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例 (1)已知 $a+\frac{1}{a}=4$，求下列各式的值：
① $a^2+\frac{1}{a^2}$；② $\frac{a^2}{a^4+a^2+1}$。
(2)已知 $\frac{ab}{a+b}=\frac{1}{3}$，$\frac{bc}{b+c}=\frac{1}{4}$，$\frac{ac}{a+c}=\frac{1}{5}$，求 $\frac{abc}{ab+bc+ca}$ 的值。
解:(1)① $\because a+\frac{1}{a}=4$，$\therefore (a+\frac{1}{a})^2=4^2$。
即 $a^2+2+\frac{1}{a^2}=16$。$\therefore a^2+\frac{1}{a^2}=14$。
② $\because \frac{a^4+a^2+1}{a^2}=\frac{a^4}{a^2}+\frac{a^2}{a^2}+\frac{1}{a^2}=a^2+1+\frac{1}{a^2}=14+1=15$，
$\therefore \frac{a^2}{a^4+a^2+1}=\frac{1}{15}$。
(2) $\because \frac{ab}{a+b}=\frac{1}{3}$，$\therefore \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=3$，
同理可得 $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=5$，
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=3+4+5=12$。
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$。
① $a^2+\frac{1}{a^2}$；② $\frac{a^2}{a^4+a^2+1}$。
(2)已知 $\frac{ab}{a+b}=\frac{1}{3}$，$\frac{bc}{b+c}=\frac{1}{4}$，$\frac{ac}{a+c}=\frac{1}{5}$，求 $\frac{abc}{ab+bc+ca}$ 的值。
解:(1)① $\because a+\frac{1}{a}=4$，$\therefore (a+\frac{1}{a})^2=4^2$。
即 $a^2+2+\frac{1}{a^2}=16$。$\therefore a^2+\frac{1}{a^2}=14$。
② $\because \frac{a^4+a^2+1}{a^2}=\frac{a^4}{a^2}+\frac{a^2}{a^2}+\frac{1}{a^2}=a^2+1+\frac{1}{a^2}=14+1=15$，
$\therefore \frac{a^2}{a^4+a^2+1}=\frac{1}{15}$。
(2) $\because \frac{ab}{a+b}=\frac{1}{3}$，$\therefore \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=3$，
同理可得 $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=5$，
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=3+4+5=12$。
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$。
答案
解:(1)① $\because a+\frac{1}{a}=4$，$\therefore (a+\frac{1}{a})^2=4^2$。
即 $a^2+2+\frac{1}{a^2}=16$。$\therefore a^2+\frac{1}{a^2}=14$。
② $\because \frac{a^4+a^2+1}{a^2}=\frac{a^4}{a^2}+\frac{a^2}{a^2}+\frac{1}{a^2}=a^2+1+\frac{1}{a^2}=14+1=15$，
$\therefore \frac{a^2}{a^4+a^2+1}=\frac{1}{15}$。
(2) $\because \frac{ab}{a+b}=\frac{1}{3}$，$\therefore \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=3$，
同理可得 $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=5$，
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=3+4+5=12$。
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$。
将$\frac{abc}{ab+bc+ca}$的分子、分母同时除以$abc$，得：
$\frac{abc}{ab+bc+ca}=\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$
代入$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$，得原式$=\frac{1}{6}$。
即 $a^2+2+\frac{1}{a^2}=16$。$\therefore a^2+\frac{1}{a^2}=14$。
② $\because \frac{a^4+a^2+1}{a^2}=\frac{a^4}{a^2}+\frac{a^2}{a^2}+\frac{1}{a^2}=a^2+1+\frac{1}{a^2}=14+1=15$，
$\therefore \frac{a^2}{a^4+a^2+1}=\frac{1}{15}$。
(2) $\because \frac{ab}{a+b}=\frac{1}{3}$，$\therefore \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=3$，
同理可得 $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=5$，
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=3+4+5=12$。
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$。
将$\frac{abc}{ab+bc+ca}$的分子、分母同时除以$abc$，得：
$\frac{abc}{ab+bc+ca}=\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$
代入$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$，得原式$=\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题核心是巧用整体代入和倒数法简化计算：
(1)①观察到所求式子$a^2+\frac{1}{a^2}$是$(a+\frac{1}{a})^2$展开后的一部分，因此直接将已知等式两边平方，展开后移项即可得到结果；②所求式子分子次数低于分母，可先求其倒数的值，利用分式的基本性质将倒数式拆分，代入①的结果计算后再取倒数即可。
(2)已知的三个分式均为两数乘积除以两数和的形式，先对三个已知等式取倒数，拆分得到$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$、$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$、$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$的值，三式相加后除以2得到$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的和；再将待求式子取倒数，拆分后正好是三个倒数的和，代入数值后取倒数即可得到最终结果。
【解析】
(1)①已知$a+\frac{1}{a}=4$，将等式两边同时平方，得：
$(a+\frac{1}{a})^2=4^2$
展开完全平方公式得$a^2+2· a· \frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}=16$，即$a^2+2+\frac{1}{a^2}=16$
移项得$a^2+\frac{1}{a^2}=16-2=14$。
②先求$\frac{a^4+a^2+1}{a^2}$的值，根据分式的基本性质拆分得：
$\frac{a^4+a^2+1}{a^2}=\frac{a^4}{a^2}+\frac{a^2}{a^2}+\frac{1}{a^2}=a^2+1+\frac{1}{a^2}$
代入①的结果$a^2+\frac{1}{a^2}=14$，得$14+1=15$
因此$\frac{a^2}{a^4+a^2+1}=\frac{1}{15}$。
(2)已知$\frac{ab}{a+b}=\frac{1}{3}$，对等式两边取倒数得：
$\frac{a+b}{ab}=3$，拆分后得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=3$
同理，对$\frac{bc}{b+c}=\frac{1}{4}$取倒数得$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4$；对$\frac{ac}{a+c}=\frac{1}{5}$取倒数得$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=5$
将三个等式左右两边分别相加，得：
$2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+4+5=12$
因此$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$
将待求式$\frac{abc}{ab+bc+ca}$的分子、分母同时除以$abc$（$abc≠0$），得：
$\frac{abc}{ab+bc+ca}=\frac{1}{\frac{ab}{abc}+\frac{bc}{abc}+\frac{ca}{abc}}=\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$
代入$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$，得原式$=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1)①$\boxed{14}$；②$\boxed{\frac{1}{15}}$
(2)$\boxed{\frac{1}{6}}$
【知识点】
完全平方公式，分式的基本性质，分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的经典题型，重点考查了整体代入思想和倒数法的应用，通过对已知式或待求式取倒数的技巧，可避免求解单个未知数的复杂运算，大幅简化计算过程，是分式化简求值中需要熟练掌握的常用方法。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题核心是巧用整体代入和倒数法简化计算：
(1)①观察到所求式子$a^2+\frac{1}{a^2}$是$(a+\frac{1}{a})^2$展开后的一部分，因此直接将已知等式两边平方，展开后移项即可得到结果；②所求式子分子次数低于分母，可先求其倒数的值，利用分式的基本性质将倒数式拆分，代入①的结果计算后再取倒数即可。
(2)已知的三个分式均为两数乘积除以两数和的形式，先对三个已知等式取倒数，拆分得到$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$、$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$、$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$的值，三式相加后除以2得到$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的和；再将待求式子取倒数，拆分后正好是三个倒数的和，代入数值后取倒数即可得到最终结果。
【解析】
(1)①已知$a+\frac{1}{a}=4$，将等式两边同时平方，得：
$(a+\frac{1}{a})^2=4^2$
展开完全平方公式得$a^2+2· a· \frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}=16$，即$a^2+2+\frac{1}{a^2}=16$
移项得$a^2+\frac{1}{a^2}=16-2=14$。
②先求$\frac{a^4+a^2+1}{a^2}$的值，根据分式的基本性质拆分得：
$\frac{a^4+a^2+1}{a^2}=\frac{a^4}{a^2}+\frac{a^2}{a^2}+\frac{1}{a^2}=a^2+1+\frac{1}{a^2}$
代入①的结果$a^2+\frac{1}{a^2}=14$，得$14+1=15$
因此$\frac{a^2}{a^4+a^2+1}=\frac{1}{15}$。
(2)已知$\frac{ab}{a+b}=\frac{1}{3}$，对等式两边取倒数得：
$\frac{a+b}{ab}=3$，拆分后得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=3$
同理，对$\frac{bc}{b+c}=\frac{1}{4}$取倒数得$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4$；对$\frac{ac}{a+c}=\frac{1}{5}$取倒数得$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=5$
将三个等式左右两边分别相加，得：
$2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+4+5=12$
因此$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$
将待求式$\frac{abc}{ab+bc+ca}$的分子、分母同时除以$abc$（$abc≠0$），得：
$\frac{abc}{ab+bc+ca}=\frac{1}{\frac{ab}{abc}+\frac{bc}{abc}+\frac{ca}{abc}}=\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$
代入$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$，得原式$=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1)①$\boxed{14}$；②$\boxed{\frac{1}{15}}$
(2)$\boxed{\frac{1}{6}}$
【知识点】
完全平方公式，分式的基本性质，分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的经典题型，重点考查了整体代入思想和倒数法的应用，通过对已知式或待求式取倒数的技巧，可避免求解单个未知数的复杂运算，大幅简化计算过程，是分式化简求值中需要熟练掌握的常用方法。
【难度系数】
0.7
1.已知$\frac{1}{8x^2 +6y +1}=\frac{2}{3}$，求$\frac{1}{4x^2 +3y -5}$的值.
答案
解：
由$\frac{1}{8x^2 +6y +1}=\frac{2}{3}$，交叉相乘得：
$2(8x^2 + 6y + 1) = 3$
展开得：$16x^2 + 12y + 2 = 3$
移项整理得：$16x^2 + 12y = 1$
等式两边同除以2，得：$8x^2 + 6y = 1$
变形得$2(4x^2 + 3y) = 1$，因此$4x^2 + 3y = \frac{1}{2}$
将$4x^2 + 3y = \frac{1}{2}$代入$\frac{1}{4x^2 +3y -5}$，得：
$\frac{1}{\frac{1}{2} - 5} = \frac{1}{-\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$
最终结果为$\boldsymbol{-\frac{2}{9}}$。
由$\frac{1}{8x^2 +6y +1}=\frac{2}{3}$，交叉相乘得：
$2(8x^2 + 6y + 1) = 3$
展开得：$16x^2 + 12y + 2 = 3$
移项整理得：$16x^2 + 12y = 1$
等式两边同除以2，得：$8x^2 + 6y = 1$
变形得$2(4x^2 + 3y) = 1$，因此$4x^2 + 3y = \frac{1}{2}$
将$4x^2 + 3y = \frac{1}{2}$代入$\frac{1}{4x^2 +3y -5}$，得：
$\frac{1}{\frac{1}{2} - 5} = \frac{1}{-\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$
最终结果为$\boldsymbol{-\frac{2}{9}}$。
2.已知$a,b,c,d$都是非零实数，且$\frac{ab}{a+b}=2$，$\frac{bc}{b+c}=3$，$\frac{cd}{c+d}=4$，求$\frac{ad}{a+d}$的值.
答案
解：
∵a,b,c,d都是非零实数，
∴对已知等式两边同时取倒数，可得：
$\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2}$，拆分得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}$ ①
$\frac{b+c}{bc}=\frac{1}{3}$，拆分得$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{3}$ ②
$\frac{c+d}{cd}=\frac{1}{4}$，拆分得$\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=\frac{1}{4}$ ③
由①-②，得：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{c}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ ④
由③+④，得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{d}=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$
即$\frac{a+d}{ad}=\frac{5}{12}$，
两边同时取倒数，得$\frac{ad}{a+d}=\frac{12}{5}$。
∵a,b,c,d都是非零实数，
∴对已知等式两边同时取倒数，可得：
$\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2}$，拆分得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}$ ①
$\frac{b+c}{bc}=\frac{1}{3}$，拆分得$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{3}$ ②
$\frac{c+d}{cd}=\frac{1}{4}$，拆分得$\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=\frac{1}{4}$ ③
由①-②，得：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{c}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ ④
由③+④，得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{d}=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$
即$\frac{a+d}{ad}=\frac{5}{12}$，
两边同时取倒数，得$\frac{ad}{a+d}=\frac{12}{5}$。
解析
【分析】
观察已知条件和所求代数式的结构，均为“两数乘积除以两数之和”的形式，由于a、b、c、d都是非零实数，可对这类结构的分式取倒数，利用分式拆分得到对应两数的倒数和，将复杂的分式关系转化为简单的倒数和等式。目标是求$\frac{ad}{a+d}$，本质是求$\frac{1}{a}+\frac{1}{d}$的值，因此可以通过已知的三个倒数和等式，消去中间变量b、c得到$\frac{1}{a}+\frac{1}{d}$的值，最后再取倒数即可得到答案。
【解析】
∵a,b,c,d都是非零实数，
∴对已知等式两边同时取倒数，可得：
$\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2}$，拆分得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}$ ①
$\frac{b+c}{bc}=\frac{1}{3}$，拆分得$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{3}$ ②
$\frac{c+d}{cd}=\frac{1}{4}$，拆分得$\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=\frac{1}{4}$ ③
由①-②，得：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{c}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ ④
由③+④，得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{d}=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$
即$\frac{a+d}{ad}=\frac{5}{12}$，
两边同时取倒数，得$\frac{ad}{a+d}=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
分式的基本性质、分式的加减运算、倒数法化简求值
【点评】
本题是分式运算的典型技巧题，核心解题突破口是识别“两数积除以两数和”的分式结构，采用倒数拆分的方法简化运算，避免了直接求解各个变量的繁琐过程，能很好地考察学生对分式变形技巧的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
观察已知条件和所求代数式的结构，均为“两数乘积除以两数之和”的形式，由于a、b、c、d都是非零实数，可对这类结构的分式取倒数，利用分式拆分得到对应两数的倒数和，将复杂的分式关系转化为简单的倒数和等式。目标是求$\frac{ad}{a+d}$，本质是求$\frac{1}{a}+\frac{1}{d}$的值，因此可以通过已知的三个倒数和等式，消去中间变量b、c得到$\frac{1}{a}+\frac{1}{d}$的值，最后再取倒数即可得到答案。
【解析】
∵a,b,c,d都是非零实数，
∴对已知等式两边同时取倒数，可得：
$\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2}$，拆分得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}$ ①
$\frac{b+c}{bc}=\frac{1}{3}$，拆分得$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{3}$ ②
$\frac{c+d}{cd}=\frac{1}{4}$，拆分得$\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=\frac{1}{4}$ ③
由①-②，得：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{c}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ ④
由③+④，得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{d}=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$
即$\frac{a+d}{ad}=\frac{5}{12}$，
两边同时取倒数，得$\frac{ad}{a+d}=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
分式的基本性质、分式的加减运算、倒数法化简求值
【点评】
本题是分式运算的典型技巧题，核心解题突破口是识别“两数积除以两数和”的分式结构，采用倒数拆分的方法简化运算，避免了直接求解各个变量的繁琐过程，能很好地考察学生对分式变形技巧的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
