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4. (2025·德州中考)把英文单词“people”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母。然后将卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率是
$\dfrac{2}{15}$
。答案
4. $\dfrac{2}{15}$
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路如下：①首先明确单词“people”中各字母的数量：共6个字母，其中字母p有2个，字母e有2个，字母o、l各1个；②根据概率计算公式，概率等于符合条件的事件数除以所有等可能的总事件数，因此我们需要先通过列举法分别统计从6张卡片中随机抽2张的总事件数，以及抽到2张字母相同的事件数，二者作比即可得到结果。
【解析】
我们先将“people”的6个字母对应的卡片分别标记为：$\mathrm{p_1}$、$\mathrm{p_2}$、$\mathrm{e_1}$、$\mathrm{e_2}$、$\mathrm{o}$、$\mathrm{l}$（相同字母加下标区分）。
1. 统计所有等可能的抽取结果：从6张卡片中随机抽取2张，不计抽取顺序，所有可能的结果为：$(\mathrm{p_1,p_2})$、$(\mathrm{p_1,e_1})$、$(\mathrm{p_1,e_2})$、$(\mathrm{p_1,o})$、$(\mathrm{p_1,l})$、$(\mathrm{p_2,e_1})$、$(\mathrm{p_2,e_2})$、$(\mathrm{p_2,o})$、$(\mathrm{p_2,l})$、$(\mathrm{e_1,e_2})$、$(\mathrm{e_1,o})$、$(\mathrm{e_1,l})$、$(\mathrm{e_2,o})$、$(\mathrm{e_2,l})$、$(\mathrm{o,l})$，共15种，且每种结果出现的可能性相等；
2. 统计符合条件的结果：其中恰好是相同字母的结果有$(\mathrm{p_1,p_2})$、$(\mathrm{e_1,e_2})$，共2种；
3. 代入概率公式计算：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{2}{15}$。
【答案】
$\dfrac{2}{15}$
【知识点】
列举法求概率，概率计算公式，古典概型
【点评】
本题是概率的基础应用题型，解题的关键是准确梳理字母的重复情况，正确统计总事件数和符合要求的事件数，避免因漏算重复字母、错数事件数导致失分。
【难度系数】
0.7
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路如下：①首先明确单词“people”中各字母的数量：共6个字母，其中字母p有2个，字母e有2个，字母o、l各1个；②根据概率计算公式，概率等于符合条件的事件数除以所有等可能的总事件数，因此我们需要先通过列举法分别统计从6张卡片中随机抽2张的总事件数，以及抽到2张字母相同的事件数，二者作比即可得到结果。
【解析】
我们先将“people”的6个字母对应的卡片分别标记为：$\mathrm{p_1}$、$\mathrm{p_2}$、$\mathrm{e_1}$、$\mathrm{e_2}$、$\mathrm{o}$、$\mathrm{l}$（相同字母加下标区分）。
1. 统计所有等可能的抽取结果：从6张卡片中随机抽取2张，不计抽取顺序，所有可能的结果为：$(\mathrm{p_1,p_2})$、$(\mathrm{p_1,e_1})$、$(\mathrm{p_1,e_2})$、$(\mathrm{p_1,o})$、$(\mathrm{p_1,l})$、$(\mathrm{p_2,e_1})$、$(\mathrm{p_2,e_2})$、$(\mathrm{p_2,o})$、$(\mathrm{p_2,l})$、$(\mathrm{e_1,e_2})$、$(\mathrm{e_1,o})$、$(\mathrm{e_1,l})$、$(\mathrm{e_2,o})$、$(\mathrm{e_2,l})$、$(\mathrm{o,l})$，共15种，且每种结果出现的可能性相等；
2. 统计符合条件的结果：其中恰好是相同字母的结果有$(\mathrm{p_1,p_2})$、$(\mathrm{e_1,e_2})$，共2种；
3. 代入概率公式计算：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{2}{15}$。
【答案】
$\dfrac{2}{15}$
【知识点】
列举法求概率，概率计算公式，古典概型
【点评】
本题是概率的基础应用题型，解题的关键是准确梳理字母的重复情况，正确统计总事件数和符合要求的事件数，避免因漏算重复字母、错数事件数导致失分。
【难度系数】
0.7
5. (2025·浙江中考)现有六张分别标有数字1,2,3,4,5,6的卡片,其中标有数字1,4,5的卡片在甲手中,标有数字2,3,6的卡片在乙手中。两人各随机出一张卡片,甲出的卡片数字比乙大的概率是
$\dfrac{4}{9}$
。答案
5. $\dfrac{4}{9}$
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算题，解题思路分为三步：第一步先计算两人各出一张卡片的所有等可能总结果数；第二步逐一列举出“甲出的卡片数字比乙大”的所有符合条件的结果数；第三步根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
解：甲手中有3张卡片，乙手中有3张卡片，两人各随机出一张卡片，所有等可能的结果共有 $3 × 3 = 9$ 种，分别为：
$(1,2),(1,3),(1,6),(4,2),(4,3),(4,6),(5,2),(5,3),(5,6)$
其中满足“甲出的卡片数字比乙大”的结果有：$(4,2),(4,3),(5,2),(5,3)$，共4种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{甲出的卡片数字比乙大}) = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}} = \frac{4}{9}$
【答案】
$\dfrac{4}{9}$
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，核心考查学生对列举法求概率的掌握程度，解题时要注意有序列举所有情况，避免重复或遗漏。
【难度系数】
0.7
这是一道古典概型的概率计算题，解题思路分为三步：第一步先计算两人各出一张卡片的所有等可能总结果数；第二步逐一列举出“甲出的卡片数字比乙大”的所有符合条件的结果数；第三步根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
解：甲手中有3张卡片，乙手中有3张卡片，两人各随机出一张卡片，所有等可能的结果共有 $3 × 3 = 9$ 种，分别为：
$(1,2),(1,3),(1,6),(4,2),(4,3),(4,6),(5,2),(5,3),(5,6)$
其中满足“甲出的卡片数字比乙大”的结果有：$(4,2),(4,3),(5,2),(5,3)$，共4种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{甲出的卡片数字比乙大}) = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}} = \frac{4}{9}$
【答案】
$\dfrac{4}{9}$
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，核心考查学生对列举法求概率的掌握程度，解题时要注意有序列举所有情况，避免重复或遗漏。
【难度系数】
0.7
6. (2025·成都中考)从-1,1,2这三个数中任取两个数分别作为a,b的值,则关于x的一元二次方程$ax^2 + bx + 1 = 0$有实数根的概率为
$\dfrac{1}{2}$
。答案
6. $\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步确定所有等可能的(a,b)取值组合，因为是从三个数中任取两个分别作为a、b，取值有序，且一元二次方程要求a≠0，本题给定的三个数均不为0，所以所有取法都符合一元二次方程的定义；第二步利用一元二次方程有实数根的条件：判别式Δ=b²-4ac≥0，本题中c=1，即需满足b²-4a≥0，逐一验证每个组合是否符合条件；第三步用符合条件的情况数除以总情况数，即可得到所求概率。
【解析】
首先列出从-1,1,2中任取两个数分别作为a、b的所有等可能结果，共6种：
①a=-1，b=1，Δ=1²-4×(-1)×1=5≥0，符合有实根的条件；
②a=-1，b=2，Δ=2²-4×(-1)×1=8≥0，符合有实根的条件；
③a=1，b=-1，Δ=(-1)²-4×1×1=-3＜0，不符合；
④a=1，b=2，Δ=2²-4×1×1=0≥0，符合有实根的条件；
⑤a=2，b=-1，Δ=(-1)²-4×2×1=-7＜0，不符合；
⑥a=2，b=1，Δ=1²-4×2×1=-7＜0，不符合。
符合条件的结果共有3种，所以概率P=$\dfrac{3}{6}$=$\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 列举法求概率
3. 一元二次方程的定义
【点评】
本题是方程与概率的综合基础题，解题时要注意a、b的取值是有序的，避免因误算总情况数导致出错，同时要牢记一元二次方程有实根的判别式条件。
【难度系数】
0.6
解题思路分三步：第一步确定所有等可能的(a,b)取值组合，因为是从三个数中任取两个分别作为a、b，取值有序，且一元二次方程要求a≠0，本题给定的三个数均不为0，所以所有取法都符合一元二次方程的定义；第二步利用一元二次方程有实数根的条件：判别式Δ=b²-4ac≥0，本题中c=1，即需满足b²-4a≥0，逐一验证每个组合是否符合条件；第三步用符合条件的情况数除以总情况数，即可得到所求概率。
【解析】
首先列出从-1,1,2中任取两个数分别作为a、b的所有等可能结果，共6种：
①a=-1，b=1，Δ=1²-4×(-1)×1=5≥0，符合有实根的条件；
②a=-1，b=2，Δ=2²-4×(-1)×1=8≥0，符合有实根的条件；
③a=1，b=-1，Δ=(-1)²-4×1×1=-3＜0，不符合；
④a=1，b=2，Δ=2²-4×1×1=0≥0，符合有实根的条件；
⑤a=2，b=-1，Δ=(-1)²-4×2×1=-7＜0，不符合；
⑥a=2，b=1，Δ=1²-4×2×1=-7＜0，不符合。
符合条件的结果共有3种，所以概率P=$\dfrac{3}{6}$=$\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 列举法求概率
3. 一元二次方程的定义
【点评】
本题是方程与概率的综合基础题，解题时要注意a、b的取值是有序的，避免因误算总情况数导致出错，同时要牢记一元二次方程有实根的判别式条件。
【难度系数】
0.6
7. (2025·江西中考)校园数学文化节期间,某班开展多轮开盲盒做游戏活动。每轮均有四个完全相同的盲盒,分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片,每位参与者只能抽取一个盲盒,盲盒打开即作废。
(1)若随机抽取一个盲盒并打开,恰好装有“数独”卡片的事件是
A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏,请用画树状图或列表法,求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率。
(1)若随机抽取一个盲盒并打开,恰好装有“数独”卡片的事件是
B
;A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏,请用画树状图或列表法,求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率。
答案
7. (1) B
(2) 设写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片分别用A,B,C,D表示,画树状图如下图所示：
总共12种等可能的结果,其中两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有2种,所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率是$\dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$
解析
【分析】
(1) 先明确三类事件的定义：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。随机抽取1个盲盒，有可能抽到“数独”，也有可能抽不到，符合随机事件的特征，因此选B。
(2) 本题为不放回的两步概率计算问题，首先将四个游戏对应标记为A（幻方）、B（数独）、C（华容道）、D（鲁班锁），第一步第一位同学抽时有4种等可能的选择，第二步第二位同学抽时，已抽过的盲盒作废，仅剩3种等可能的选择，通过树状图列出所有等可能结果，再找出两人恰好抽中C和D的结果数，最后根据概率公式计算即可。
【解析】
(1) 抽取一个盲盒，恰好抽到“数独”是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，故选B。
(2) 设写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”的卡片分别对应A、B、C、D，画树状图如下：
由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果有2种，分别是(C,D)、(D,C)。
根据概率公式$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$，可得所求概率为$\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$。
【答案】
(1) B
(2) 设写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片分别用A,B,C,D表示,画树状图如下图所示：
总共12种等可能的结果,其中两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有2种,所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率是$\dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$
【知识点】
事件的分类；树状图法求概率
【点评】
本题结合游戏情境考查概率基础知识点，第一问准确区分三类事件的概念即可快速解答，第二问需注意是不放回抽取，避免算错总结果数，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
(1) 先明确三类事件的定义：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。随机抽取1个盲盒，有可能抽到“数独”，也有可能抽不到，符合随机事件的特征，因此选B。
(2) 本题为不放回的两步概率计算问题，首先将四个游戏对应标记为A（幻方）、B（数独）、C（华容道）、D（鲁班锁），第一步第一位同学抽时有4种等可能的选择，第二步第二位同学抽时，已抽过的盲盒作废，仅剩3种等可能的选择，通过树状图列出所有等可能结果，再找出两人恰好抽中C和D的结果数，最后根据概率公式计算即可。
【解析】
(1) 抽取一个盲盒，恰好抽到“数独”是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，故选B。
(2) 设写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”的卡片分别对应A、B、C、D，画树状图如下：
由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果有2种，分别是(C,D)、(D,C)。
根据概率公式$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$，可得所求概率为$\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$。
【答案】
(1) B
(2) 设写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片分别用A,B,C,D表示,画树状图如下图所示：
总共12种等可能的结果,其中两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有2种,所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率是$\dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$
【知识点】
事件的分类；树状图法求概率
【点评】
本题结合游戏情境考查概率基础知识点，第一问准确区分三类事件的概念即可快速解答，第二问需注意是不放回抽取，避免算错总结果数，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
8. (2024·河北中考)甲、乙、丙三张卡片正面分别写有代数式$a + b$，$2a + b$，$a - b$，除正面的代数式不同外，其余均相同。
(1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当$a = 1$，$b = -2$时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；
(2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张。请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果(化为最简)，并求出和为单项式的概率。
(1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当$a = 1$，$b = -2$时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；
(2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张。请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果(化为最简)，并求出和为单项式的概率。
答案
(1) 当$a = 1, b = -2$时,$a + b = -1, 2a + b = 0$,$a - b = 3$。从三张卡片中随机抽取一张,共有3种等可能的结果,其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种,$\therefore$ 取出的卡片上代数式的值为负数的概率为$\dfrac{1}{3}$
(2) 补全表格如下：
| 第二次\第一次 | $a + b$ | $2a + b$ | $a - b$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a + b$ | $2a + 2b$ | $3a + 2b$ | $2a$ |
| $2a + b$ | $3a + 2b$ | $4a + 2b$ | $3a$ |
| $a - b$ | $2a$ | $3a$ | $2a - 2b$ |
共有9种等可能的结果,其中和为单项式的结果有$2a,3a,2a,3a$,共4种,$\therefore$ 和为单项式的概率为$\dfrac{4}{9}$
(2) 补全表格如下：
| 第二次\第一次 | $a + b$ | $2a + b$ | $a - b$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a + b$ | $2a + 2b$ | $3a + 2b$ | $2a$ |
| $2a + b$ | $3a + 2b$ | $4a + 2b$ | $3a$ |
| $a - b$ | $2a$ | $3a$ | $2a - 2b$ |
共有9种等可能的结果,其中和为单项式的结果有$2a,3a,2a,3a$,共4种,$\therefore$ 和为单项式的概率为$\dfrac{4}{9}$
解析
【分析】
（1）解决本小问首先要明确等可能事件的概率计算方法：事件发生的概率等于符合条件的结果数除以所有等可能的总结果数。第一步先将$a=1$、$b=-2$代入三个代数式分别求值，第二步统计值为负数的结果个数，最后结合概率公式计算即可。
（2）本小问是放回抽取的概率问题，首先明确两次抽取的所有组合共$3×3=9$种，先将每一组两个代数式相加、化简补全表格；再根据单项式的定义（仅含数与字母乘积的代数式，单独的数或字母也属于单项式，即代数式中不能同时含有$a$、$b$两个不同的非零项），筛选出和为单项式的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数9得到对应概率。
【解析】
（1）当$a=1$，$b=-2$时，分别计算三张卡片上代数式的值：
$a+b=1+(-2)=-1$，
$2a+b=2×1+(-2)=0$，
$a-b=1-(-2)=3$。
从三张卡片中随机抽取1张，共有3种等可能的结果，其中代数式的值为负数的结果只有1种，
因此取出的卡片上代数式的值为负数的概率为$\dfrac{1}{3}$。
（2）根据“两次抽取的代数式相加并化简”的规则补全表格：
| 第二次\第一次 | $a + b$ | $2a + b$ | $a - b$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a + b$ | $2a + 2b$ | $3a + 2b$ | $2a$ |
| $2a + b$ | $3a + 2b$ | $4a + 2b$ | $3a$ |
| $a - b$ | $2a$ | $3a$ | $2a - 2b$ |
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中和为单项式的结果为$2a、3a、2a、3a$，共4种，
因此和为单项式的概率为$\dfrac{4}{9}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{3}$；
(2) 补全表格如上，和为单项式的概率为$\dfrac{4}{9}$。
【知识点】
代数式求值，概率计算，单项式判断
【点评】
本题综合考查了代数式的化简运算、单项式的概念以及概率的基础计算，侧重对基础知识点的应用，计算时注意仔细化简，准确掌握单项式的判断标准即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
（1）解决本小问首先要明确等可能事件的概率计算方法：事件发生的概率等于符合条件的结果数除以所有等可能的总结果数。第一步先将$a=1$、$b=-2$代入三个代数式分别求值，第二步统计值为负数的结果个数，最后结合概率公式计算即可。
（2）本小问是放回抽取的概率问题，首先明确两次抽取的所有组合共$3×3=9$种，先将每一组两个代数式相加、化简补全表格；再根据单项式的定义（仅含数与字母乘积的代数式，单独的数或字母也属于单项式，即代数式中不能同时含有$a$、$b$两个不同的非零项），筛选出和为单项式的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数9得到对应概率。
【解析】
（1）当$a=1$，$b=-2$时，分别计算三张卡片上代数式的值：
$a+b=1+(-2)=-1$，
$2a+b=2×1+(-2)=0$，
$a-b=1-(-2)=3$。
从三张卡片中随机抽取1张，共有3种等可能的结果，其中代数式的值为负数的结果只有1种，
因此取出的卡片上代数式的值为负数的概率为$\dfrac{1}{3}$。
（2）根据“两次抽取的代数式相加并化简”的规则补全表格：
| 第二次\第一次 | $a + b$ | $2a + b$ | $a - b$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a + b$ | $2a + 2b$ | $3a + 2b$ | $2a$ |
| $2a + b$ | $3a + 2b$ | $4a + 2b$ | $3a$ |
| $a - b$ | $2a$ | $3a$ | $2a - 2b$ |
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中和为单项式的结果为$2a、3a、2a、3a$，共4种，
因此和为单项式的概率为$\dfrac{4}{9}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{3}$；
(2) 补全表格如上，和为单项式的概率为$\dfrac{4}{9}$。
【知识点】
代数式求值，概率计算，单项式判断
【点评】
本题综合考查了代数式的化简运算、单项式的概念以及概率的基础计算，侧重对基础知识点的应用，计算时注意仔细化简，准确掌握单项式的判断标准即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
