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例 (1) 已知 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 5$，求 $\frac{2x + 7xy - 2y}{3x - 6xy - 3y}$ 的值；
(2) 已知 $a + b + c = 0$，$ab ≠ 0$，求 $\frac{1}{a^2 + b^2 - c^2} + \frac{1}{b^2 + c^2 - a^2} + \frac{1}{c^2 + a^2 - b^2}$ 的值.
解:(1) $\because \frac{1}{x} - \frac{1}{y} =5$，$\therefore y - x =5xy$，
$\therefore x - y = -5xy$，
$\therefore$ 原式 $=\frac{-10xy +7xy}{-15xy -6xy} = \frac{1}{7}$.
(2) $\because a + b + c =0$，
$\therefore a + b = -c$，$b + c = -a$，$a + c = -b$，
$\therefore$ 原式 $=\frac{1}{a^2 + b^2 - (a + b)^2} + \frac{1}{b^2 + c^2 - (b + c)^2} + \frac{1}{c^2 + a^2 - (c + a)^2}$
$=\frac{a + b + c}{2abc} =0$.
(2) 已知 $a + b + c = 0$，$ab ≠ 0$，求 $\frac{1}{a^2 + b^2 - c^2} + \frac{1}{b^2 + c^2 - a^2} + \frac{1}{c^2 + a^2 - b^2}$ 的值.
解:(1) $\because \frac{1}{x} - \frac{1}{y} =5$，$\therefore y - x =5xy$，
$\therefore x - y = -5xy$，
$\therefore$ 原式 $=\frac{-10xy +7xy}{-15xy -6xy} = \frac{1}{7}$.
(2) $\because a + b + c =0$，
$\therefore a + b = -c$，$b + c = -a$，$a + c = -b$，
$\therefore$ 原式 $=\frac{1}{a^2 + b^2 - (a + b)^2} + \frac{1}{b^2 + c^2 - (b + c)^2} + \frac{1}{c^2 + a^2 - (c + a)^2}$
$=\frac{a + b + c}{2abc} =0$.
答案
解：(1)
$\because \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 5$，通分得 $\frac{y-x}{xy}=5$，
$\therefore y - x = 5xy$，即 $x - y = -5xy$。
对分子分母分别变形：
$2x + 7xy - 2y = 2(x-y) +7xy = 2×(-5xy) +7xy = -3xy$，
$3x -6xy -3y = 3(x-y) -6xy = 3×(-5xy) -6xy = -21xy$，
$\therefore$ 原式 $=\frac{-3xy}{-21xy} = \frac{1}{7}$。
(2)
$\because a + b + c = 0$，
$\therefore a + b = -c$，$b + c = -a$，$a + c = -b$。
对分母分别变形：
$a^2 + b^2 - c^2 = a^2 + b^2 - (a+b)^2 = a^2 + b^2 -a^2 -2ab -b^2 = -2ab$，
同理可得：
$b^2 + c^2 - a^2 = -2bc$，
$c^2 + a^2 - b^2 = -2ac$，
$\therefore$ 原式 $= \frac{1}{-2ab} + \frac{1}{-2bc} + \frac{1}{-2ac}$
$= \frac{-c -a -b}{2abc}$
$= \frac{-(a+b+c)}{2abc}$
又$\because a+b+c=0$，$ab≠0$，
$\therefore$ 原式 $= \frac{0}{2abc} = 0$。
$\because \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 5$，通分得 $\frac{y-x}{xy}=5$，
$\therefore y - x = 5xy$，即 $x - y = -5xy$。
对分子分母分别变形：
$2x + 7xy - 2y = 2(x-y) +7xy = 2×(-5xy) +7xy = -3xy$，
$3x -6xy -3y = 3(x-y) -6xy = 3×(-5xy) -6xy = -21xy$，
$\therefore$ 原式 $=\frac{-3xy}{-21xy} = \frac{1}{7}$。
(2)
$\because a + b + c = 0$，
$\therefore a + b = -c$，$b + c = -a$，$a + c = -b$。
对分母分别变形：
$a^2 + b^2 - c^2 = a^2 + b^2 - (a+b)^2 = a^2 + b^2 -a^2 -2ab -b^2 = -2ab$，
同理可得：
$b^2 + c^2 - a^2 = -2bc$，
$c^2 + a^2 - b^2 = -2ac$，
$\therefore$ 原式 $= \frac{1}{-2ab} + \frac{1}{-2bc} + \frac{1}{-2ac}$
$= \frac{-c -a -b}{2abc}$
$= \frac{-(a+b+c)}{2abc}$
又$\because a+b+c=0$，$ab≠0$，
$\therefore$ 原式 $= \frac{0}{2abc} = 0$。
解析
【分析】
(1) 观察已知条件和待求分式的结构：已知是关于$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$的等式，待求式的分子、分母均由$x$、$y$的一次项和$xy$项构成。首先将已知等式通分变形，得到$x-y$与$xy$的数量关系，再将待求式的分子、分母整理为含$(x-y)$和$xy$的形式，最后整体代入约分即可求出结果。
(2) 已知$a+b+c=0$，可将每个字母用另外两个字母的和的相反数表示，代入待求式的分母中，利用完全平方公式展开后消去平方项，将分母化简为两个字母乘积的形式，再对分式通分，最后代入$a+b+c=0$计算即可。
【解析】
(1) $\because \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 5$，通分得 $\frac{y-x}{xy}=5$，
$\therefore y - x = 5xy$，即 $x - y = -5xy$。
对分子分母分别变形：
$2x + 7xy - 2y = 2(x-y) +7xy = 2×(-5xy) +7xy = -3xy$，
$3x -6xy -3y = 3(x-y) -6xy = 3×(-5xy) -6xy = -21xy$，
$\therefore$ 原式 $=\frac{-3xy}{-21xy} = \frac{1}{7}$。
(2) $\because a + b + c = 0$，
$\therefore a + b = -c$，$b + c = -a$，$a + c = -b$。
对分母分别变形：
$a^2 + b^2 - c^2 = a^2 + b^2 - (a+b)^2 = a^2 + b^2 -a^2 -2ab -b^2 = -2ab$，
同理可得：
$b^2 + c^2 - a^2 = -2bc$，
$c^2 + a^2 - b^2 = -2ac$，
$\therefore$ 原式 $= \frac{1}{-2ab} + \frac{1}{-2bc} + \frac{1}{-2ac}$
$= \frac{-c -a -b}{2abc}$
$= \frac{-(a+b+c)}{2abc}$
又$\because a+b+c=0$，$ab≠0$，
$\therefore$ 原式 $= \frac{0}{2abc} = 0$。
【答案】
(1) $\frac{1}{7}$；(2) $0$
【知识点】
分式化简求值，整体代入法，完全平方公式
【点评】
这两道题是分式化简求值的典型题型，解题核心是结合已知条件对代数式进行合理变形，通过整体代入的思路避免单独求解未知数，大幅简化计算过程，需要熟练掌握代数式变形和整体代入的技巧。
【难度系数】
0.7
(1) 观察已知条件和待求分式的结构：已知是关于$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$的等式，待求式的分子、分母均由$x$、$y$的一次项和$xy$项构成。首先将已知等式通分变形，得到$x-y$与$xy$的数量关系，再将待求式的分子、分母整理为含$(x-y)$和$xy$的形式，最后整体代入约分即可求出结果。
(2) 已知$a+b+c=0$，可将每个字母用另外两个字母的和的相反数表示，代入待求式的分母中，利用完全平方公式展开后消去平方项，将分母化简为两个字母乘积的形式，再对分式通分，最后代入$a+b+c=0$计算即可。
【解析】
(1) $\because \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 5$，通分得 $\frac{y-x}{xy}=5$，
$\therefore y - x = 5xy$，即 $x - y = -5xy$。
对分子分母分别变形：
$2x + 7xy - 2y = 2(x-y) +7xy = 2×(-5xy) +7xy = -3xy$，
$3x -6xy -3y = 3(x-y) -6xy = 3×(-5xy) -6xy = -21xy$，
$\therefore$ 原式 $=\frac{-3xy}{-21xy} = \frac{1}{7}$。
(2) $\because a + b + c = 0$，
$\therefore a + b = -c$，$b + c = -a$，$a + c = -b$。
对分母分别变形：
$a^2 + b^2 - c^2 = a^2 + b^2 - (a+b)^2 = a^2 + b^2 -a^2 -2ab -b^2 = -2ab$，
同理可得：
$b^2 + c^2 - a^2 = -2bc$，
$c^2 + a^2 - b^2 = -2ac$，
$\therefore$ 原式 $= \frac{1}{-2ab} + \frac{1}{-2bc} + \frac{1}{-2ac}$
$= \frac{-c -a -b}{2abc}$
$= \frac{-(a+b+c)}{2abc}$
又$\because a+b+c=0$，$ab≠0$，
$\therefore$ 原式 $= \frac{0}{2abc} = 0$。
【答案】
(1) $\frac{1}{7}$；(2) $0$
【知识点】
分式化简求值，整体代入法，完全平方公式
【点评】
这两道题是分式化简求值的典型题型，解题核心是结合已知条件对代数式进行合理变形，通过整体代入的思路避免单独求解未知数，大幅简化计算过程，需要熟练掌握代数式变形和整体代入的技巧。
【难度系数】
0.7
1. 已知$\frac{1}{a} - \frac{1}{b}=4$，则$\frac{a - 2ab - b}{2a - 2b + 7ab}=(\quad)$
A.$6$
B.$-6$
C.$\frac{2}{15}$
D.$-\frac{2}{7}$
A.$6$
B.$-6$
C.$\frac{2}{15}$
D.$-\frac{2}{7}$
答案
A
解析
【分析】
本题无法直接求出a、b的具体数值，因此考虑采用整体代入法求解。首先对已知等式通分变形，推导出a-b与ab的数量关系，再将所求分式的分子、分母整理为含有(a-b)和ab的结构，最后整体代入约分即可得到结果。
【解析】
解：首先对已知条件变形：
∵ $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}=4$，
通分得 $\frac{b - a}{ab}=4$，
两边同乘$ab$（由原式可知$a≠0,b≠0$，故$ab≠0$），得$b - a = 4ab$，即$a - b = -4ab$。
再将所求分式整理变形：
$\frac{a - 2ab - b}{2a - 2b + 7ab}=\frac{(a - b) - 2ab}{2(a - b) + 7ab}$
将$a - b = -4ab$代入上式：
分子$= -4ab - 2ab = -6ab$，
分母$= 2×(-4ab) + 7ab = -8ab + 7ab = -ab$，
因此原式$=\frac{-6ab}{-ab}=6$。
【答案】
A
【知识点】
分式化简求值、整体代入法、分式通分
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，核心解题技巧是利用整体代入思想简化运算，不需要求解a、b的具体值，能很好地考查学生对分式变形和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
本题无法直接求出a、b的具体数值，因此考虑采用整体代入法求解。首先对已知等式通分变形，推导出a-b与ab的数量关系，再将所求分式的分子、分母整理为含有(a-b)和ab的结构，最后整体代入约分即可得到结果。
【解析】
解：首先对已知条件变形：
∵ $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}=4$，
通分得 $\frac{b - a}{ab}=4$，
两边同乘$ab$（由原式可知$a≠0,b≠0$，故$ab≠0$），得$b - a = 4ab$，即$a - b = -4ab$。
再将所求分式整理变形：
$\frac{a - 2ab - b}{2a - 2b + 7ab}=\frac{(a - b) - 2ab}{2(a - b) + 7ab}$
将$a - b = -4ab$代入上式：
分子$= -4ab - 2ab = -6ab$，
分母$= 2×(-4ab) + 7ab = -8ab + 7ab = -ab$，
因此原式$=\frac{-6ab}{-ab}=6$。
【答案】
A
【知识点】
分式化简求值、整体代入法、分式通分
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，核心解题技巧是利用整体代入思想简化运算，不需要求解a、b的具体值，能很好地考查学生对分式变形和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
2.设实数$a,b,c$满足$a+b+c=3$，$a^2 + b^2 + c^2 = 4$，则$\frac{a^2 + b^2}{2 - c} + \frac{b^2 + c^2}{2 - a} + \frac{c^2 + a^2}{2 - b} = (\quad)$
A.9
B.6
C.3
D.0
A.9
B.6
C.3
D.0
答案
A
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构和已知条件的联系：已知三个数的平方和，所求式子的分子是两个数的平方和，可先将分子用三个数的平方和代换，得到平方差的形式，再利用平方差公式因式分解，和分母约分后就能简化式子，最后代入已知的a+b+c的和即可算出结果，不需要单独求a、b、c的具体值。
【解析】
已知$a^2 + b^2 + c^2 = 4$，可得：
$a^2 + b^2 = 4 - c^2$，$b^2 + c^2 = 4 - a^2$，$c^2 + a^2 = 4 - b^2$。
将上述关系代入原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{4 - c^2}{2 - c} + \frac{4 - a^2}{2 - a} + \frac{4 - b^2}{2 - b}\\&=\frac{(2 - c)(2 + c)}{2 - c} + \frac{(2 - a)(2 + a)}{2 - a} + \frac{(2 - b)(2 + b)}{2 - b}\quad(\mathrm{原式有意义，分母不为0，可约分})\\&=(2 + c)+(2 + a)+(2 + b)\\&=6 + (a + b + c)\end{aligned}$
又已知$a + b + c = 3$，代入得：
$原式=6 + 3 = 9$。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，代数式化简，整体代入求值
【点评】
本题的核心是灵活运用已知条件对代数式进行变形，通过将分子转化为平方差形式约分，大大降低了计算量，解题时不用纠结单个变量的取值，巧用整体思想能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先观察所求代数式的结构和已知条件的联系：已知三个数的平方和，所求式子的分子是两个数的平方和，可先将分子用三个数的平方和代换，得到平方差的形式，再利用平方差公式因式分解，和分母约分后就能简化式子，最后代入已知的a+b+c的和即可算出结果，不需要单独求a、b、c的具体值。
【解析】
已知$a^2 + b^2 + c^2 = 4$，可得：
$a^2 + b^2 = 4 - c^2$，$b^2 + c^2 = 4 - a^2$，$c^2 + a^2 = 4 - b^2$。
将上述关系代入原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{4 - c^2}{2 - c} + \frac{4 - a^2}{2 - a} + \frac{4 - b^2}{2 - b}\\&=\frac{(2 - c)(2 + c)}{2 - c} + \frac{(2 - a)(2 + a)}{2 - a} + \frac{(2 - b)(2 + b)}{2 - b}\quad(\mathrm{原式有意义，分母不为0，可约分})\\&=(2 + c)+(2 + a)+(2 + b)\\&=6 + (a + b + c)\end{aligned}$
又已知$a + b + c = 3$，代入得：
$原式=6 + 3 = 9$。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，代数式化简，整体代入求值
【点评】
本题的核心是灵活运用已知条件对代数式进行变形，通过将分子转化为平方差形式约分，大大降低了计算量，解题时不用纠结单个变量的取值，巧用整体思想能快速求解。
【难度系数】
0.7
3.已知$x+y=xy$，则代数式$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-(1-x)(1-y)=$.
答案
$\boldsymbol{0}$
解析
【分析】
拿到本题可从已知条件和所求代数式的关联入手解题：已知给出x+y与xy的等量关系，无需单独求解x、y的具体值，可先对所求代数式进行化简：第一步对分式$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$通分计算，第二步展开$(1-x)(1-y)$的乘积，最后将$x+y=xy$整体代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
第一步：通分化简分式部分：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}=\frac{x+y}{xy}$
第二步：展开多项式乘积：
$(1-x)(1-y)=1·1 - 1· y - x·1 + x· y=1 - x - y + xy$
第三步：将上述结果代入原式，结合已知$x+y=xy$计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+y}{xy} - (1 - x - y + xy)\\&=\frac{xy}{xy} - [1 - (x+y) + xy]\\&=1 - (1 - xy + xy)\\&=1 - 1\\&=0\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
分式的通分，多项式乘多项式，整体代入求值
【点评】
本题属于代数式化简求值类基础题，解题核心是运用整体代入思想，避免单独求解未知数的繁琐计算，解题时需注意通分、多项式展开的运算准确性。
【难度系数】
0.8
拿到本题可从已知条件和所求代数式的关联入手解题：已知给出x+y与xy的等量关系，无需单独求解x、y的具体值，可先对所求代数式进行化简：第一步对分式$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$通分计算，第二步展开$(1-x)(1-y)$的乘积，最后将$x+y=xy$整体代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
第一步：通分化简分式部分：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}=\frac{x+y}{xy}$
第二步：展开多项式乘积：
$(1-x)(1-y)=1·1 - 1· y - x·1 + x· y=1 - x - y + xy$
第三步：将上述结果代入原式，结合已知$x+y=xy$计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+y}{xy} - (1 - x - y + xy)\\&=\frac{xy}{xy} - [1 - (x+y) + xy]\\&=1 - (1 - xy + xy)\\&=1 - 1\\&=0\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
分式的通分，多项式乘多项式，整体代入求值
【点评】
本题属于代数式化简求值类基础题，解题核心是运用整体代入思想，避免单独求解未知数的繁琐计算，解题时需注意通分、多项式展开的运算准确性。
【难度系数】
0.8
4. 已知$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 4$，则代数式$\frac{3x^2 -5xy +3y^2}{2x^2 +xy +2y^2} =$。
答案
$\boldsymbol{\frac{7}{9}}$
解析
【分析】
首先观察已知条件和所求代数式的结构：已知是两个互为倒数的分式相加，通分后可得到$x^2+y^2$与$xy$的数量关系；所求代数式的分子、分母都是关于$x$、$y$的二次齐次式，可整理为含$x^2+y^2$和$xy$的形式，因此先将已知条件变形得到$x^2+y^2=4xy$，再整体代入所求代数式即可计算出结果，无需单独求$x$、$y$的取值。
【解析】
解：由题意可知$x≠0$且$y≠0$，否则已知分式无意义。
1. 对已知条件变形：
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=4$，左边通分得：
$\frac{x^2+y^2}{xy}=4$
两边同乘$xy$得：$x^2+y^2=4xy$
2. 整理所求代数式：
$\frac{3x^2 -5xy +3y^2}{2x^2 +xy +2y^2}=\frac{3(x^2+y^2)-5xy}{2(x^2+y^2)+xy}$
3. 整体代入$x^2+y^2=4xy$：
分子$=3×4xy -5xy=12xy-5xy=7xy$
分母$=2×4xy +xy=8xy+xy=9xy$
因为$xy≠0$，约分得：
原式$=\frac{7xy}{9xy}=\frac{7}{9}$
【答案】
$\frac{7}{9}$
【知识点】
分式化简求值，整体代入法，分式基本性质
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心是通过对已知条件通分变形得到$x^2+y^2$与$xy$的关系，利用整体代入简化计算，规避了直接求解$x$、$y$的繁琐步骤，需要熟练掌握分式通分技巧和整体代入的思想。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件和所求代数式的结构：已知是两个互为倒数的分式相加，通分后可得到$x^2+y^2$与$xy$的数量关系；所求代数式的分子、分母都是关于$x$、$y$的二次齐次式，可整理为含$x^2+y^2$和$xy$的形式，因此先将已知条件变形得到$x^2+y^2=4xy$，再整体代入所求代数式即可计算出结果，无需单独求$x$、$y$的取值。
【解析】
解：由题意可知$x≠0$且$y≠0$，否则已知分式无意义。
1. 对已知条件变形：
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=4$，左边通分得：
$\frac{x^2+y^2}{xy}=4$
两边同乘$xy$得：$x^2+y^2=4xy$
2. 整理所求代数式：
$\frac{3x^2 -5xy +3y^2}{2x^2 +xy +2y^2}=\frac{3(x^2+y^2)-5xy}{2(x^2+y^2)+xy}$
3. 整体代入$x^2+y^2=4xy$：
分子$=3×4xy -5xy=12xy-5xy=7xy$
分母$=2×4xy +xy=8xy+xy=9xy$
因为$xy≠0$，约分得：
原式$=\frac{7xy}{9xy}=\frac{7}{9}$
【答案】
$\frac{7}{9}$
【知识点】
分式化简求值，整体代入法，分式基本性质
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心是通过对已知条件通分变形得到$x^2+y^2$与$xy$的关系，利用整体代入简化计算，规避了直接求解$x$、$y$的繁琐步骤，需要熟练掌握分式通分技巧和整体代入的思想。
【难度系数】
0.7
5.(1)已知$ab=1$，求$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}$的值；
(2)已知$abc=1$，求$\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}$的值。
(2)已知$abc=1$，求$\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}$的值。
答案
解：
(1) 通分得：
原式$=\frac{(1+b^2)+(1+a^2)}{(1+a^2)(1+b^2)}$
$=\frac{a^2+b^2+2}{1+a^2+b^2+a^2b^2}$
∵ $ab=1$，
∴ $a^2b^2=(ab)^2=1$，
代入分母得：分母$=1+a^2+b^2+1=a^2+b^2+2$，
∴ 原式$=\frac{a^2+b^2+2}{a^2+b^2+2}=1$。
(2) ∵ $abc=1$，
∴ $\frac{a}{ab+a+1}=\frac{a}{ab+a+abc}=\frac{1}{b+1+bc}$，
将第三个分式的分子分母同乘$b$得：
$\frac{c}{ac+c+1}=\frac{bc}{abc+bc+b}=\frac{bc}{1+bc+b}$，
∴ 原式$=\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{bc+b+1}$
$=\frac{1+b+bc}{bc+b+1}$
$=1$。
(1) 通分得：
原式$=\frac{(1+b^2)+(1+a^2)}{(1+a^2)(1+b^2)}$
$=\frac{a^2+b^2+2}{1+a^2+b^2+a^2b^2}$
∵ $ab=1$，
∴ $a^2b^2=(ab)^2=1$，
代入分母得：分母$=1+a^2+b^2+1=a^2+b^2+2$，
∴ 原式$=\frac{a^2+b^2+2}{a^2+b^2+2}=1$。
(2) ∵ $abc=1$，
∴ $\frac{a}{ab+a+1}=\frac{a}{ab+a+abc}=\frac{1}{b+1+bc}$，
将第三个分式的分子分母同乘$b$得：
$\frac{c}{ac+c+1}=\frac{bc}{abc+bc+b}=\frac{bc}{1+bc+b}$，
∴ 原式$=\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{bc+b+1}$
$=\frac{1+b+bc}{bc+b+1}$
$=1$。
解析
【分析】
(1) 第一小题求两个分式的和，按照分式加法的运算规则，先通分将异分母分式转化为同分母分式再相加，结合已知ab=1的条件，可求出a²b²=1，将其代入通分后的式子，对比分子分母即可得出结果。
(2) 第二小题若直接通分计算量过大，已知abc=1，可利用分式的基本性质对三个分式分别变形：将第一个分式分母中的1替换为abc，约分后分母转化为bc+b+1；将第三个分式的分子分母同时乘b，结合abc=1约分后分母也转化为bc+b+1，三个分式变为同分母分式后相加，分子的和刚好与分母相等，即可求出结果。
【解析】
(1) 对原式通分计算：
原式$=\frac{(1+b^2)+(1+a^2)}{(1+a^2)(1+b^2)}$
$=\frac{a^2+b^2+2}{1+a^2+b^2+a^2b^2}$
∵ $ab=1$，
∴ $a^2b^2=(ab)^2=1$，
代入可得分母$=1+a^2+b^2+1=a^2+b^2+2$，
∴ 原式$=\frac{a^2+b^2+2}{a^2+b^2+2}=1$。
(2)
∵ $abc=1$，
对第一个分式变形：$\frac{a}{ab+a+1}=\frac{a}{ab+a+abc}=\frac{1}{b+1+bc}$，
对第三个分式变形，分子分母同乘$b$：
$\frac{c}{ac+c+1}=\frac{bc}{abc+bc+b}=\frac{bc}{1+bc+b}$，
将变形后的式子代入原式可得：
原式$=\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{bc+b+1}$
$=\frac{1+b+bc}{bc+b+1}$
$=1$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
分式的基本性质、分式加减运算、整体代入求值
【点评】
这两道是分式化简求值的经典题型，核心考查对分式基本性质的灵活运用，解题时不要盲目通分，结合已知的乘积为1的条件对原式进行适当变形，能大幅简化计算过程，掌握这类整体代换、统一分母的技巧可快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.7
(1) 第一小题求两个分式的和，按照分式加法的运算规则，先通分将异分母分式转化为同分母分式再相加，结合已知ab=1的条件，可求出a²b²=1，将其代入通分后的式子，对比分子分母即可得出结果。
(2) 第二小题若直接通分计算量过大，已知abc=1，可利用分式的基本性质对三个分式分别变形：将第一个分式分母中的1替换为abc，约分后分母转化为bc+b+1；将第三个分式的分子分母同时乘b，结合abc=1约分后分母也转化为bc+b+1，三个分式变为同分母分式后相加，分子的和刚好与分母相等，即可求出结果。
【解析】
(1) 对原式通分计算：
原式$=\frac{(1+b^2)+(1+a^2)}{(1+a^2)(1+b^2)}$
$=\frac{a^2+b^2+2}{1+a^2+b^2+a^2b^2}$
∵ $ab=1$，
∴ $a^2b^2=(ab)^2=1$，
代入可得分母$=1+a^2+b^2+1=a^2+b^2+2$，
∴ 原式$=\frac{a^2+b^2+2}{a^2+b^2+2}=1$。
(2)
∵ $abc=1$，
对第一个分式变形：$\frac{a}{ab+a+1}=\frac{a}{ab+a+abc}=\frac{1}{b+1+bc}$，
对第三个分式变形，分子分母同乘$b$：
$\frac{c}{ac+c+1}=\frac{bc}{abc+bc+b}=\frac{bc}{1+bc+b}$，
将变形后的式子代入原式可得：
原式$=\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{bc+b+1}$
$=\frac{1+b+bc}{bc+b+1}$
$=1$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
分式的基本性质、分式加减运算、整体代入求值
【点评】
这两道是分式化简求值的经典题型，核心考查对分式基本性质的灵活运用，解题时不要盲目通分，结合已知的乘积为1的条件对原式进行适当变形，能大幅简化计算过程，掌握这类整体代换、统一分母的技巧可快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.7
