登录
9. 一个不透明的口袋中装着分别标有数字1,2,3,4的四个小球,这些小球除标有的数字外都相同。
(1)从口袋中随机摸出一个小球,求摸出小球上的数字是奇数的概率(直接写出结果)。
(2)先从口袋中随机摸出一个小球,将小球上的数字记为x,在剩下的三个小球中,再随机摸出一个小球,将小球上的数字记为y。请利用画树状图或列表的方法,求由x,y确定的点$(x,y)$在函数$y = -x +4$的图象上的概率。
(1)从口袋中随机摸出一个小球,求摸出小球上的数字是奇数的概率(直接写出结果)。
(2)先从口袋中随机摸出一个小球,将小球上的数字记为x,在剩下的三个小球中,再随机摸出一个小球,将小球上的数字记为y。请利用画树状图或列表的方法,求由x,y确定的点$(x,y)$在函数$y = -x +4$的图象上的概率。
答案
(1) 摸出小球上的数字是奇数的概率为$\dfrac{1}{2}$
(2) 由x,y确定的点$(x,y)$在函数$y = -x + 4$的图象上的概率为$\dfrac{1}{6}$
(2) 由x,y确定的点$(x,y)$在函数$y = -x + 4$的图象上的概率为$\dfrac{1}{6}$
解析
【分析】
（1）第一问属于一步概率问题，解题时先明确所有等可能的摸球结果总数，再统计出摸出数字为奇数的结果数，代入概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）即可直接计算。
（2）第二问是不放回的两步随机试验，解题思路：首先通过列表或树状图不重不漏地列出所有(x,y)的等可能结果，再根据“一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的特征，筛选出符合$y=-x+4$的点，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到所求概率。
【解析】
（1）口袋中共有4个标有1,2,3,4的小球，所有等可能的摸球结果共4种，其中数字为奇数的结果有1、3，共2种，
因此摸出小球上的数字是奇数的概率为$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$。
（2）用列表法列出所有不放回摸球的等可能结果如下：
| $x\diagdown y$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|----|----|----|----|----|
| 1 | / | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | / | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | / | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | / |
由表可得，所有等可能的结果共12种。
若点$(x,y)$在函数$y=-x+4$的图象上，则满足$y=-x+4$，验证可知符合条件的点为$(1,3)$、$(3,1)$，共2种结果，
因此所求概率为$\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2}$；(2) $\dfrac{1}{6}$
【知识点】
概率公式；列表法求概率；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是概率与一次函数的基础综合题，第一问考查简单概率计算，第二问需要注意不放回试验的特点，列表或画树状图时要排除重复选择同一个小球的情况，解题核心是准确统计总结果数和符合条件的结果数。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于一步概率问题，解题时先明确所有等可能的摸球结果总数，再统计出摸出数字为奇数的结果数，代入概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）即可直接计算。
（2）第二问是不放回的两步随机试验，解题思路：首先通过列表或树状图不重不漏地列出所有(x,y)的等可能结果，再根据“一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的特征，筛选出符合$y=-x+4$的点，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到所求概率。
【解析】
（1）口袋中共有4个标有1,2,3,4的小球，所有等可能的摸球结果共4种，其中数字为奇数的结果有1、3，共2种，
因此摸出小球上的数字是奇数的概率为$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$。
（2）用列表法列出所有不放回摸球的等可能结果如下：
| $x\diagdown y$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|----|----|----|----|----|
| 1 | / | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | / | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | / | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | / |
由表可得，所有等可能的结果共12种。
若点$(x,y)$在函数$y=-x+4$的图象上，则满足$y=-x+4$，验证可知符合条件的点为$(1,3)$、$(3,1)$，共2种结果，
因此所求概率为$\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2}$；(2) $\dfrac{1}{6}$
【知识点】
概率公式；列表法求概率；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是概率与一次函数的基础综合题，第一问考查简单概率计算，第二问需要注意不放回试验的特点，列表或画树状图时要排除重复选择同一个小球的情况，解题核心是准确统计总结果数和符合条件的结果数。
【难度系数】
0.7
10. (2025·自贡中考)某校九年级拟组建球类课外活动兴趣班,为了解同学们的参与意向,学生会进行了随机问卷调查,要求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项,以下是依据调查数据绘制的不完整的统计图和统计表,请根据相关信息解答下列问题。
选择球类课外活动兴趣班人数条形统计图
选择球类课外活动兴趣班人数占比统计表
(1)请补全上述条形统计图和占比统计表。若用扇形统计图反映选择球类课外活动兴趣班的人数占比,则选择篮球兴趣班的人数所对应的扇形圆心角为
(2)估计该校九年级400名学生中,选择乒乓球兴趣班的人数;
(3)若用电脑随机选择A,B,C,D四类兴趣班,请用列表或画树状图的方法,求该校九年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率。
选择球类课外活动兴趣班人数条形统计图
选择球类课外活动兴趣班人数占比统计表
(1)请补全上述条形统计图和占比统计表。若用扇形统计图反映选择球类课外活动兴趣班的人数占比,则选择篮球兴趣班的人数所对应的扇形圆心角为
90
°;(2)估计该校九年级400名学生中,选择乒乓球兴趣班的人数;
(3)若用电脑随机选择A,B,C,D四类兴趣班,请用列表或画树状图的方法,求该校九年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率。
答案
10. (1) 补全条形统计图和占比统计表见
和对应表格：| 组别 | 球类课外活动兴趣班 | 占调查总人数百分比 |
| ---- | ---- | ---- |
| A | 足球 | 10% |
| B | 篮球 | 25% |
| C | 乒乓球 | 35% |
| D | 羽毛球 | 30% |
(2) 140
(3) 列表或画树状图略，$\dfrac{1}{16}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 解决第(1)问：首先从条形统计图中提取四个组别的人数，相加得到调查总人数，再分别用各组人数除以总人数得到各组占比，即可补全统计表；求篮球对应的扇形圆心角，只需用360°乘篮球人数的占比即可。2. 解决第(2)问：用九年级总人数乘乒乓球兴趣班的人数占比，即可估算出对应人数，属于样本估计总体的应用。3. 解决第(3)问：先确定甲、乙两名同学各自的选择情况数，得到所有等可能的总结果数，再找出两人都选乒乓球的结果数，根据概率公式计算即可。
【解析】
解：(1) 首先计算接受调查的总人数：$4+10+14+12=40$（人）
各组占调查总人数的百分比分别为：
A（足球）：$\dfrac{4}{40}×100\%=10\%$
B（篮球）：$\dfrac{10}{40}×100\%=25\%$
C（乒乓球）：$\dfrac{14}{40}×100\%=35\%$
D（羽毛球）：$\dfrac{12}{40}×100\%=30\%$
选择篮球兴趣班的人数对应的扇形圆心角为：$360°×25\%=90°$
(2) 选择乒乓球兴趣班的人数占比为35%，估计该校九年级400名学生中选择乒乓球的人数为：$400×35\%=140$（人）
(3) 甲、乙两名同学选择兴趣班均有4种等可能的情况，所有等可能的结果总数为$4×4=16$种，其中两人都选择乒乓球兴趣班的结果只有1种，因此所求概率$P=\dfrac{1}{16}$。
【答案】
(1) 补全条形统计图和占比统计表见和对应表格：
| 组别 | 球类课外活动兴趣班 | 占调查总人数百分比 |
| ---- | ---- | ---- |
| A | 足球 | 10% |
| B | 篮球 | 25% |
| C | 乒乓球 | 35% |
| D | 羽毛球 | 30% |
选择篮球兴趣班的人数所对应的扇形圆心角为$\boldsymbol{90}$°；
(2) $\boldsymbol{140}$；
(3) $\boldsymbol{\dfrac{1}{16}}$
【知识点】
统计图的应用，样本估计总体，概率计算
【点评】
本题是统计与概率的综合题型，考查了从条形统计图中提取信息、计算占比和扇形圆心角、用样本估计总体以及用列举法求概率的能力，解题的关键是准确读取统计图表中的数据，牢记相关计算公式。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 解决第(1)问：首先从条形统计图中提取四个组别的人数，相加得到调查总人数，再分别用各组人数除以总人数得到各组占比，即可补全统计表；求篮球对应的扇形圆心角，只需用360°乘篮球人数的占比即可。2. 解决第(2)问：用九年级总人数乘乒乓球兴趣班的人数占比，即可估算出对应人数，属于样本估计总体的应用。3. 解决第(3)问：先确定甲、乙两名同学各自的选择情况数，得到所有等可能的总结果数，再找出两人都选乒乓球的结果数，根据概率公式计算即可。
【解析】
解：(1) 首先计算接受调查的总人数：$4+10+14+12=40$（人）
各组占调查总人数的百分比分别为：
A（足球）：$\dfrac{4}{40}×100\%=10\%$
B（篮球）：$\dfrac{10}{40}×100\%=25\%$
C（乒乓球）：$\dfrac{14}{40}×100\%=35\%$
D（羽毛球）：$\dfrac{12}{40}×100\%=30\%$
选择篮球兴趣班的人数对应的扇形圆心角为：$360°×25\%=90°$
(2) 选择乒乓球兴趣班的人数占比为35%，估计该校九年级400名学生中选择乒乓球的人数为：$400×35\%=140$（人）
(3) 甲、乙两名同学选择兴趣班均有4种等可能的情况，所有等可能的结果总数为$4×4=16$种，其中两人都选择乒乓球兴趣班的结果只有1种，因此所求概率$P=\dfrac{1}{16}$。
【答案】
(1) 补全条形统计图和占比统计表见
和对应表格：| 组别 | 球类课外活动兴趣班 | 占调查总人数百分比 |
| ---- | ---- | ---- |
| A | 足球 | 10% |
| B | 篮球 | 25% |
| C | 乒乓球 | 35% |
| D | 羽毛球 | 30% |
选择篮球兴趣班的人数所对应的扇形圆心角为$\boldsymbol{90}$°；
(2) $\boldsymbol{140}$；
(3) $\boldsymbol{\dfrac{1}{16}}$
【知识点】
统计图的应用，样本估计总体，概率计算
【点评】
本题是统计与概率的综合题型，考查了从条形统计图中提取信息、计算占比和扇形圆心角、用样本估计总体以及用列举法求概率的能力，解题的关键是准确读取统计图表中的数据，牢记相关计算公式。
【难度系数】
0.7
