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3.已知$a^2 - 3a + 1 = 0$，求下列各式的值：
(1)$a^2 + \frac{1}{a^2}$；
(2)$a^4 + \frac{1}{a^4}$；
(3)$\frac{a^2 + 5a + 1}{a^2 - 2a + 1}$；
(4)$\frac{a^2}{a^4 + a^2 + 1}$；
(5)$a^3 - 5a + \frac{1}{a^2}$。
(1)$a^2 + \frac{1}{a^2}$；
(2)$a^4 + \frac{1}{a^4}$；
(3)$\frac{a^2 + 5a + 1}{a^2 - 2a + 1}$；
(4)$\frac{a^2}{a^4 + a^2 + 1}$；
(5)$a^3 - 5a + \frac{1}{a^2}$。
答案
解：
由$a^2 - 3a + 1 = 0$，可知$a ≠ 0$，
两边同除以$a$，得$a - 3 + \frac{1}{a} = 0$，即$a + \frac{1}{a} = 3$，且$a^2 = 3a - 1$。
(1)
由完全平方公式：
$a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$
(2)
同理：
$a^4 + \frac{1}{a^4} = (a^2 + \frac{1}{a^2})^2 - 2 = 7^2 - 2 = 47$
(3)
将$a^2 + 1 = 3a$代入分子，$a^2 = 3a - 1$代入分母：
分子：$a^2 + 5a + 1 = 3a + 5a = 8a$
分母：$a^2 - 2a + 1 = 3a - 1 - 2a + 1 = a$
原式$= \frac{8a}{a} = 8$
(4)
分子分母同除以$a^2$：
原式$= \frac{1}{a^2 + 1 + \frac{1}{a^2}} = \frac{1}{7 + 1} = \frac{1}{8}$
(5)
先化简$a^3$：
$a^3 = a · a^2 = a(3a - 1) = 3a^2 - a = 3(3a - 1) - a = 8a - 3$
由$a^2 + 1 = 3a$两边同除以$a^2$，得$1 + \frac{1}{a^2} = \frac{3}{a}$，即$\frac{1}{a^2} = \frac{3}{a} - 1$
代入原式：
$a^3 - 5a + \frac{1}{a^2} = 8a - 3 - 5a + \frac{3}{a} - 1 = 3a + \frac{3}{a} - 4 = 3(a + \frac{1}{a}) - 4 = 3 × 3 - 4 = 5$
综上，各式的值分别为：(1)$\boldsymbol{7}$；(2)$\boldsymbol{47}$；(3)$\boldsymbol{8}$；(4)$\boldsymbol{\frac{1}{8}}$；(5)$\boldsymbol{5}$。
由$a^2 - 3a + 1 = 0$，可知$a ≠ 0$，
两边同除以$a$，得$a - 3 + \frac{1}{a} = 0$，即$a + \frac{1}{a} = 3$，且$a^2 = 3a - 1$。
(1)
由完全平方公式：
$a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$
(2)
同理：
$a^4 + \frac{1}{a^4} = (a^2 + \frac{1}{a^2})^2 - 2 = 7^2 - 2 = 47$
(3)
将$a^2 + 1 = 3a$代入分子，$a^2 = 3a - 1$代入分母：
分子：$a^2 + 5a + 1 = 3a + 5a = 8a$
分母：$a^2 - 2a + 1 = 3a - 1 - 2a + 1 = a$
原式$= \frac{8a}{a} = 8$
(4)
分子分母同除以$a^2$：
原式$= \frac{1}{a^2 + 1 + \frac{1}{a^2}} = \frac{1}{7 + 1} = \frac{1}{8}$
(5)
先化简$a^3$：
$a^3 = a · a^2 = a(3a - 1) = 3a^2 - a = 3(3a - 1) - a = 8a - 3$
由$a^2 + 1 = 3a$两边同除以$a^2$，得$1 + \frac{1}{a^2} = \frac{3}{a}$，即$\frac{1}{a^2} = \frac{3}{a} - 1$
代入原式：
$a^3 - 5a + \frac{1}{a^2} = 8a - 3 - 5a + \frac{3}{a} - 1 = 3a + \frac{3}{a} - 4 = 3(a + \frac{1}{a}) - 4 = 3 × 3 - 4 = 5$
综上，各式的值分别为：(1)$\boldsymbol{7}$；(2)$\boldsymbol{47}$；(3)$\boldsymbol{8}$；(4)$\boldsymbol{\frac{1}{8}}$；(5)$\boldsymbol{5}$。
解析
【分析】
已知条件为关于a的二次方程，若直接求解a再代入计算会十分繁琐，因此优先对已知条件变形推导：首先判断a≠0（代入a=0，等式左边为1≠0，矛盾），将等式两边同除以a，可得到核心关系式$a + \frac{1}{a}=3$，同时还可推出$a^2=3a-1$、$a^2+1=3a$用于整体代入或降次。各小问解题思路：(1)利用完全平方公式的变形$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2$，代入$a+\frac{1}{a}=3$计算；(2)将(1)的结果看作整体，再次用完全平方公式变形$a^4+\frac{1}{a^4}=(a^2+\frac{1}{a^2})^2-2$计算；(3)把分子的$a^2+1$替换为3a，分母的$a^2$替换为3a-1，化简后约分即可；(4)将分式分子分母同除以$a^2$，转化为含$a^2+\frac{1}{a^2}$的形式，代入(1)的结果计算；(5)先对$a^3$降次：用$a^2=3a-1$代入得$a^3=8a-3$，再对$\frac{1}{a^2}$变形：由$a^2+1=3a$两边除以$a^2$得$\frac{1}{a^2}=\frac{3}{a}-1$，代入原式整理后出现$a+\frac{1}{a}$，整体代入计算即可。
【解析】
解：由$a^2 - 3a + 1 = 0$，可知$a ≠ 0$，
两边同除以$a$，得$a - 3 + \frac{1}{a} = 0$，即$a + \frac{1}{a} = 3$，且可得$a^2 = 3a - 1$，$a^2 + 1 = 3a$。
(1) 由完全平方公式变形可得：
$a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$
(2) 把$a^2+\frac{1}{a^2}$看作整体，同理得：
$a^4 + \frac{1}{a^4} = (a^2 + \frac{1}{a^2})^2 - 2 = 7^2 - 2 = 47$
(3) 分别将$a^2+1=3a$代入分子，$a^2=3a-1$代入分母：
分子：$a^2 + 5a + 1 = (a^2+1) + 5a = 3a + 5a = 8a$
分母：$a^2 - 2a + 1 = (3a - 1) - 2a + 1 = a$
因为$a≠0$，所以原式$= \frac{8a}{a} = 8$
(4) 因为$a≠0$，分子分母同除以$a^2$得：
原式$= \frac{1}{a^2 + 1 + \frac{1}{a^2}} = \frac{1}{7 + 1} = \frac{1}{8}$
(5) 先对$a^3$降次化简：
$a^3 = a · a^2 = a(3a - 1) = 3a^2 - a = 3(3a - 1) - a = 8a - 3$
再对$\frac{1}{a^2}$变形：将$a^2 + 1 = 3a$两边同除以$a^2$，得$1 + \frac{1}{a^2} = \frac{3}{a}$，即$\frac{1}{a^2} = \frac{3}{a} - 1$
代入原式得：
$a^3 - 5a + \frac{1}{a^2} = 8a - 3 - 5a + \frac{3}{a} - 1 = 3a + \frac{3}{a} - 4 = 3(a + \frac{1}{a}) - 4 = 3 × 3 - 4 = 5$
【答案】
(1)$\boldsymbol{7}$；(2)$\boldsymbol{47}$；(3)$\boldsymbol{8}$；(4)$\boldsymbol{\frac{1}{8}}$；(5)$\boldsymbol{5}$
【知识点】
完全平方公式、分式化简、整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心解题思路是避免直接求解未知数的繁琐运算，通过对已知条件合理变形，结合完全平方公式变形、降次、整体代入等技巧简化计算，能有效考查学生的代数变形能力和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
已知条件为关于a的二次方程，若直接求解a再代入计算会十分繁琐，因此优先对已知条件变形推导：首先判断a≠0（代入a=0，等式左边为1≠0，矛盾），将等式两边同除以a，可得到核心关系式$a + \frac{1}{a}=3$，同时还可推出$a^2=3a-1$、$a^2+1=3a$用于整体代入或降次。各小问解题思路：(1)利用完全平方公式的变形$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2$，代入$a+\frac{1}{a}=3$计算；(2)将(1)的结果看作整体，再次用完全平方公式变形$a^4+\frac{1}{a^4}=(a^2+\frac{1}{a^2})^2-2$计算；(3)把分子的$a^2+1$替换为3a，分母的$a^2$替换为3a-1，化简后约分即可；(4)将分式分子分母同除以$a^2$，转化为含$a^2+\frac{1}{a^2}$的形式，代入(1)的结果计算；(5)先对$a^3$降次：用$a^2=3a-1$代入得$a^3=8a-3$，再对$\frac{1}{a^2}$变形：由$a^2+1=3a$两边除以$a^2$得$\frac{1}{a^2}=\frac{3}{a}-1$，代入原式整理后出现$a+\frac{1}{a}$，整体代入计算即可。
【解析】
解：由$a^2 - 3a + 1 = 0$，可知$a ≠ 0$，
两边同除以$a$，得$a - 3 + \frac{1}{a} = 0$，即$a + \frac{1}{a} = 3$，且可得$a^2 = 3a - 1$，$a^2 + 1 = 3a$。
(1) 由完全平方公式变形可得：
$a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$
(2) 把$a^2+\frac{1}{a^2}$看作整体，同理得：
$a^4 + \frac{1}{a^4} = (a^2 + \frac{1}{a^2})^2 - 2 = 7^2 - 2 = 47$
(3) 分别将$a^2+1=3a$代入分子，$a^2=3a-1$代入分母：
分子：$a^2 + 5a + 1 = (a^2+1) + 5a = 3a + 5a = 8a$
分母：$a^2 - 2a + 1 = (3a - 1) - 2a + 1 = a$
因为$a≠0$，所以原式$= \frac{8a}{a} = 8$
(4) 因为$a≠0$，分子分母同除以$a^2$得：
原式$= \frac{1}{a^2 + 1 + \frac{1}{a^2}} = \frac{1}{7 + 1} = \frac{1}{8}$
(5) 先对$a^3$降次化简：
$a^3 = a · a^2 = a(3a - 1) = 3a^2 - a = 3(3a - 1) - a = 8a - 3$
再对$\frac{1}{a^2}$变形：将$a^2 + 1 = 3a$两边同除以$a^2$，得$1 + \frac{1}{a^2} = \frac{3}{a}$，即$\frac{1}{a^2} = \frac{3}{a} - 1$
代入原式得：
$a^3 - 5a + \frac{1}{a^2} = 8a - 3 - 5a + \frac{3}{a} - 1 = 3a + \frac{3}{a} - 4 = 3(a + \frac{1}{a}) - 4 = 3 × 3 - 4 = 5$
【答案】
(1)$\boldsymbol{7}$；(2)$\boldsymbol{47}$；(3)$\boldsymbol{8}$；(4)$\boldsymbol{\frac{1}{8}}$；(5)$\boldsymbol{5}$
【知识点】
完全平方公式、分式化简、整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心解题思路是避免直接求解未知数的繁琐运算，通过对已知条件合理变形，结合完全平方公式变形、降次、整体代入等技巧简化计算，能有效考查学生的代数变形能力和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
例 已知 $\frac{b+c}{a} = \frac{c+a}{b} = \frac{a+b}{c}$，求 $\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ 的值.
解:设$\frac{b+c}{a} = $
$ = \frac{a+b}{c} = k$,
$\therefore b+c=ak,c+a=bk,a+b=ck$.
$\therefore b+c+c+a+a+b=ak+bk+ck$,
$2(a+b+c)=k(a+b+c)$,
即$(a+b+c)(2-k)=0$,
$\therefore a+b+c=0$或$k=2$.
由$a+b+c=0$时，$\frac{-a}{a} = \frac{-b}{b} = \frac{-c}{c}=k$,得$k=-1$,
$\therefore k=2$或$k=-1$.
$\therefore$原式$=\frac{abc}{abck^3}=\frac{1}{k^3}$.
$\therefore \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$的值为$\frac{1}{8}$或$-1$.
解:设$\frac{b+c}{a} = $
$ = \frac{a+b}{c} = k$,$\therefore b+c=ak,c+a=bk,a+b=ck$.
$\therefore b+c+c+a+a+b=ak+bk+ck$,
$2(a+b+c)=k(a+b+c)$,
即$(a+b+c)(2-k)=0$,
$\therefore a+b+c=0$或$k=2$.
由$a+b+c=0$时，$\frac{-a}{a} = \frac{-b}{b} = \frac{-c}{c}=k$,得$k=-1$,
$\therefore k=2$或$k=-1$.
$\therefore$原式$=\frac{abc}{abck^3}=\frac{1}{k^3}$.
$\therefore \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$的值为$\frac{1}{8}$或$-1$.
答案
解：设$\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}=k$，
$\therefore b+c=ak$，$c+a=bk$，$a+b=ck$。
将三式左右两边分别相加，得：
$b+c+c+a+a+b=ak+bk+ck$，
整理得$2(a+b+c)=k(a+b+c)$，
因式分解得$(a+b+c)(2-k)=0$，
$\therefore a+b+c=0$或$k=2$。
当$a+b+c=0$时，$b+c=-a$，$c+a=-b$，$a+b=-c$，
此时$k=\frac{b+c}{a}=\frac{-a}{a}=-1$。
$\therefore k=2$或$k=-1$。
又$\because (a+b)(b+c)(c+a)=ck· ak· bk = abck^3$，
$\therefore \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{abc}{abck^3}=\frac{1}{k^3}$。
当$k=2$时，$\frac{1}{k^3}=\frac{1}{8}$；当$k=-1$时，$\frac{1}{k^3}=-1$。
$\therefore \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$的值为$\frac{1}{8}$或$-1$。
$\therefore b+c=ak$，$c+a=bk$，$a+b=ck$。
将三式左右两边分别相加，得：
$b+c+c+a+a+b=ak+bk+ck$，
整理得$2(a+b+c)=k(a+b+c)$，
因式分解得$(a+b+c)(2-k)=0$，
$\therefore a+b+c=0$或$k=2$。
当$a+b+c=0$时，$b+c=-a$，$c+a=-b$，$a+b=-c$，
此时$k=\frac{b+c}{a}=\frac{-a}{a}=-1$。
$\therefore k=2$或$k=-1$。
又$\because (a+b)(b+c)(c+a)=ck· ak· bk = abck^3$，
$\therefore \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{abc}{abck^3}=\frac{1}{k^3}$。
当$k=2$时，$\frac{1}{k^3}=\frac{1}{8}$；当$k=-1$时，$\frac{1}{k^3}=-1$。
$\therefore \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$的值为$\frac{1}{8}$或$-1$。
解析
【分析】
本题是等比类求值问题，解题时优先采用设公共比值的方法：首先设三个相等分式的比值为k，将分子转化为对应分母与k的乘积形式；再将得到的三个整式等式相加，整理为两个因式乘积为0的形式；接下来分类讨论两个因式分别为0的情况，求出k的所有可能取值；最后将待求式用k表示后代入计算即可，注意不能直接约去a+b+c，否则会遗漏a+b+c=0的情况导致漏解。
【解析】
设$\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}=k$，
$\therefore b+c=ak$，$c+a=bk$，$a+b=ck$。
将三式左右两边分别相加，得：
$b+c+c+a+a+b=ak+bk+ck$，
整理得$2(a+b+c)=k(a+b+c)$，
因式分解得$(a+b+c)(2-k)=0$，
$\therefore a+b+c=0$或$k=2$。
当$a+b+c=0$时，$b+c=-a$，$c+a=-b$，$a+b=-c$，
此时$k=\frac{b+c}{a}=\frac{-a}{a}=-1$。
$\therefore k=2$或$k=-1$。
又$\because (a+b)(b+c)(c+a)=ck· ak· bk = abck^3$，
$\therefore \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{abc}{abck^3}=\frac{1}{k^3}$。
当$k=2$时，$\frac{1}{k^3}=\frac{1}{8}$；当$k=-1$时，$\frac{1}{k^3}=-1$。
【答案】
$\frac{1}{8}$或$-1$
【知识点】
等比设k法，分类讨论思想，分式化简求值
【点评】
本题是比例性质应用的典型题型，解题的关键是掌握等比问题的设参技巧，同时需要注意等式两边同时除以含字母的式子时，要先判断该式子是否为0，否则容易出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
本题是等比类求值问题，解题时优先采用设公共比值的方法：首先设三个相等分式的比值为k，将分子转化为对应分母与k的乘积形式；再将得到的三个整式等式相加，整理为两个因式乘积为0的形式；接下来分类讨论两个因式分别为0的情况，求出k的所有可能取值；最后将待求式用k表示后代入计算即可，注意不能直接约去a+b+c，否则会遗漏a+b+c=0的情况导致漏解。
【解析】
设$\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}=k$，
$\therefore b+c=ak$，$c+a=bk$，$a+b=ck$。
将三式左右两边分别相加，得：
$b+c+c+a+a+b=ak+bk+ck$，
整理得$2(a+b+c)=k(a+b+c)$，
因式分解得$(a+b+c)(2-k)=0$，
$\therefore a+b+c=0$或$k=2$。
当$a+b+c=0$时，$b+c=-a$，$c+a=-b$，$a+b=-c$，
此时$k=\frac{b+c}{a}=\frac{-a}{a}=-1$。
$\therefore k=2$或$k=-1$。
又$\because (a+b)(b+c)(c+a)=ck· ak· bk = abck^3$，
$\therefore \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{abc}{abck^3}=\frac{1}{k^3}$。
当$k=2$时，$\frac{1}{k^3}=\frac{1}{8}$；当$k=-1$时，$\frac{1}{k^3}=-1$。
【答案】
$\frac{1}{8}$或$-1$
【知识点】
等比设k法，分类讨论思想，分式化简求值
【点评】
本题是比例性质应用的典型题型，解题的关键是掌握等比问题的设参技巧，同时需要注意等式两边同时除以含字母的式子时，要先判断该式子是否为0，否则容易出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
1.已知$a,b,c$为非零实数，且$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=k$，则$k$的值为。
答案
解：
由$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=k$，可得：
$a = k(b+c)$，$b = k(a+c)$，$c = k(a+b)$
将三式左右两边分别相加，得：
$a+b+c = k(b+c + a+c + a+b) = 2k(a+b+c)$
① 当$a+b+c ≠ 0$时，等式两边同时除以$a+b+c$，得：
$1 = 2k$，解得$k=\frac{1}{2}$
② 当$a+b+c = 0$时，$b+c = -a$，代入$\frac{a}{b+c}=k$，得：
$k = \frac{a}{-a} = -1$，符合$a,b,c$为非零实数的条件。
综上，$k$的值为$\frac{1}{2}$或$-1$。
由$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=k$，可得：
$a = k(b+c)$，$b = k(a+c)$，$c = k(a+b)$
将三式左右两边分别相加，得：
$a+b+c = k(b+c + a+c + a+b) = 2k(a+b+c)$
① 当$a+b+c ≠ 0$时，等式两边同时除以$a+b+c$，得：
$1 = 2k$，解得$k=\frac{1}{2}$
② 当$a+b+c = 0$时，$b+c = -a$，代入$\frac{a}{b+c}=k$，得：
$k = \frac{a}{-a} = -1$，符合$a,b,c$为非零实数的条件。
综上，$k$的值为$\frac{1}{2}$或$-1$。
解析
【分析】
遇到连等的比例式求比值k时，首先可以根据比例的基本性质，将每个比例式转化为整式形式，再把得到的三个整式相加，整理后会出现含公因式(a+b+c)的等式。此时要注意，等式两边同时除以一个整式时，必须保证这个整式不为0，因此需要分a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况讨论，分别计算k的值，避免漏解。
【解析】
由$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=k$，根据比例的基本性质可得：
$a = k(b+c)$，$b = k(a+c)$，$c = k(a+b)$
将三个等式左右两边分别相加，得：
$a+b+c = k(b+c + a+c + a+b) = 2k(a+b+c)$
① 当$a+b+c ≠ 0$时，等式两边同时除以$a+b+c$，得：
$1 = 2k$，解得$k=\frac{1}{2}$
② 当$a+b+c = 0$时，可得$b+c = -a$，代入$\frac{a}{b+c}=k$，得：
$k = \frac{a}{-a} = -1$，满足a,b,c为非零实数的条件。
综上，k的值为$\frac{1}{2}$或$-1$。
【答案】
$\frac{1}{2}$或$-1$
【知识点】
比例的基本性质，分类讨论思想，等式的性质
【点评】
本题是比例应用的典型题型，解题的关键是注意等式两边同除整式时整式不为0的前提，很多同学容易遗漏a+b+c=0的情况导致漏解，掌握分类讨论的思路即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
遇到连等的比例式求比值k时，首先可以根据比例的基本性质，将每个比例式转化为整式形式，再把得到的三个整式相加，整理后会出现含公因式(a+b+c)的等式。此时要注意，等式两边同时除以一个整式时，必须保证这个整式不为0，因此需要分a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况讨论，分别计算k的值，避免漏解。
【解析】
由$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=k$，根据比例的基本性质可得：
$a = k(b+c)$，$b = k(a+c)$，$c = k(a+b)$
将三个等式左右两边分别相加，得：
$a+b+c = k(b+c + a+c + a+b) = 2k(a+b+c)$
① 当$a+b+c ≠ 0$时，等式两边同时除以$a+b+c$，得：
$1 = 2k$，解得$k=\frac{1}{2}$
② 当$a+b+c = 0$时，可得$b+c = -a$，代入$\frac{a}{b+c}=k$，得：
$k = \frac{a}{-a} = -1$，满足a,b,c为非零实数的条件。
综上，k的值为$\frac{1}{2}$或$-1$。
【答案】
$\frac{1}{2}$或$-1$
【知识点】
比例的基本性质，分类讨论思想，等式的性质
【点评】
本题是比例应用的典型题型，解题的关键是注意等式两边同除整式时整式不为0的前提，很多同学容易遗漏a+b+c=0的情况导致漏解，掌握分类讨论的思路即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
2.已知$3x=2y=5z≠0$，则$\frac{x+2y+3z}{x-y+z}$的值为。
答案
$\boldsymbol{58}$
解析
【分析】
本题是连等式条件下的分式求值问题，解题思路如下：首先观察到已知条件是3x、2y、5z的连等形式，且所求分式的分子、分母都是x、y、z的一次齐次式，我们可以采用设参数的方法，将连等式的公共值设为非零常数k，把x、y、z都用k表示出来，再代入所求分式，由于k≠0，计算时k会被约掉，最终即可求出分式的数值。
【解析】
设$3x=2y=5z=k$（$k≠0$），则：
$x=\frac{k}{3}$，$y=\frac{k}{2}$，$z=\frac{k}{5}$
将上述表达式代入$\frac{x+2y+3z}{x-y+z}$得：
分子：$x+2y+3z=\frac{k}{3}+2×\frac{k}{2}+3×\frac{k}{5}=\frac{k}{3}+k+\frac{3k}{5}$
通分计算：$\frac{5k}{15}+\frac{15k}{15}+\frac{9k}{15}=\frac{29k}{15}$
分母：$x-y+z=\frac{k}{3}-\frac{k}{2}+\frac{k}{5}$
通分计算：$\frac{10k}{30}-\frac{15k}{30}+\frac{6k}{30}=\frac{k}{30}$
则原式$=\frac{\frac{29k}{15}}{\frac{k}{30}}=\frac{29k}{15}×\frac{30}{k}=58$
【答案】
$\boldsymbol{58}$
【知识点】
1. 分式化简求值
2. 参数法解题
3. 代数式运算
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心解题技巧是利用参数法将多个变量统一为同一参数表示，代入后消去参数得到结果，计算过程中要注意通分的运算准确性，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
本题是连等式条件下的分式求值问题，解题思路如下：首先观察到已知条件是3x、2y、5z的连等形式，且所求分式的分子、分母都是x、y、z的一次齐次式，我们可以采用设参数的方法，将连等式的公共值设为非零常数k，把x、y、z都用k表示出来，再代入所求分式，由于k≠0，计算时k会被约掉，最终即可求出分式的数值。
【解析】
设$3x=2y=5z=k$（$k≠0$），则：
$x=\frac{k}{3}$，$y=\frac{k}{2}$，$z=\frac{k}{5}$
将上述表达式代入$\frac{x+2y+3z}{x-y+z}$得：
分子：$x+2y+3z=\frac{k}{3}+2×\frac{k}{2}+3×\frac{k}{5}=\frac{k}{3}+k+\frac{3k}{5}$
通分计算：$\frac{5k}{15}+\frac{15k}{15}+\frac{9k}{15}=\frac{29k}{15}$
分母：$x-y+z=\frac{k}{3}-\frac{k}{2}+\frac{k}{5}$
通分计算：$\frac{10k}{30}-\frac{15k}{30}+\frac{6k}{30}=\frac{k}{30}$
则原式$=\frac{\frac{29k}{15}}{\frac{k}{30}}=\frac{29k}{15}×\frac{30}{k}=58$
【答案】
$\boldsymbol{58}$
【知识点】
1. 分式化简求值
2. 参数法解题
3. 代数式运算
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心解题技巧是利用参数法将多个变量统一为同一参数表示，代入后消去参数得到结果，计算过程中要注意通分的运算准确性，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
3. 已知$\frac{2a+b}{3}=\frac{b-3c}{6}=\frac{c-a}{4}$，求$\frac{3a-4b+8c}{a+5b}$的值.
答案
解：设$\frac{2a+b}{3}=\frac{b-3c}{6}=\frac{c-a}{4}=k$，
则可得：
$\begin{cases}2a + b = 3k & ①\\b - 3c = 6k & ②\\c - a = 4k & ③\end{cases}$
由③得：$c = a + 4k$，将其代入②，
得$b - 3(a + 4k) = 6k$，整理得$b = 3a + 18k$，
将$b=3a+18k$代入①，得$2a + 3a + 18k = 3k$，
解得$a = -3k$。
把$a=-3k$代入$c=a+4k$，得$c = -3k + 4k = k$，
把$a=-3k$代入$b=3a+18k$，得$b = -9k + 18k = 9k$。
将$a=-3k$，$b=9k$，$c=k$代入$\frac{3a-4b+8c}{a+5b}$：
分子：$3a-4b+8c = 3×(-3k) -4×9k +8× k = -9k -36k +8k = -37k$，
分母：$a+5b = -3k +5×9k = -3k +45k = 42k$，
由题意可知$k≠0$，因此约去$k$得：
$\frac{3a-4b+8c}{a+5b}=\frac{-37k}{42k}=-\frac{37}{42}$。
则可得：
$\begin{cases}2a + b = 3k & ①\\b - 3c = 6k & ②\\c - a = 4k & ③\end{cases}$
由③得：$c = a + 4k$，将其代入②，
得$b - 3(a + 4k) = 6k$，整理得$b = 3a + 18k$，
将$b=3a+18k$代入①，得$2a + 3a + 18k = 3k$，
解得$a = -3k$。
把$a=-3k$代入$c=a+4k$，得$c = -3k + 4k = k$，
把$a=-3k$代入$b=3a+18k$，得$b = -9k + 18k = 9k$。
将$a=-3k$，$b=9k$，$c=k$代入$\frac{3a-4b+8c}{a+5b}$：
分子：$3a-4b+8c = 3×(-3k) -4×9k +8× k = -9k -36k +8k = -37k$，
分母：$a+5b = -3k +5×9k = -3k +45k = 42k$，
由题意可知$k≠0$，因此约去$k$得：
$\frac{3a-4b+8c}{a+5b}=\frac{-37k}{42k}=-\frac{37}{42}$。
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，通用解题思路是引入参数k，令每个比值都等于k，将比例式转化为关于a、b、c的三元一次方程组，再通过代入消元法用含k的式子分别表示出a、b、c，最后代入所求代数式，约去非零参数k即可得到结果。
【解析】
设$\frac{2a+b}{3}=\frac{b-3c}{6}=\frac{c-a}{4}=k$，
则可得方程组：
$\begin{cases}2a + b = 3k & ①\\b - 3c = 6k & ②\\c - a = 4k & ③\end{cases}$
由③得：$c = a + 4k$，将其代入②，
得$b - 3(a + 4k) = 6k$，整理得$b = 3a + 18k$，
将$b=3a+18k$代入①，得$2a + 3a + 18k = 3k$，
解得$a = -3k$。
把$a=-3k$代入$c=a+4k$，得$c = -3k + 4k = k$，
把$a=-3k$代入$b=3a+18k$，得$b = -9k + 18k = 9k$。
将$a=-3k$，$b=9k$，$c=k$代入$\frac{3a-4b+8c}{a+5b}$：
分子：$3a-4b+8c = 3×(-3k) -4×9k +8× k = -9k -36k +8k = -37k$，
分母：$a+5b = -3k +5×9k = -3k +45k = 42k$，
由题意可知$k≠0$，因此约去$k$得：
$\frac{3a-4b+8c}{a+5b}=\frac{-37k}{42k}=-\frac{37}{42}$。
【答案】
$-\frac{37}{42}$
【知识点】
比例设参法，三元一次方程组求解，分式化简求值
【点评】
本题是比例类代数式求值的常考题型，核心是通过设参数将多个未知量统一为同一参数的表达式，消元后代入分式即可消去参数得到结果，解题时要注意计算的准确性，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
遇到连等的比例式时，通用解题思路是引入参数k，令每个比值都等于k，将比例式转化为关于a、b、c的三元一次方程组，再通过代入消元法用含k的式子分别表示出a、b、c，最后代入所求代数式，约去非零参数k即可得到结果。
【解析】
设$\frac{2a+b}{3}=\frac{b-3c}{6}=\frac{c-a}{4}=k$，
则可得方程组：
$\begin{cases}2a + b = 3k & ①\\b - 3c = 6k & ②\\c - a = 4k & ③\end{cases}$
由③得：$c = a + 4k$，将其代入②，
得$b - 3(a + 4k) = 6k$，整理得$b = 3a + 18k$，
将$b=3a+18k$代入①，得$2a + 3a + 18k = 3k$，
解得$a = -3k$。
把$a=-3k$代入$c=a+4k$，得$c = -3k + 4k = k$，
把$a=-3k$代入$b=3a+18k$，得$b = -9k + 18k = 9k$。
将$a=-3k$，$b=9k$，$c=k$代入$\frac{3a-4b+8c}{a+5b}$：
分子：$3a-4b+8c = 3×(-3k) -4×9k +8× k = -9k -36k +8k = -37k$，
分母：$a+5b = -3k +5×9k = -3k +45k = 42k$，
由题意可知$k≠0$，因此约去$k$得：
$\frac{3a-4b+8c}{a+5b}=\frac{-37k}{42k}=-\frac{37}{42}$。
【答案】
$-\frac{37}{42}$
【知识点】
比例设参法，三元一次方程组求解，分式化简求值
【点评】
本题是比例类代数式求值的常考题型，核心是通过设参数将多个未知量统一为同一参数的表达式，消元后代入分式即可消去参数得到结果，解题时要注意计算的准确性，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
