例 已知直线 MN 与直线 PQ 垂直相交于点 O,点 A,B 分别在射线 OP,OM 上运动(点 A,B 均不与点 O 重合).


(1) 如图 1,若 $∠ BAO = 30°, ∠ BAO$ 与 $∠ ABO$ 的平分线相交于点 E,则 $∠ AEB$ 的度数为 .
(2) 如图 2,$∠ BAP$ 与 $∠ ABM$ 的平分线相交于点 E,在点 A,B 的运动过程中,$∠ AEB$ 的大小是否会发生变化? 若发生变化,请说明理由;若不发生变化,试求出其值.
(3) 如图 3,若 $MOQ ＜ 90°, ∠ BAO$ 与 $∠ BOQ$ 的平分线相交于点 E,延长 BA 至点 G,$∠ OAG$ 的角平分线与 EO 的延长线相交于点 F,在点 A,B 的运动过程中,试探索 $∠ F$ 与 $∠ ABO$ 之间的等量关系,并证明你的结论.
解:(1)$135°$
(2)不会发生变化.理由如下:
$\because ∠ BAP$ 与 $∠ ABM$ 的平分线相交于点 E,
$\therefore ∠ EAB=\frac{1}{2}∠ PAB,∠ EBA=\frac{1}{2}∠ MBA.$
$\because MN ⊥ PQ,\therefore ∠ AOB=90°.$
$\because ∠ PAB = ∠ AOB + ∠ ABO = 90° + ∠ ABO, ∠ MBA = ∠ AOB + ∠ BAO = 90° + ∠ BAO,$
$\therefore ∠ EAB + ∠ EBA = \frac{1}{2}(90° + ∠ ABO + 90° + ∠ BAO)=90°+\frac{1}{2}(∠ ABO+∠ BAO).$
$\because ∠ ABO+∠ BAO=90°,$
$\therefore ∠ EAB+∠ EBA=90°+45°=135°.$
$\therefore ∠ AEB=180°-135°=45°.$
(3)$\frac{1}{2}∠ ABO+∠ F=90°.$
证明:$\because ∠ BAO$ 与 $∠ BOQ$ 的平分线相交于点 E,
$\therefore ∠1=\frac{1}{2}∠ BAO,∠2=\frac{1}{2}∠ BOQ.$
由三角形的外角的性质可得 $∠ ABO=∠ BOQ-∠ BAO=2∠2-2∠1,∠ E=∠2-∠1,\therefore ∠ E=\frac{1}{2}∠ ABO.$
$\because AE$ 平分 $∠ BAO,AF$ 平分 $∠ GAO,∠ BAO+∠ GAO=180°,$
$\therefore ∠ EAF=90°.$
$\therefore ∠ E+∠ F=90°.$
即 $\frac{1}{2}∠ ABO+∠ F=90°.$

解：(1) $\because MN⊥ PQ$，
$\therefore ∠ AOB=90°$，
$\because ∠ BAO=30°$，
$\therefore ∠ ABO=180°-90°-30°=60°$，
$\because AE$平分$∠ BAO$，$BE$平分$∠ ABO$，
$\therefore ∠ EAB=\frac{1}{2}∠ BAO=15°$，$∠ EBA=\frac{1}{2}∠ ABO=30°$，
$\therefore ∠ AEB=180°-15°-30°=135°$。
(2) $∠ AEB$的大小不会发生变化，值为$45°$，理由如下：
$\because ∠ BAP$与$∠ ABM$的平分线相交于点$E$，
$\therefore ∠ EAB=\frac{1}{2}∠ PAB$，$∠ EBA=\frac{1}{2}∠ MBA$。
$\because MN⊥ PQ$，
$\therefore ∠ AOB=90°$。
$\because ∠ PAB = ∠ AOB + ∠ ABO = 90° + ∠ ABO$，$∠ MBA = ∠ AOB + ∠ BAO = 90° + ∠ BAO$，
$\therefore ∠ EAB + ∠ EBA = \frac{1}{2}(90° + ∠ ABO + 90° + ∠ BAO)=90°+\frac{1}{2}(∠ ABO+∠ BAO)$。
$\because ∠ ABO+∠ BAO=90°$，
$\therefore ∠ EAB+∠ EBA=90°+45°=135°$。
$\therefore ∠ AEB=180°-135°=45°$。
(3) 等量关系为$\frac{1}{2}∠ ABO + ∠ F = 90°$，证明如下：
$\because ∠ BAO$与$∠ BOQ$的平分线相交于点$E$，
$\therefore ∠ EAO=\frac{1}{2}∠ BAO$，$∠ EOQ=\frac{1}{2}∠ BOQ$。
由三角形外角的性质可得：
$∠ ABO = ∠ BOQ - ∠ BAO$，$∠ E = ∠ EOQ - ∠ EAO$，
$\therefore ∠ E = \frac{1}{2}∠ BOQ - \frac{1}{2}∠ BAO = \frac{1}{2}(∠ BOQ - ∠ BAO) = \frac{1}{2}∠ ABO$。
$\because AE$平分$∠ BAO$，$AF$平分$∠ OAG$，$∠ BAO+∠ OAG=180°$，
$\therefore ∠ EAF = ∠ EAO + ∠ OAF = \frac{1}{2}(∠ BAO + ∠ OAG)=90°$。
在$△ EAF$中，$∠ E + ∠ F = 180° - 90°=90°$，
即$\frac{1}{2}∠ ABO + ∠ F = 90°$。

【分析】
(1) 首先由MN⊥PQ得到∠AOB=90°，结合已知∠BAO=30°，用三角形内角和算出∠ABO的度数；再根据角平分线的定义求出∠EAB和∠EBA的度数，最后用三角形内角和180°减去这两个角的和，即可得到∠AEB的度数。
(2) 要判断∠AEB是否变化，先根据角平分线定义表示出∠EAB和∠EBA，再利用三角形外角的性质，把∠PAB、∠MBA分别用∠AOB和△AOB的内角表示，结合∠AOB=90°、△AOB中∠BAO+∠ABO=90°，算出∠EAB+∠EBA为定值，最后用三角形内角和即可求出∠AEB为定值。
(3) 先根据角平分线定义表示出∠EAO和∠EOQ，再利用三角形外角性质，分别推出∠ABO与∠BOQ、∠BAO的关系，∠E与∠EOQ、∠EAO的关系，得到∠E和∠ABO的数量关系；再根据邻补角的角平分线互相垂直得到∠EAF=90°，最后在△EAF中利用直角三角形两锐角互余的性质，代换即可得到∠F和∠ABO的等量关系。
【解析】
(1) $\because MN⊥ PQ$，
$\therefore ∠ AOB=90°$，
$\because ∠ BAO=30°$，
$\therefore ∠ ABO=180°-90°-30°=60°$，
$\because AE$平分$∠ BAO$，$BE$平分$∠ ABO$，
$\therefore ∠ EAB=\frac{1}{2}∠ BAO=15°$，$∠ EBA=\frac{1}{2}∠ ABO=30°$，
$\therefore ∠ AEB=180°-15°-30°=135°$。
(2) $∠ AEB$的大小不会发生变化，值为$45°$，理由如下：
$\because ∠ BAP$与$∠ ABM$的平分线相交于点$E$，
$\therefore ∠ EAB=\frac{1}{2}∠ PAB$，$∠ EBA=\frac{1}{2}∠ MBA$。
$\because MN⊥ PQ$，
$\therefore ∠ AOB=90°$。
$\because ∠ PAB = ∠ AOB + ∠ ABO = 90° + ∠ ABO$，$∠ MBA = ∠ AOB + ∠ BAO = 90° + ∠ BAO$，
$\therefore ∠ EAB + ∠ EBA = \frac{1}{2}(90° + ∠ ABO + 90° + ∠ BAO)=90°+\frac{1}{2}(∠ ABO+∠ BAO)$。
$\because ∠ ABO+∠ BAO=90°$，
$\therefore ∠ EAB+∠ EBA=90°+45°=135°$。
$\therefore ∠ AEB=180°-135°=45°$。
(3) 等量关系为$\frac{1}{2}∠ ABO + ∠ F = 90°$，证明如下：
$\because ∠ BAO$与$∠ BOQ$的平分线相交于点$E$，
$\therefore ∠ EAO=\frac{1}{2}∠ BAO$，$∠ EOQ=\frac{1}{2}∠ BOQ$。
由三角形外角的性质可得：
$∠ ABO = ∠ BOQ - ∠ BAO$，$∠ E = ∠ EOQ - ∠ EAO$，
$\therefore ∠ E = \frac{1}{2}∠ BOQ - \frac{1}{2}∠ BAO = \frac{1}{2}(∠ BOQ - ∠ BAO) = \frac{1}{2}∠ ABO$。
$\because AE$平分$∠ BAO$，$AF$平分$∠ OAG$，$∠ BAO+∠ OAG=180°$，
$\therefore ∠ EAF = ∠ EAO + ∠ OAF = \frac{1}{2}(∠ BAO + ∠ OAG)=90°$。
在$△ EAF$中，$∠ E + ∠ F = 180° - 90°=90°$，
即$\frac{1}{2}∠ ABO + ∠ F = 90°$。
【答案】
(1) $\boxed{135°}$
(2) $∠ AEB$的大小不会发生变化，值为$\boxed{45°}$
(3) 等量关系为$\boxed{\frac{1}{2}∠ ABO + ∠ F = 90°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题由浅入深设置问题，既考查三角形、角平分线相关基础性质的直接应用，也考查动点背景下定值推导、等量代换的几何推理能力，解题时需注意抓住图形中恒定的角的关系，以此为突破口推导变量间的联系。
【难度系数】
0.6