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10. 在数轴上表示下列各数，并用“＜”将它们连接起来：$-2$，$|-3.5|$，$0$，$\sqrt[3]{-27}$，$\sqrt{5}$。
答案
10. 在数轴上的表示略. $\sqrt[3]{-27} ＜ -2 ＜ 0 ＜ \sqrt{5} ＜ |-3.5|$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要先把题目中含绝对值、立方根的非最简形式的数先化简，再估算无理数$\sqrt{5}$的大致范围，再根据实数比较大小的规则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值大的反而小，也可以结合数轴上“右边的数总比左边的数大”的特点，就能将这些数按从小到大的顺序排列，最后在数轴上对应位置标出各数即可。
【解析】
1. 先化简各数：
① 计算绝对值：$|-3.5|=3.5$
② 计算立方根：$\sqrt[3]{-27}=-3$，依据是$(-3)^3=-27$
③ 估算无理数：因为$2^2=4＜5＜9=3^2$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$
2. 按规则比较大小：
负数部分：$|-3|=3＞|-2|=2$，所以$-3＜-2$
正数部分：$\sqrt{5}＜3＜3.5$，所以$\sqrt{5}＜|-3.5|$
结合“负数＜0＜正数”的大小关系，最终排序为$\sqrt[3]{-27} ＜ -2 ＜ 0 ＜ \sqrt{5} ＜ |-3.5|$
3. 在数轴上对应位置标注各数即可（数轴表示略）
【答案】
在数轴上的表示略. $\sqrt[3]{-27} ＜ -2 ＜ 0 ＜ \sqrt{5} ＜ |-3.5|$
【知识点】
实数大小比较，立方根运算，绝对值化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查实数的相关运算和大小比较方法，解题的关键是先将非最简的实数化简，再准确估算无理数的取值范围，熟练掌握实数比较大小的规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要先把题目中含绝对值、立方根的非最简形式的数先化简，再估算无理数$\sqrt{5}$的大致范围，再根据实数比较大小的规则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值大的反而小，也可以结合数轴上“右边的数总比左边的数大”的特点，就能将这些数按从小到大的顺序排列，最后在数轴上对应位置标出各数即可。
【解析】
1. 先化简各数：
① 计算绝对值：$|-3.5|=3.5$
② 计算立方根：$\sqrt[3]{-27}=-3$，依据是$(-3)^3=-27$
③ 估算无理数：因为$2^2=4＜5＜9=3^2$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$
2. 按规则比较大小：
负数部分：$|-3|=3＞|-2|=2$，所以$-3＜-2$
正数部分：$\sqrt{5}＜3＜3.5$，所以$\sqrt{5}＜|-3.5|$
结合“负数＜0＜正数”的大小关系，最终排序为$\sqrt[3]{-27} ＜ -2 ＜ 0 ＜ \sqrt{5} ＜ |-3.5|$
3. 在数轴上对应位置标注各数即可（数轴表示略）
【答案】
在数轴上的表示略. $\sqrt[3]{-27} ＜ -2 ＜ 0 ＜ \sqrt{5} ＜ |-3.5|$
【知识点】
实数大小比较，立方根运算，绝对值化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查实数的相关运算和大小比较方法，解题的关键是先将非最简的实数化简，再准确估算无理数的取值范围，熟练掌握实数比较大小的规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
11.（淮安中考）下列实数中，比－2小的数是 【 】
A.－1
B.0
C.$\sqrt{2}$
D.－3
A.－1
B.0
C.$\sqrt{2}$
D.－3
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆实数大小比较的基本规则：①所有正数都大于0，0大于所有负数；②两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。解题时可以先快速筛选出肯定比-2大的数（正数、0），排除对应选项后，再对剩下的负数用绝对值法逐一比较，就能快速找到正确答案。
【解析】
根据实数大小比较的规则逐一分析选项：
1. 排除非负选项：选项B的0大于所有负数，因此$0 ＞ -2$，不符合要求；选项C的$\sqrt{2}$是正数，正数大于所有负数，因此$\sqrt{2} ＞ -2$，不符合要求。
2. 比较剩余负数选项：
选项A的$-1$，绝对值$|-1|=1$，因为$1＜2$，根据“两个负数比较，绝对值大的反而小”，可得$-1 ＞ -2$，不符合要求。
选项D的$-3$，绝对值$|-3|=3$，因为$3＞2$，同理可得$-3 ＜ -2$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 实数的大小比较
2. 绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查实数大小比较规则的应用，熟练掌握负数比较大小的规律是解题的关键，解题时可先排除非负选项缩小判断范围，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆实数大小比较的基本规则：①所有正数都大于0，0大于所有负数；②两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。解题时可以先快速筛选出肯定比-2大的数（正数、0），排除对应选项后，再对剩下的负数用绝对值法逐一比较，就能快速找到正确答案。
【解析】
根据实数大小比较的规则逐一分析选项：
1. 排除非负选项：选项B的0大于所有负数，因此$0 ＞ -2$，不符合要求；选项C的$\sqrt{2}$是正数，正数大于所有负数，因此$\sqrt{2} ＞ -2$，不符合要求。
2. 比较剩余负数选项：
选项A的$-1$，绝对值$|-1|=1$，因为$1＜2$，根据“两个负数比较，绝对值大的反而小”，可得$-1 ＞ -2$，不符合要求。
选项D的$-3$，绝对值$|-3|=3$，因为$3＞2$，同理可得$-3 ＜ -2$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 实数的大小比较
2. 绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查实数大小比较规则的应用，熟练掌握负数比较大小的规律是解题的关键，解题时可先排除非负选项缩小判断范围，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
12. 下列各组数中，互为相反数的是 【 】
A.$-2$与$\sqrt{(-2)^2}$
B.$-\sqrt[3]{8}$与$\sqrt[3]{-8}$
C.$-\sqrt{2}$与$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
D.$|-\sqrt{2}|$与$\sqrt{2}$
A.$-2$与$\sqrt{(-2)^2}$
B.$-\sqrt[3]{8}$与$\sqrt[3]{-8}$
C.$-\sqrt{2}$与$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
D.$|-\sqrt{2}|$与$\sqrt{2}$
答案
A
解析
【分析】
解题的核心是掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。我们需要先将每个选项中的两个数分别化简，再对照相反数的定义逐一判断，选出符合要求的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：先化简$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，$-2$和$2$只有符号不同，互为相反数，符合要求；
B选项：$-\sqrt[3]{8}=-2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，两数相等，不是相反数，不符合；
C选项：$-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，与$-\sqrt{2}$符号相同、数值不同，不是相反数，不符合；
D选项：$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$，与$\sqrt{2}$相等，不是相反数，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的定义，根式化简，绝对值的性质
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是正确化简各选项中的数，再结合相反数的定义判断，易错点是化简根式、绝对值时符号处理出错。
【难度系数】
0.8
解题的核心是掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。我们需要先将每个选项中的两个数分别化简，再对照相反数的定义逐一判断，选出符合要求的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：先化简$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，$-2$和$2$只有符号不同，互为相反数，符合要求；
B选项：$-\sqrt[3]{8}=-2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，两数相等，不是相反数，不符合；
C选项：$-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，与$-\sqrt{2}$符号相同、数值不同，不是相反数，不符合；
D选项：$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$，与$\sqrt{2}$相等，不是相反数，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的定义，根式化简，绝对值的性质
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是正确化简各选项中的数，再结合相反数的定义判断，易错点是化简根式、绝对值时符号处理出错。
【难度系数】
0.8
13. 如图，$\sqrt{13}$ 在数轴上的大致位置是 【 】
A.a
B.b
C.c
D.d
A.a
B.b
C.c
D.d
答案
D
解析
【分析】
要确定$\sqrt{13}$在数轴上的位置，首先需要估算$\sqrt{13}$的取值范围。解题思路为：先找到与13相邻的两个正的完全平方数，根据算术平方根的性质（被开方数越大，对应的算术平方根越大），确定$\sqrt{13}$在哪两个相邻整数之间，再对应数轴上各点所在的区间即可选出正确答案。
【解析】
首先计算相邻整数的平方：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，
又
∵ $9＜13＜16$，
根据算术平方根的大小比较规则，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，
即 $3＜\sqrt{13}＜4$，
因此$\sqrt{13}$位于数轴上3和4之间，对应点为d。
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 实数与数轴的对应关系
【点评】
本题考查无理数的估算及实数与数轴的对应关系，解题的关键是熟练掌握利用相邻完全平方数估算无理数范围的方法，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要确定$\sqrt{13}$在数轴上的位置，首先需要估算$\sqrt{13}$的取值范围。解题思路为：先找到与13相邻的两个正的完全平方数，根据算术平方根的性质（被开方数越大，对应的算术平方根越大），确定$\sqrt{13}$在哪两个相邻整数之间，再对应数轴上各点所在的区间即可选出正确答案。
【解析】
首先计算相邻整数的平方：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，
又
∵ $9＜13＜16$，
根据算术平方根的大小比较规则，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，
即 $3＜\sqrt{13}＜4$，
因此$\sqrt{13}$位于数轴上3和4之间，对应点为d。
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 实数与数轴的对应关系
【点评】
本题考查无理数的估算及实数与数轴的对应关系，解题的关键是熟练掌握利用相邻完全平方数估算无理数范围的方法，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
14.（安徽中考）我国古代数学家张衡将圆周率取值为$\sqrt{10}$，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为$\frac{22}{7}$。比较大小：$\sqrt{10}$ ______ $\frac{22}{7}$。（填“＞”或“＜”）
答案
$＞$
解析
【分析】
要比较两个正数$\sqrt{10}$和$\frac{22}{7}$的大小，可利用正数比较大小的规律：两个正数，平方后数值更大的原数也更大。我们可以先分别计算两个数的平方，将含根号的数和分数转化为有理数后再比较大小，即可得出原数的大小关系。
【解析】
∵ $\sqrt{10}＞0$，$\frac{22}{7}＞0$，
分别计算两个数的平方：
$(\sqrt{10})^2=10$，
$(\frac{22}{7})^2=\frac{484}{49}$，
将10转化为分母为49的分数：$10=\frac{490}{49}$，
∵ $\frac{490}{49}＞\frac{484}{49}$，即$(\sqrt{10})^2＞(\frac{22}{7})^2$，
∴ $\sqrt{10}＞\frac{22}{7}$。
【答案】
$＞$
【知识点】
实数大小比较；二次根式的性质
【点评】
本题考查实数大小比较的常用方法，平方法是比较含根号的正数与有理数大小的常用技巧，解题时要注意该方法仅适用于两个正数比较大小的场景。
【难度系数】
0.8
要比较两个正数$\sqrt{10}$和$\frac{22}{7}$的大小，可利用正数比较大小的规律：两个正数，平方后数值更大的原数也更大。我们可以先分别计算两个数的平方，将含根号的数和分数转化为有理数后再比较大小，即可得出原数的大小关系。
【解析】
∵ $\sqrt{10}＞0$，$\frac{22}{7}＞0$，
分别计算两个数的平方：
$(\sqrt{10})^2=10$，
$(\frac{22}{7})^2=\frac{484}{49}$，
将10转化为分母为49的分数：$10=\frac{490}{49}$，
∵ $\frac{490}{49}＞\frac{484}{49}$，即$(\sqrt{10})^2＞(\frac{22}{7})^2$，
∴ $\sqrt{10}＞\frac{22}{7}$。
【答案】
$＞$
【知识点】
实数大小比较；二次根式的性质
【点评】
本题考查实数大小比较的常用方法，平方法是比较含根号的正数与有理数大小的常用技巧，解题时要注意该方法仅适用于两个正数比较大小的场景。
【难度系数】
0.8
15. 若$\sqrt{26}$的整数部分记为$a$，算术平方根等于它本身的正整数记为$b$，那么$7a - 8b$的立方根是
$3$
。答案
15. 3
解析
【分析】
解题时需分三步思考：第一步先确定$\sqrt{26}$的整数部分$a$，可通过找与26相邻的两个完全平方数，判断$\sqrt{26}$的取值范围即可得到$a$的值；第二步求$b$的值，根据算术平方根等于自身的数的特征，结合正整数的限定条件确定$b$；第三步将$a$、$b$代入代数式计算出结果，再求该结果的立方根即可。
【解析】
1. 求$a$的值：
∵ $5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜26＜36$
∴ $5＜\sqrt{26}＜6$
∴ $\sqrt{26}$的整数部分$a=5$
2. 求$b$的值：
算术平方根等于它本身的数有0和1，题目要求$b$是正整数，故排除0，得$b=1$
3. 计算代数式并求立方根：
将$a=5$，$b=1$代入$7a-8b$得：
$7×5 - 8×1 = 35 - 8 = 27$
∵ $3^3=27$
∴ 27的立方根是3
【答案】
3
【知识点】
1. 无理数估算 2. 算术平方根性质 3. 立方根计算
【点评】
本题综合考查了无理数的整数部分估算、算术平方根的性质以及立方根的运算，解题的核心是准确求出$a$和$b$的取值，属于常见的基础综合题。
【难度系数】
0.8
解题时需分三步思考：第一步先确定$\sqrt{26}$的整数部分$a$，可通过找与26相邻的两个完全平方数，判断$\sqrt{26}$的取值范围即可得到$a$的值；第二步求$b$的值，根据算术平方根等于自身的数的特征，结合正整数的限定条件确定$b$；第三步将$a$、$b$代入代数式计算出结果，再求该结果的立方根即可。
【解析】
1. 求$a$的值：
∵ $5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜26＜36$
∴ $5＜\sqrt{26}＜6$
∴ $\sqrt{26}$的整数部分$a=5$
2. 求$b$的值：
算术平方根等于它本身的数有0和1，题目要求$b$是正整数，故排除0，得$b=1$
3. 计算代数式并求立方根：
将$a=5$，$b=1$代入$7a-8b$得：
$7×5 - 8×1 = 35 - 8 = 27$
∵ $3^3=27$
∴ 27的立方根是3
【答案】
3
【知识点】
1. 无理数估算 2. 算术平方根性质 3. 立方根计算
【点评】
本题综合考查了无理数的整数部分估算、算术平方根的性质以及立方根的运算，解题的核心是准确求出$a$和$b$的取值，属于常见的基础综合题。
【难度系数】
0.8
16. 计算：
(1) $\sqrt[3]{8} + \sqrt{0} - \sqrt{\frac{1}{4}} + \sqrt[3]{\frac{7}{8} - 1} + |1 - \sqrt{2}|$；
(2) $|2\sqrt{2} - \sqrt{3}| + |2\sqrt{3} - \sqrt{5}|$（精确到0.01）。
(1) $\sqrt[3]{8} + \sqrt{0} - \sqrt{\frac{1}{4}} + \sqrt[3]{\frac{7}{8} - 1} + |1 - \sqrt{2}|$；
(2) $|2\sqrt{2} - \sqrt{3}| + |2\sqrt{3} - \sqrt{5}|$（精确到0.01）。
答案
16. (1) $\sqrt{2}$ (2) 2.32
解析
【分析】
解题前先明确实数运算的规则：先分别化简每个根式、绝对值项，再进行加减运算。对于（1），先依次计算立方根、算术平方根、绝对值，再合并同类项；对于（2），先根据绝对值内代数式的正负去绝对值符号，合并同类二次根式后代入无理数的近似值计算，最后按要求保留精确度。
【解析】
(1) 先分别化简每一项：
$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt{0}=0$，$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，
$\sqrt[3]{\frac{7}{8}-1}=\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=-\frac{1}{2}$，
因为$\sqrt{2}＞1$，所以$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2+0-\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})+\sqrt{2}-1\\&=(2-1)+(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2})+\sqrt{2}\\&=1-1+\sqrt{2}\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 先判断绝对值内的正负：
因为$2\sqrt{2}\approx2.828＞\sqrt{3}\approx1.732$，所以$|2\sqrt{2}-\sqrt{3}|=2\sqrt{2}-\sqrt{3}$；
因为$2\sqrt{3}\approx3.464＞\sqrt{5}\approx2.236$，所以$|2\sqrt{3}-\sqrt{5}|=2\sqrt{3}-\sqrt{5}$。
代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{2}-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{5}\\&=2\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}\end{aligned}$
代入近似值计算：
$2\sqrt{2}\approx2×1.414=2.828$，$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{5}\approx2.236$，
原式≈2.828+1.732-2.236=2.324≈2.32（精确到0.01）。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；(2) 2.32
【知识点】
实数的运算；绝对值的化简；平方根与立方根计算
【点评】
本题考查实数的基础运算，核心是掌握平方根、立方根的求值方法，以及绝对值的化简规则，近似计算时要注意按要求保留小数位数，属于常规运算类题目，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题前先明确实数运算的规则：先分别化简每个根式、绝对值项，再进行加减运算。对于（1），先依次计算立方根、算术平方根、绝对值，再合并同类项；对于（2），先根据绝对值内代数式的正负去绝对值符号，合并同类二次根式后代入无理数的近似值计算，最后按要求保留精确度。
【解析】
(1) 先分别化简每一项：
$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt{0}=0$，$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，
$\sqrt[3]{\frac{7}{8}-1}=\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=-\frac{1}{2}$，
因为$\sqrt{2}＞1$，所以$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2+0-\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})+\sqrt{2}-1\\&=(2-1)+(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2})+\sqrt{2}\\&=1-1+\sqrt{2}\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 先判断绝对值内的正负：
因为$2\sqrt{2}\approx2.828＞\sqrt{3}\approx1.732$，所以$|2\sqrt{2}-\sqrt{3}|=2\sqrt{2}-\sqrt{3}$；
因为$2\sqrt{3}\approx3.464＞\sqrt{5}\approx2.236$，所以$|2\sqrt{3}-\sqrt{5}|=2\sqrt{3}-\sqrt{5}$。
代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{2}-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{5}\\&=2\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}\end{aligned}$
代入近似值计算：
$2\sqrt{2}\approx2×1.414=2.828$，$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{5}\approx2.236$，
原式≈2.828+1.732-2.236=2.324≈2.32（精确到0.01）。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；(2) 2.32
【知识点】
实数的运算；绝对值的化简；平方根与立方根计算
【点评】
本题考查实数的基础运算，核心是掌握平方根、立方根的求值方法，以及绝对值的化简规则，近似计算时要注意按要求保留小数位数，属于常规运算类题目，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.7
