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1.用直接开平方法解下列一元二次方程,无解的是()
A.$x^2 -1=0$
B.$x^2=0$
C.$x^2 +4=0$
D.$-x^2 +3=0$
A.$x^2 -1=0$
B.$x^2=0$
C.$x^2 +4=0$
D.$-x^2 +3=0$
答案
C
解析
【分析】
用直接开平方法解一元二次方程时，首先要将方程变形为$x^2=a$的形式，根据平方的非负性，只有当$a≥0$时，方程才有实数解，若$a＜0$，则方程无实数解。因此我们只需将每个选项的方程整理为$x^2=a$的形式，判断常数$a$的正负即可得出答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对$x^2 -1=0$移项得$x^2=1$，$1＞0$，开平方得$x=\pm1$，方程有解；
B. $x^2=0$，$0≥0$，解为$x_1=x_2=0$，方程有解；
C. 对$x^2 +4=0$移项得$x^2=-4$，由于任意实数的平方都大于等于0，不可能为负数，因此该方程无实数解；
D. 对$-x^2 +3=0$移项得$x^2=3$，$3＞0$，开平方得$x=\pm\sqrt{3}$，方程有解。
综上，无解的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方的非负性
【点评】
本题是基础题型，重点考查对直接开平方法适用条件的理解，只要掌握平方数的非负性，即可快速判断方程是否存在实数解。
【难度系数】
0.9
用直接开平方法解一元二次方程时，首先要将方程变形为$x^2=a$的形式，根据平方的非负性，只有当$a≥0$时，方程才有实数解，若$a＜0$，则方程无实数解。因此我们只需将每个选项的方程整理为$x^2=a$的形式，判断常数$a$的正负即可得出答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对$x^2 -1=0$移项得$x^2=1$，$1＞0$，开平方得$x=\pm1$，方程有解；
B. $x^2=0$，$0≥0$，解为$x_1=x_2=0$，方程有解；
C. 对$x^2 +4=0$移项得$x^2=-4$，由于任意实数的平方都大于等于0，不可能为负数，因此该方程无实数解；
D. 对$-x^2 +3=0$移项得$x^2=3$，$3＞0$，开平方得$x=\pm\sqrt{3}$，方程有解。
综上，无解的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方的非负性
【点评】
本题是基础题型，重点考查对直接开平方法适用条件的理解，只要掌握平方数的非负性，即可快速判断方程是否存在实数解。
【难度系数】
0.9
2.用配方法解方程$x^2+8x+7=0$，下列变形正确的是()
A.$(x+4)^2=9$
B.$(x-4)^2=9$
C.$(x-8)^2=57$
D.$(x+8)^2=57$
A.$(x+4)^2=9$
B.$(x-4)^2=9$
C.$(x-8)^2=57$
D.$(x+8)^2=57$
答案
A
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路如下：首先明确配方法的核心步骤：先将方程中的常数项移到等号右侧，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把等号左侧变形为完全平方式，最后对比选项得出结果，解题时要注意一次项系数的符号，避免配方时符号出错。
【解析】
解：对原方程移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2+8x=-7$
一次项系数为8，其一半的平方为$(\frac{8}{2})^2=16$，在方程两边同时加16，得：
$x^2+8x+16=-7+16$
根据完全平方公式，等号左侧可变形为$(x+4)^2$，右侧计算得9，即：
$(x+4)^2=9$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.配方法解一元二次方程 2.完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础考查题，核心考察配方的基本操作步骤，只要掌握配方法“加一次项系数一半的平方”的核心规则，注意移项和配方时的符号变化，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.85
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路如下：首先明确配方法的核心步骤：先将方程中的常数项移到等号右侧，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把等号左侧变形为完全平方式，最后对比选项得出结果，解题时要注意一次项系数的符号，避免配方时符号出错。
【解析】
解：对原方程移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2+8x=-7$
一次项系数为8，其一半的平方为$(\frac{8}{2})^2=16$，在方程两边同时加16，得：
$x^2+8x+16=-7+16$
根据完全平方公式，等号左侧可变形为$(x+4)^2$，右侧计算得9，即：
$(x+4)^2=9$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.配方法解一元二次方程 2.完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础考查题，核心考察配方的基本操作步骤，只要掌握配方法“加一次项系数一半的平方”的核心规则，注意移项和配方时的符号变化，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.85
3.把关于x的一元二次方程$x^2 -8x + c=0$配方，得$(x+m)^2=11$，则$c+m$的值为。
答案
解：对原方程$x^2 - 8x + c = 0$移项，得
$x^2 - 8x = -c$
配方，两边同时加上$(-\frac{8}{2})^2=16$，得
$x^2 - 8x + 16 = 16 - c$
即$(x - 4)^2 = 16 - c$
由配方结果$(x + m)^2 = 11$对比对应项可得：
$m = -4$，$16 - c = 11$
解得$c = 5$
因此$c + m = 5 + (-4) = 1$
$x^2 - 8x = -c$
配方，两边同时加上$(-\frac{8}{2})^2=16$，得
$x^2 - 8x + 16 = 16 - c$
即$(x - 4)^2 = 16 - c$
由配方结果$(x + m)^2 = 11$对比对应项可得：
$m = -4$，$16 - c = 11$
解得$c = 5$
因此$c + m = 5 + (-4) = 1$
解析
【分析】
这道题考查配方法在一元二次方程中的应用，解题思路为：先按照配方法的标准步骤对原方程进行配方，得到与题干给出的$(x+m)^2=11$结构完全一致的式子，再通过对比两个式子的对应项，分别求出m和c的取值，最后代入计算$c+m$的值即可。解题时要牢记配方法的核心操作：移项后给等号两边同时加一次项系数一半的平方。
【解析】
对原方程$x^2 - 8x + c = 0$移项，得
$x^2 - 8x = -c$
配方，两边同时加上$(-\frac{8}{2})^2=16$，得
$x^2 - 8x + 16 = 16 - c$
即$(x - 4)^2 = 16 - c$
由配方结果$(x + m)^2 = 11$对比对应项可得：
$m = -4$，$16 - c = 11$
解得$c = 5$
因此$c + m = 5 + (-4) = 1$
【答案】
1
【知识点】
配方法；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法的操作步骤，是巩固一元二次方程配方变形的典型习题，只要熟练掌握配方法的核心流程，准确对比对应项参数，即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
这道题考查配方法在一元二次方程中的应用，解题思路为：先按照配方法的标准步骤对原方程进行配方，得到与题干给出的$(x+m)^2=11$结构完全一致的式子，再通过对比两个式子的对应项，分别求出m和c的取值，最后代入计算$c+m$的值即可。解题时要牢记配方法的核心操作：移项后给等号两边同时加一次项系数一半的平方。
【解析】
对原方程$x^2 - 8x + c = 0$移项，得
$x^2 - 8x = -c$
配方，两边同时加上$(-\frac{8}{2})^2=16$，得
$x^2 - 8x + 16 = 16 - c$
即$(x - 4)^2 = 16 - c$
由配方结果$(x + m)^2 = 11$对比对应项可得：
$m = -4$，$16 - c = 11$
解得$c = 5$
因此$c + m = 5 + (-4) = 1$
【答案】
1
【知识点】
配方法；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法的操作步骤，是巩固一元二次方程配方变形的典型习题，只要熟练掌握配方法的核心流程，准确对比对应项参数，即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
4.方程$4(x-1)^2=36$的根是。。
答案
解：
方程两边同时除以4，得
$(x-1)^2=9$
直接开平方，得
$x-1=\pm3$
当$x-1=3$时，$x_1=4$；
当$x-1=-3$时，$x_2=-2$。
所以方程的根是$x_1=4$，$x_2=-2$。
方程两边同时除以4，得
$(x-1)^2=9$
直接开平方，得
$x-1=\pm3$
当$x-1=3$时，$x_1=4$；
当$x-1=-3$时，$x_2=-2$。
所以方程的根是$x_1=4$，$x_2=-2$。
解析
【分析】
本题是适合用直接开平方法求解的一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程结构，方程左边为常数与含未知数的完全平方式的乘积，右边为正的常数，无需展开为一元二次方程的一般式，优先选择直接开平方法简化计算。第一步先将完全平方式的系数化为1，即方程两边同时除以4；第二步对化简后的式子两边直接开平方，注意正数的平方根有两个、互为相反数，不要漏解；第三步分别求解两个一元一次方程，即可得到方程的两个根。
【解析】
解：方程两边同时除以4，得
$(x-1)^2=9$
直接开平方，得
$x-1=\pm3$
当$x-1=3$时，解得$x_1=4$；
当$x-1=-3$时，解得$x_2=-2$。
【答案】
$x_1=4$，$x_2=-2$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，解题关键是根据方程的结构特征选择简便的解法，开平方时注意不要遗漏负根是避免失分的重点。
【难度系数】
0.85
本题是适合用直接开平方法求解的一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程结构，方程左边为常数与含未知数的完全平方式的乘积，右边为正的常数，无需展开为一元二次方程的一般式，优先选择直接开平方法简化计算。第一步先将完全平方式的系数化为1，即方程两边同时除以4；第二步对化简后的式子两边直接开平方，注意正数的平方根有两个、互为相反数，不要漏解；第三步分别求解两个一元一次方程，即可得到方程的两个根。
【解析】
解：方程两边同时除以4，得
$(x-1)^2=9$
直接开平方，得
$x-1=\pm3$
当$x-1=3$时，解得$x_1=4$；
当$x-1=-3$时，解得$x_2=-2$。
【答案】
$x_1=4$，$x_2=-2$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，解题关键是根据方程的结构特征选择简便的解法，开平方时注意不要遗漏负根是避免失分的重点。
【难度系数】
0.85
5.若方程$x^2 -6x -5=0$用配方法可转化为$(x+p)^2=q$的形式，则直线$y=px+q$不经过第象限。
答案
三
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，运用配方法将给定的一元二次方程变形为$(x+p)^2=q$的形式，对应求出$p$和$q$的值；第二步，根据一次函数的斜率和截距的正负，判断直线$y=px+q$经过的象限，最终得出不经过的象限。配方法操作时要注意常数项移项要变号，配方时需给方程两边同时加一次项系数一半的平方，另外要注意$p$的符号不要写反。
【解析】
1. 用配方法解方程$x^2 -6x -5=0$：
首先移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 -6x =5$
给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-6$，一半为$-3$，平方为$9$，则：
$x^2 -6x +9 =5 +9$
整理得：$(x-3)^2=14$
对照$(x+p)^2=q$的形式，可得$p=-3$，$q=14$。
2. 分析直线$y=px+q$的图象：
代入$p$、$q$得直线解析式为$y=-3x+14$，其中一次项系数$k=-3＜0$，说明直线从左上向右下倾斜；常数项$b=14＞0$，说明直线与$y$轴交于正半轴。
因此直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】
三
【知识点】
配方法解一元二次方程；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程的配方法和一次函数图象性质结合考查，解题的关键是准确算出$p$、$q$的值，再结合一次函数的性质判断象限，易错点是配方法中$p$的符号容易搞反。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步，运用配方法将给定的一元二次方程变形为$(x+p)^2=q$的形式，对应求出$p$和$q$的值；第二步，根据一次函数的斜率和截距的正负，判断直线$y=px+q$经过的象限，最终得出不经过的象限。配方法操作时要注意常数项移项要变号，配方时需给方程两边同时加一次项系数一半的平方，另外要注意$p$的符号不要写反。
【解析】
1. 用配方法解方程$x^2 -6x -5=0$：
首先移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 -6x =5$
给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-6$，一半为$-3$，平方为$9$，则：
$x^2 -6x +9 =5 +9$
整理得：$(x-3)^2=14$
对照$(x+p)^2=q$的形式，可得$p=-3$，$q=14$。
2. 分析直线$y=px+q$的图象：
代入$p$、$q$得直线解析式为$y=-3x+14$，其中一次项系数$k=-3＜0$，说明直线从左上向右下倾斜；常数项$b=14＞0$，说明直线与$y$轴交于正半轴。
因此直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】
三
【知识点】
配方法解一元二次方程；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程的配方法和一次函数图象性质结合考查，解题的关键是准确算出$p$、$q$的值，再结合一次函数的性质判断象限，易错点是配方法中$p$的符号容易搞反。
【难度系数】
0.7
6. 提升题 若实数$a,b,c$满足$a^2 - 2a - b = 0, 2a^2 + b^2 - 4a + 2b = 2 - c$, 则$c$的最大值为。
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
解题时先从第一个等式入手，先推导得到a²-2a与b的关系，同时利用完全平方的非负性求出b的取值范围；再将第二个等式中含a的项整体替换为含b的代数式，整理得到c关于b的表达式，对表达式配方后结合b的取值范围，利用平方的非负性即可求出c的最大值。
【解析】
1. 由第一个方程$a^2 - 2a - b = 0$，变形可得：
$a^2 - 2a = b$ ①，
将等式左边配方得$(a-1)^2 = b + 1$，
根据完全平方的非负性，$(a-1)^2≥0$，因此$b+1≥0$，即$b≥ -1$。
2. 整理第二个方程$2a^2 + b^2 - 4a + 2b = 2 - c$，
将左边的$2a^2-4a$变形为$2(a^2-2a)$，把①代入得：
$2b + b^2 + 2b = 2 - c$，
整理得$b^2 +4b = 2 - c$，移项得$c = 2 - b^2 -4b$。
3. 对c的表达式配方：
$c = 2 - (b^2 +4b) = 2 - [(b+2)^2 -4] = 6 - (b+2)^2$。
因为$(b+2)^2≥0$，且$b≥-1$，因此当$b=-1$时，$(b+2)^2$取最小值$(-1+2)^2=1$，此时c取得最大值：
$c_{\mathrm{max}}=6 - 1=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
完全平方的非负性；配方法的应用；整体代入思想
【点评】
本题属于代数最值类的提升题，核心考察整体代入思想和配方法的灵活运用，解题时要注意不能忽略由第一个方程推导得到的b的取值范围，否则会错误认为$b=-2$时c取最大值，得到错误结果。
【难度系数】
0.5
解题时先从第一个等式入手，先推导得到a²-2a与b的关系，同时利用完全平方的非负性求出b的取值范围；再将第二个等式中含a的项整体替换为含b的代数式，整理得到c关于b的表达式，对表达式配方后结合b的取值范围，利用平方的非负性即可求出c的最大值。
【解析】
1. 由第一个方程$a^2 - 2a - b = 0$，变形可得：
$a^2 - 2a = b$ ①，
将等式左边配方得$(a-1)^2 = b + 1$，
根据完全平方的非负性，$(a-1)^2≥0$，因此$b+1≥0$，即$b≥ -1$。
2. 整理第二个方程$2a^2 + b^2 - 4a + 2b = 2 - c$，
将左边的$2a^2-4a$变形为$2(a^2-2a)$，把①代入得：
$2b + b^2 + 2b = 2 - c$，
整理得$b^2 +4b = 2 - c$，移项得$c = 2 - b^2 -4b$。
3. 对c的表达式配方：
$c = 2 - (b^2 +4b) = 2 - [(b+2)^2 -4] = 6 - (b+2)^2$。
因为$(b+2)^2≥0$，且$b≥-1$，因此当$b=-1$时，$(b+2)^2$取最小值$(-1+2)^2=1$，此时c取得最大值：
$c_{\mathrm{max}}=6 - 1=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
完全平方的非负性；配方法的应用；整体代入思想
【点评】
本题属于代数最值类的提升题，核心考察整体代入思想和配方法的灵活运用，解题时要注意不能忽略由第一个方程推导得到的b的取值范围，否则会错误认为$b=-2$时c取最大值，得到错误结果。
【难度系数】
0.5
7. 解下列方程：
(1) $(3x - 1)^2 - 25 = 0$；
(2) $x^2 - 2x - 6 = 0$。
(1) $(3x - 1)^2 - 25 = 0$；
(2) $x^2 - 2x - 6 = 0$。
答案
解：
(1) 移项，得
$(3x-1)^2 = 25$
两边直接开平方，得
$3x - 1 = \pm5$
当$3x - 1 = 5$时，解得$x_1=2$；
当$3x - 1 = -5$时，解得$x_2=-\frac{4}{3}$。
(2) 移项，得
$x^2 - 2x = 6$
配方，两边同时加1，得
$x^2 - 2x + 1 = 6 + 1$
即$(x-1)^2 = 7$
两边直接开平方，得
$x - 1 = \pm\sqrt{7}$
解得$x_1=1+\sqrt{7}$，$x_2=1-\sqrt{7}$。
(1) 移项，得
$(3x-1)^2 = 25$
两边直接开平方，得
$3x - 1 = \pm5$
当$3x - 1 = 5$时，解得$x_1=2$；
当$3x - 1 = -5$时，解得$x_2=-\frac{4}{3}$。
(2) 移项，得
$x^2 - 2x = 6$
配方，两边同时加1，得
$x^2 - 2x + 1 = 6 + 1$
即$(x-1)^2 = 7$
两边直接开平方，得
$x - 1 = \pm\sqrt{7}$
解得$x_1=1+\sqrt{7}$，$x_2=1-\sqrt{7}$。
解析
【分析】
这两道是一元二次方程求解的基础题，需根据方程结构选择最简便的解法。第(1)题方程左边是完全平方式减常数，可先移项将方程转化为“完全平方式=正数”的形式，用直接开平方法将二次方程降为两个一元一次方程求解；第(2)题二次项系数为1，一次项系数是偶数，适合用配方法：先移项把常数项放到等号右边，再给方程两边加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再开平方求解。
【解析】
(1) 移项，得
$(3x-1)^2 = 25$
两边直接开平方，得
$3x - 1 = \pm5$
当$3x - 1 = 5$时，解得$x_1=2$；
当$3x - 1 = -5$时，解得$x_2=-\frac{4}{3}$。
(2) 移项，得
$x^2 - 2x = 6$
配方，两边同时加1，得
$x^2 - 2x + 1 = 6 + 1$
即$(x-1)^2 = 7$
两边直接开平方，得
$x - 1 = \pm\sqrt{7}$
解得$x_1=1+\sqrt{7}$，$x_2=1-\sqrt{7}$。
【答案】
(1)$x_1=2$，$x_2=-\dfrac{4}{3}$；(2)$x_1=1+\sqrt{7}$，$x_2=1-\sqrt{7}$
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程 2.配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，解题时可根据方程的特征灵活选择解法简化运算：直接开平方法适用于形如$(ax+b)^2=c\ (c≥0)$的方程，配方法需要熟练掌握完全平方公式的变形技巧，是后续学习其他解法的基础。
【难度系数】
0.85
这两道是一元二次方程求解的基础题，需根据方程结构选择最简便的解法。第(1)题方程左边是完全平方式减常数，可先移项将方程转化为“完全平方式=正数”的形式，用直接开平方法将二次方程降为两个一元一次方程求解；第(2)题二次项系数为1，一次项系数是偶数，适合用配方法：先移项把常数项放到等号右边，再给方程两边加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再开平方求解。
【解析】
(1) 移项，得
$(3x-1)^2 = 25$
两边直接开平方，得
$3x - 1 = \pm5$
当$3x - 1 = 5$时，解得$x_1=2$；
当$3x - 1 = -5$时，解得$x_2=-\frac{4}{3}$。
(2) 移项，得
$x^2 - 2x = 6$
配方，两边同时加1，得
$x^2 - 2x + 1 = 6 + 1$
即$(x-1)^2 = 7$
两边直接开平方，得
$x - 1 = \pm\sqrt{7}$
解得$x_1=1+\sqrt{7}$，$x_2=1-\sqrt{7}$。
【答案】
(1)$x_1=2$，$x_2=-\dfrac{4}{3}$；(2)$x_1=1+\sqrt{7}$，$x_2=1-\sqrt{7}$
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程 2.配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，解题时可根据方程的特征灵活选择解法简化运算：直接开平方法适用于形如$(ax+b)^2=c\ (c≥0)$的方程，配方法需要熟练掌握完全平方公式的变形技巧，是后续学习其他解法的基础。
【难度系数】
0.85
8.已知关于$x$的一元二次方程$(a-3)x^2 -8x+a^2 -1=0$。
(1)若方程有一个根为0，求实数$a$的值。
(2)当$a=4$时，等腰三角形$ABC$的底边长和腰长分别是一元二次方程$(a-3)x^2 -8x+a^2 -1=0$的两个根，求等腰三角形$ABC$的周长。
(1)若方程有一个根为0，求实数$a$的值。
(2)当$a=4$时，等腰三角形$ABC$的底边长和腰长分别是一元二次方程$(a-3)x^2 -8x+a^2 -1=0$的两个根，求等腰三角形$ABC$的周长。
答案
解：
(1) ∵方程有一个根为0，
∴将$x=0$代入方程$(a-3)x^2 -8x+a^2 -1=0$，得：
$a^2 -1=0$，
解得$a=1$或$a=-1$。
又∵该方程是一元二次方程，
∴二次项系数$a-3≠0$，即$a≠3$，
∴实数$a$的值为1或-1。
(2) 当$a=4$时，代入原方程得：
$(4-3)x^2 -8x +4^2 -1=0$，
整理得$x^2 -8x +15=0$，
因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
分两种情况计算：
① 若等腰三角形$ABC$的腰长为3，底边长为5，
三边3、3、5满足三角形三边关系，
此时周长为$3+3+5=11$；
② 若等腰三角形$ABC$的腰长为5，底边长为3，
三边5、5、3满足三角形三边关系，
此时周长为$5+5+3=13$。
∴等腰三角形$ABC$的周长为11或13。
(1) ∵方程有一个根为0，
∴将$x=0$代入方程$(a-3)x^2 -8x+a^2 -1=0$，得：
$a^2 -1=0$，
解得$a=1$或$a=-1$。
又∵该方程是一元二次方程，
∴二次项系数$a-3≠0$，即$a≠3$，
∴实数$a$的值为1或-1。
(2) 当$a=4$时，代入原方程得：
$(4-3)x^2 -8x +4^2 -1=0$，
整理得$x^2 -8x +15=0$，
因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
分两种情况计算：
① 若等腰三角形$ABC$的腰长为3，底边长为5，
三边3、3、5满足三角形三边关系，
此时周长为$3+3+5=11$；
② 若等腰三角形$ABC$的腰长为5，底边长为3，
三边5、5、3满足三角形三边关系，
此时周长为$5+5+3=13$。
∴等腰三角形$ABC$的周长为11或13。
解析
【分析】
(1) 已知方程有一个根为0，根据方程根的定义，将x=0代入原方程即可得到关于a的方程，求解a的取值；同时题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，需要对求得的a值进行验证，排除不符合要求的取值。
(2) 先将a=4代入原方程，解出方程的两个根；再结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论：腰长为3底边长为5、腰长为5底边长为3，每种情况都要验证三边是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），符合条件的再计算对应的周长即可。
【解析】
(1)
∵方程有一个根为0，
∴将$x=0$代入方程$(a-3)x^2 -8x+a^2 -1=0$，得：
$a^2 -1=0$，
解得$a=1$或$a=-1$。
又
∵该方程是一元二次方程，
∴二次项系数$a-3≠0$，即$a≠3$，
∴实数$a$的值为1或-1。
(2) 当$a=4$时，代入原方程得：
$(4-3)x^2 -8x +4^2 -1=0$，
整理得$x^2 -8x +15=0$，
因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
分两种情况计算：
① 若等腰三角形$ABC$的腰长为3，底边长为5，
三边3、3、5满足三角形三边关系，
此时周长为$3+3+5=11$；
② 若等腰三角形$ABC$的腰长为5，底边长为3，
三边5、5、3满足三角形三边关系，
此时周长为$5+5+3=13$。
∴等腰三角形$ABC$的周长为11或13。
【答案】
(1) $a=1$或$a=-1$；
(2) 11或13
【知识点】
1. 一元二次方程的定义与根的意义
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 等腰三角形性质与三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程知识与几何图形性质相结合，解题时要注意题目隐含条件：一元二次方程二次项系数不为0、三角形三边需满足两边之和大于第三边，同时要熟练运用分类讨论思想，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
(1) 已知方程有一个根为0，根据方程根的定义，将x=0代入原方程即可得到关于a的方程，求解a的取值；同时题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，需要对求得的a值进行验证，排除不符合要求的取值。
(2) 先将a=4代入原方程，解出方程的两个根；再结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论：腰长为3底边长为5、腰长为5底边长为3，每种情况都要验证三边是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），符合条件的再计算对应的周长即可。
【解析】
(1)
∵方程有一个根为0，
∴将$x=0$代入方程$(a-3)x^2 -8x+a^2 -1=0$，得：
$a^2 -1=0$，
解得$a=1$或$a=-1$。
又
∵该方程是一元二次方程，
∴二次项系数$a-3≠0$，即$a≠3$，
∴实数$a$的值为1或-1。
(2) 当$a=4$时，代入原方程得：
$(4-3)x^2 -8x +4^2 -1=0$，
整理得$x^2 -8x +15=0$，
因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
分两种情况计算：
① 若等腰三角形$ABC$的腰长为3，底边长为5，
三边3、3、5满足三角形三边关系，
此时周长为$3+3+5=11$；
② 若等腰三角形$ABC$的腰长为5，底边长为3，
三边5、5、3满足三角形三边关系，
此时周长为$5+5+3=13$。
∴等腰三角形$ABC$的周长为11或13。
【答案】
(1) $a=1$或$a=-1$；
(2) 11或13
【知识点】
1. 一元二次方程的定义与根的意义
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 等腰三角形性质与三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程知识与几何图形性质相结合，解题时要注意题目隐含条件：一元二次方程二次项系数不为0、三角形三边需满足两边之和大于第三边，同时要熟练运用分类讨论思想，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
