，即可完成证明。
(2) 菱形的一组邻边长度相等，说明该一元二次方程有两个相等的实数根，即Δ=0。先据此求出m的取值，再将m代入原方程求解，得到的相等的根就是菱形的边长。
【解析】
(1) 证明：
在一元二次方程$x^2-(m+2)x+2m=0$中，
判别式$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4×1×2m$
$=m^2 + 4m + 4 - 8m$
$=m^2 - 4m + 4$
$=(m-2)^2$
∵ 不论$m$为何值，都有$(m-2)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴ 不论$m$为何值，方程总有实数根。
(2) 解：
当平行四边形是菱形时，它的一组邻边长相等，因此该一元二次方程有两个相等的实数根，即$\Delta=0$。
由$(m-2)^2=0$，解得$m=2$。
将$m=2$代入原方程，得：
$x^2 - 4x + 4 = 0$
因式分解得$(x-2)^2=0$
解得$x_1=x_2=2$。
即菱形的边长为2。
【答案】
(1) 不论$m$为何值，方程总有实数根，证明成立；
(2) 菱形的边长为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式、菱形的性质
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，解题时需要将几何中邻边相等的条件转化为代数中方程根的关系，只要熟练掌握相关核心知识点，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明不论m取何值，一元二次方程总有实数根，只需证明方程的判别式Δ≥0即可。我们先根据方程的系数写出判别式的表达式，再化简整理，利用完全平方的非负性判断Δ的取值范围，即可完成证明。
(2) 菱形的一组邻边长度相等，说明该一元二次方程有两个相等的实数根，即Δ=0。先据此求出m的取值，再将m代入原方程求解，得到的相等的根就是菱形的边长。
【解析】
(1) 证明：
在一元二次方程$x^2-(m+2)x+2m=0$中，
判别式$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4×1×2m$
$=m^2 + 4m + 4 - 8m$
$=m^2 - 4m + 4$
$=(m-2)^2$
∵ 不论$m$为何值，都有$(m-2)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴ 不论$m$为何值，方程总有实数根。
(2) 解：
当平行四边形是菱形时，它的一组邻边长相等，因此该一元二次方程有两个相等的实数根，即$\Delta=0$。
由$(m-2)^2=0$，解得$m=2$。
将$m=2$代入原方程，得：
$x^2 - 4x + 4 = 0$
因式分解得$(x-2)^2=0$
解得$x_1=x_2=2$。
即菱形的边长为2。
【答案】
(1) 不论$m$为何值，方程总有实数根，证明成立；
(2) 菱形的边长为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式、菱形的性质
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，解题时需要将几何中邻边相等的条件转化为代数中方程根的关系，只要熟练掌握相关核心知识点，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
