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7.在平面直角坐标系中,已知点$A(-m,n)$,$B(0,m)$,且$\sqrt{m+3}+(n-5)^2=0$,点$C$在$y$轴上,将$△ ABC$沿$y$轴折叠,使点$A$落在点$D$处.
(1)如图1,写出点$D$的坐标及$A,D$两点间的距离;
(2)如图2,若$EF$平分$∠ AED$,$∠ ACF-∠ AEF=20°$,求$∠ EFB$的度数;
(3)如图3,过点$C$作$QH// AB$交$x$轴于点$H$,$AB$交$x$轴于点$R$,$CP$,$RP$分别平分$∠ BCQ$和$∠ ARx$.当点$C$在$y$轴正半轴上运动时,请探究$∠ CPR$的度数是否发生变化.
(1)如图1,写出点$D$的坐标及$A,D$两点间的距离;
(2)如图2,若$EF$平分$∠ AED$,$∠ ACF-∠ AEF=20°$,求$∠ EFB$的度数;
(3)如图3,过点$C$作$QH// AB$交$x$轴于点$H$,$AB$交$x$轴于点$R$,$CP$,$RP$分别平分$∠ BCQ$和$∠ ARx$.当点$C$在$y$轴正半轴上运动时,请探究$∠ CPR$的度数是否发生变化.
答案
解：
(1) 由非负数的性质得：
$\sqrt{m+3}≥0$，$(n-5)^2≥0$，且$\sqrt{m+3}+(n-5)^2=0$，
因此 $m+3=0$，$n-5=0$，
解得 $m=-3$，$n=5$。
代入得点$A$坐标为$(3,5)$，点$B$坐标为$(0,-3)$。
由折叠性质，点$D$与点$A$关于$y$轴对称，
因此点$D$的坐标为$(-3,5)$，
$A,D$两点间的距离为$|3-(-3)|=6$。
(2) 由折叠性质，$y$轴平分$∠ ACD$，即$∠ ACF=∠ DCF$。
因为$EF$平分$∠ AED$，所以$∠ AEF=∠ DEF$。
由三角形外角性质可得：$∠ DCF = ∠ DEF + ∠ EFB$，
即$∠ ACF = ∠ AEF + ∠ EFB$，
已知$∠ ACF - ∠ AEF=20°$，
代入得$∠ EFB=20°$。
(3) $∠ CPR$的度数不发生变化，恒为$45°$，推导如下：
过点$P$作$PM// QH$，
因为$QH// AB$，所以$PM// QH// AB$，
由平行线的内错角相等得：$∠ CPM=∠ QCP$，$∠ RPM=∠ PRx$，
因此$∠ CPR=∠ CPM+∠ RPM=∠ QCP+∠ PRx$。
因为$CP$平分$∠ BCQ$，$RP$平分$∠ ARx$，
所以$∠ QCP=\frac{1}{2}∠ BCQ$，$∠ PRx=\frac{1}{2}∠ ARx$。
由$QH// AB$，得$∠ BCQ=∠ ABC$，
又因为$x$轴$⊥ y$轴，在直线$AB$与坐标轴构成的直角三角形中，$∠ ABC + ∠ ARx=90°$，
因此：
$∠ CPR=\frac{1}{2}(∠ BCQ+∠ ARx)=\frac{1}{2}×90°=45°$
即点$C$运动时，$∠ CPR$恒为$45°$，不发生变化。
综上：
(1) $D(-3,5)$，$A,D$间距离为$6$；
(2) $∠ EFB=20°$；
(3) $∠ CPR$度数不变，始终为$45°$。
(1) 由非负数的性质得：
$\sqrt{m+3}≥0$，$(n-5)^2≥0$，且$\sqrt{m+3}+(n-5)^2=0$，
因此 $m+3=0$，$n-5=0$，
解得 $m=-3$，$n=5$。
代入得点$A$坐标为$(3,5)$，点$B$坐标为$(0,-3)$。
由折叠性质，点$D$与点$A$关于$y$轴对称，
因此点$D$的坐标为$(-3,5)$，
$A,D$两点间的距离为$|3-(-3)|=6$。
(2) 由折叠性质，$y$轴平分$∠ ACD$，即$∠ ACF=∠ DCF$。
因为$EF$平分$∠ AED$，所以$∠ AEF=∠ DEF$。
由三角形外角性质可得：$∠ DCF = ∠ DEF + ∠ EFB$，
即$∠ ACF = ∠ AEF + ∠ EFB$，
已知$∠ ACF - ∠ AEF=20°$，
代入得$∠ EFB=20°$。
(3) $∠ CPR$的度数不发生变化，恒为$45°$，推导如下：
过点$P$作$PM// QH$，
因为$QH// AB$，所以$PM// QH// AB$，
由平行线的内错角相等得：$∠ CPM=∠ QCP$，$∠ RPM=∠ PRx$，
因此$∠ CPR=∠ CPM+∠ RPM=∠ QCP+∠ PRx$。
因为$CP$平分$∠ BCQ$，$RP$平分$∠ ARx$，
所以$∠ QCP=\frac{1}{2}∠ BCQ$，$∠ PRx=\frac{1}{2}∠ ARx$。
由$QH// AB$，得$∠ BCQ=∠ ABC$，
又因为$x$轴$⊥ y$轴，在直线$AB$与坐标轴构成的直角三角形中，$∠ ABC + ∠ ARx=90°$，
因此：
$∠ CPR=\frac{1}{2}(∠ BCQ+∠ ARx)=\frac{1}{2}×90°=45°$
即点$C$运动时，$∠ CPR$恒为$45°$，不发生变化。
综上：
(1) $D(-3,5)$，$A,D$间距离为$6$；
(2) $∠ EFB=20°$；
(3) $∠ CPR$度数不变，始终为$45°$。
解析
【分析】
1. 求解第(1)问时，先根据非负数的性质：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0，求出m、n的值，得到点A的坐标；再根据沿y轴折叠的性质，折叠后对应点关于y轴对称，即纵坐标不变，横坐标互为相反数，得到点D坐标，两点横坐标差的绝对值就是A、D的距离。
2. 求解第(2)问时，先利用折叠的对称性得到y轴平分∠ACD，即∠ACF=∠DCF，结合角平分线的定义得∠AEF=∠DEF；再利用三角形外角的性质，找到∠DCF、∠DEF与∠EFB的等量关系，代入已知的∠ACF-∠AEF=20°，即可求出∠EFB的度数。
3. 求解第(3)问时，对于动点相关的角度不变性问题，通常通过作平行线转化角度：过P作PM//QH，结合QH//AB可得三条直线互相平行，利用平行线的内错角相等，将∠CPR拆分为两个角的和，再结合角平分线的定义，以及平行线的同位角相等、直角三角形两锐角互余的性质，即可推出∠CPR为定值。
【解析】
(1) 由非负数的性质得：$\sqrt{m+3}≥0$，$(n-5)^2≥0$，且$\sqrt{m+3}+(n-5)^2=0$，
因此 $m+3=0$，$n-5=0$，
解得 $m=-3$，$n=5$。
代入得点$A$坐标为$(3,5)$，点$B$坐标为$(0,-3)$。
由折叠性质，点$D$与点$A$关于$y$轴对称，
因此点$D$的坐标为$(-3,5)$，
$A,D$两点间的距离为$|3-(-3)|=6$。
(2) 由折叠性质，$y$轴平分$∠ ACD$，即$∠ ACF=∠ DCF$。
因为$EF$平分$∠ AED$，所以$∠ AEF=∠ DEF$。
由三角形外角性质可得：$∠ DCF = ∠ DEF + ∠ EFB$，
即$∠ ACF = ∠ AEF + ∠ EFB$，
已知$∠ ACF - ∠ AEF=20°$，
代入得$∠ EFB=20°$。
(3) $∠ CPR$的度数不发生变化，恒为$45°$，推导如下：
过点$P$作$PM// QH$，
因为$QH// AB$，所以$PM// QH// AB$，
由平行线的内错角相等得：$∠ CPM=∠ QCP$，$∠ RPM=∠ PRx$，
因此$∠ CPR=∠ CPM+∠ RPM=∠ QCP+∠ PRx$。
因为$CP$平分$∠ BCQ$，$RP$平分$∠ ARx$，
所以$∠ QCP=\frac{1}{2}∠ BCQ$，$∠ PRx=\frac{1}{2}∠ ARx$。
由$QH// AB$，得$∠ BCQ=∠ ABC$，
又因为$x$轴$⊥ y$轴，在直线$AB$与坐标轴构成的直角三角形中，$∠ ABC + ∠ ARx=90°$，
因此：
$∠ CPR=\frac{1}{2}(∠ BCQ+∠ ARx)=\frac{1}{2}×90°=45°$
即点$C$运动时，$∠ CPR$恒为$45°$，不发生变化。
【答案】
(1) $D(-3,5)$，$A,D$两点间的距离为$6$；
(2) $∠ EFB=20°$；
(3) $∠ CPR$的度数不发生变化，始终为$45°$。
【知识点】
非负数的性质，轴对称的性质，平行线的性质
【点评】
本题综合考查了代数与几何的结合应用，涉及非负数、轴对称、角平分线、三角形外角、平行线性质等多个知识点，重点锻炼数形结合思维和动点问题中不变量的分析能力，解题的关键是合理利用性质转化角度关系。
【难度系数】
0.6
1. 求解第(1)问时，先根据非负数的性质：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0，求出m、n的值，得到点A的坐标；再根据沿y轴折叠的性质，折叠后对应点关于y轴对称，即纵坐标不变，横坐标互为相反数，得到点D坐标，两点横坐标差的绝对值就是A、D的距离。
2. 求解第(2)问时，先利用折叠的对称性得到y轴平分∠ACD，即∠ACF=∠DCF，结合角平分线的定义得∠AEF=∠DEF；再利用三角形外角的性质，找到∠DCF、∠DEF与∠EFB的等量关系，代入已知的∠ACF-∠AEF=20°，即可求出∠EFB的度数。
3. 求解第(3)问时，对于动点相关的角度不变性问题，通常通过作平行线转化角度：过P作PM//QH，结合QH//AB可得三条直线互相平行，利用平行线的内错角相等，将∠CPR拆分为两个角的和，再结合角平分线的定义，以及平行线的同位角相等、直角三角形两锐角互余的性质，即可推出∠CPR为定值。
【解析】
(1) 由非负数的性质得：$\sqrt{m+3}≥0$，$(n-5)^2≥0$，且$\sqrt{m+3}+(n-5)^2=0$，
因此 $m+3=0$，$n-5=0$，
解得 $m=-3$，$n=5$。
代入得点$A$坐标为$(3,5)$，点$B$坐标为$(0,-3)$。
由折叠性质，点$D$与点$A$关于$y$轴对称，
因此点$D$的坐标为$(-3,5)$，
$A,D$两点间的距离为$|3-(-3)|=6$。
(2) 由折叠性质，$y$轴平分$∠ ACD$，即$∠ ACF=∠ DCF$。
因为$EF$平分$∠ AED$，所以$∠ AEF=∠ DEF$。
由三角形外角性质可得：$∠ DCF = ∠ DEF + ∠ EFB$，
即$∠ ACF = ∠ AEF + ∠ EFB$，
已知$∠ ACF - ∠ AEF=20°$，
代入得$∠ EFB=20°$。
(3) $∠ CPR$的度数不发生变化，恒为$45°$，推导如下：
过点$P$作$PM// QH$，
因为$QH// AB$，所以$PM// QH// AB$，
由平行线的内错角相等得：$∠ CPM=∠ QCP$，$∠ RPM=∠ PRx$，
因此$∠ CPR=∠ CPM+∠ RPM=∠ QCP+∠ PRx$。
因为$CP$平分$∠ BCQ$，$RP$平分$∠ ARx$，
所以$∠ QCP=\frac{1}{2}∠ BCQ$，$∠ PRx=\frac{1}{2}∠ ARx$。
由$QH// AB$，得$∠ BCQ=∠ ABC$，
又因为$x$轴$⊥ y$轴，在直线$AB$与坐标轴构成的直角三角形中，$∠ ABC + ∠ ARx=90°$，
因此：
$∠ CPR=\frac{1}{2}(∠ BCQ+∠ ARx)=\frac{1}{2}×90°=45°$
即点$C$运动时，$∠ CPR$恒为$45°$，不发生变化。
【答案】
(1) $D(-3,5)$，$A,D$两点间的距离为$6$；
(2) $∠ EFB=20°$；
(3) $∠ CPR$的度数不发生变化，始终为$45°$。
【知识点】
非负数的性质，轴对称的性质，平行线的性质
【点评】
本题综合考查了代数与几何的结合应用，涉及非负数、轴对称、角平分线、三角形外角、平行线性质等多个知识点，重点锻炼数形结合思维和动点问题中不变量的分析能力，解题的关键是合理利用性质转化角度关系。
【难度系数】
0.6
