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1.正数的任何次幂都是
正数
，负数的奇次幂是负数
，负数的偶次幂是正数
。答案
正数 负数 正数
解析
【分析】
解决这道题可以结合有理数乘法的符号规律推导乘方的符号性质：首先回忆乘方的含义，n个相同因数a相乘的运算就是a的n次幂；先分析正数的乘方：多个正数相乘时乘积的符号始终为正，因此无论次数是奇数还是偶数，正数的幂都是正的；再分析负数的乘方：根据有理数乘法符号规则，负负得正、正负得负，若乘方次数为奇数，相当于奇数个负数相乘，负号个数为奇数，结果为负；若乘方次数为偶数，相当于偶数个负数相乘，负号两两抵消，结果为正，顺着这个思路就能得到结论。
【解析】
根据有理数乘方的符号规律推导：
1. 正数的任何次幂都是若干个正数相乘，乘积恒为正，因此正数的任何次幂都是正数；
2. 负数的奇次幂是奇数个负数相乘，负因数的个数为奇数，乘积符号为负，因此负数的奇次幂是负数；
3. 负数的偶次幂是偶数个负数相乘，负因数的个数为偶数，乘积符号为正，因此负数的偶次幂是正数。
【答案】
正数 负数 正数
【知识点】
有理数乘方的符号规律
【点评】
本题考察有理数乘方的基础性质，属于需要熟练掌握的识记类知识点，掌握该规律是准确完成有理数乘方及混合运算的基础。
【难度系数】
0.9
解决这道题可以结合有理数乘法的符号规律推导乘方的符号性质：首先回忆乘方的含义，n个相同因数a相乘的运算就是a的n次幂；先分析正数的乘方：多个正数相乘时乘积的符号始终为正，因此无论次数是奇数还是偶数，正数的幂都是正的；再分析负数的乘方：根据有理数乘法符号规则，负负得正、正负得负，若乘方次数为奇数，相当于奇数个负数相乘，负号个数为奇数，结果为负；若乘方次数为偶数，相当于偶数个负数相乘，负号两两抵消，结果为正，顺着这个思路就能得到结论。
【解析】
根据有理数乘方的符号规律推导：
1. 正数的任何次幂都是若干个正数相乘，乘积恒为正，因此正数的任何次幂都是正数；
2. 负数的奇次幂是奇数个负数相乘，负因数的个数为奇数，乘积符号为负，因此负数的奇次幂是负数；
3. 负数的偶次幂是偶数个负数相乘，负因数的个数为偶数，乘积符号为正，因此负数的偶次幂是正数。
【答案】
正数 负数 正数
【知识点】
有理数乘方的符号规律
【点评】
本题考察有理数乘方的基础性质，属于需要熟练掌握的识记类知识点，掌握该规律是准确完成有理数乘方及混合运算的基础。
【难度系数】
0.9
3.一个大于10的数可以表示成
$a×10^n$
的形式，其中$1≤ a＜10$
，n是正整数，这种记数方法叫作科学记数法。答案
$a×10^n$ $1≤ a＜10$
解析
【分析】
本题考查科学记数法的基础定义，属于识记类题目。解题时首先回忆科学记数法的概念：科学记数法是用于简便表示较大数的记数方法，有固定的表示形式，且对形式中a的取值范围有明确要求，结合题干给出的描述，直接对应填入空缺内容即可。
【解析】
根据科学记数法的定义可知：一个大于10的数可以表示成$a×10^n$的形式，其中$1≤a＜10$，n是正整数，这种记数方法叫作科学记数法。因此两个空缺依次填入对应内容即可。
【答案】
$a×10^n$；$1≤ a＜10$
【知识点】
科学记数法的定义
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对科学记数法核心定义的掌握情况，牢记定义中的两个核心要素（表示形式、a的取值范围）即可快速解答，是后续运用科学记数法解决相关问题的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查科学记数法的基础定义，属于识记类题目。解题时首先回忆科学记数法的概念：科学记数法是用于简便表示较大数的记数方法，有固定的表示形式，且对形式中a的取值范围有明确要求，结合题干给出的描述，直接对应填入空缺内容即可。
【解析】
根据科学记数法的定义可知：一个大于10的数可以表示成$a×10^n$的形式，其中$1≤a＜10$，n是正整数，这种记数方法叫作科学记数法。因此两个空缺依次填入对应内容即可。
【答案】
$a×10^n$；$1≤ a＜10$
【知识点】
科学记数法的定义
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对科学记数法核心定义的掌握情况，牢记定义中的两个核心要素（表示形式、a的取值范围）即可快速解答，是后续运用科学记数法解决相关问题的基础。
【难度系数】
0.9
1. 下列各式计算结果是0的是(
A.$-2^2 + (-2)^2$
B.$-2^2 -2^2$
C.$-2^2 - (-2)^2$
D.$(-2)^2 - (-2^2)$
A
)。A.$-2^2 + (-2)^2$
B.$-2^2 -2^2$
C.$-2^2 - (-2)^2$
D.$(-2)^2 - (-2^2)$
答案
A
解析
【分析】
本题考查有理数乘方及加减运算，解题关键是区分$-2^2$与$(-2)^2$的符号差异：$-2^2$表示2的平方的相反数，底数是2；$(-2)^2$表示2个$-2$相乘，底数是$-2$。解题时先分别计算每个选项中乘方部分的结果，再计算加减得到最终结果，选出结果为0的选项即可。
【解析】
先根据乘方运算法则计算公共部分的结果：
$-2^2=-(2×2)=-4$，$(-2)^2=(-2)×(-2)=4$。
逐一计算各选项：
A选项：$-2^2 + (-2)^2=-4+4=0$，符合要求；
B选项：$-2^2 -2^2=-4-4=-8$，不符合；
C选项：$-2^2 - (-2)^2=-4-4=-8$，不符合；
D选项：$(-2)^2 - (-2^2)=4-(-4)=4+4=8$，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
有理数的乘方运算；有理数的加减运算
【点评】
本题是乘方运算的基础易错题，核心考点是带括号和不带括号的乘方运算的符号区分，解题时需先明确乘方的底数，再按照先乘方后加减的运算顺序计算即可。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数乘方及加减运算，解题关键是区分$-2^2$与$(-2)^2$的符号差异：$-2^2$表示2的平方的相反数，底数是2；$(-2)^2$表示2个$-2$相乘，底数是$-2$。解题时先分别计算每个选项中乘方部分的结果，再计算加减得到最终结果，选出结果为0的选项即可。
【解析】
先根据乘方运算法则计算公共部分的结果：
$-2^2=-(2×2)=-4$，$(-2)^2=(-2)×(-2)=4$。
逐一计算各选项：
A选项：$-2^2 + (-2)^2=-4+4=0$，符合要求；
B选项：$-2^2 -2^2=-4-4=-8$，不符合；
C选项：$-2^2 - (-2)^2=-4-4=-8$，不符合；
D选项：$(-2)^2 - (-2^2)=4-(-4)=4+4=8$，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
有理数的乘方运算；有理数的加减运算
【点评】
本题是乘方运算的基础易错题，核心考点是带括号和不带括号的乘方运算的符号区分，解题时需先明确乘方的底数，再按照先乘方后加减的运算顺序计算即可。
【难度系数】
0.7
2. 计算$(-0.25)^{100} × (-4)^{101}$的值是（
A.2
B.4
C.$-4$
D.$-2$
C
）。A.2
B.4
C.$-4$
D.$-2$
答案
C
解析
【分析】
观察算式可知，两个乘方的底数-0.25和-4相乘得1，且指数接近，我们可以根据乘方的意义，把指数为101的$(-4)^{101}$拆成$(-4)^{100}×(-4)$，此时原式出现100组$(-0.25)$和$(-4)$的配对相乘，每组乘积为1，先计算配对部分的结果，再乘剩余的$-4$即可快速得出答案。
【解析】
解：根据乘方的意义变形得：
$\begin{aligned}(-0.25)^{100} × (-4)^{101}&=(-0.25)^{100} × (-4)^{100} × (-4)\\&=\underbrace{[(-0.25)×(-4)]×[(-0.25)×(-4)]×\dots×[(-0.25)×(-4)]}_{100组} × (-4)\\&=1^{100}×(-4)\\&=1×(-4)\\&=-4\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；有理数乘法运算
【点评】
本题是有理数乘方运算的常考题型，解题核心是利用乘方的意义拆分高次幂，结合底数的特殊关系分组凑整简化计算，能很好地考察对乘方概念的理解和运算技巧的掌握。
【难度系数】
0.7
观察算式可知，两个乘方的底数-0.25和-4相乘得1，且指数接近，我们可以根据乘方的意义，把指数为101的$(-4)^{101}$拆成$(-4)^{100}×(-4)$，此时原式出现100组$(-0.25)$和$(-4)$的配对相乘，每组乘积为1，先计算配对部分的结果，再乘剩余的$-4$即可快速得出答案。
【解析】
解：根据乘方的意义变形得：
$\begin{aligned}(-0.25)^{100} × (-4)^{101}&=(-0.25)^{100} × (-4)^{100} × (-4)\\&=\underbrace{[(-0.25)×(-4)]×[(-0.25)×(-4)]×\dots×[(-0.25)×(-4)]}_{100组} × (-4)\\&=1^{100}×(-4)\\&=1×(-4)\\&=-4\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；有理数乘法运算
【点评】
本题是有理数乘方运算的常考题型，解题核心是利用乘方的意义拆分高次幂，结合底数的特殊关系分组凑整简化计算，能很好地考察对乘方概念的理解和运算技巧的掌握。
【难度系数】
0.7
3.已知$n$表示正整数，则$\frac{1^n}{2}+\frac{(-1)^n}{2}$等于（
A.0
B.1
C.0或1
D.无法确定，随$n$值的不同而不同
C
）。A.0
B.1
C.0或1
D.无法确定，随$n$值的不同而不同
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确n为正整数，存在奇数和偶数两种情况，结合乘方的性质：1的任何正整数次幂都是1，-1的奇次幂为-1、偶次幂为1，分两种情况代入原式计算即可得出结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当n为正奇数时：
$1^n=1$，$(-1)^n=-1$，
代入原式得：$\frac{1}{2}+\frac{-1}{2}=0$；
2. 当n为正偶数时：
$1^n=1$，$(-1)^n=1$，
代入原式得：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$。
综上，原式的结果为0或1，故选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方的性质；分类讨论思想；有理数加减运算
【点评】
本题重点考查1和-1的乘方规律，解题的关键是根据n的奇偶性分类计算，避免遗漏情况，属于乘方性质应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确n为正整数，存在奇数和偶数两种情况，结合乘方的性质：1的任何正整数次幂都是1，-1的奇次幂为-1、偶次幂为1，分两种情况代入原式计算即可得出结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当n为正奇数时：
$1^n=1$，$(-1)^n=-1$，
代入原式得：$\frac{1}{2}+\frac{-1}{2}=0$；
2. 当n为正偶数时：
$1^n=1$，$(-1)^n=1$，
代入原式得：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$。
综上，原式的结果为0或1，故选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方的性质；分类讨论思想；有理数加减运算
【点评】
本题重点考查1和-1的乘方规律，解题的关键是根据n的奇偶性分类计算，避免遗漏情况，属于乘方性质应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
4.用科学记数法表示的数$1.1× 10^{8}$，其原数是(
A.1 100 000
B.11 000 000
C.110 000 000
D.1 100 000 000
C
)。A.1 100 000
B.11 000 000
C.110 000 000
D.1 100 000 000
答案
C
解析
【分析】
要解决把科学记数法表示的数还原为原数的问题，首先回忆科学记数法的定义：科学记数法的形式为$a×10^n$（其中$1≤a＜10$，$n$为正整数），还原规则是将$a$的小数点向右移动$n$位，位数不足时用0补足。本题中$a=1.1$，$n=8$，只需按照规则移动小数点即可得到原数，也可以先计算$10^8$的值，再与1.1相乘得到结果。
【解析】
方法1：根据科学记数法还原规则，将$1.1$的小数点向右移动8位：
小数点右移1位得11，右移2位得110，……，共右移8位，不足的位数补0，最终得到原数为110000000。
方法2：先计算$10^8=100000000$，再计算乘法：$1.1×100000000=110000000$。
综上，原数是110000000，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法还原；有理数乘方运算
【点评】
本题考查科学记数法的基础应用，属于常规基础题型，熟练掌握科学记数法和原数的互化规则就能快速准确解答。
【难度系数】
0.8
要解决把科学记数法表示的数还原为原数的问题，首先回忆科学记数法的定义：科学记数法的形式为$a×10^n$（其中$1≤a＜10$，$n$为正整数），还原规则是将$a$的小数点向右移动$n$位，位数不足时用0补足。本题中$a=1.1$，$n=8$，只需按照规则移动小数点即可得到原数，也可以先计算$10^8$的值，再与1.1相乘得到结果。
【解析】
方法1：根据科学记数法还原规则，将$1.1$的小数点向右移动8位：
小数点右移1位得11，右移2位得110，……，共右移8位，不足的位数补0，最终得到原数为110000000。
方法2：先计算$10^8=100000000$，再计算乘法：$1.1×100000000=110000000$。
综上，原数是110000000，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法还原；有理数乘方运算
【点评】
本题考查科学记数法的基础应用，属于常规基础题型，熟练掌握科学记数法和原数的互化规则就能快速准确解答。
【难度系数】
0.8
5.地球上水的总储量约为$1.39×10^{18}\ \mathrm{m}^3$，
但目前能被人们生产、生活利用的水只占总储量的0.77%，即约为$0.0107×10^{18}\ \mathrm{m}^3$，因此我们要节约用水。将$0.0107×10^{18}\ \mathrm{m}^3$用科学记数法表示是（
A.$1.07×10^{16}\ \mathrm{m}^3$
B.$0.107×10^{17}\ \mathrm{m}^3$
C.$10.7×10^{15}\ \mathrm{m}^3$
D.$1.07×10^{17}\ \mathrm{m}^3$
但目前能被人们生产、生活利用的水只占总储量的0.77%，即约为$0.0107×10^{18}\ \mathrm{m}^3$，因此我们要节约用水。将$0.0107×10^{18}\ \mathrm{m}^3$用科学记数法表示是（
A
）。A.$1.07×10^{16}\ \mathrm{m}^3$
B.$0.107×10^{17}\ \mathrm{m}^3$
C.$10.7×10^{15}\ \mathrm{m}^3$
D.$1.07×10^{17}\ \mathrm{m}^3$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要明确本学段科学记数法的表示规则：科学记数法的标准形式为$a×10^n$，其中要求$1≤ |a| ＜10$，$n$为正整数。本题给出的数是$0.0107×10^{18}$，首先观察前面的系数$0.0107$不符合$a$的取值要求，因此需要调整系数：把$10^{18}$拆出$10^2$和$0.0107$相乘，得到符合要求的$a=1.07$，剩下的$10$的指数就是$18-2=16$，最终即可得到符合标准形式的科学记数法结果，也可以先直接排除不符合$a$取值要求的B、C选项，再计算指数判断D是否正确。
【解析】
科学记数法的标准表示形式为$a×10^n$，其中$1≤ |a| ＜10$，$n$为正整数。
对$0.0107×10^{18}$进行转换：
我们可以把$10^{18}$拆成$10^2×10^{16}$，则原式可变形为：
$0.0107×10^2×10^{16}$
先计算$0.0107×10^2=0.0107×100=1.07$，符合$1≤ a＜10$的要求，
因此整体结果为$1.07×10^{16}\ \mathrm{m}^3$，对应选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
科学记数法；有理数的乘方
【点评】
本题考查科学记数法的正确表示，解题关键是牢记科学记数法中$a$的取值范围，以及调整系数时指数的变化规律，避免指数计算错误，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确本学段科学记数法的表示规则：科学记数法的标准形式为$a×10^n$，其中要求$1≤ |a| ＜10$，$n$为正整数。本题给出的数是$0.0107×10^{18}$，首先观察前面的系数$0.0107$不符合$a$的取值要求，因此需要调整系数：把$10^{18}$拆出$10^2$和$0.0107$相乘，得到符合要求的$a=1.07$，剩下的$10$的指数就是$18-2=16$，最终即可得到符合标准形式的科学记数法结果，也可以先直接排除不符合$a$取值要求的B、C选项，再计算指数判断D是否正确。
【解析】
科学记数法的标准表示形式为$a×10^n$，其中$1≤ |a| ＜10$，$n$为正整数。
对$0.0107×10^{18}$进行转换：
我们可以把$10^{18}$拆成$10^2×10^{16}$，则原式可变形为：
$0.0107×10^2×10^{16}$
先计算$0.0107×10^2=0.0107×100=1.07$，符合$1≤ a＜10$的要求，
因此整体结果为$1.07×10^{16}\ \mathrm{m}^3$，对应选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
科学记数法；有理数的乘方
【点评】
本题考查科学记数法的正确表示，解题关键是牢记科学记数法中$a$的取值范围，以及调整系数时指数的变化规律，避免指数计算错误，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
6.现规定一种新的运算“*”：$a*b=a^b$，如$3*2=3^2=9$，则$-\dfrac{1}{3}*3=$
$-\dfrac{1}{27}$
。答案
$-\dfrac{1}{27}$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：第一步先准确理解新运算“*”的规则，即a*b的结果等于a的b次方；第二步找到所求式子中对应a、b的取值，这里a是$-\dfrac{1}{3}$，b是3；第三步将a、b代入运算规则转化为有理数乘方运算，再按照有理数乘方的计算方法算出结果即可，计算时要注意负数奇次幂的符号为负。
【解析】
根据新运算“*”的规则$a*b=a^b$，可得：
$-\dfrac{1}{3}*3=(-\dfrac{1}{3})^3$
计算乘方：
$(-\dfrac{1}{3})^3=(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})=-\dfrac{1}{27}$
【答案】
$-\dfrac{1}{27}$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 有理数的乘方
【点评】
本题属于基础题，重点考查对新运算规则的理解和有理数乘方的计算能力，解题的核心是准确对应新运算中两个数的位置，代入后注意负数乘方的符号判断，避免因符号出错丢分。
【难度系数】
0.9
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：第一步先准确理解新运算“*”的规则，即a*b的结果等于a的b次方；第二步找到所求式子中对应a、b的取值，这里a是$-\dfrac{1}{3}$，b是3；第三步将a、b代入运算规则转化为有理数乘方运算，再按照有理数乘方的计算方法算出结果即可，计算时要注意负数奇次幂的符号为负。
【解析】
根据新运算“*”的规则$a*b=a^b$，可得：
$-\dfrac{1}{3}*3=(-\dfrac{1}{3})^3$
计算乘方：
$(-\dfrac{1}{3})^3=(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})=-\dfrac{1}{27}$
【答案】
$-\dfrac{1}{27}$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 有理数的乘方
【点评】
本题属于基础题，重点考查对新运算规则的理解和有理数乘方的计算能力，解题的核心是准确对应新运算中两个数的位置，代入后注意负数乘方的符号判断，避免因符号出错丢分。
【难度系数】
0.9
7.太阳的半径约为 696 000 km，将数字696 000用科学记数法表示为
$6.96×10^5$
。答案
$6.96×10^5$
解析
【分析】
本题考查科学记数法表示较大数的应用，解题思路如下：首先回忆科学记数法的定义：科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中需满足$1≤ a ＜10$，n为正整数。第一步先确定$a$的值：将原数696000的小数点向左移动，直到得到的数在1到10之间即可；第二步确定$n$的值：$n$的大小等于原数的整数位数减1，也等于小数点向左移动的位数，最后组合$a$和$10^n$即可得到结果。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤ a ＜10$，n为正整数。
1. 确定$a$的值：将696000的小数点向左移动5位，得到$a=6.96$，符合$1≤ 6.96 ＜10$的要求；
2. 确定$n$的值：696000是6位整数，因此$n=6-1=5$（或小数点向左移动了5位，因此$n=5$）。
综上，696000用科学记数法表示为$6.96×10^5$。
【答案】
$6.96×10^5$
【知识点】
科学记数法表示较大数
【点评】
本题属于基础题型，主要考查科学记数法的基本表示规则，掌握$a$的取值范围和$n$的确定方法是答对本题的核心。
【难度系数】
0.9
本题考查科学记数法表示较大数的应用，解题思路如下：首先回忆科学记数法的定义：科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中需满足$1≤ a ＜10$，n为正整数。第一步先确定$a$的值：将原数696000的小数点向左移动，直到得到的数在1到10之间即可；第二步确定$n$的值：$n$的大小等于原数的整数位数减1，也等于小数点向左移动的位数，最后组合$a$和$10^n$即可得到结果。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤ a ＜10$，n为正整数。
1. 确定$a$的值：将696000的小数点向左移动5位，得到$a=6.96$，符合$1≤ 6.96 ＜10$的要求；
2. 确定$n$的值：696000是6位整数，因此$n=6-1=5$（或小数点向左移动了5位，因此$n=5$）。
综上，696000用科学记数法表示为$6.96×10^5$。
【答案】
$6.96×10^5$
【知识点】
科学记数法表示较大数
【点评】
本题属于基础题型，主要考查科学记数法的基本表示规则，掌握$a$的取值范围和$n$的确定方法是答对本题的核心。
【难度系数】
0.9
8.若将一张纸按同一个方向连续对折$n$次,你可以得到多少条折痕?若按折痕将纸撕开,你可以得到多少张纸条？
答案
$(2^n -1)$条折痕，$2^n$张纸条
解析
【分析】
我们采用从特殊到一般的探究思路，先计算对折1次、2次、3次等次数较少时对应的折痕数和纸条数，观察数值和对折次数n的关系，再归纳总结出对折n次的通用结论。
【解析】
我们通过列举简单情况找规律：
1. 当对折次数$n=1$时：
折痕条数：$1 = 2^1 - 1$
撕开后纸条数量：$2 = 2^1$
2. 当对折次数$n=2$时：
折痕条数：$3 = 2^2 - 1$
撕开后纸条数量：$4 = 2^2$
3. 当对折次数$n=3$时：
折痕条数：$7 = 2^3 - 1$
撕开后纸条数量：$8 = 2^3$
观察上述结果可发现规律：每对折1次，纸条数量变为原来的2倍，折痕条数=对应纸条数量-1。
因此连续对折$n$次时，折痕条数为$2^n -1$条，撕开后得到的纸条数量为$2^n$张。
【答案】
$(2^n -1)$条折痕，$2^n$张纸条
【知识点】
有理数的乘方，规律探究
【点评】
本题考查规律探究类问题的解题方法，需要结合实际操作的数值变化归纳通用结论，核心是理解乘方的实际含义，解题时通过列举简单情形可以有效降低思考难度。
【难度系数】
0.7
我们采用从特殊到一般的探究思路，先计算对折1次、2次、3次等次数较少时对应的折痕数和纸条数，观察数值和对折次数n的关系，再归纳总结出对折n次的通用结论。
【解析】
我们通过列举简单情况找规律：
1. 当对折次数$n=1$时：
折痕条数：$1 = 2^1 - 1$
撕开后纸条数量：$2 = 2^1$
2. 当对折次数$n=2$时：
折痕条数：$3 = 2^2 - 1$
撕开后纸条数量：$4 = 2^2$
3. 当对折次数$n=3$时：
折痕条数：$7 = 2^3 - 1$
撕开后纸条数量：$8 = 2^3$
观察上述结果可发现规律：每对折1次，纸条数量变为原来的2倍，折痕条数=对应纸条数量-1。
因此连续对折$n$次时，折痕条数为$2^n -1$条，撕开后得到的纸条数量为$2^n$张。
【答案】
$(2^n -1)$条折痕，$2^n$张纸条
【知识点】
有理数的乘方，规律探究
【点评】
本题考查规律探究类问题的解题方法，需要结合实际操作的数值变化归纳通用结论，核心是理解乘方的实际含义，解题时通过列举简单情形可以有效降低思考难度。
【难度系数】
0.7
9.山西省文旅启动“跟着悟空游山西”主题活动，山西省各大景区游客接待量实现井喷式增长，某景区某天共接待游客12.66万人次。
12.66万用科学记数法表示为
12.66万用科学记数法表示为
$1.266×10^5$
。答案
$1.266×10^5$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个解题关键点：一是先把带“万”单位的数换算为普通整数，二是掌握科学记数法的表示规则。科学记数法的标准形式为$a×10^n$，要求$1≤|a|＜10$、n为正整数。解题时先换算单位得到原数，再把原数的小数点向左移动到第一个非零数字的后面得到a，小数点移动的位数就是n的值，最终组合成科学记数法的形式即可。
【解析】
步骤1：换算单位，将“万”转化为具体数值
因为$1万=10000$，所以$12.66万=12.66×10000=126600$。
步骤2：按照科学记数法规则确定a和n的值
科学记数法的形式为$a×10^n$（$1≤a＜10$，n为正整数），将126600的小数点向左移动5位可得到符合要求的$a=1.266$，小数点共移动了5位，因此$n=5$。
综上，12.66万用科学记数法表示为$1.266×10^5$。
【答案】
$1.266×10^5$
【知识点】
科学记数法；计数单位换算
【点评】
本题属于科学记数法的基础应用题型，解题时需注意先统一单位再进行记数，易错点是忽略单位换算直接记数，或者数错小数点移动的位数，掌握科学记数法的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确两个解题关键点：一是先把带“万”单位的数换算为普通整数，二是掌握科学记数法的表示规则。科学记数法的标准形式为$a×10^n$，要求$1≤|a|＜10$、n为正整数。解题时先换算单位得到原数，再把原数的小数点向左移动到第一个非零数字的后面得到a，小数点移动的位数就是n的值，最终组合成科学记数法的形式即可。
【解析】
步骤1：换算单位，将“万”转化为具体数值
因为$1万=10000$，所以$12.66万=12.66×10000=126600$。
步骤2：按照科学记数法规则确定a和n的值
科学记数法的形式为$a×10^n$（$1≤a＜10$，n为正整数），将126600的小数点向左移动5位可得到符合要求的$a=1.266$，小数点共移动了5位，因此$n=5$。
综上，12.66万用科学记数法表示为$1.266×10^5$。
【答案】
$1.266×10^5$
【知识点】
科学记数法；计数单位换算
【点评】
本题属于科学记数法的基础应用题型，解题时需注意先统一单位再进行记数，易错点是忽略单位换算直接记数，或者数错小数点移动的位数，掌握科学记数法的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10.【数学应用】看过《西游记》的同学一定都知道孙悟空会分身术，他摇身一变，就变成了2个孙悟空；这2个孙悟空摇身一变，又各变成2个，一共有4个孙悟空；这4个孙悟空再变，又变成了8个孙悟空……假设孙悟空一连变了80次，那么一共有
$2^{80}$
个孙悟空。答案
$2^{80}$
解析
【分析】
我们可以先从孙悟空前几次变化的数量入手总结规律，先列举出前几次变化后孙悟空的总数量，观察总数量和变化次数的对应关系，再将规律推广到变化80次的情况。通过观察前几次的结果可以发现，每次变化后的总数量都是若干个2相乘，相乘的次数恰好等于变化的次数，因此可以用乘方的形式表示该规律。
【解析】
我们逐次列举不同变化次数对应的孙悟空总数量：
变化1次：共有$2=2^1$个孙悟空；
变化2次：共有$2×2=2^2=4$个孙悟空；
变化3次：共有$2×2×2=2^3=8$个孙悟空；
……
以此类推，变化$n$次时，共有$2^n$个孙悟空；
当$n=80$时，孙悟空的总数量为$2^{80}$个。
【答案】
$2^{80}$
【知识点】
有理数的乘方，数字规律探究
【点评】
本题结合经典文学场景命题，形式新颖有趣，核心是通过列举前几次的结果总结通用规律，再利用乘方的定义表示最终结果，能很好地考察学生的规律归纳能力和乘方概念的应用能力。
【难度系数】
0.8
我们可以先从孙悟空前几次变化的数量入手总结规律，先列举出前几次变化后孙悟空的总数量，观察总数量和变化次数的对应关系，再将规律推广到变化80次的情况。通过观察前几次的结果可以发现，每次变化后的总数量都是若干个2相乘，相乘的次数恰好等于变化的次数，因此可以用乘方的形式表示该规律。
【解析】
我们逐次列举不同变化次数对应的孙悟空总数量：
变化1次：共有$2=2^1$个孙悟空；
变化2次：共有$2×2=2^2=4$个孙悟空；
变化3次：共有$2×2×2=2^3=8$个孙悟空；
……
以此类推，变化$n$次时，共有$2^n$个孙悟空；
当$n=80$时，孙悟空的总数量为$2^{80}$个。
【答案】
$2^{80}$
【知识点】
有理数的乘方，数字规律探究
【点评】
本题结合经典文学场景命题，形式新颖有趣，核心是通过列举前几次的结果总结通用规律，再利用乘方的定义表示最终结果，能很好地考察学生的规律归纳能力和乘方概念的应用能力。
【难度系数】
0.8
