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1. 下列计算正确的是 （
A.$(ab)^2 = a^2b^2$
B.$a^5 + a^5 = a^{10}$
C.$(a^2)^5 = a^7$
D.$a^{10} ÷ a^5 = a^2$
A
）A.$(ab)^2 = a^2b^2$
B.$a^5 + a^5 = a^{10}$
C.$(a^2)^5 = a^7$
D.$a^{10} ÷ a^5 = a^2$
答案
1. A
解析
【分析】
本题考查整式的各类运算规则，解题时需逐一核对每个选项对应的运算法则，判断计算是否正确，通过排除错误选项即可得到正确答案。首先回忆积的乘方、合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法的运算法则，再分别代入每个选项验证。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据积的乘方法则，积的乘方等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(ab)^2 = a^2b^2$，计算正确。
选项B：$a^5+a^5$是合并同类项，合并同类项时系数相加，字母和字母的指数不变，结果应为$2a^5$，不是$a^{10}$，计算错误。
选项C：根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，因此$(a^2)^5 = a^{2×5}=a^{10}$，不是$a^7$，计算错误。
选项D：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，因此$a^{10}÷ a^5 = a^{10-5}=a^5$，不是$a^2$，计算错误。
综上，只有选项A计算正确。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方运算、合并同类项、同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算类考题，核心考查对整式运算法则的掌握程度，易错点是容易混淆不同幂运算中指数的运算规则，只要牢记各类运算法则即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
本题考查整式的各类运算规则，解题时需逐一核对每个选项对应的运算法则，判断计算是否正确，通过排除错误选项即可得到正确答案。首先回忆积的乘方、合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法的运算法则，再分别代入每个选项验证。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据积的乘方法则，积的乘方等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(ab)^2 = a^2b^2$，计算正确。
选项B：$a^5+a^5$是合并同类项，合并同类项时系数相加，字母和字母的指数不变，结果应为$2a^5$，不是$a^{10}$，计算错误。
选项C：根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，因此$(a^2)^5 = a^{2×5}=a^{10}$，不是$a^7$，计算错误。
选项D：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，因此$a^{10}÷ a^5 = a^{10-5}=a^5$，不是$a^2$，计算错误。
综上，只有选项A计算正确。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方运算、合并同类项、同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算类考题，核心考查对整式运算法则的掌握程度，易错点是容易混淆不同幂运算中指数的运算规则，只要牢记各类运算法则即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
2. 下列各式中,计算正确的是 （
A.$x(2x-1)=2x^2 -1$
B.$x^2 -9=(x-3)(x+3)$
C.$(a+2)^2=a^2 +4$
D.$(x+2)(x-3)=x^2 +x -6$
B
）A.$x(2x-1)=2x^2 -1$
B.$x^2 -9=(x-3)(x+3)$
C.$(a+2)^2=a^2 +4$
D.$(x+2)(x-3)=x^2 +x -6$
答案
2. B
解析
【分析】
本题主要考查整式乘法运算与因式分解的正误判断，解题思路是逐个验证每个选项：分别根据对应的运算法则或公式计算出正确结果，再和选项给出的结果对比，找出计算正确的选项即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
选项A：根据单项式乘多项式法则，$x(2x-1)=x·2x + x·(-1)=2x^2 -x$，与选项给出的$2x^2-1$不符，故A错误。
选项B：根据平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，$x^2-9=x^2-3^2=(x-3)(x+3)$，与选项结果一致，故B正确。
选项C：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a+2)^2=a^2+2· a·2 +2^2=a^2+4a+4$，与选项给出的$a^2+4$不符，故C错误。
选项D：根据多项式乘多项式法则，$(x+2)(x-3)=x· x +x·(-3)+2· x +2·(-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$，与选项给出的$x^2+x-6$不符，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
整式乘法运算；乘法公式；因式分解
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对整式运算法则和乘法公式的熟练掌握，做题时要注意避免漏乘项、符号错误、记错公式结构这类常见失误。
【难度系数】
0.8
本题主要考查整式乘法运算与因式分解的正误判断，解题思路是逐个验证每个选项：分别根据对应的运算法则或公式计算出正确结果，再和选项给出的结果对比，找出计算正确的选项即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
选项A：根据单项式乘多项式法则，$x(2x-1)=x·2x + x·(-1)=2x^2 -x$，与选项给出的$2x^2-1$不符，故A错误。
选项B：根据平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，$x^2-9=x^2-3^2=(x-3)(x+3)$，与选项结果一致，故B正确。
选项C：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a+2)^2=a^2+2· a·2 +2^2=a^2+4a+4$，与选项给出的$a^2+4$不符，故C错误。
选项D：根据多项式乘多项式法则，$(x+2)(x-3)=x· x +x·(-3)+2· x +2·(-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$，与选项给出的$x^2+x-6$不符，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
整式乘法运算；乘法公式；因式分解
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对整式运算法则和乘法公式的熟练掌握，做题时要注意避免漏乘项、符号错误、记错公式结构这类常见失误。
【难度系数】
0.8
3. 下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是 （
A.$(x+1)(-x-1)$
B.$(2+a^2)(2-a^2)$
C.$(-x+y)(x-y)$
D.$(x^2+y)(x-y^2)$
B
）A.$(x+1)(-x-1)$
B.$(2+a^2)(2-a^2)$
C.$(-x+y)(x-y)$
D.$(x^2+y)(x-y^2)$
答案
3. B
解析
【分析】
要判断能否用平方差公式计算，首先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，存在一组完全相同的项，另一组互为相反数的项，同时满足这两个条件即可使用平方差公式。接下来我们逐一验证四个选项是否符合该特征即可得到答案。
【解析】
平方差公式的形式为$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，需同时满足两个条件：①两个二项式相乘；②有一组相同项，一组互为相反数的项。
对各选项逐一分析：
A选项：$(x+1)(-x-1)=-(x+1)(x+1)$，两项均互为相反数，不符合平方差公式特征，不可用平方差公式计算；
B选项：$(2+a^2)(2-a^2)$中，相同项为2，互为相反数的项为$a^2$和$-a^2$，完全符合平方差公式特征，可用平方差公式计算；
C选项：$(-x+y)(x-y)=-(x-y)(x-y)$，两项均互为相反数，不符合平方差公式特征，不可用平方差公式计算；
D选项：$(x^2+y)(x-y^2)$中既无相同项，也无互为相反数的项，不符合平方差公式特征，不可用平方差公式计算。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式
2. 多项式乘多项式
【点评】
本题考查平方差公式的识别，解题的核心是牢记平方差公式的结构特征，注意区分其与完全平方公式的适用场景，熟练掌握公式特征即可快速完成判断。
【难度系数】
0.8
要判断能否用平方差公式计算，首先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，存在一组完全相同的项，另一组互为相反数的项，同时满足这两个条件即可使用平方差公式。接下来我们逐一验证四个选项是否符合该特征即可得到答案。
【解析】
平方差公式的形式为$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，需同时满足两个条件：①两个二项式相乘；②有一组相同项，一组互为相反数的项。
对各选项逐一分析：
A选项：$(x+1)(-x-1)=-(x+1)(x+1)$，两项均互为相反数，不符合平方差公式特征，不可用平方差公式计算；
B选项：$(2+a^2)(2-a^2)$中，相同项为2，互为相反数的项为$a^2$和$-a^2$，完全符合平方差公式特征，可用平方差公式计算；
C选项：$(-x+y)(x-y)=-(x-y)(x-y)$，两项均互为相反数，不符合平方差公式特征，不可用平方差公式计算；
D选项：$(x^2+y)(x-y^2)$中既无相同项，也无互为相反数的项，不符合平方差公式特征，不可用平方差公式计算。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式
2. 多项式乘多项式
【点评】
本题考查平方差公式的识别，解题的核心是牢记平方差公式的结构特征，注意区分其与完全平方公式的适用场景，熟练掌握公式特征即可快速完成判断。
【难度系数】
0.8
4.按如图所示的方式分割正方形，各图形面积之间的关系验证了一个等式，这个等式是（
A.$(y+x)^2 = y^2 + xy + x^2$
B.$(y+x)^2 = y^2 + 2xy + x^2$
C.$(y+x)(y-x) = y^2 - x^2$
D.$(y+x)^2 - (y-x)^2 = 4xy$
D
）A.$(y+x)^2 = y^2 + xy + x^2$
B.$(y+x)^2 = y^2 + 2xy + x^2$
C.$(y+x)(y-x) = y^2 - x^2$
D.$(y+x)^2 - (y-x)^2 = 4xy$
答案
4. D
解析
【分析】
解题时我们采用数形结合的面积法思考：第一步先确定最外侧大正方形的边长，计算其面积；第二步确定中间空白小正方形的边长，计算其面积；第三步计算大正方形减去中间小正方形后剩余部分的总面积，将三者的面积关系整理为等式，再和选项对比即可得到答案。
【解析】
1. 计算大正方形面积：由图可知，大正方形的边长为$x+y$，因此面积为$(x+y)^2$；
2. 计算中间小正方形面积：观察图形可得，中间空白小正方形的边长为$y-x$，因此面积为$(y-x)^2$；
3. 计算剩余部分面积：大正方形减去中间小正方形后，剩余部分是4个长为$y$、宽为$x$的长方形，总面积为$4xy$；
4. 建立等量关系：大正方形面积减去中间小正方形面积等于剩余部分面积，即$(y+x)^2 - (y-x)^2 = 4xy$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，面积法，整式恒等式验证
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形的面积关系验证代数恒等式，解题的关键是准确识别各部分图形的边长，正确计算对应面积后建立等量关系。
【难度系数】
0.7
解题时我们采用数形结合的面积法思考：第一步先确定最外侧大正方形的边长，计算其面积；第二步确定中间空白小正方形的边长，计算其面积；第三步计算大正方形减去中间小正方形后剩余部分的总面积，将三者的面积关系整理为等式，再和选项对比即可得到答案。
【解析】
1. 计算大正方形面积：由图可知，大正方形的边长为$x+y$，因此面积为$(x+y)^2$；
2. 计算中间小正方形面积：观察图形可得，中间空白小正方形的边长为$y-x$，因此面积为$(y-x)^2$；
3. 计算剩余部分面积：大正方形减去中间小正方形后，剩余部分是4个长为$y$、宽为$x$的长方形，总面积为$4xy$；
4. 建立等量关系：大正方形面积减去中间小正方形面积等于剩余部分面积，即$(y+x)^2 - (y-x)^2 = 4xy$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，面积法，整式恒等式验证
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形的面积关系验证代数恒等式，解题的关键是准确识别各部分图形的边长，正确计算对应面积后建立等量关系。
【难度系数】
0.7
5.若$m=2n+1$,则$m^2 - 4mn + 4n^2$的值是（
A.1
B.$-1$
C.4
D.$-4$
A
）A.1
B.$-1$
C.4
D.$-4$
答案
5. A
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构：$m^2 - 4mn + 4n^2$符合完全平方差公式的特征，因此优先考虑用完全平方公式对其因式分解，再结合已知条件变形得到$m-2n$的值，整体代入分解后的式子即可快速算出结果，无需单独求解$m$、$n$的具体数值，简化计算过程。
【解析】
步骤1：对所求代数式因式分解
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得：
$m^2 - 4mn + 4n^2 = (m - 2n)^2$
步骤2：变形已知条件
由$m=2n+1$，移项得：$m - 2n = 1$
步骤3：整体代入计算
将$m - 2n = 1$代入$(m - 2n)^2$，得：
$(m - 2n)^2 = 1^2 = 1$
因此原式的值为1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值，因式分解
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题核心是熟练识别完全平方式的结构，通过因式分解变形后整体代入条件计算，大幅降低运算量，是代数式求值类问题的常用解题思路。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察所求代数式的结构：$m^2 - 4mn + 4n^2$符合完全平方差公式的特征，因此优先考虑用完全平方公式对其因式分解，再结合已知条件变形得到$m-2n$的值，整体代入分解后的式子即可快速算出结果，无需单独求解$m$、$n$的具体数值，简化计算过程。
【解析】
步骤1：对所求代数式因式分解
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得：
$m^2 - 4mn + 4n^2 = (m - 2n)^2$
步骤2：变形已知条件
由$m=2n+1$，移项得：$m - 2n = 1$
步骤3：整体代入计算
将$m - 2n = 1$代入$(m - 2n)^2$，得：
$(m - 2n)^2 = 1^2 = 1$
因此原式的值为1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值，因式分解
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题核心是熟练识别完全平方式的结构，通过因式分解变形后整体代入条件计算，大幅降低运算量，是代数式求值类问题的常用解题思路。
【难度系数】
0.8
6. 已知$k$为常数，若多项式$25x^2 + kx + 1$恰好是另一个多项式的平方，则$k=$（
A.$5$
B.$\pm5$
C.$10$
D.$\pm10$
D
）A.$5$
B.$\pm5$
C.$10$
D.$\pm10$
答案
6. D
解析
【分析】
本题考查完全平方式的相关计算，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构特征：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。我们需要将给出的多项式$25x^2+kx+1$和完全平方公式的结构对应，先确定两个平方项对应的底数，再根据中间项的两种可能（加2倍积、减2倍积）计算k的取值，注意不要遗漏负号的情况。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
已知$25x^2+kx+1$是完全平方式，对平方项变形可得：
$25x^2=(5x)^2$，$1=1^2$
即对应公式中$a=5x$，$b=1$，则中间项$kx=\pm2× a× b$
代入计算得：$kx=\pm2×5x×1=\pm10x$
对比等式两边x的系数，可得$k=\pm10$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题是整式乘法部分的常考基础题，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的两种结构形式，避免因忽略差的平方的情况漏解负系数的结果。
【难度系数】
0.7
本题考查完全平方式的相关计算，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构特征：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。我们需要将给出的多项式$25x^2+kx+1$和完全平方公式的结构对应，先确定两个平方项对应的底数，再根据中间项的两种可能（加2倍积、减2倍积）计算k的取值，注意不要遗漏负号的情况。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
已知$25x^2+kx+1$是完全平方式，对平方项变形可得：
$25x^2=(5x)^2$，$1=1^2$
即对应公式中$a=5x$，$b=1$，则中间项$kx=\pm2× a× b$
代入计算得：$kx=\pm2×5x×1=\pm10x$
对比等式两边x的系数，可得$k=\pm10$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题是整式乘法部分的常考基础题，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的两种结构形式，避免因忽略差的平方的情况漏解负系数的结果。
【难度系数】
0.7
7. 已知$a+b+c=0$，$a^2+b^2+c^2=1$，则$ab$可表示为 （
A.$c^2 - \frac{1}{2}$
B.$2c^2 - 1$
C.$c^2 + \frac{1}{2}$
D.$2c^2 + 1$
A
）A.$c^2 - \frac{1}{2}$
B.$2c^2 - 1$
C.$c^2 + \frac{1}{2}$
D.$2c^2 + 1$
答案
7. A
解析
【分析】
本题要求用含c的式子表示ab，可先从已知的和为0的条件入手，将a+b用含c的代数式表示，再结合完全平方公式展开，最后代入平方和的已知条件，消去a²、b²，整理即可得到ab的表达式。具体思路：第一步，由a+b+c=0移项得到a+b=-c；第二步，对a+b两边平方，利用完全平方公式展开得到含a²+b²和ab的式子；第三步，根据平方和的已知条件，将a²+b²用含c的式子替换，最后求解ab即可。
【解析】
解：已知$a+b+c=0$，移项可得：
$a+b=-c$
将等式两边同时平方，根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$得：
$(a+b)^2=(-c)^2$
展开得：$a^2+2ab+b^2=c^2$
又已知$a^2+b^2+c^2=1$，移项可得$a^2+b^2=1-c^2$，将其代入上式：
$(1-c^2)+2ab=c^2$
移项整理得：
$2ab=c^2 - 1 + c^2=2c^2-1$
两边同时除以2得：
$ab=c^2-\frac{1}{2}$
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；整式恒等变形；代数式求值
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的灵活应用，通过对已知条件的合理变形、代入消元即可得到目标代数式，是代数变形类的典型基础题，熟练掌握完全平方公式的各类变形形式是解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题要求用含c的式子表示ab，可先从已知的和为0的条件入手，将a+b用含c的代数式表示，再结合完全平方公式展开，最后代入平方和的已知条件，消去a²、b²，整理即可得到ab的表达式。具体思路：第一步，由a+b+c=0移项得到a+b=-c；第二步，对a+b两边平方，利用完全平方公式展开得到含a²+b²和ab的式子；第三步，根据平方和的已知条件，将a²+b²用含c的式子替换，最后求解ab即可。
【解析】
解：已知$a+b+c=0$，移项可得：
$a+b=-c$
将等式两边同时平方，根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$得：
$(a+b)^2=(-c)^2$
展开得：$a^2+2ab+b^2=c^2$
又已知$a^2+b^2+c^2=1$，移项可得$a^2+b^2=1-c^2$，将其代入上式：
$(1-c^2)+2ab=c^2$
移项整理得：
$2ab=c^2 - 1 + c^2=2c^2-1$
两边同时除以2得：
$ab=c^2-\frac{1}{2}$
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；整式恒等变形；代数式求值
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的灵活应用，通过对已知条件的合理变形、代入消元即可得到目标代数式，是代数变形类的典型基础题，熟练掌握完全平方公式的各类变形形式是解题的核心。
【难度系数】
0.7
8. 数$3^{48}-1$能被30以内的两位整数整除的是 （
A.28,26
B.26,24
C.27,25
D.25,23
A
）A.28,26
B.26,24
C.27,25
D.25,23
答案
8. A
解析
【分析】
本题可通过因式分解中的平方差公式对$3^{48}-1$进行拆分，逐步得到低次的因式，再从因式中筛选30以内的两位整数，结合整除的性质排除错误选项即可得到答案。解题思路如下：首先回忆平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，由于$3^{48}$可转化为平方的形式，因此可以反复运用平方差公式分解$3^{48}-1$，再结合各选项中的数是否为分解后的因式，或者利用整除性质判断选项中数的因数是否能整除$3^{48}-1$，快速排除错误选项。
【解析】
首先利用整除性质初步排除错误选项：
因为$3^{48}$是3的倍数，所以$3^{48}-1$除以3的余数为2，因此$3^{48}-1$不能被3整除。
选项B中的24、选项C中的27都是3的倍数，因此直接排除B、C。
接下来对$3^{48}-1$运用平方差公式分解：
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$3^{48}-1=(3^{24}+1)(3^{24}-1)$
$=(3^{24}+1)(3^{12}+1)(3^{12}-1)$
$=(3^{24}+1)(3^{12}+1)(3^{6}+1)(3^{6}-1)$
$=(3^{24}+1)(3^{12}+1)(3^{6}+1)(3^3+1)(3^3-1)$
其中$3^3-1=27-1=26$，$3^3+1=27+1=28$，因此26和28都是$3^{48}-1$的因式，即$3^{48}-1$能被26、28整除。
再验证选项D中的25：$3^{48}$除以25的余数不为1，因此$3^{48}-1$不能被25整除，排除D。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式、因式分解的应用、整除的判断
【点评】
本题核心是灵活运用平方差公式对高次幂的差进行因式分解，通过将复杂的高次式拆分为多个低次因式的乘积，就能快速找到符合要求的因数，同时结合整除性质可以快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
本题可通过因式分解中的平方差公式对$3^{48}-1$进行拆分，逐步得到低次的因式，再从因式中筛选30以内的两位整数，结合整除的性质排除错误选项即可得到答案。解题思路如下：首先回忆平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，由于$3^{48}$可转化为平方的形式，因此可以反复运用平方差公式分解$3^{48}-1$，再结合各选项中的数是否为分解后的因式，或者利用整除性质判断选项中数的因数是否能整除$3^{48}-1$，快速排除错误选项。
【解析】
首先利用整除性质初步排除错误选项：
因为$3^{48}$是3的倍数，所以$3^{48}-1$除以3的余数为2，因此$3^{48}-1$不能被3整除。
选项B中的24、选项C中的27都是3的倍数，因此直接排除B、C。
接下来对$3^{48}-1$运用平方差公式分解：
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$3^{48}-1=(3^{24}+1)(3^{24}-1)$
$=(3^{24}+1)(3^{12}+1)(3^{12}-1)$
$=(3^{24}+1)(3^{12}+1)(3^{6}+1)(3^{6}-1)$
$=(3^{24}+1)(3^{12}+1)(3^{6}+1)(3^3+1)(3^3-1)$
其中$3^3-1=27-1=26$，$3^3+1=27+1=28$，因此26和28都是$3^{48}-1$的因式，即$3^{48}-1$能被26、28整除。
再验证选项D中的25：$3^{48}$除以25的余数不为1，因此$3^{48}-1$不能被25整除，排除D。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式、因式分解的应用、整除的判断
【点评】
本题核心是灵活运用平方差公式对高次幂的差进行因式分解，通过将复杂的高次式拆分为多个低次因式的乘积，就能快速找到符合要求的因数，同时结合整除性质可以快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
9.雷达可用于飞机导航，也可用于监测飞机的飞行，假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用$6.24× 10^{-5}$秒，已知电磁波的传播速度为每秒$3.0× 10^{8}$米，则该时刻飞机与雷达站的距离是 （
A.$9.36× 10^{3}$米
B.$9.36× 10^{4}$米
C.$1.872× 10^{3}$米
D.$1.872× 10^{4}$米
A
）A.$9.36× 10^{3}$米
B.$9.36× 10^{4}$米
C.$1.872× 10^{3}$米
D.$1.872× 10^{4}$米
答案
9. A
解析
【分析】
解题时首先要明确电磁波的传播逻辑：电磁波从雷达发射到飞机，再反射回雷达，传播的总路程是飞机与雷达站距离的2倍。解题可按三步推进：第一步根据“路程=速度×时间”计算电磁波往返的总路程；第二步将总路程除以2得到飞机与雷达站的实际距离；第三步按照科学记数法的运算规则化简结果，匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知电磁波往返总时间$ t=6.24×10^{-5}s $，传播速度$ v=3.0×10^8m/s $
1. 计算电磁波传播的总路程：
根据路程公式$ s_{总}=v×t $，代入数据得：
$ s_{总}=3.0×10^8 × 6.24×10^{-5} $
按照科学记数法乘法运算规则，系数相乘、指数相加：
$ s_{总}=(3.0×6.24)×10^{8+(-5)}=18.72×10^3=1.872×10^4 m $
2. 计算飞机与雷达站的距离：
由于总路程是所求距离的2倍，因此：
$ s=\frac{s_{总}}{2}=\frac{1.872×10^4}{2}=9.36×10^3 m $
结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
科学记数法运算，行程问题公式应用
【点评】
本题易错点是忽略电磁波往返传播的特点，直接将总路程当作所求距离错选D，此外计算科学记数法时要注意指数的加减规则，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确电磁波的传播逻辑：电磁波从雷达发射到飞机，再反射回雷达，传播的总路程是飞机与雷达站距离的2倍。解题可按三步推进：第一步根据“路程=速度×时间”计算电磁波往返的总路程；第二步将总路程除以2得到飞机与雷达站的实际距离；第三步按照科学记数法的运算规则化简结果，匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知电磁波往返总时间$ t=6.24×10^{-5}s $，传播速度$ v=3.0×10^8m/s $
1. 计算电磁波传播的总路程：
根据路程公式$ s_{总}=v×t $，代入数据得：
$ s_{总}=3.0×10^8 × 6.24×10^{-5} $
按照科学记数法乘法运算规则，系数相乘、指数相加：
$ s_{总}=(3.0×6.24)×10^{8+(-5)}=18.72×10^3=1.872×10^4 m $
2. 计算飞机与雷达站的距离：
由于总路程是所求距离的2倍，因此：
$ s=\frac{s_{总}}{2}=\frac{1.872×10^4}{2}=9.36×10^3 m $
结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
科学记数法运算，行程问题公式应用
【点评】
本题易错点是忽略电磁波往返传播的特点，直接将总路程当作所求距离错选D，此外计算科学记数法时要注意指数的加减规则，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
