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1. [2026安阳月考]若多项式$2(x^2 - xy - 3y^2) - (3x^2 - axy + y^2)$中不含$xy$项，则$a$的值为（
A.$-2$
B.$2$
C.$0$
D.$1$
B
）A.$-2$
B.$2$
C.$0$
D.$1$
答案
$2(x^2 - xy - 3y^2) - (3x^2 - axy + y^2) = 2x^2 - 2xy - 6y^2 - 3x^2 + axy - y^2 = -x^2 -7y^2 + (a-2)xy$，因为$2(x^2 - xy - 3y^2) - (3x^2 - axy + y^2)$中不含$xy$项，(不含$xy$项，即$xy$项的系数为0)所以$a-2=0$，所以$a=2$。
2. 教材P106T12变式 [2026泰安岱岳区期末] 在计算“$M-(5x^2 -3x -6)$”时，嘉琪同学将括号前面的“$-$”号抄成了“$+$”号，得到的运算结果是$-2x^2 +3x -4$，则多项式$M$是（
A.$-7x^2 +6x +2$
B.$-7x^2 -6x -2$
C.$-7x^2 +6x -2$
D.$-7x^2 -6x +2$
A
）A.$-7x^2 +6x +2$
B.$-7x^2 -6x -2$
C.$-7x^2 +6x -2$
D.$-7x^2 -6x +2$
答案
根据题意，得$M=(-2x^2 +3x -4)-(5x^2 -3x -6) = -2x^2 +3x -4 -5x^2 +3x +6 = -7x^2 +6x +2$。
变式[2025衡水七中期末]以下是嘉淇的计算过程：$-3x^2 + (3x - 4x^2) - (○ + 6 + 2x^2) = -9x^2 + 6x - 6$。已知她的计算结果是正确的，但“○”处被墨水弄脏看不清了，“○”处应是（
A.$3x$
B.$-3x$
C.$3x^2$
D.$-3x^2$
B
）A.$3x$
B.$-3x$
C.$3x^2$
D.$-3x^2$
答案
由题意可知，$○ +6 +2x^2 = -3x^2 + (3x -4x^2) - (-9x^2 +6x -6) = -3x^2 +3x -4x^2 +9x^2 -6x +6 = 2x^2 -3x +6$，所以$○ = -3x$。
3. [2026威海期末]若多项式$mx^2 + nx +4$与$-x^2 +4x -7y -4$的和是单项式，则$m-n$的值为（
A.5
B.3
C.1
D.-3
A
）A.5
B.3
C.1
D.-3
答案
$mx^2 + nx +4 + (-x^2 +4x -7y -4) = (m-1)x^2 + (n+4)x -7y$，因为多项式$mx^2 + nx +4$与$-x^2 +4x -7y -4$的和是单项式，所以$m-1=0$，$n+4=0$，所以$m=1$，$n=-4$，所以$m-n=1 - (-4)=5$。
4. ▶一题多解 [2026上海黄浦区月考]某商店在甲批发市场以每包$m$元的价格购进了40包茶叶，又在乙批发市场以每包$n(m＞n)$元的价格购进了同样的60包茶叶，若商家以每包$\frac{m+n}{2}$元的价格卖出这些茶叶，则卖完后，这家商店（
A.盈利了
B.亏损了
C.不盈不亏
D.盈亏不能确定
A
）A.盈利了
B.亏损了
C.不盈不亏
D.盈亏不能确定
答案
通解 根据题意，得在甲批发市场进的茶叶的利润为$40(\frac{m + n}{2} - m) = 20(m + n) - 40m = (20n - 20m)$(元)，在乙批发市场进的茶叶的利润为$60(\frac{m + n}{2} - n) = 30(m + n) - 60n = (30m - 30n)$(元)，所以这些茶叶的总利润为$20n -20m +30m -30n =10m -10n =10(m -n)$(元)，因为$m＞n$，所以$m-n＞0$，即$10(m-n)＞0$，则这家商店盈利了。
另解 根据题意，得卖完后这些茶叶的利润为$(40 + 60)·\frac{m + n}{2} - 40m - 60n = 50(m + n) - 40m - 60n = 50m + 50n - 40m - 60n = 10m - 10n = 10(m - n)$(元)，由$m＞n$，可得$10(m - n)＞0$，则这家商店盈利了。
另解 根据题意，得卖完后这些茶叶的利润为$(40 + 60)·\frac{m + n}{2} - 40m - 60n = 50(m + n) - 40m - 60n = 50m + 50n - 40m - 60n = 10m - 10n = 10(m - n)$(元)，由$m＞n$，可得$10(m - n)＞0$，则这家商店盈利了。
变式[2025郑州期末]甲、乙两家文具店对同一款标价相同的魔方进行让利促销，甲商店规定购买一个魔方按原价优惠m元后再打八折，乙商店规定购买一个魔方按原价打八折后再优惠m元。站在消费者的角度，下列说法正确的是（
课时检测
A.在甲商店购买比较优惠
B.在乙商店购买比较优惠
C.在两家购买花费都一样
D.无法确定哪家购买比较优惠
B
）课时检测
A.在甲商店购买比较优惠
B.在乙商店购买比较优惠
C.在两家购买花费都一样
D.无法确定哪家购买比较优惠
答案
令每个魔方的原价为$a$元，则甲商店的费用为$80\% × (a - m) = (0.8a - 0.8m)$(元)，乙商店的费用为$80\%a - m = (0.8a - m)$(元)。因为$0.8a - 0.8m - (0.8a - m) = 0.2m ＞ 0$，所以$0.8a - 0.8m ＞ 0.8a - m$，即在乙商店购买比较优惠。
5. 教材P94T9变式 [2026北京房山区期中]在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题：
选择a的一个值，求$a^3 - (a^2 - 3a + 3a^3) + (a^2 - a + 2a^3) - 2a + 2026$的值。
甲说：“当$a = 0$时，原式$= 2026$。”
乙说：“当$a = 1$时，原式$= 2026$。”
丙说：“当$a$为任何一个有理数时，原式$= 2026$。”
这三位同学的说法是否正确？请说明理由。
选择a的一个值，求$a^3 - (a^2 - 3a + 3a^3) + (a^2 - a + 2a^3) - 2a + 2026$的值。
甲说：“当$a = 0$时，原式$= 2026$。”
乙说：“当$a = 1$时，原式$= 2026$。”
丙说：“当$a$为任何一个有理数时，原式$= 2026$。”
这三位同学的说法是否正确？请说明理由。
答案
解:这三位同学的说法都正确。理由如下：
$a^3 - (a^2 - 3a + 3a^3) + (a^2 - a + 2a^3) - 2a + 2026$
$=a^3 - a^2 + 3a - 3a^3 + a^2 - a + 2a^3 - 2a + 2026$
$= 2026$，
所以这三位同学的说法都正确。
$a^3 - (a^2 - 3a + 3a^3) + (a^2 - a + 2a^3) - 2a + 2026$
$=a^3 - a^2 + 3a - 3a^3 + a^2 - a + 2a^3 - 2a + 2026$
$= 2026$，
所以这三位同学的说法都正确。
6. 新考向·代数推理 [2026合肥期中]已知两个一次三项式分别是$5m - 6 + 3n$和$-7m + 3n - 12$。
(1)求$5m - 6 + 3n$与$-7m + 3n - 12$的和。
(2)当$m$和$n$为正整数时，$5m - 6 + 3n$减去$-7m + 3n - 12$的差能否被6整除？请说明理由。
(1)求$5m - 6 + 3n$与$-7m + 3n - 12$的和。
(2)当$m$和$n$为正整数时，$5m - 6 + 3n$减去$-7m + 3n - 12$的差能否被6整除？请说明理由。
答案
解:(1)$(5m - 6 + 3n) + (-7m + 3n - 12)$
$=5m - 6 + 3n - 7m + 3n - 12$
$= -2m + 6n - 18$。
(2)能被6整除。理由如下：
$(5m - 6 + 3n) - (-7m + 3n - 12)$
$=5m - 6 + 3n + 7m - 3n + 12$
$=12m + 6$
$=6(2m + 1)$，
因为$m$和$n$为正整数，所以$2m + 1$是正整数，
所以$6(2m + 1)$能被6整除，
即$5m - 6 + 3n$减去$-7m + 3n - 12$的差能被6整除。
$=5m - 6 + 3n - 7m + 3n - 12$
$= -2m + 6n - 18$。
(2)能被6整除。理由如下：
$(5m - 6 + 3n) - (-7m + 3n - 12)$
$=5m - 6 + 3n + 7m - 3n + 12$
$=12m + 6$
$=6(2m + 1)$，
因为$m$和$n$为正整数，所以$2m + 1$是正整数，
所以$6(2m + 1)$能被6整除，
即$5m - 6 + 3n$减去$-7m + 3n - 12$的差能被6整除。
